ТЕПЛООТДАЧА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ПРИ PR = 0,71 ПО ДАННЫМ ПРЯМОГО ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Процессы и аппараты

УДК

Yurii G. Chesnokov1

HEAT TRANSFER IN A FLAT CHANNEL AT Pr = 0.71 ACCORDING TO DIRECT NUMERICAL SIMULATION

1St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia. ygchesnokov@yandex.ru

In the article dependences from Reynolds criterion at Pr = 0.71 of Nusselt number and other integral characteristics of heat transfer in flat channel are obtained. The formulas are built using the data of direct numerical simulation obtained by diverse authors.

Key words: turbulent flows, heat transfer, Nusselt number.

Введение

Изучение процесса теплообмена между твердой поверхностью и турбулентным потоком жидкости или газа имеет большое практическое значение. Такое изучение не может быть чисто теоретическим, поскольку до настоящего времени теория турбулентных течений не создана. Оно всегда должно опираться на экспериментальные данные. Измерения распределения температуры по сечению турбулентных потоков при значениях числа Прандтля порядка единицы или при больших значениях этого параметра является весьма сложным. Это связано с тем обстоятельством, что температура потока резко изменяется в окрестности стенки и медленно меняется в ядре потока. Надежные данные о распределении температуры и о других статистических характеристиках процесса теплообмена можно получить при помощи метода прямого численного моделирования. Такие расчеты производятся на протяжении последних трех десятилетий [1-7], причем благодаря быстрому развитию вычислительной техники в последние годы [5-7] удалось получить результаты при сравнительно больших значениях числа Рей-нольдса. Данные прямого численного моделирования процесса теплообмена в плоском канале, которые были получены в статьях [1-4], использовались в работах [8, 9] для изучения отклонений от закона дефекта температуры и закона стенки для температуры соответственно. В работе [10] результаты прямого численного моделирования процесса теплоотдачи в плоском канале при числах Прандтля Рг = 0,71 и Рг = 0,025 применялись для изучения распределения по сечению канала турбулентного числа Прандтля. Полученное в этой работе соотношение для расчета турбулентного числа Прандтля позволяет корректно рассчитывать

36.24

Чесноков Юрий Георгиевич1

ТЕПЛООТДАЧА В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ПРИ Pr = 0,71 ПО ДАННЫМ ПРЯМОГО ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26, Санкт-Петербург, Россия ygchesnokov@yandex.ru

В работе получены зависимости числа Нуссельта и ряда других интегральных характеристик теплообмена в плоском канале от величины/ критерия Рейнольдса при Рг = 0.71. Формулы/ построены/ при помощи данных прямого численного моделирования, полученны/х различны/ми авторами.

Ключевые слова: турбулентные течения, теплообмен, число Нуссельта.

Дата поступления -18 октября 2019 года

поле температуры. Автор работы [11] на основе анализа данных прямого численного моделирования выделил шесть различных режимов процесса теплоотдачи в плоском канале.

Целью данной работы является построение расчетных зависимостей ряда характеристик процесса теплообмена в плоском канале при Рг = 0,71 от числа Рейнольдса при помощи данных прямого численного моделирования. В частности, сопоставляются различные подходы к расчету числа Нуссельта. Используются данные работ [1-4, 6, 7], в которых рассматривался процесс теплообмена при заданном тепловом потоке через стенку.

Введем следующие обозначения. Через ц обозначим постоянное значение удельного потока теплоты на стенке канала, через £ осредненное значение температуры в данной точке потока, а через -осредненное значение температуры на стенке канала. Тогда величина которая определяется при помощи равенства:

дх

будет зависеть только от расстояния до стенки. Здесь х - продольная координата. В окрестности стенки для распределения скорости и распределения температуры справедлив так называемый закон стенки. Согласно закону стенки для скорости, зависимость скорости от расстояния до поверхности в безразмерных переменных, где в качестве масштабов скорости и длины выбраны так называемые динамические скорость и длина, имеет универсальный характер. Вид этой зависимости одинаков для различных значений критерия Рейнольдса. Динамическая скорость щ и динамическая длина определяются при помощи равенств:

