Конформное отображение на круговой многоугольник с двойной симметрией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 6(26)

УДК 517.54

И.А. Колесников

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ НА КРУГОВОЙ МНОГОУГОЛЬНИК С ДВОЙНОЙ СИММЕТРИЕЙ

Конформное отображение единичного круга E = { є C :| Е, |< 1} на круговой

2и-угольник, и є N \ {1}, с и-кратной симметрией вращения относительно

i п

точки w = 0 и симметрией относительно прямой I = {w є C :argw = —

( n

получено в интегральном виде.

Ключевые слова: конформное отображение, симметрия вращения, круговой многоугольник, производная Шварца.

Решается задача о построении конформного отображения единичного круга E = {| є C :| £,1< 1} на 2и-угольник, граница которого состоит из дуг окружностей, обладающий и-кратной симметрией вращения относительно точки w = 0,

и є N \ {1}, и симметрией относительно прямой I = {w є C: argw = —\. Такие об-

l n)

ласти будем называть круговыми многоугольниками с двойной симметрией.

Конформное отображение на круговой многоугольник с двойной симметрией находит приложения в задаче Сен-Венана о кручении стержня, в гидродинамике и задачах теплопроводности. Известны точные и приближенные решения задачи о кручении стержня для разнообразных сечений: в форме эллипса, различных многоугольников, областей, обладающих симметрией вращения и др. Заметим, что некоторые из рассматриваемых в этих задачах областей с симметрией вращения являются частными случаями кругового многоугольника с двойной симметрией.

Seth B.R. [1] решает задачу о кручении однородного стержня с поперечным сечением в форме правильного и-угольника с прямолинейной границей. Решение представлено медленно сходящимися рядами Тейлора. W.A. Bassali [2] решает задачу о кручении стержня для некоторых сечений, обладающих симметрией вращения и имеющих криволинейную границу, аппроксимируемую дугами окружностей. Формула Шварца - Кристоффеля записана K. Lee [3] для правильных и-угольников с прямолинейной границей и и-кратной симметрией вращения и применяется в задаче о кручении стержня. Задачу о кручении стержня, в сечении которого область с прямолинейной границей в форме правильного и-угольника, циклического и х да-угольника (многоугольник с и-кратной симметрией вращения и и х т числом вершин), решает Hassenpflug W.C. [4] с привлечением интеграла Шварца - Кристоффеля, интеграла Трефтца, алгебры сверток. И.А. Александров [5] решает задачу о кручении стержня с поперечным сечением в форме правильного кругового и-угольника с помощью конформного отображения, в этой же монографии В.В. Соболев предлагает новый численный метод решения задачи Сен-Венана о кручении стержня с произвольной односвязной областью сечения. Дифференциальное уравнение типа уравнения Левнера получено И.А. Александро-

вым, Г.Д. Садритдиновой [6] для отображения единичного круга на область с и-кратной симметрией вращения. Задачу Сен-Венана для стержней, в сечении которых правильный многоугольник со скругленными углами, решает C.Y. Wang [7] с помощью метода Ритца.

В настоящей работе конформное отображение единичного круга на круговой многоугольник с двойной симметрией строится с помощью функции Шварца и принципа симметрии Римана - Шварца.

Определение 1. Пусть функция w голоморфна в области G, G с C и имеет производную, не принимающую значение нуль. Производной Шварца функции w в области G называется функция

w^ = *77 - f i ^

w ’( z) 2 ^ w '( z).

Определение 2. Функцией Шварца [8, с. 105] называют функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению

{w, z} = 2I (ф, у, ц, z), (1)

1 2 1 2 1 2 2.2

1 -ф 1 -у 1 -ф -у +ц

где I (ф, у, ц, z) =-— +------ +

422 4(1 - 2)2 42(1 - 2)

Ф, у, ц є [-2,2].

Замечание 1. Пусть Ц, /2 - два линейно-независимых решения уравнения I "(2) +1(Ф, У, Ц, 2)/(2) = 0.

