О классе линейных групп, родственных особой группе Gn2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика»

Том 1 (2007), № 1, С. 161-174

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 514.76

О классе линейных групп, родственных особой группе

Н. М. Кузуб ([email protected])

Иркутский государственный университет, Иркутск

Аннотация. Рассматривается матричная реализация простой некомпактной алгебры Ли типа д2 в изотропном базисе, делается обобщение этой конструкции. Перечисляются все возможные алгебры Ли, принадлежащие этому классу.

Ключевые слова: гиперкомплексные числа, октава, особая группа , алгебра Ли

дП.

Введение

В большинстве случаев О2-структуры рассматриваются на семимерных римановых многообразиях [1]. Значительно реже эти структуры рассматриваются на псевдоримановых многообразиях.

Дифференциальная геометрия семимерных многообразий и различных подмногообразий (кривых, поверхностей, гиперповерхностей и так далее) в пространствах со структурной группой О; (нормальная форма комплексной особой группы Ли О2) очень богата по сравнению даже с обычной октавной геометрией. Это связано с тем, что стандартное семимерное представление этой группы имеет более сложную структуру пространства орбит из-за наличия изотропных векторов и изотропных подпространств. Тем более это относится к линейным многообразиям различных размерностей.

В семимерном пространстве эта геометрия наиболее подходящая для исследования, так как в случае маленьких структурных групп касательные пространства многообразий и подмногообразий чрезмерно неизотропны. В то же время в случае большой структурной группы, например БЬ(7), имеется мало инвариантов. Но в семимерном пространстве исключительное значение имеют компактная форма и нормальная некомпактная форма группы Ли О2.

1. Алгебра Кэли-Диксона

Алгебру Кэли-Диксона [2], элементами которой являются гиперкомплексные числа (числа Кэли), можно представить в виде прямой суммы: К ■ 1 ф V, где V - ортогональное дополнение к единице. Тогда V = К7 является антикоммутативной алгеброй без единицы. При этом, в V существует базис {в\,... ,в7} со следующей таблицей умножения

[3]:

[в1,в2] = ез, [в1,вз] = -в2, [в1,в4]= -вб, [в1,в5]= в4, [в1,вб] = -в7, [в1,в7]= вб, [в2,вз]= в1, [в2,в4] = -вб, [в2, вб]= в7, [в2,вб]= в4, [в2,в7] = -вб, [вз,в4] = -в7, [вз, вб] = -вб, [вз,вб] = вб, [вз,в7] = в4, [в4, вб] = в1, [в4, вб] = в2, [в4, в7] = вз, [вб, вб] = вз, [вб, в7] = -в2, [вб,в7] = в1.

Умножение в этой алгебре индуцирует векторные и скалярные произведения в семимерном псевдооктавном векторном пространстве, то есть получаем псевдооктавную геометрию.

Группой ее автоморфизмов является группа Ли 0% размерности 14. Ей соответсвует алгебра Ли д

Рассмотрим группу автоморфизмов алгебры Кэли-Диксона 0%. Соответствующая ей алгебра Ли состоит из эндоморфизмов V, удовлетворяющих условию:

Р[вг,в^] = [Рвг,в^] + [вг, Рв]], г] = 1, 7.

Таким образом получаем алгебру Ли д^ со следующими соотношениями на элементы матрицы V:

= -¿]г, если г = 1, 3, ] = 1, 3 и г = 4, 7, ] =4, 7, = если г = 1, 3, ] = 4, 7 и г = 4, 7, ] = 1, 3,

¿12 = ¿бб + ¿47, ¿1б = ¿2б - ¿з4, ¿1з = ¿б7 - ¿4б, ¿17 = ¿зб + ¿24,

¿14 = ¿зб - ¿27, ¿2з = ¿б7 + ¿4б, ¿1б = -¿2б - ¿з7.

Следовательно, она определяется 28 двучленными и 7 трехчленными линейными соотношениями на элементы матрицы седьмого порядка.

