О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ ПО ТРУБАМ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Процессы и аппараты

УДК 532.542

Yurii G. Chesnokov

ABOUT THE KINETIC ENERGY OF TURBULENT PULSATIONS IN THE FLOW OF LIQUIDS THROUGH PIPES OF CIRCULAR CROSS SECTION

Saint Petersburg State Institute of Technology, St Petersburg, Russia

ygchesnokov@yandex.ru

In the paper, formulas were obtained for calculating a number of quantities characterizing the distribution of the kinetic energy of turbulent fluctuations over the pipe section depending on the Reynolds criterion. Those quantities include the maximum value of the kinetic energy, the average value, the value on the axis. The formulas were constructed using direct numerical simulation data obtained by various authors.

Key words: turbulent flows, turbulent boundary layer

DOI 10.36807/1998-9849-2022-61-87-62-66

Введение

К числу наиболее важных статистических характеристик турбулентного течения относится и кинетическая энергия турбулентных пульсаций. Такие величины, как коэффициент турбулентной вязкости, коэффициент турбулентной диффузии и т.п. определяются интенсивностью турбулентного перемешивания и, следовательно, зависят от этой величины. При проведении вычислений кинетическую энергию турбулентных пульсаций рассчитывают при помощи модельных уравнений, которые постулируются. Справедливость этих уравнений необходимо подтверждать экспериментально.

Измерить осредненное по времени значение кинетической энергии турбулентных пульсаций довольно сложно. Необходимо одновременно в течение некоторого промежутка времени измерять все три проекции пульсационной составляющей скорости жидкости, а затем проводить осреднение. Надежную информацию об этой величине можно получить на основании данных прямого численного моделирования. Этот метод развивается в течение последних трех десятилетий. Благодаря быстрому развитию вычислительной техники в настоящее время подобные трудоемкие расчеты могут производиться при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. В работе [1] при помощи данных прямого численного моделирования, полученных различными исследовательскими группами, изучалось влияние числа Рейнольдса на распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению плоского канала. Более важные для практики турбулентные течения в трубе кругового поперечного сечения и в турбулентном пограничном слое упоминались в [1] лишь вскользь, поскольку необходимые для обобщения данные моделирования при больших значениях числа Рейнольдса для этих течений к моменту публикации данной статьи отсутствовали. Целью данной работы является восполнение данного пробела. На основании данных, полученных в работах [2-6], строятся обобщающие

Чесноков Ю.Г.

О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТУРБУЛЕНТНЫХ ПУЛЬСАЦИЙ ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТЕЙ ПО ТРУБАМ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Санкт-Петербург Россия

ygchesnokov@yandex.ru

В работе получены формулы для расчета ряда величин, характеризующих распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению трубы, в зависимости от критерия Рейнольдса. К их числу относятся максимальное значение кинетической энергии, среднее значение, значение на оси. Формулы построены при помощи данных прямого численного моделирования, полученных различными авторами.

Ключевые слова: турбулентные течения, турбулентный пограничный слой

Дата поступления - 14 апреля 2022 года

формулы, которые позволяют характеризовать влияние числа Рейнольдса на распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций в трубе кругового поперечного сечения. Диапазон изменения числа Рейнольдса в этих работах - от 5300 до 285000.

Влияние числа Рейнольдса на кинетическую энергию турбулентных

пульсаций в окрестности стенки

Закономерности изменения статистических характеристик турбулентных течений являются сходными для различных типов турбулентных течений. В окрестности стенки зависимости статистических характеристик турбулентности представляют в безразмерной форме, используя так называемые переменные стенки. Обозначим через т напряжение трения на стенке, через р и ц плотность и вязкость жидкости соответственно. В качестве масштабов скорости и длины используют так называемые динамическую скорость ит и динамическую длину 1т, которые определяются по формулам:

ит = ТР , (рПт)

Если безразмерные переменные вводить, используя в качестве масштабов длины и скорости величины 1т, и ит, то соответствующие переменные называются переменными стенки и обозначаются при помощи надстрочного индекса «плюс». Обозначим среднеквадратичные значения осевой, радиальной и тангенциальной составляющих пульсационной скорости жидкости в переменных стенки через и+, к+ и ы+. Тогда кинетическая энергия турбулентных пульсаций в переменных стенки определяется по формуле:

к+ = -(и+2+У+2 + V/2 ) .