I (2)

Положим w( 2) = —-------, тогда имеем

12( 2)

(V, 2} = 21 (ф, у, ц, 2).

Замечание 2. Г.А. Шварц показал, что функция Шварца V отображает верхнюю полуплоскость на треугольник, ограниченный тремя дугами окружностей (некоторые из них могут вырождаться в отрезки прямой). Внутренние углы треугольника в точках, соответствующих точкам 2 = 0, 1, да, равны фп, уп, цп. Верно и обратное, если функция отображает верхнюю полуплоскость на круговой треугольник, то она является функцией Шварца и удовлетворяет дифференциальному уравнению (1).

Для конформного отображения единичного круга на круговой многоугольник с двойной симметрией получен следующий результат.

Теорема. Пусть функция м>(£) голоморфно и однолистно отображает единичный круг Е = є С :| £,1< 1} на круговой многоугольник Б с двойной сим-

метрией, n є N \ {1} , так, что w(1) = 1, w

Í П ^ г—

e n

= r e n , где 1, r e n - вершины

многоугольника D с углами 2фп, 2уп при них соответственно, ф, у 6 [0,1],

. п . п

sin—sin уп- cos фп- cos уп cos—

r =----n----------------------------Тогда функция w(£) имеет вид

. п . п

sin—sin фп - cos уп - cos фп cos— n n

Г \ Wo(Z) ,0ч

w( г) =-------—--------------------------------------------------, (2)

cw0 (г) + d

і1 і1 т+— . X—

11 n (1 -t) T 1 (г -1) n dt где Wo( г) = -----------

-T-1-1

I tT (1 -1) n (г -1)X dt

o

г = г© = 1(2(n _rn) x = -l + n(l-ф + у) x = 1 -n(1 -ф-у)

4V ’ 2n 2n

sin ТП-r sin |тп+—j 1) Г Г X +1 - 1ІГ(Т +1 + 1] sin fxn+ —

i- r п V <- ( <- r

r e n sinтп- r sinI ТП + — I r e n Г(т + 1)Г(Х +1)I e n sinТП- sinI ТП + — II

Г - гамма-функция.

Доказательство. Обозначим за Q(k 5) двуугольник

Q(k 5) = (| є С: kn < arg £ < sn}, 0 < k < 5 < 1.

Запишем отображение г = г(£) сектора круга E П Q( 1 л на верхнюю полуплос-

I о,-]

кость П+ = (г є С : Im г > 0} .

Отображение Z© = ln£ переводит сектор круга E П Qr 1 л на полуполосу

ÍQeC :ReZ<0;0 <ImZ <П}. Отображение z(Z) = sin2 — переводит полуполо-

nj 2

су {сєС :ReZ < 0;0< ImZ < ■—} на верхнюю полуплоскость П+. Композиция z(С(|)) = z(|) =1 (2-(n -|-n) отображает сектор EП1л на полуплоскость

V ’nJ

( i п)

П+ так, что z(0) = да, z(l) = 0, Лe n / = 1.

Найдем отображение w(z) верхней полуплоскости П+ на треугольник

п

D П ^ 1 л с углами фп, шп, —, n є N \ {1}, ф, ш Є [0,1] при вершинах А1 = 1,

I 0,-1 n

А2 = г е п , А3 = 0, такой, что стороны А1А3, А2А3 являются прямолинейными отрезками. Пусть отображение w(z) переводит точки г-плоскости 0, 1, да соответственно в вершины А1, А2, А3. Согласно замечанию 2, отображение w(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению

1 -Ф2 1 -у2 1 + n2 (1 -Ф2-у2 )

(w, г} = —^ ^-^. (3)

2г2 2(1 - г)2 2n2г(г -1)

п

г—

Согласно замечанию 1, решение уравнения (3) можно искать в виде , ч №

w(г) = —---, где/ь / - два линейно независимых решения уравнения

Л( г)