Итак, V — семимерное векторное пространство с антикоммутативным умножением [х, у] таким, что группа автоморфизмов векторного произведения есть особая некомпактная группа Ли О% (нормальная форма комплексной особой группы Ли 02).

Иногда удобнее пользоваться другой матричной реализацией группы О %, в которой, в частности, более естественно представлены подалгебра Картана и корневые векторы.

Введем новый базис в пространстве V. Для этого сделаем следующую замену:

Ш1 = в1 + вб, Ш2 = в2 + вб, тз = вз + в7, Ш4 = в4,

Шб = в1 - вб, тб = в2 - вб, т7 = вз - в7.

Полученный базис {тг} будем называть изотропным, в том смысле, что ш2 = 0, при г = 4, то есть мы хотим иметь максимальное количество изотропных векторов в составе базиса. При этом, ш2 = -1, (ш1, Шб) = 2, (т2, Шб) = 2, (тз, Ш7) =2, а остальные скалярные произведения равны нулю.

Векторное произведение [,] в новом базисе {т1,...,т7} задается следующей таблицей умножения:

-2т4, -т2, -тз, -тб, -2т2,

[т1, т1] = 0, [т2, т2] = 0, [тз, тз] = 0, [т4, т4] = 0, [тб, тб] = 0, [тб, тб] = 0, [т7, т7] = 0.

Следовательно, получаем другую матричную реализацию алгебры д%, которую обозначим д2. Она состоит из матриц вида

[т1, т2] = 2т7, [т1, тз] = -2тб, [т1, т4] = -т1, [т1,тб]

[т1, тб] = 0, [т1, т7] = 0, [т2, тз] = 2тб, [т2, т4]

[т2, тб] = 0, [т2, тб] = -2т4, [т2, т7] = 0, [тз,т4]

[тз, тб] = 0, [тз, тб] = 0, [тз,т7] = -2т4, [т4, тб]

[т4, тб] = -тб, [т4, т7] = -т7, [тб, тб] = 2тз, [Ш5,Ш7]

[тб,т7] = 2т1.

V

¿11 ¿12 ¿1з ¿14 0 ¿74 - ¿б4

¿21 ¿22 ¿2з ¿24 -¿74 0 ¿б4

¿з1 ¿з2 ¿зз ¿з4 ¿б4 -¿б4 0

2d54 2dб4 2d74 0 2dl4 2d24 2dз4

0 -¿з4 ¿24 ¿б4 -¿11 -¿21 -¿з1

( ¿з4 0 -¿14 ¿б4 -¿12 -d22 -¿з2

-¿24 ¿14 0 ¿74 -¿1з -¿2з -¿зз

где ¿11 + ¿22 + ¿зз = 0.

Опишем структуру матриц такого типа.

Во-первых, элементы с!^, в случаях, когда г = 5, 7, а ] = 1, 3 или когда г = 1, 3, а ] = 5, 7, образуют произвольные кососимметричные матрицы К1 и К2.

Далее, пусть Л вектор с координатами (А1, Х2, Аз) в евклидовом трехмерном пространстве Vз. Тогда

( 0 -Аз Л2

adл = ( Лз 0 -Л1 V -Л2 Л1 0

Следовательно, матрицы К1 и К2 можно представить в форме adл и ас!ц, в пространстве Vз, Л, у € Vз. Их можно записать как К1 = adл и К2 = ^¿у, где Л = (¿14, ¿24, ¿з4), Ц = (¿б4, ¿б4, ¿74).

В этих обозначениях матрицу V можно также записать в блочном виде:

( В А -а(1.

V

'и

Т п о\Т

2»т 0 2А

У а'А и —ВТ

причем ТгВ = 0, а А, и — произвольные трехмерные векторы, представленные столбцами.

Теперь опишем закон умножения в алгебре Ли $2 в явном виде.