^т/р и (т = v/uт. Здесь г - напряжение трения на стенке, р и V - плотность и кинематическая вязкость жидкости (газа) соответственно. Если в качестве масштабов длины и скорости выбрать динамическую длину и динамическую скорость и перейти к безразмерным переменным, соответствующие безразмерные переменные принято называть переменными стенки и обозначать при помощи надстрочного индекса «+». Согласно закону стенки:

и+=Ш+)-

Здесь - скорость потока, - расстояние до стенки, /„ - некоторая универсальная функция. Если в качестве масштаба температуры выбрать так называемую динамическую температуру , которая определяется по формуле:

рсрщ

где - теплоемкость при постоянном давлении, то вид зависимости безразмерной температуры от безразмерного расстояния до стенки и числа Прандтля одинаков для различных значений критерия Рейнольд-са:

* + =/£(У+.Р г ).

Здесь - некоторая универсальная функция, Рг = ср¿¿/X, ^ и X - вязкость и теплопроводность соответственно. В этом заключается закон стенки для температуры. Отклонения от закона стенки для скорости и температуры изучались в работах [8, 12]. В так называемом логарифмическом пограничном слое зависимости безразмерной скорости и безразмерной температуре от безразмерного расстояния до стенки являются логарифмическими:

и+ =-1пу+ +В , к

* + =-1пу + +Вт.

Здесь к и кт - константа Кармана и константа Кармана для температуры, которые несколько различаются, - постоянная, а величина зависит от критерия Прандтля. Обычно считают, что эти логарифмические зависимости выполняются в той области, где

и / . Здесь - полуширина канала. В работе [7] указывается, что логарифмический закон для температуры выполняется только при условии Рг > 0 . 3. Как известно [13, 14], такого рода зависимости можно использовать при построении расчетных формул для критерия Нуссельта.

Расчет критерия Нуссельта

При инженерных расчетах теплоотдачи в трубах и каналах некругового поперечного сечения в качестве определяющего линейного размера используют так называемый эквивалентный диаметр. Для плоского канала эта величина равна . Поэтому критерий Нус-сельта определяется по формуле:

Ыи = —.

Л

Здесь - коэффициент теплоотдачи. При расчете коэффициента теплоотдачи в качестве движущей силы процесса теплоотдачи принимается разность между температурой стенки и среднемассовым значением температуры. В безразмерных переменных эта величина вычисляется по формуле:

*+=_!_ Г" +и+*+йу

Здесь - средняя по сечению канала (безразмерная) скорость, которая вычисляется по формуле:

Величины и нетрудно вычислить по данным прямого численного моделирования. Обозначим через / - число Рейнольдса, вычисленное по динамической скорости и полуширине канала. Иногда эту величину называют числом Кармана. Тогда число Нуссельта можно найти по формуле:

„. 4Д етРг

Результаты расчетов, полученные по данным авторов работ [1-7] изображены на рис. 1 при помощи различных символов. Здесь через обозначено число Рейнольдса, определенное по средней по сечению канала скорости и эквивалентному диаметру. Эта величина рассчитывается по формуле: й е = 4Й ет

Ши

Рис.1. Зависимость 1пЫи от 1пйе. Прямая построена по формуле (1). Символы обозначают результаты прямого численного моделирования, а именно: черные кружки построены по результатам работы [6], черные квадраты - [2-4], черный ромб - [1], черные треугольники вершиной вверх - [5].

В работе [5] расчеты производились не при заданном удельном тепловом потоке через стенку, а для другого типа граничных условий. Однако, как видно из рис. 1, результаты расчетов укладываются на ту же зависимость. Обычно для расчетов критерия Нус-сельта используют формулы в виде степенного одночлена. Например, в [15] для развитого турбулентного режима рекомендуется формула:

Ыи = 0 . 0 2 1Й е08Рг0 4 3.