г 2-

; (п2 -1) + г (1 - п2 (1 -ф2 + ш2 )) + п2 (1 -ф2 )

/"(г) +^------------*-----А------^----------V------>_ / (г) = 0. (4)

4п2г2(г -1)2

^ п(1 -ф-ш) -1 _ п(1 -ф-ш) + 1

Введем обозначения а =-----------------, р =----------------, у = 1 - ф и в урав-

2п 2п

1-ф 1-у

нении (4) выполним замену / (г) = г 2 (1 - г) 2 g (г), получим гипергеометриче-ское уравнение [8, с. 69]

г(1 - г)g ”(г) + (у - (а + р +1)г) g'(г) -аPg(г) = 0.

Двумя линейно-независимыми решениями этого уравнения будут гипергео-метрические ряды

1

g1(z) = г р |^а,1 + а-у;1 + а-р;-

g2(z) = Р (р,1 + р-у;1 + Р-а;~г ,

которые сходятся при |г| < 1.

Таким образом, одним из решений уравнения (2) будет функция

1 р ( п(1 -ф-ш) + 1 п(1 + ф-ш) + 1 ;1 +Ц_

/ ч п ч 2п 2п

Wo(z) = г п

р, п(1 -ф-ш)-1 п(1 + ф-ш)-1 ;1 - 1,1У

2п 2п п г,

Выразим гипергеометрические ряды через определенные интегралы [8, с. 123],

получим

IГп (1 - Г)-т-1 (г - Г)х~п Л

1 т+1

Wo(г)=

0

у0У*'~ 1 1

-т-1----

1 + п(1 -ф + ш) 1 - п(1 -ф-ш)

где Т =-----------------, А =-------------.

2п 2п

В силу инвариантности производной Шварца относительно дробно-линейного

преобразования, отображение w верхней полуплоскости на треугольник

Б П ! Л имеет вид (2).

ч °,п J

Композиция w(z(^)) = w(4) отображает сектор круга Е П ! л на тре-

угольник Б П 1 л . Часть границы сектора Е П 1 л - отрезок

[ 0-I I 0-I

И1 = <!|єС : § = ре п ,0 <р< 1 > - отображение переводит в часть границы

треугольника Б П ! л- отрезок И* = А2 А3 = <! V є С : V = ре п ,0 <р<г >.

Продолжим отображение м>(Е) согласно принципу симметрии Римана - Шварца через отрезок И1 на сектор круга Е П ^ 1 2л. Продолженное отображение м>($

переводит конформно сектор круга Е П ^ 2 л на область Б П ^ 2 л. Оно являет-

V ’п) I ’п)

ся однолистным, так как области Е П О' і л иЕ П 1 2 л, а также Б П і л и

|0,-Ч |І,2І І0,і|

Б П 1 2л не пересекаются. Далее, возьмем сужение функции w(£) на сектор

Ч п п )

круга Е П 1 2 Л и продолжим его по симметрии через отрезок

Г & 1

И2 = ^єС:£ = ре п ,0 <р<1> на сектор ЕП2 3л, получим конформное од-

нолистное отображение м>(Е) сектора Е П 3 л на область Б П 3 л. Выполнив

эту процедуру п раз, получим отображение ^(£), переводящее половину единичного круга Е П П+ на область Б П П+ . Наконец, продолжив это отображение по симметрии через отрезок вещественной оси (|є С : Яе^є (-1,1), Іт | = 0}, получим искомое отображение единичного круга Е на круговой многоугольник Б с двойной симметрией. Теорема доказана.

Обратное отображение может быть записано как композиция V-1 о 2-, где

w— = V-1 (2, ф, у, ц), ц =1 - функция, обратная к функции Шварца. Шварц ука-

п

зал все значения фл, уп, цп, при которых функция w— алгебраическая [9], при некоторых из этих значений функция w— является рациональной.