Теорема 1. Алгебра Ли $2 может быть представлена тройками (В, А, и) такими, что А, и € Уз, В € я1(3), причем закон умножения задается формулой:

[(В\, А\, иг), (В2, А2, »2)] = = ([Вг, В2] + 3(Аг ф иТ) — ЗА Ф иТ) — (Аг, и2> + (А2, иг), 2[и2, иг] + ВгА2 — В2Аг, 2[Аг, А2] — ВТ и2 + ВТ иг)-

Доказательство. Пространство V, разлагается в прямую сумму подпространств V = и ф Я ф и *, где и, и * — трехмерные подпространства, Я — одномерное. При этом подпространство и * является сопряженным к и. Поэтому элемент пространства V представляет собой тройку компонент (и, Ь, у), где и € и, Ь € Я, V € и*.

Матрица V действует на элементы пространства V следующим образом:

Т>и = ( Ви, 2(и, и), [А, и] ) ЪЬ = ( ЬА, 0, ь» ) , Ъу = ( —[и, V], 2(А, у), —ВТV )

где (, >, [, ] — обычные скалярное и векторное произведения в трехмерном евклидовом пространстве. Матрица V определяется тройкой (В, А, и).

В множестве троек (В, А, и) умножение индуцируется переносом матричного коммутирования. Коммутатор матриц Ъг и Ъ2 обозначим как Ъз = [Ъг, Он имеет такую же структуру, что и матрицы Ъг и Обозначим Вг, Аг, и% — компоненты матриц VI, г = 1, 3.

В результате действия коммутатора на элементы пространства V получим следующие соотношения:

Аз = 2[и2, иг] + ВгА2 — В2Аг, из = 2[Аг, А2] + ВТиг — В^и2,

(Лз, V) = (Л2, БТУ)-(Л1, ВТ V) + (^2, [Р1,у])-(»1, [Р2, V]), (Уз, и) = (^1, В2и) - (^2, В1и) + (Л1, [Л2, и]) - (Л2, [Л1, и]), Взи = [В1, В2]и + У, [Л1, и]] - [У1, [Л2, и]] +

+2(^2, и)Л1 - 2(уь и)Л2, ВТи = [ВТ, ВТ]v + [Л1, [У2, V]] - [Л2, [уЬ v]] +

+2(Л1, V)У2 - 2(Л2, v)уl, [Лз, и] = [Л1, В2и] - [Л2, Вги] + ВТ[Л1, и] - ВТ[Л2, и] +

+2(^2, и)у1 - 2(уь и)у2, ^ v] = [У2, ВТ^ - ^ В2 v] + v] - В2[Уъ v] + +2(Л1, v)Л2 - 2(Л2, v)Лl.

Из этой системы выражаем Лз, Уз, Вз. Так как в трехмерном пространстве выполняются классические соотношения

[[х, у], г] = (х, г) у - (у, г)х, (х ® уТ)г = х(у, г),

то получаем, что остальные равенства системы верны, если выполняется следующее условие: ВТ[х, и] + [х, Вг и] + [Вг х, и] = 0, где г = 1, 2.

В свою очередь, последнее соотношение является верным при условии, что ТгВг = 0. □

2. Обобщенная алгебра

Теперь выясним, насколько далеко можно обобщить результат предыдущего параграфа на многомерный случай.

Рассмотрим (2п+1)-мерное векторное пространство V, которое разлагается в прямую сумму подпространств V = и ф К ф и *, и, и * — два п-мерных пространства с невырожденной симметричной билинейной формой (,), так что и * можно считать пространством, сопряженным к и. Предполагается также, что в и, а потому и в и*, задан антикоммутативный закон умножения [, ], для которого выполняется тождество Якоби. К - одномерное пространство. Элемент пространства V представляет собой тройку элементов (и, Ь, V), где и € и, Ь € К, V € и*.

Предположим, что оператор V действует на элементы пространства V следующим образом:

Ри = ( Ви, Я(у, и), [Л, и] ) РЬ = ( ЬЛ, ЬС ■ ТгВ, Ьу ) , Vv =( — [у, V], К(Л, V), -ВТV )

где Q, К, С — некоторые вещественные константы, В — эндоморфизм линейного пространства и, Л, у — линейные функции на и.