Введем в рассмотрение число Рейнольдса, определенное по динамической скорости и радиусу трубы R:

Re =

Из соображений размерности вытекает, что кинетическая энергия турбулентных пульсаций к+ может зависеть от двух безразмерных параметров - числа Рейнольдса Reт и безразмерного расстояния до стенкиу+. Обычно считают, что в окрестности стенки статистические характеристики турбулентности не должны зависеть от Rer. Однако, как видно из рис. 1, кривые зависимости кинетической энергии турбулентных пульсаций от расстояниядостенки трубырасполагаются по-разному,при различных значениях критерия Рейнольдса. Кинетическая энергия при увеличении расстояния до стенки монотонно увеличивается, принимает максимальное значение и монотонно уменьшается до некоторого значения на оси трубы. Точка, где достигается максимум, располагается в окрестности стенки - в так называемой буферной зоне. Рисунок показывает, что величина максимума с ростом числа Рейнольдса увеличивается.

Рис.1. Зависимость кинетической энергии турбулентных пульсаций от расстояния до стенки трубы в переменных стенки. Кривые построены по данным работы [6] при следующих значениях числа Рейнольдса Re : 5300 (1), 17000 (2), 44000(3), 130000(4), 280000(5). Чем больше численное значение числа Рейнольдса, тем выше располагается кривая.

Основной вклад в кинетическую энергию турбулентных пульсаций дают продольные пульсации скорости [1]. Существуют различные точки зрения на закономерности изменения продольных пульсаций скорости при изменении числа Рейнольдса. Максимальное значение величины и+2 в плоском канале, которое достигается при у+ ~ 15 (у+ - расстояние от стенки до рассматриваемой точки в переменных стенки), в соответствии с результатами работы [7], изменяется как 3.54 + 0.646 lnReт. По данным работы [8] в пограничном слое без градиента давления эта величина увеличивается по закону: 3.66 + 0.642 lnReт. Эти закономерности согласуются с так называемой моделью присоединенного вихря, обзор результатов которой можно найти в [9]. Формула такого типа предложена в [1] для расчета максимального значения кинетической энергии турбулентных пульсаций к* в зависимости от критерия Рейнольдса:

к" = 2.586 —

0.08614

¡пЯе — 4.0732

+ 1.032^е

(1)

Формула обобщает результаты прямого численного моделирования турбулентного течения в плоском канале,

полученные различными авторами. Появление второго слагаемого в правой части этого соотношения связано с резкими изменениями характеристик турбулентного течения в окрестности точки перехода от ламинарного к турбулентному режиму течения. Обычно считают, что в окрестности стенки тип течения играет малую роль. Тогда такого же рода формула должна быть справедлива и для течения в трубах и для течения в пограничном слое.

Другая точка зрения заключается в том [10-12], что при увеличении числа Рейнольдса максимальное значение величины и+2 должно стремиться к некоторому конечному пределу. Это связано с конечностью скорости диссипации энергии на стенке. Так, в [12] для указанной величины получено выражение: 11.3 - 17.7 Rer'1|Л .

Обозначим через ут+ координаты той точки, где кинетическая энергия турбулентных пульсаций принимает максимальное значение. Эта величина медленно увеличивается при увеличении числа Рейнольдса. Для плоского канала зависимость у/ от Reт неплохо описывается при помощи соотношения:

У+= 9.155 +

1.065

Ше„ -3.835

+ 1.14lnRe . (2)

Результаты, полученные на основе расчетов различных исследовательских групп, заметно различаются (рис. 2). Результаты работы [5] неплохо согласуются с формулой (2). В соответствии с [4, 6] получаются более низкие значения для у/. Всю совокупность имеющихся к настоящему времени данных сравнительно неплохо описывает формула:

Ут

= 14.51 + 0.06563 (Шет)

1.86

(3)

Рис.2. Зависимость расстояния от стенки трубы до той точки, где достигается максимальное значение кинетической энергии турбулентных пульсаций, от числа Рейнольдса Rez. Символы обозначают данные, полученные на основе результатов прямого численного моделирования. Ромб по данным [2], треугольник вершиной вверх по данным [3], треугольники вершиной вниз по данным [4], квадратики по данным [5], кружки по данным [6]. Штриховая линия построена по формуле (2), сплошная по формуле (3).