Если в условиях теоремы положить ф = -1, у=1 --1, то отображение

2 2 п

будет конформно переводить единичный круг Е = (| є С :| £,1< 1} на правильный прямолинейный п-угольник и будет иметь вид

П

г~ 111 п „---

где 2(^) =

4

Є '* л- - -

w( 2) =-І Ґп 2(1 - Ґ) 2 (2 - Ґ) пЖ,

П 0

© = 4 (2-|п-Г ).

Заметим, что если в уравнении (3) выполнить подстановку z(u)=-i(-o-o

= {w, z},

2 +

где и = ^и, используя соотношение

{w, и} - {z, и}

(z '(и))2

то получим уравнение класса Фукса с четырьмя особыми точками

{w, и} = ((n2 -1) и4 + 4n2 (у2 - ф2 ) и3 + 2 (l + n2 (l - 4 (у2 + ф2 ))) и +4n2 (у2 -ф2 ) и + n2 -1)j2n2 и2 (и -1)2 .

Положим здесь у = 2, уравнение примет вид

и2 (n2 -l) + u(2-n2 - 4п2ф2) + n2 -1 {w, и} = —^^---------------------------------.

т 2 2 / ,\2

2n и (и-1)

Решение этого уравнения можем искать в виде отношения двух линейнонезависимых решений дифференциального уравнения второго порядка

и2 (n2 -l) + u(2 -n2 -4n2ф2) + n2 -1

f"(и) +^--------1---------------72--- ----/(°) = 0.

4n2и2 (и-1)2

Введем обозначения 1——-1 = a , 1—— = p, 1 -1 = y и выполним замену

2 n 2 n

1-_L 1

f (и) = g(u)u2 2n (1 - v)2 , имеем уравнение (являющееся гипергеометрическим

уравнением Гаусса), которое совпадает с уравнением, полученным ранее Г.М. Голузиным [10] при решении задачи об отображении единичного круга на внутренность правильного кругового n-угольника.

Автор выражает благодарность к.ф.-м.н. С.А. Копаневу за ценные консультации по работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Seth B.R. Torsion of beams whose cross-section is a regular polygon of n side // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1934. V. 3o. No. 2. P. 139-149.

2. Bassal W.A. The classical torsion problem for sections with curvilinear boundaries // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1960. V. 8. P. 87-99.

3. Lee K. Torsion of fibers of an n-sided regular polygonal cross-section // Textile Research Journal. 2007. V. 77. No. 2. P. 111-115.

4. Hassenpflug W.C. Torsion of uniform bars with polygon cross-section // Computers and Mathematics with Applications. 2003. V. 46. P. 313-392.

5. Александров И.А., Соболев В.В. Математические задачи теории упругости, задача Сен-Венана. LAP Lambert Academic Publishing, 2011. 100 c.

6. Александров И.А., Садритдинова Г.Д. Отображение с симметрией вращения // Известия высших учебных заведений. 1998. № 10(437). С. 3-6.

7. Wang C.Y. Optimization of torsion bars with rounded polygonal cross section // Journal of Engineering Mechanics. 2013. No. 139. P. 629-634.

8. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Т. 1. М.: Наука. Физматлит, 1965. 296 c.

9. Poole E.G.C. Introduction to the theory of linear differential equations. London: Oxford University Press, 1936. 202 c.

10. Голузин Г.М. Геометрическая теория функции комплексного переменного. М.: Наука. Физматлит, 1966. 628 с.

Статья поступила 05.10.2013 г.

Kolesnikov I. A. CONFORMAL MAPPING ONTO A CIRCULAR POLYGON WITH DOUBLE SIMMETRY. A conformal mapping of the unit disk E = { є C :| E, |< 1} onto a circular 2n-gon, n є N \ {1}, with n-fold symmetry of rotation relatively to the point w = 0 and with symmetry

relatively to the straight l = {w є C :arg w = Пj hasbeenobtained in the integral form.

Keywords: conformal mapping, symmetry of rotation, circular polygon, Schwarz derivative.

KOLESNIKOV Ivan Aleksandrovich (Tomsk State University)

E-mail: [email protected]