Кручение упругого стержня с кратно-круговой областью поперечного сечения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 4(12)

МЕХАНИКА

УДК 519.632:531.252. 517.54

И. А. Александров

КРУЧЕНИЕ УПРУГОГО СТЕРЖНЯ С КРАТНО-КРУГОВОЙ ОБЛАСТЬЮ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Методами математической теории упругости и конформных отображений решается задача о кручении стержня, сечение которого имеет форму односвязного кругового многоугольника с n-кратной симметрией вращения.

Ключевые слова: кручение стержня, конформное отображение, комплексная функция кручения, круговой многоугольник, уравнение Шварца.

Рассматривается задача о кручении изотропного однородного стержня при условии отсутствия объёмных сил и внешних напряжений на его боковой поверхности.

Предполагается, что сечение стержня плоскостью, ортогональной его боковой поверхности, имеет форму некоторого односвязного кругового n-угольника D„, n=3, 4, ..., обладающего и-кратной симметрией вращения относительно точки, принимаемой за начало O прямоугольной системы координат. Её оси абсцисс Ox и ординат Oy лежат в плоскости сечения, а ось аппликат совпадает с осью круговой симметрии стержня.

Задачу будем решать,, пользуясь средствами теории функций комплексного переменного. Примем плоскость Oxy за плоскость комплексного переменного

2п(к-1)

z=x+iy, а в качестве вершин области Dn примем точки ек = е п , к = 1,...,п . Считаем, что ориентированная граница dDn многоугольника Dn состоит из круговых дуг, образующих в ек внутренние углы области Dn,, равные ап, 0 < а < 2.

При кручении стержня закручивающими парами, векторные моменты которых направлены по оси Ol аппликат, сечения не остаются плоскими, а искривляются. Компоненты смещения точки z=x+iy е Dn даются формулами [1, с. 518]

и = -Tly, v = Tlx, w = Хф(x, y), где t - постоянная (степень закручивания), а ф(х, y)- некоторая гармоническая функция, называемая функцией кручения. Она на dDn удовлетворяет граничному условию

— = y cos (n, x)- x cos (n, y),

dn

где через n обозначена внешняя нормаль к границе области Dn.

Отметим, что такая функция 9(x,y) существует и может быть найдена как решение задачи Неймана, например, методами теории потенциала.

Введём вместо функции 9(x,y) сопряжённую с ней гармоническую функцию y(x,y), определяемую с точностью до аддитивной постоянной из условий Коши -Римана:

Эф=а^, Эф=-%, y

dx dy dy dx

Эти условия можно обобщить, заменяя дифференцирование по ортогональным направлениям, образованным осями Ox, Oy, на дифференцирование по направлению внешней нормали и направлению по касательной t к dDn, получающейся поворотом нормали на угол п/2 против хода стрелки часов.. Пусть s - дуга на dDn. Из равенств

dy dx

cos(n, x) = cos(t, y) = —, cos(n, y) = - cos(t, x) =-

ds ds

и условий Коши - Римана имеем

d ф дф , ч дф , ч dy dx dy dy dy

— = — cos (n, x) +---cos (n, y) =---------------------1-=-.

dn dx dy dx ds dy ds ds

Граничному условию для 9(x,y) можно придать вид

дф / ч / . dx dy 1 d / 2 2\

— = ycos(n,x)-xcos(n,y) = x------+ y— =------(x + y ),

dn ’ ds ds 2 dsy ’

или, что то же самое,

d у 1 d ds 2 ds Отсюда следует, что

y(x, y)= 2(x2 + y2) + C на dDn,

где C - произвольная постоянная. Положим её равной нулю. Видим, что граничное условие для функции у (x, y) задаётся как её значения на границе области Dn и отыскание y(x, y) приводит к задаче Дирихле. Её можно в отдельных случаях эффективно решить, применяя конформные отображения, что мы и сделаем применительно к данной задаче.