Таким образом, оператор V можно записать в блочном виде:

В

А —а'и \

Я и1 С ■ ТгВ Я А

Т

\ а'А

и

ВТ

(2.1)

Множество таких матриц образует алгебру Ли тогда и только тогда, когда выполняются следующие соотношения:

Аз = 2[и2, иг] + ВгА2 — В2Аг + С Аг ТгВ2 — С А2 ТгВг,

и3 = 2[Аг, А2] + ВТиг — ВТи2 + С иг ТгВ2 — С и2 ТгВг, Я (Аз, V) = Я (А2, ВТу> — Я {Аг, ВТ у) + Я (и2, [иг,у]> — —Я (иг, [и2, V]) + ЯС (А2, у)ТгВг — —ЯС (Аг, и)ТтВ2, Я (из, и) = Я (иг, В2и) — Я (и2, Вги) + Я (Аг, [А2, и]> — —Я (А2, [Аг, и]) + ЯС (и2, и)ТгВг — —ЯС (иг, и)ТгВ2, = [Вг, В2]и + [и2, [Аг, и]] — [иг, [А2, и]] +

+Я (и2, и)Аг — Я (иг, и)А2, = [ВТ, ВТ¡V + [Аг, [и2, V]] — [А2, [иг, +

+Я (Аг, v>и2 — Я (А2, v>иг, = [Аг, В2и] — [А2, Вги] + ВТ [Аг, и] — ВТ [А2, и] +

+Я (иТ, и)иг — Я (иг, и)и2,

= [и2, ВТV] — [иг, ВТV] + Вг[и2, V] — В2[иг, v} + +Я (Аг, V)А2 — Я (А2, v>Аг, С ТгВз = (Я — Я) (А2, иг) + (Я — Я) (Аг, и2>,

Взи

ВТ V

[Аз, и] [»з, ^

(2.2)

для любых и € и, V € и*.

Лемма 1. Если пространство и одномерное, то возможны следующие случаи алгебр Ли матриц вида (2.1),

a) присоединенное представление алгебры $1(2) :

Ь А 0 и 0 А 0 и —Ь

b) трехмерная разрешимая алгебра

Ь А 0 0 СЬ 0 0 и —Ь

где С - константа.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда п=1.

Для данного случая умножение в алгебре Ли и нулевое: [х, у] = 0, а скалярное произведение (х, у) = еху, где е = ±1, х, у € и.

Тогда из системы уравнений (2.2) получим следующие соотношения:

Лз = 6^2 - Ь2Л1 + СЛЬ - СЛ2Ь1,

Уз = 62У1 - Ь1У2 + Су1^2 - Су2^1,

е К Лз = е К Л261 - е К Л162 + е КС Л2&1 - е КС Л162,

е Q уз = е Q уЬ - е Q у2Ь1 + е QC у2Ь1 - е QC у1Ь2,

Ьз = е Q У2Л1 - е Q У1Л2,

Ьз = е К Л1у2 - е К Л2у1,

СЬз = е (^ - К) Л2У1 + е (К - Q) Л1У2.

(2.3)

А) Предположим, что параметры К, Q ненулевые. Из системы уравнений (2.3) находим Лз, Уз, Ьз. В результате получим, что Q = К и СЬз = 0.

Предположим, что С = 0. Тогда получим уравнения:

Лз = Ь1Л2 - Ь2 Л1, Уз = Ь2У1 - Ь1У2, Ьз = еQ (У2Л1 - У1Л2), Q = К, С = 0.

Итак, если С = 0, Q = К = 0, то матрицы вида

Ь Л 0 \ Qу 0 QЛ I 0 у -Ь )

образуют алгебру Ли.