Здесь в правой части опущен множитель, учитывающий переменность физических характеристик, поскольку расчеты в упомянутых выше работах производились при постоянных значениях этих величин. Эта формула справедлива для труб кругового поперечного сечения. Обычно считают, что формулы для расчета числа Нуссельта пригодны и для труб с другой формой поперечного сечения, если в качестве определяющего линейного размера использовать эквивалентный диаметр. Рис. 1 показывает, что данные прямого численного моделирования можно описать при помощи формулы такого типа, однако коэффициенты следует несколько изменить, а именно:

. (1)

Формула описывает данные расчетов, которые выполнялись для значений числа Рейнольдса из интервала от 9000 до 382000.

Как показано в работе [8], распространение подобной формулы на другие значения критерия Прандтля наталкивается на определенные сложности. А именно, показатель степени при критерии Прандтля оказывается зависящим от критерия Рейнольдса. Дру-

гой подход к построению расчетных формул для коэффициента теплоотдачи предложен Кадером и Ягло-мом [13, 14]. При больших значениях чисел Рейнольд-са и Пекле зависимости скорости и температуры от расстояния до стенки близки к логарифмическим. Интегрирование по сечению канала позволяет определить зависимость от . Эта зависимость также является логарифмической. Подстановка этого выражения в формулу для критерия Нуссельта, дает зависимость критерия Нуссельта от й ет. В работе [14] для труб кругового сечения предложена формула: ^ = 2 . 1 2 Ы? ет + 2 . 1 2 (пРг + 1 2 . 5Рг 2 /3 - 1 0 (2)

Вэй [11] на основе данных прямого численного моделирования теплоотдачи в плоском канале при получил соотношение: ^ = 2 . 1 2 Ы? ет + 0 . 7 1 (пРг + 1 2 . 5Рг 1/2 - 8. (3)

Рис. 2 показывает, что данные прямого численного моделирования при Рг = 0 . 7 1 хорошо описываются при помощи формулы:

¡7гДет-4.915

:+2.097inR ет + 2 . 8 1.

(4)

Рис. 2. Зависимость от шет. Сплошная линия построена по формуле (4), штриховая линия по формуле (3). Обозначения см. на подписи к рис.1.

Как видно из рисунка 2, расчеты, выполненные в работе [5] для другого типа граничных условий, заметно отличаются от других данных. Поэтому при построении расчетной формулы они не учитывались. Расчет по формуле (2) дает заниженные результаты. Первое слагаемое в правой части (4) появляется по той причине, что при сравнительно малых значениях R ет зависимость от R ет несколько отличается от логарифмической. Если малые значения R ет исключить, получается логарифмическая зависимость: = 2.062 inR ет + 3.062.

В итоге, для расчета критерия Нуссельта получаем следующую формулу:

„. 2.84Дет

Vu = -;-1-.

О . О 2 8 1 1/( I пД ет - 4 .9 1 5 )+2 . О 9 7 I пД ет+2 .8 1

При расчетах заданной величиной обычно является не R ет, а R е. В работе [16] было показано, что зависимость R ет от R е близка к линейной во всем диапазоне значений числа R е. Недавно были опубликованы данные прямого численного моделирования течения в плоском канале при существенно больших значениях R е [17]. Диапазон значений числа Рейнольдса в этой работе расширен до 800000. Однако пересмотр формулы, полученной в [16], с учетом данных работы [17], приводит лишь к изменению третьей значащей цифры коэффициентов в правой части:

inR ет = 0.8865inR е - 3 . 0 9.

Более удобным является использование явной формулы для расчета критерия Vu. Перепишем выражение для критерия Vu так:

„. RePr

Vu = —т—_т.

Формула для расчета в зависимости от R е получена в [16]. С учетом данных работы [17] можно несколько изменить численные значения коэффициентов в данном соотношении. В результате получим:

+ = 1091--6.492 + 2 . 3 1 5inR е.

0 ЬгДе-7.601

Если ограничиться значениями R ет > 2 0 0 (Rе > 12800), можно использовать более простое соотношение:

U+ = - 5.2 2 7 + 2 .2 3 1 Ые.