Отметим, что компоненты напряжения даются формулами

Xl=Kdy"y], Yl=Ч!У+x), (^y)e Dn.

Напряжения X, Yl не меняются при замене у на y+const, д - модуль сдвига. Пусть F(z)=ty(z)+iy(z) - комплексная функция кручения и z=fZ) - конформное отображение единичного круга E={Z: |Z| <1}, удовлетворяющее условиям:f(0)=0, f(1)= e0=1. Существование и единственность такой функции следует из теоремы Римана о конформной эквивалентности плоских областей.

Функция

Q(C) = -iF (f (0) = y^.f (Z))-iф2f (Z))

голоморфная в E, имеет вещественную часть y1 (Z) = у (f (Z)), принимающую на границе круга E, т.е. при Z = eie , 0 <0< 2п, значения

:( + у2 ).

V, (г*Н(/('“)) = || f (0|\

где f И - точка на Dn, соответствующая точке e'e на окружности дЕ. Взаимная однозначность и непрерывность отображения f : дЕ ^ dDn следует из теории соответствия границ при конформных отображениях областей, ограниченных непрерывными жордановыми кривыми.

Согласно формуле Шварца, имеем интегральное представление

Q(z)=2^ Re Q(^f+z df+'Im Q(°), е ,

функции ^(Z) в E через её значения на границе дЕ круга. Эту формулу легко преобразовать к виду

ЦС) = - j ReQZ^d|-Q(°)

п' дЕ ^-Z

и использовать для интегрального представления комплексной функции кручения. Имеем

F(f (Z)) = - j Re^ldZ+ const.

ndE ^-Z

Полагая здесь Z = f- (z), z e Dn , 2ReQ(|) = |f (|)|2 получаем (отбрасывая постоянную) формулу

F(z) = 9(z) + 'V(z)= — f f (^ d%,

2лдЕ ^f-1 (z)

дающую решения задачи о кручении стержня. Остаётся найти f (Z). Удаётся получить её аналитическое представление с использованием гипергеометрической функции.

Так как область Dn совпадает с собой при повороте около нуля на угол, крат-

„2л „

ный —, то в силу указанной теоремы справедливо функциональное уравнение n

ekf (Z) = f (ekZ). Представив f (Z) в виде степенного ряда

f (z)=Z^kzk, c * °,

k=1

равномерно сходящегося по теореме Тейлора внутри Е, имеем

ад ад

ZekcsZ* = Zcs (ekZ) .

s=1 s=1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Z , находим

с* (1 - ek-1 ) = 0, s = 1,2,....

Отсюда легко следует, что все коэффициенты с* при * ф nl +1, l=°, 1,..., равны нулю и, значит,

ад

ln+1

f (Z) = C]Z + Cn+!Zn+' + ... = Z С

ln+1Z

l=0

Разложение производной Шварца

№И=Г<-> 3 (™

/'М 2 ^ Г (2),

в степенной ряд около нуля будет содержать только слагаемые вида А^1 -2, т.е. представляться рядом вида

X

і=1

пі-2

^ 1 -а 1 + а ,1 ,1

Пусть р1 =------, р2 =------, т1 = 1---, т2 = 1 + — .

2 2 п п

Функция /(^) отображает круг на круговой многоугольник и, как известно

[2, с. 412], удовлетворяет уравнению Шварца, принимающему в рассматриваемом

случае вид

1

+Х к

1 (С-к )2 к=і С-є

где Мк - акцессорные постоянные, подлежащие нахождению из геометрических свойств многоугольника.