Заменой базиса можно привести коэффициент Q к единице. Следовательно, имеем алгебру Ли матриц:

Ь Л 0 \ у 0 Л I 0 у -Ь

— присоединенное представление алгебры $1(2). Если предположим, что С = 0, то Ьз = 0. Из системы уравнений (2.3) следует, что

Л1У2 - Л2У1 = 0,

то есть, эти векторы линейно зависимы. Это противоречит нашему предположению, что эти векторы произвольны.

В) Рассмотрим случай, когда Q = R = 0. Тогда рассмотренная в пункте А) система уравнений (2.3) примет следующий вид:

Аз = bi\2 - b2Xi + CAb - CX2b1, из = b2Ui - biu2 + Cuib2 - Cfobi, Ьз = 0, Q = 0, R = 0.

Таким образом получили, что матрицы вида

b А 0 0 Cb 0

0 и -b

где C = const, образуют алгебру Ли. □

Лемма 2. Если размерность пространства U не равна единице, а константа Q ненулевая, то U — полупростая алгебра Ли.

Доказательство. Рассмотрим систему уравнений (2.2). Из данной системы однозначно определяются Аз, из и матрица B3. В частности, учитывая равенства

(x ® yT)z = x(y, z), 2[[x, y], z]= Q ((x, z)y - (y, z)x),

где x,y,z € U, получаем, что

Вз = [Bi, B2] + Q ^3(Ai ® uT) - 3(А2 ® uT) - (Ai, U2) + (А2, Ui^j ,

и легко проверяется последнее соотношение этой системы. В итоге, из системы (2.2) выводим следующие соотношения:

[x, BTy]+ B[x, y] + [BTx, y]=0, 2[[x, y], z]= Q ((x, z)y - (y, z)x), 2([x, y], z) = (x, [y, z])-(y, [x, z]), (2.4)

Q = R = 0, C TrB = 0,

где x,y,z € Vn, B € B.

Рассмотрим "форму Киллинга": f3(x, y) = Tr(adx ady) на U. Так как [[x, y], z] = [z, [y, x\] = adz ady x, то воспользовавшись соотношением 2 системы уравнений (2.4), имеем

adz ady ei = [[ei, y], z] = Q ((ei, z)y - (y, z)ei).

Следовательно, если у = $^¿=1 У%е%, то

Тг(аб,г айу) = ® г)У% - п(у, г^ = ®

Таким образом, получили форму Киллинга:

в(х, у) = ^(1 - п)(х, у).

Данная форма пропорциональна скалярному произведению. Она невырождена при Q = 0 и п = 1. □

В дальнейшем будем предполагать, что п > 1.

Лемма 3. Множество В является либо алгеброй Ли д1(п), либо, если п = 3 или Q = 0, алгеброй Ли з1(п).

Доказательство. Согласно соотношению 5 системы (2.2),

Е3и = [Еь Е2]п + [^2, [А1, и]] - [¡ь [А2, и]] + Q (¡2, и)\1 - Q (¡1, и)\2.

Рассмотрим компоненту, порожденную векторами А1 и ¡¿2- Учитывая соотношение 2 системы уравнений (2.4), получаем, что

31 Q (¡2, и)А1 + [¡2, [А1, и]] = 2Q (¡2, и)А1 - 2Q (А1, ¡2)и.

Введем оператор 0(и) = |Q (¡2, и)А1 - 2Q (А1, ¡2)и. Рассмотрим действие данного оператора на базисных векторах пространства и, то есть

3 в 1 в

0(е%) = 2Q Цеа, е^)А'{ев - ^Q (А1 ев, ¡2еа)е%,

где А1 = Авев, ¡2 = ¡¿еа, и = е^, г пробегает значения от 1 до п; а, в = 1, п. Предположим, что базис является ортогональным и е"к = , где = ±1 к = 1, п. Вне диагонали этого оператора в столбце

3

под номером г ив строке под номером в стоят элементы ± ^ Q Ав ¡2,

нули в остальных случаях. Следовательно, оператор 0(и) принадлежит алгебре д1(п).