Имеющиеся в настоящее время данные не позволяют однозначно определить, как ведет себя рассматриваемая зависимость при больших значениях числа Рейнольдса. Если рассмотреть зависимость:

У+= 27.55 -

247.4

17.6 + Яе

0.25

(4)

то на рис. 2 получим ту же кривую, что и по формуле (3). Различия проявляются лишь при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса. Так, даже при Reт = 20000, формулы (3) и (4) дают близкие значения (19.18 и 19.16

соответственно).

Максимальное значение кинетической энергии турбулентных пульсаций кт+ при увеличении числа Рейнольдса Re увеличивается (рис. 3).

1 875

k+ = 0.9266 + --+ 0.539lnRe ,

kl= 8.537 -

lnReT 3.821lnRer

Re

0.288

(5)

(6)

ka — '

1.593

InRe - 2.76

-0.8991 + 0.1837InRe . (7)

Рис.3. Зависимость максимального значения кинетической энергии турбулентных пульсаций от числа Рейнольдса ReT. Символы те же, что и на рис.2. Штриховая линия построена по формуле (1), сплошная по формуле (6).

Результаты, полученные в [13], свидетельствуют о том, что неограниченный рост среднеквадратичных значений радиальной и тангенциальной составляющих пульсационной скорости не наблюдается. О том, как ведет себя при больших значениях числа Рейнольдса среднеквадратичное значение продольной составляющей пульсационной скорости жидкости, как отмечалось выше, существуют различные мнения. Формула (1), построенная для плоского канала, неплохо согласуется с результатами, полученными по данным работы [5]. Как себя ведет величина k + при неограниченном увеличении числа Рейнольдса по имеющимся данным прямого численного моделирования установить не представляется возможным. В рассматриваемой области значений числа Рейнольдса практически не различающиеся результаты дают формулы (5) и (6):

Рис.4. Зависимость кинетической энергии пульсационного движения на оси трубы от числа Рейнольдса Явт. Символы те же, что и на рис.2. Штриховая линия построена по формуле (7), сплошная по формуле (8).

работ довольно велико. Вывод о наличии минимума у зависимости ко+ от Reт по этим данным сделать нельзя. Обобщающая формула, которая неплохо описывает данные, полученные на основе результатов прямого численного моделирования, имеет следующий вид:

k+ = 0.8997 + 0.0846arcig[3.34(lnReT -7.84)]

(8)

Среднее по поперечному сечению трубы значение кинетической энергии турбулентных пульсаций может быть вычислено при помощи следующего соотношения:

kl = 2 J У +(1 - y +)dy+

Для плоского канала в [1] получена следующая формула:

0 2711

Г -——-+ 0.5193 + 0.1999Шех . (9)

ж Шег- 3.967 т

Как показывает рис. 5 эта формула дает заниженные значения к+ для труб кругового поперечного сечения.

Зависимость кинетической энергии турбулентных пульсаций от числа

Рейнольдса в ядре потока

В турбулентном ядре потока расхождения между результатами расчетов различных исследовательских групп становятся более заметными. В этой области те формулы, которые получены для плоского канала, применять для течений в трубе кругового сечения уже нельзя. Так, например, в работе [1] было показано, что зависимость кинетической энергии турбулентных пульсаций на оси канала ко+ от числа Рейнольдса не является монотонной и описывается при помощи соотношения:

Для труб кругового поперечного сечения эта формула не описывает имеющиеся результаты (рис. 4).

В области сравнительно малых значений числа Рейнольдса различие между данными разных

Рис.5. Зависимость средней по сечению трубы кинетической энергии турбулентных пульсаций от числа Рейнольдса Явт. Символы те же, что и на рис.2. Штриховая линия построена по формуле (9), сплошная по формуле (10).

Анализ данных, полученных при помощи прямого численного моделирования, показывает, что для описания зависимости к+ от Re можно использовать

ау т

формулу такого же типа, как и формула (8):

к+ = 5.332 + 0.7Ж6аг^ [1.07 (Шет- 7.307)] ■ (10)

Отношение расстояния от рассматриваемой точки до стеки у к радиусу трубы называется внешней переменной и обозначается У:

Y = У = - y

Re =

pUmd

Зависимость между lnRe и lnRer близка к линейной (рис. 6). В рассматриваемом диапазоне изменения чисел Рейнольдса эта зависимость описывается при помощи соотношений:

lnRe = 2.648 + 1.141lnReT , lnRe =-2.319 + 0.876/nRe

(11)

Коэффициенты в последнем соотношении несколько отличаются от тех, которые фигурируют в аналогичной формуле для плоского канала [14].