При помощи данных прямого численного моделирования получим формулу для расчета в зависимости от R е:

0.0628

^ = -- З-785 + 1-866Ы?е

ъ InRe - 8.953

Для сравнительно больших значений числа Рейнольдса можно использовать более простую формулу:

*+ = - 3 . 2 1 + 1 . 8 1 7 inR е.

В результате, формула для расчета критерия Нуссельта будет иметь вид:

„. 0.71Де

Vu =-.

( )( )

Здесь формула записана для случая сравнительно больших значений числа Рейнольдса. v

Средняя по сечению канала температура

В некоторых случаях, при расчете коэффициента теплоотдачи в качестве движущей силы процесса теплообмена используют разность температуры стенки и средней по сечению канала температуры. Эта последняя величина определяется так:

a+^jf*

Средняя по сечению температура меньше среднемассовой температуры и зависит от величины числа Рейнольдса. Рис. 3 показывает, что эта зависимость близка к логарифмической и описывается при помощи соотношения:

= -4.958 + 1.93 7inR е. (5)

И здесь, как и на предыдущем рисунке, данные работы [5], полученные для другого типа граничных условий, отличаются от данных других работ.

Рис. 3. Зависимость i9+ от I n R е. Прямая построена по формуле (5). Обозначения см. на подписи к рис.1.

Поскольку обе средних температуры, средне-массовая и средняя по сечению, по логарифмическому закону изменяются при изменении числа Рейнольдса,

между ними должно существовать линейное соотношение. Действительно, рис. 4 показывает, что эта зависимость хорошо описывается при помощи формулы: *+ = - 1.405 + 1.059*£. (6)

Здесь все результаты расчетов укладываются на одну зависимость.

Рис. 4. Зависимость *+ от * Прямая построена по формуле (6). Обозначения см. на подписи к рис.1.

Заключение

В работе показано, что при Рг = 0 . 7 1 зависимости среднемассовой температуры и средней по сечению температуры от числа Рейнольдса являются логарифмическими. Получены формулы для расчета критерия Нуссельта. Зависимости для среднемассовой и средней по сечению температур справедливы только для фиксированного удельного теплового потока через стенку. Зависимость критерия Нуссельта от критерия Рейнольдса одинакова для различных граничных условий.

Литература

1. Kasagi N, Tomita Y, Kuroda A. Direct numerical simulation of passive scalar field in turbulent channel flow. // ASME J. Heat Transf., 1992, V.114, P.598.

2. Kawamura H, Oshtaka K, Abe H, Yamamoto K. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid. // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1998. V.19. P.482.

3. Kawamura H, Abe H, Matsuo Y. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects. // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1999. V.20. P.196.

4. Abe H, Kawamura H, Matsuo Y. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to

ReT = 1020 with Pr = 0.025 and 0.71. // Int.

J. Heat and Fluid Flow. 2004. V.25. P.404.

5. Pirozzoii S, Bernardini M, Orlandi P. Passive scalars in turbulent channel flow at high Reynolds number. // J. Fluid Mech. 2016. V. 788. P.614.

6. Lluesma-Rodrigez F, Hoyas S, Perez-QuHes M.J. Influence of computational domain on dns of turbulent heat transfer up to R eT = 2000 for Рг = 0 . 7 1. // Int. J. Heat Mass Transf. 2018. V.122. P.983.

7. Alcantara-Avila F, Hoyas S, Perez-QuHes M.J. DNS of thermal channel flow up to R eT = 2000 for medium to low Prandtl numbers. // Int. J. Heat Mass Transf. 2018. V.127. P.349.

8. Чесноков Ю.Г. Отклонения от закона дефекта температуры. // ЖПХ. 2013. Т.86. №2. C.239.

9. Чесноков Ю. Г О законе стенки для температуры. // Теоретические основы химической технологии. 2017. Т. 51. №. 2. С. 230.

10. Abe H, Antonia R.A. Mean temperature calculation in turbulent channel flow for air and mercury. // Int. J. Heat Mass Transf. 2019. V.132. P.1152.

11. Wei T Heat transfer regimes in fully developed plane-channel flows. // Int. J. Heat Mass Transf. 2019. V.131. P.140.

12. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на закономерности турбулентного течения жидкости в плоском канале// Журнал технической физики. 2010. Т.80. №12. С.33.