След матрицы оператора имеет вид:

1 п Тг 0 = 1 Q(3 - п)£ еаА?Ц.

Таким образом, Тг 0(и) = 0, если п = 3 или Q = 0.

Теперь очевидно, что оператор G(и) пробегает либо алгебру gl(n), либо sl(n).

Аналогичный результат получается для компоненты оператора B3, порожденной векторами X2 и ßi- Следовательно, Tr B3 = 0, если n = 3 или Q = 0.

Следовательно, либо B = gl(n), либо B = sl(n). □

Теорема 2. Пусть множество матриц вида (2.1), в котором векторы X, ß принадлежат пространству U, а матрица B принадлежит некоторому подмножеству B эндоморфизмов векторного пространства U, образуют некоторую алгебру Ли. Тогда

1) при n = 1 возможны следующие случаи алгебр Ли матриц вида

a) присоединенное представление алгебры sl(2) :

b X 0 \ ß 0 X I , 0 ß -b )

b) трехмерная разрешимая алгебра

b X 0 \

0 Cb 0 I , 0 ß -b)

где C — константа.

2) если алгебра Ли U некоммутативная, а n = 3, то имеем алгебру Ли матриц вида

f B X -adß \

eßT 0 e XT , у adX ß -BT

где e = ±2, B € sl(3). При этом умножение [, ] является векторным произведением евклидова или псевдоевклидова пространства, а умножение (,) - скалярным произведением в этих пространствах.

3) если алгебра U некоммутативная, то для любого n > 1 матрицы вида f \

( BX -adß \

00 0

\ adX ß -BT )

образуют алгебру Ли, при условии, 'что в алгебре Ли U выполняются следующие условия:

[[ж, y], z] = 0, [Bx, y] + [x, By] + BT[x, y] =0,

где x,y,z € U.

4) если алгебра U коммутативная, то для любого n > 1 алгебру Ли образуют только матрицы вида

B X 0 0 C ■ TrB 0 0 ц -BT

где B € gl(n), C = const.

Доказательство. Первый пункт теоремы следует из леммы 1.

Перейдем к доказательству второго пункта с учетом леммы 2 и леммы 3. Рассмотрим векторное произведение на U :

[ei> ej] = cijek' i,j,k = 1,n,

где {ei} — базис пространства U и e2 = ±1.

Первое соотношение системы (2.4) запишем в виде:

B[ei, ej] + [ei, BTej] + [BTei, ej] = 0. (2.5)

Оператор B связан с сопряженным оператором относительно скалярного произведения следующим тождеством:

(ei, Bej) = (BTe, ej). (2.6)

Элементы матрицы B обозначим через bj, а матрицы

BT

через fij.

Согласно соотношению (2.6), получим равенство bji£j = fij£i или fij = bji£i£j. Следовательно, выражение (2.5) эквивалентно соотношению

n n n

J2 ctjb1k + E c0xjbia£i£a + E clabju£aj = 0 (2.7)

k=i a=i a=i

при каждом q, i,j,q = 1,n.

Так как элементы матрицы B вне главной диагонали произвольны, то можно выбрать bpq = 1, остальные bj = 0, p = q, i,j = 1,n. Тогда соотношение (2.7) запишется следующим образом:

c<qj5YP + clqj6ip£i£q + clqjp£j£q = (2.8)

при каждом q. Из этого соотношения следует, что ckj = 0 при n > 4. Таким образом, всего возможны 3 случая:

1) п = 2, алгебра и некоммутативная,

2) п = 3, алгебра и некоммутативная,

3) ск = 0 для любого п.

1) Изучим случай, когда п = 2 и алгебра и некоммутативна. Выясним выполняется ли соотношение (2.5) в этом случае.

Для этого рассмотрим двумерную алгебру с таблицей умножения [^1, = с^е-х + С12в2. Матрица В € д1(2) или в1(2). Выберем матрицу

В = ( 0 0) • В соотношении (2.5) положим г = ] = 1. Непосредственно проверяя данное соотношение, получаем с\2 = 0. Далее, положим г = ] =2. В случае, если В = (0 1 ) , то = 0. Из этого следует

противоречие с предположением о некоммутативности алгебры и.