Рис.6. Зависимость логарифма числа Рейнольдса, вычисленного по средней пол сечению трубы скоростью, от логарифма числа Рейнорльдса, вычисленного по динамической скорости. Символы те же, что и на рис.2. Прямая построена по формуле (11).

Потери давления на трение в трубе принято характеризовать при помощи коэффициента трения Л, который определяется посредством соотношения:

Ар = я .

d 2

Здесь Др - потеря давления на трение на участке трубы длиной L. Нетрудно видеть, что справедлива следующая формула:

R Re

В ядре потока при фиксированном значении Y величина k+ зависит от Re .

т

Зависимость между динамической скоростью и средней по сечению

скоростью

Правые части полученных выше формул содержат критерий Рейнольдса ReT, рассчитанный по динамической скорости. При расчетах эта величина обычно заранее не известна. Заданной величиной является средняя по сечению скорость. По этой причине необходимо располагать соотношениями, которые связывали бы между собой указанные величины. В статье [14] такого рода формулы получены для плоского канала. Обозначим через Re число Рейнольдса, рассчитанное по средней по сечению скорости Um (отношение объемного расхода к площади поперечного сечения) и диаметру трубы d=2R:

Х = 32

Re ^

V

Re

У

Отсюда вытекает, что при наличии линейной зависимости между lnReт и lnRe зависимость Л от Re является степенной. Аппроксимация данных, полученных на основе результатов прямого численного моделирования, дает формулу, которая очень мало отличается от известной формулы Блазиуса:

0.32

0.2519

Re

Формулы для расчета потерь давления на трение в гидравлически гладких трубах, построенные на основе новых экспериментальных данных, рассмотрены в работе [15].

Заключение

Результаты данной работы показывают, что зависимость кинетической энергии турбулентных пульсаций от расстояния до стенки в переменных стенки не является универсальной. Построены формулы, обобщающие данные прямого численного моделирования турбулентных течений в трубе кругового поперечного сечения, которые позволяют рассчитать влияние числа Рейнольдса на максимальное значение кинетической энергии, среднее по сечению значение этой величины и ряд других важных параметров.

Литература

1. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на распределение кинетической энергии турбулентных пульсаций по сечению плоского канала // Журн. техн. физики. 2019. Т. 89. № 6. С. 844-849

2. Eggels J.G.M., Unger F., Weiss M.H., West-erweel J., Adrian R.J., Friedrich R., Nieuwstadt F.T.M. Fully developed pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment // J. Fluid Mech. 1994, V. 268, P. 175-209.

3. Fukagata K., Kasagi N. Highly energy-conservative finite difference method for cylindrical coordinate system // J. Comput. Phys. 2002. V. 181, P. 478-498.

4. Wu X., Moin P. A direct numerical simulation study on mean velocity in turbulent pipe flow // J. Fluid Mech. 2008. V. 608, P. 81-112.

5. El Khoury G.K., Schlatter P., Noorani A., Fischer P.F., Brethouwer G., Johansson A.V. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow at moderately high Reynolds numbers // Flow Turbul. Combust. 2013. V. 91. P. 475-495.

6. Pirozzoli S., Romero J., Fatica M., Ver-zicco R., Orlandi P. One-point statistics for turbulent pipe flow up to Rer~ 6000 // J. Fluid Mech. 2021. V. 926, A28.

7. Lee MMoser R.D. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re ~ 5200 // J. Fluid Mech. 2015. V. 774. P. 395-415.

8. Samie M., Marusic I., Hutchins N., Fu M.K., Fan Y., Hulmark M., Smits A.J. Fully resolved measurements of turbulent boundary layer flows up to Re ~ 20000 // J. Fluid Mech. 2018. V. 851. P. 391-415.

9. Marusic I., Monty J.P. Attached eddy model

of wall turbulence. // Annu. Rev. Fluid Mech. 2019. V. 51. P. 49-74.

10. Monkewitz P.A., Nagib H.M. Large Reynolds number asymptotics of the streamwise normal stress in zero pressure gradient turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 2015. V. 783. P. 474-503.