13. Кадер Б.А., Яглом А.М. Универсальный закон турбулентного тепло- и массопереноса от стенки при больших числах Рейнольдса и Пекле. // Докл. АН СССР. 1970. Т.190. №1. С.65.

14. Kader B.A., Yaglom A.M. Heat and mass transfer laws for fully turbulent wall flows. // Int. J. Heat Mass Transf. 1972. V.15. P.2329.

15. Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. Л.: Химия, 1987. 576 с.

16. Чесноков Ю.Г. Зависимость от критерия Рейнольдса интегральных характеристик течения в плоском канале. // Известия Санкт-Петербургского государственного технологического института (технического университета). 2016. №. 36. С. 104.

17. Yamamoto Y, Tsuji Y. Numerical evidence of logarithmic regions in channel flow at . // Phys. Rev. Fluids. 2018. V.3. 012602(R).

References

1. Kasagi N, Tomita Y, Kuroda A. Direct numerical simulation of passive scalar field in turbulent channel flow. // ASME J. Heat Transf., 1992, V.114, P.598.

2. Kawamura H, Oshaka K, Abe H, Yamamoto K. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid. // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1998. V.19. P.482.

3. Kawamura H, Abe H, Matsuo Y. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects. // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1999. V.20. P.196.

4. Abe H, Kawamura H, Matsuo Y. Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to ReT = 1020 with Pr = 0.025 and 0.71. // Int. J. Heat

and Fluid Flow. 2004. V.25. P.404.

5. Pirozzoii S, Bernardini M, Orlandi P. Passive scalars in turbulent channel flow at high Reynolds number. // J. Fluid Mech. 2016. V. 788. P.614.

6. Lluesma-Rodrigez F, Hoyas S, Perez-QuHes M.J. Influence of computational domain on dns of turbulent heat transfer up to for . // Int. J. Heat Mass Transf. 2018. V.122. P.983.

7. Alcantara-Avla F, Hoyas S, Perez-QuHes M.J. DNS of thermal channel flow up to R eT = 2000 for medium to low Prandtl numbers. // Int. J. Heat Mass Transf. 2018. V.127. P.349.

8. Chesnokov Yu.G. Deviation from temperature-defect law //Russian Journal of Applied Chemistry. 2013. V. 86. N 2. P. 220-224.

9. Chesnokov Yu.G. On the wall law for temperature //Theoretical Foundation of Chemical Engineering 2017. V. 51. N 2. P. 247-251.

10. Abe H, Antonia R.A. Mean temperature calculation in turbulent channel flow for air and mercury. // Int. J. Heat Mass Transf. 2019. V.132. P.1152.

11. Wei T Heat transfer regimes in fully developed plane-channel flows. // Int. J. Heat Mass Transf. 2019. V.131. P.140.

12. Chesnokov Yu.G. Influence of the Reynolds number in the plane-channel turbulent flow of a fluid // Technical Physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2010. V. 55. N. 12. P. 1741-1747.

13. Kader B.A., YAglom A.M. Universal'nyj zakon turbulentnogo teplo- i massoperenosa ot stenki pri bol'shih

chislah Rejnol'dsa i Pekle. // Dokl. AN SSSR. 1970. T.190. №1. S.65.

14. Kader B.A., Yaglom A.M. Heat and mass transfer laws for fully turbulent wall flows. // Int. J. Heat Mass Transf. 1972. V.15. P.2329.

15. Pavlov K.F., Romankov P.G., Noskov A.A. Primery i zadachi po kursu processov i apparatov himich-eskoj tekhnologii. L.: Himiya, 1987. 576 s.

16. CHesnokov YU.G. Zavisimost' ot kriteriya Re-jnol'dsa integral'nyh harakteristik techeniya v ploskom kanale. // Izvestiya Sankt-Peterburgskogo gosudarstven-nogo tekhnologicheskogo instituta (tekhnicheskogo uni-versiteta). 2016. №. 36. S. 104.