2) Следующий случай, когда п = 3 и алгебра некоммутативная. Предположим, что параметры Q, Я не равны нулю.

Согласно лемме 3 в этом случае ТтВз = 0. Из соотношения (2.8) следует, что ск = 0, если г = к или ^ = к или г = Матрицу В выберем следующим образом: Ьц = 1, Ь22 = -1, остальные Ь^ =0. В этом случае соотношение (2.7) является тождеством и таблица умножения следующая:

[е\, е2] = с32ез, [е\, ез] = с2зе2, [е2, ез] = с2зех.

Среди этих алгебр только две будут неизоморфными. В одном случае получаем базис евклидова пространства и

[е1, е2] = ез, [е1, ез] = -е2, [е2, ез] = е1.

Следовательно, Q = 2 и соотношение 2 системы (2.4) для базисных векторов имеет вид:

(х, г) у - (у, г)х = [[х, у], г], х,у,г € Vз.

Во втором случае получаем базис псевдоевклидова пространства

и

[е1, е2] = -ез, [е1, ез] = е2, [е2, ез] = е1.

Следовательно, Q = —2 и соотношение 2 системы (2.4) для базисных векторов имеет вид:

(у, г)х - (х, г)у = [[х, у], г], х,у,г € Vз.

Таким образом, получили, что при п = 3 след ТтВз = 0 и выполняются соотношения С ТтВ\ = 0, С ТтВ2 = 0. Из этого следует, что либо ТтВх = 0, ТтВ2 = 0, либо С = 0.

Если предположим, что В = д1(3) и выберем матрицы дифференцирования, согласно общему виду (2.1):

V

1=

(Е 0 0 \

0 3С 0

0 0 -Е

где Е — единичная матрица, и

( В2 \2 -айц2 \

^2

Q цТ СТтВ2 ЯХТ

Т

\ айХ2

Ц2

-ВТ )

то получим, что система уравнений (2.2) несовместна. Следовательно, ТтВ\ = 0, ТтВ2 = 0. Таким образом доказали, что В = з1(3). Итак, матрицы вида

( В Х -а4ц\

£ Ц1 0 £ Х

т

\ айх ц -ВТ /

где £ = ±2, В € в1(3), образуют полупростую алгебру Ли.

3) Последний случай, когда алгебра коммутативная, то есть [ег, е^] = 0, г,] = 1, п. Из системы уравнений (2.2) получим, что Q = Я = 0, С — произвольная константа и В — произвольная алгебра. Итак, матрицы вида

(В Х 0 \

0 С ТтВ 0

V0 Ц -Вт )

образуют алгебру Ли.

Осталось рассмотреть случай, когда параметры Q = Я = 0, п > 1 и алгебра и некоммутативная.

174 н. м. кузуб

Из системы уравнений (2.2) следует, что матрицы вида

/ Е А -айр\ 0 0 0

у айА Ц- -Ет у образуют алгебру Ли, если выполняются условия

[[х, у], г] = 0, [Ех, у] + [х, Еу] + Ет[х, у] = 0, СТгЕ = 0,

где х,у,г € и, Е € В. □

Список литературы

1. Fernandez M., Gray A. Riemannian manifolds with structure group G2 // Ann. di Math. Pura ed Appl. — 1982. — № 32. — P. 19-45.

2. Желваков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца близкие к ассоциативным. — М: Наука, 1978. — 431 с.

3. Постников М.М. Лекции по геометрии. Группы и алгебры Ли. — М: Наука, 1982. — 447 с.

N. M. Kouzoub

On the class of the linear groop related to a specific groop Gn

Abstract. The matrix model of simple noncompact Lie algebra of type g2 in isotropic basis is considered, a generalization of this constraction is introduced. All Lie algebras of this class are listed.