Так как

П (с-% )=сп-1 и t1п (с-% )=1п (п-1),

к=1

к=1

то

пС

п-1

Сп -1 и

и поэтому первую сумму в правой части уравнения можно представить в виде

X

і

і

-=-^х

1

1 ПСп-1 = пС п-2

-1 &-єк )2 іс к= с-ек і с сп -1

пС п

п -1

=Х сі с і=1

п1-2

Вторая сумма записывается как отношение многочлена степени п-1 с неопределёнными коэффициентами Р1,.Рп, к многочлену ^п -1:

X Мк к= с-єк

Д£п-1 + а сп-2 +...+Рп

сп -1

Из равенства

X А С “і-2 = 2 Р1Р2 X сі С ”і-2 + Р^+ Р < - 2 +... + Р

і=1 і-2

следует, что Р1=Рз=.=Рп=0 и, значит,

^ - 3 ( =сп-2

w' 21 w' '

сп -1

2п Р1Р2 + 2пР1 Р2 + Р2

(Сп -1)2

сп -1

Производная Шварца для /(^) (продолженной по принципу симметрии Ри-мана - Шварца во внешность круга Е) имеет на бесконечности нуль не ниже четвертого порядка [2, с. 412] относительно ^п, и поэтому Р2 = -2пр1р2. Таким образом, уравнение для/£) приводится к виду [3, с.83]

w3 Г w" I2 = 2п2Р1Р2Сп-2

V 2 V ) (п - 1)2

Переходя к решению уравнения, отметим, что общее решение даётся формулой

,,К)=,

' с/ (д+а

где а,Ь,с,4 - постоянные, аЬ - Ьс Ф 0, а /£) - некоторое решение уравнения. Поэтому достаточно найти одно решение. Воспользуемся легко проверяемым равенством

ы'” 3 (ы" V , I—42 ( 1

= -2V ы -

w' 2 V w') і С,2

и приведем уравнение к следующему виду:

2 / і Л „2 „ „ гп-2

Положим здесь

1 1 = = /, т.е. /' (С) = -

' г2(С)'

Линейное однородное дифференциальное уравнение

і^ , п2 Р1Р2Сп

1 С2 (сп -1)2

-Ї = о

имеет два линейно независимых решения, пусть /1©, /2(С). Найдем их. Сделаем в уравнении подстановку 2=Сп. Получим

42/ / , ч 4/ пр р2

пг—- + (п -1)---------------1-/ = 0 .

й22 ^ V ( -1)2

Подстановкой / = (г - 1)Р1 м уравнение приводится виду

г(г -1)+ [ - Р2 +1 + т1 )] + Р ( - Р2 )м = 0 (*)

- частному случаю известного гипергеометрического уравнения Гаусса г(г -1)+ [(а + Р +1) - у] — + авм = 0, если в нем положить

а = т1 - Р2, Р = Р^ У = т1.

Решение уравнения Гаусса в форме степенного ряда, сходящегося в единичном круге при всех а, в, у, у>0, имеет вид

Е( о ) X (а)к (в)к ^ м = Е(а, p, у; г) = ^——-----у-,

к=0 (У)к к!

где (а)* = а(а + 1)...(а + к -1) - символ Похгаммера.

Для уравнения (*) одним из решений будет

м1 (г ) = Е (т1- Р2, Рl, т1;г).

Другое решение можно также получить в виде гипергеометрического ряда, умноженного на степенную функцию:

м2(г) = г1~т1 Е (р1,т2 - Р2,т2; г).

Решения м1(г), м2(г) линейно независимы.

Вернемся к уравнению для /(£). Подсчитаем производную отношения /2(С) к /1(0:

і ^2 _ 4^2 ^2^1 _

_ 2 _ , 2 1 ‘1

і С ‘1 ‘12 ‘1

‘1 ‘2 ‘1 ‘2

_ -2 ^ (^ ‘2).

По теореме Остроградского - Лиувилля определитель Вронского Ж(ґ1 ,‘2) равен постоянной, которую обозначим через С. Используя равенства

і £ _ С _ сі-. / (С)

і С ‘1 ‘1 і с

и возвращаясь от переменных г к £ и от ‘ к и, получаем функцию

_ 12 _^^(р1>(-Р2,^2;Сп)

‘1 с^ (Рl, (- Р2, т1; Сп),

дающую однолистное конформное отображение единичного круга.

