О коэффициентах однолистных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

JIM. Бер

О КОЭФФИЦИЕНТ АХ ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрен класс обратных отображений к классу голоморфных однолистных нормированных в круге функций, имеющих р-кратную симметрию вращения относительно начала координат. Для этого класса, используя метод параметрических продолжений, получены оценки тейлоровских коэффициентов.

Пусть D, ОеД - конечная односвязная область в С*, обладающая />-кратной симметрией вращения относительно точки w = 0, Ро, 0 < Ро < °°»- конформный радиус области D относительно точки w = 0 и TSP(D, Р) -совокупность плоских односвязных областей В, 0 еВ, принадлежащих D, имеющих фиксированный конформный радиус Р, 0 < Р < Ро, относительно точки и> = О и обладающих р-кратной симметрией вращения относительно точки w = 0. Обозначим через

z = q(w)='j[b£lwtp+',

к =0 Р

функцию, однолистно и конформно отображающую область BeTSJD, Р) на £={r|z| < 1}.

Совокупность функций q(w), изоморфную множеству областей Be TSP{D, Р), каждая из которых обратна некоторой функции класса SP(D, Р), будем также обозначать TSP(D, Р). Если q(w)eTSp(D, Р), то она голоморфна в некоторой содержащей начало координат подобласти области D и при надлежащем выборе подобласти однолистно отображает ее на круг Е, причем 9(0) = 0, q(0) = 1/р > 0.

Каждую область BeTSp(D, Р) можно рассматривать как ядро (относительно точки и» - 0) семейства областей, получающихся проведением в Dp переменных разрезов по непроходящим через начало координат простым дугам Жордана, один из концов которых принадлежит границе области Д и обладающих р-кратной симметрией вращения относительно точки и» = 0. В силу этого оценка 1 (и = 1, 2, ...) на классе TSP(D, р) совпадает с оценкой I bv + 11 на подмножестве функций из TSp(D, Р), отображающих однолистно и конформно такое аппроксимирующее семейство областей на Е.

Известно [1], что для каждой функции q(w), входящей в это семейство при D, отличной от Ст существует кусочно-непрерывная функция р(т), 0 < т < т°, |р(т)| = 1, такая, что q(w) можно представить в виде

?(w) = <p(/i(w),T°), (1)

где

>0 (2)

к = 0 Ро

однолистно и конформно отображает D на Е и cp(w, т) -интеграл уравнения

5ср 5<p h/’(t) + w'’ о г

- — ,0<т<т ,weE (3)

- = —— w -

di dw р'’ (т)-и'''

удовлетворяет условию <р(и>, 0) = w, |w| < 1. Пусть

<p(w,T) = et (t)w'p+i , c\p) (т) = 1. (4)

4 = 0

Подставляя разложение (4) в (3), нетрудно получить, что коэффициенты с^, (т) образуют ре-

шение бесконечной системы дифференциальных уравнений

=(^)cv+?

+2YJrp+^clpil (ц(т)) р ,*=1,2, ...(5)

г=0

Из условия ф(и', 0) = w находим начальные условия для системы (5): , (0) = 0 .

После введения в (5) обозначения

(е’’p(t));’ = v(t) (6)

и замены переменных по формулам

<+)1(х) = е-<ртс^)1(ПА = 1,2,... (7)

получим для y\£l, (т) на0<т<т° бесконечную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений

У кр +1

*-1

= 2£(гр + \)у,к-' (х)у£\

г = 0

*=1,2,... (8)

с начальными условиями (0) = 0, * = 1,2,..., в

которой = 1.

В дальнейшем будем обозначать через {X(w)}m коэффициент при W" в разложении в ряд Тейлора некоторой голоморфной в окрестности точки w=0 функции A(w)

Из (1) с использованием (2), (4) и разложения в ряд q(w) получаются формулы

С=ЙА<Р+1 (*)U‘<iP+,)l0 У& (*° ),« = 0,1,2,...,

*=о

представляющие коэффициенты функции q(w) через решение системы (8).

Таким образом, задача об оценке |6^+|| (п =1, 2 ,...) на классе 75ДДР) сведена к следующей задаче оптимального управления.