11. Chen X.j Sreenivasan K.R. Reynolds number scaling of the peak turbulence intensity in wall flows // J. Fluid Mech. 2021. V. 908. R3.

12. Monkewitz P.A. Asymptotics of streamwise Reynolds stress in wall turbulence // J. Fluid Mech. 2022. V. 931. A18.

13. Chesnokov Yu.G. Influence of the Reynolds number on the plane-channel turbulent flow of a fluid. Technical Physics. 2010. V. 55. P. 1741-1747.

14.. Чесноков Ю.Г. Зависимость от критерия Рейнольдса интегральных характеристик течения в плоском канале // Известия СПбГТИ(ТУ) 2016. №. 36. С. 104-107.

15. Чесноков Ю.Г. Новые формулы для расчета характеристик течения жидкости или газа в трубе кругового поперечного сечения // Инж.-физ. журн. 2017. Т. 90. С. 1005-1011.

References

1. Chesnokov Yu. G. Influence of the Reynolds number on distribution of turbulent pulsation kinetic energy over a channel's cross section. Technical Physics. 2019. V. 64. рр. 850-855.

2. Eggels J.G.M., Unger F., Weiss M.H., West-erweel J., Adrian R.J., Friedrich R., Nieuwstadt F.T.M. Fully developed pipe flow: a comparison between direct numerical simulation and experiment. J. Fluid Mech. 1994, V. 268, pp.175-209.

3. Fukagata K., Kasagi N. Highly energy-conservative finite difference method for cylindrical coordinate system. J. Comput. Phys. 2002. V. 181, pp. 478-498.

4. Wu X., Moin P. A direct numerical simulation study on mean velocity in turbulent pipe flow. J. Fluid Mech. 2008. V. 608, pp. 81-112.

5. El Khoury G.K.j Schlatter P., Noorani A., Fischer P.F., Brethouwer G., Johansson A.V. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow at moderately high Reynolds numbers. Flow Turbul. Combust. 2013. V. 91, pp. 475-495.

6. Pirozzoli S., Romero J., Fatica M., Ver-zicco R., Orlandi P. One-point statistics for turbulent pipe flow up to Rer~ 6000. J. Fluid Mech. 2021. V. 926, A28.

7. Lee MMoser R.D. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re ~ 5200. J. Fluid Mech. 2015. V. 774, pp. 395-415.

8. Samie M., Marusic I., Hutchins N., Fu M.K., Fan Y., Hulmark M., Smits A.J. Fully resolved measurements of turbulent boundary layer flows up to Re ~ 20000. J. Fluid Mech. 2018. V. 851, pp. 391-415.

9. Marusic I., Monty J.P. Attached eddy model of wall turbulence. Annu. Rev. Fluid Mech. 2019. V. 51. pp. 49-74.

10. Monkewitz P. A., Nagib H.M. Large Reynolds number asymptotics of the streamwise normal stress in zero pressure gradient turbulent boundary layers. J. Fluid Mech. 2015. V. 783. pp. 474-503.

11. Chen X., Sreenivasan K.R. Reynolds number scaling of the peak turbulence intensity in wall flows. J. Fluid Mech. 2021. V. 908. R3.

12. Monkewitz P.A. Asymptotics of streamwise Reynolds stress in wall turbulence. J. Fluid Mech. 2022. V. 931. A18.

13. Chesnokov Yu.G. Influence of the Reynolds number on the plane-channel turbulent flow of a fluid. Technical Physics. 2010. V. 55. pp. 1741-1747.

14. Chesnokov Yu.G. Zavisimost' ot kriteriya Rej-nol'dsa integral'nyh harakteristik techeniya v ploskom kanale. // Izvestiya SPbGTI(TU). 2016. № 36. S. 104-107.

15. Chesnokov Yu.G. New formulas for calculating the fluid flow characteristics in a circular pipe. Journ of Eng. Phys. and Termophys. 2017. V. 90. pp. 958-964.

Сведения об авторе

Чесноков Юрий Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, доцент каф. процессов и аппаратов СПбГТИ(ТУ); Yurii G. Chesnokov, Dr Sci. (Phys-Math.), Associate Professor, Department of Chemical Engineering, Saint Petersburg State Institute of Technology ygchesnokov@yandex.ru