Очевидно, /(0)=0. Условие /1)=ео=1 выполняется для

с Г(т2 )Г(т1 - Р1 )

Г(т1 )Г(т2 - Р1 ) ’

Таким образом, отображение круга Е на область Бп найдено и задача о кручении стержня решена.

Функцию /(0 можно выразить через определенные интегралы, воспользовавшись формулой [4, формула 7.211]

Е(а, р,у,;г) _-----1-|‘Р-1 (1 -‘)Т-М (1 -ґі)-а И,

1 ,Р,У,; ; В(р,y-p)J) 1 ; ; ,

1

где В (х, у )_| іх-1 (1 - і )у-1 Л

0

- эйлеров интеграл первого рода. Бета-функция В(ху) связана с гамма-функцией

Г (х)_ I в-‘х-1сИ

эйлеровым интегралом второго рода - соотношением

ж х,у) = ПхЩ.

Г( х + у)

После простых вычислений получаем

/ гР2 (1 - / )Р2-т1 (1 - / сп )Р2-т2 <и

I (0 = С ■?---------------------------------.

} /-Р2 (1 - /)Р2-т2 (1 - /Сп )Р2 т1

0

В частности, при а=0

1 - V 11 -1 -1

| / '2 (1 - / )-2+П (1 - /С п) 2 п Л

1 1/ 11 11 IГ12 (1 - ‘)-2-п (1 - ‘С п )2+~п Л

В заключение сделаем добавление, позволяющее сравнить решение указанной выше задачи с решением более простой задачи также о кручении стержня.

Пусть Д2п - прямолинейный многоугольник с п-кратной симметрией вращения относительно г=0. Будем считать, что п вершин многоугольника Д2п даются точ-

21 (к-1)

ками ек _ еп , к _ 1,...,п, а остальные вершины совпадают с точками

2п

єк _ ека, где а _ те11, 0 < г < 1, 0 < у < —. Область Д2п имеет вид простой звезды

п

с п треугольными зубцами. Пусть ап - угол Д2п в точке ек, вп - угол этой же области в точке ек. Так как для суммы углов при вершинах многоугольника Д2п справедлива формула п(ап+вп) = п(2п-2),то

Р = 2-а--.

п

Конформное отображение г=Д9,1(0)=0,1(1)=1, круга Е на Д2п дается формулой Кристоффеля - Шварца

1 ? 2 г = I (С) = -/(1 - С п )а-1 (п - С п )1-а-пп * С ,

С 0

в которой

с _ | (1 - сп )а-1 (ьп - сп )1-а-п і С =

0

Ь - прообраз вершины те1 многоугольника Д2п, т.е./-1(те1у) = Ь - некоторая точка на дуге окружности, лежащая между точками е1 и е2. Существуют способы её нахождения, использующие отображения полуплоскости на круговые треугольники В выполнении работы принимала участие студентка III курса ММФ Е.А. Паньковская.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд. АН СССР, 1954.

2. Александров И.А. Теория функций комплексного переменного. Томск: Том. ун-т, 2GG2.

3. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.

4. Рыжик И.М. и Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М. -Л.: ГИТТЛ, І95І.

Статья принята в печать Ю.Ю^Юг.

Alexandrov I.A. TORSION OF AN ELASTIC ROD WITH A MULTICIRCULAR CROSSSECTION. The problem of torsion of an elastic rod having a multicircular simple connected cross-section with rotational n-symmetry is solved by methods of elasticity theory and conformal mappings.

Keywords: twisting of a rod, conformal mapping, complex twisting function, circular polygon, Schwarz equation

ALEXANDROV Igor’ Aleksandrovich (Tomsk State University) E-mail: ma@math.tsu.ru