Пусть в трехмерном вещественном евклидовом пространстве (хь х2, х3) задана поверхность вращения

Я= {(*ь х2, х3): х\ + х\ = е'1у, 0 й х3 < /}, и пусть N-совокупность кусочно-непрерывных кривых на Я, любая из которых пересекается с каждой плоскостью х3 = т s const, 0 < т < т°, в единственной точке.

Необходимо найти (при фиксированном п)

sup |v>| =

qeTSp(D#)' '

= sup

veN

Z{*¥+,(w)U,e(¥*,,t°J'W(t0), (9)

где yfrt(t) = l, (у^!(т),...,у‘р#’+,1(т)) - решение задачи Коши

y$i =2Z(rp + l)v*"(T)y^+)i.

ylPfA0) = 0,k = l,2,...,n

с начальными данными на левом конце промежутка

(0, А

17

Опираясь на вариационные методы, в частности на теоремы, аналогичные 6,7 а 37 [1] для класса Sp, докажем теорему существования экстремального управления. Это позволяет заменить в (9) точную верхнюю грань по множеству N]на максимум по этому же множеству.

Теорема. Пусть йфСш и обладает /ькратной симметрией вращения относительно точки w = О и функция h(w), А(0) = О, И(0) > 0 однолистно и конформно отображает D на Е. Тогда для коэффициентов функции

q(w) = r'™+'Lb(npp?lwnp+'eTSp(D,n й'(0)<1

справедливы оценки

sup

4*TSP (D.p)

где

i¥»+l

В" (w)

B{ н-)=1

2(_i)»^° (от + А-1)! .

L............—е

lp+1

W

,(Ю)

^,(Л-1)КЙ + 1)!(/я-й)! Доказательство. № (8) с учетом начальных условий | (0) = 0, (к = 1,2,...) приходим к интегральным

уравнениям

yl£i (т) = 2 JY,(rP + l)v*’r (Т)^, (т), к= 1,2,....

о г-О

в которых у\р){т) = 1. Отсюда с учетом (6) следует, что |>’i,’i!(t0)|^2jX(^ + l)ktp(T)|'’<* Г)|у^,(т)|л. (11)

о г-0

В оценках (11) знак равенства достигается, если ц(т) = 1. Действительно, в этом случае v(t) = |v(t) ^е-45 и, как легко установить методом индукции,

У1г*I (*) = |кЛ> (т)|,г = 1,2,...

Обозначим через <pi(w, т) интеграл уравнения Лев-нера (3), в котором управляющей функцией является

р(т)= 1. Пусть с^+1 (т) = { е“т(р, (и,,т)к+|. Из (7)

вытекает, что для нахождения maxly^, (т° )| нужно найти с$+| (т° ).

Пусть и>=/|(г, т) - функция, обратная {pi(w, т) при каждом фиксированном т, 0 < т < т°. Функция w = /, (г, т) есть интеграл уравнения

dw

\ + yvp

= -w dx 1 - у/

, 0 < т < т°

(12)

с начальным условием /j(z, 0) = z.

Проинтегрируем уравнение (12), устремим т к т° и

найдем функцию [<р, (w,т0 )]л’ . Повторив рассуждения, изложенные в [2], получим разложение по степеням w:

[ф, (w,t° )]p = zp =

.f Г +

'r’l &(к-Щк + \Кт-к)\е

тр

Извлекая из [ф, (и\т0 )]/> кореньр-й степени, найдем коэффициент при w**' в разложении его решения Ф, (и',т)прит = т°:

Хр

1 ,^р + 1

(т° ) = е“т°

где В(и-)=£

т = \

f.2(-l)"h° (т + й-1)! ¥t.

w

Для фиксированных р и п значения {B^(w)}^+1 (к = 0, 1, ..., п) вычисляются с использованием формулы бинома Ньютона. Используя (7), (9) и (11), приходим к неравенствам (10). Теорема доказана.

Из приведенного доказательства видно, что если числа {И¥+'(w)}^+, и (B^w)}^,*, (к = 0, 1,..., и) вещественны и одинаковых знаков, то оценка (10) является точной.

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976.

2. Садритдинова ГД. Свойства решений уравнения Левнера с постоянным управлением // Исследования по математическому анализу и алгебре: Сборник научных трудов. Томск: Изд. ТГУ, 2000. С. 129-134.

Статья представлена кафедрой математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» S декабря 1999 г.

18