CC BY
9УДК 536.524 Yurii G. Chesnokov
Чесноков Ю.Г.
HEAT EXCHANGE IN A PLANE CHANNEL IN A TURBULENT FLOW REGIME IN THE CASE OF SMALL VALUES OF PRANDTL NUMBER ACCORDING TO DATA OF DIRECT NUMERICAL SIMULATION
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia ygchesnokov@yandex.ru
Using the results obtained by the method of direct numerical simulation of the heat transfer process in a flat channel by various authors, it is shown that at small values of Prandtl number quite a few characteristics of the heat transfer process in a flat channel depend not on Reynolds and Prandtl numbers separately, but on Peclet number. Peclet number is calculated from the so-called dynamic speed.
Key words: heat exchange, turbulent flows, Nusselt number, Prandtl number, Peclet number.
DOI: 10.36807/1998-9849-2021-56-82-57-60
Введение
При расчетах теплообменных процессов, протекающих в трубах и каналах, основной интерес представляет число Нуссельта. Расчетные формулы для нахождения числа Нуссельта имеют вид критериальных уравнений. Число Нуссельта определяется в зависимости от чисел Рейнольдса и Прандтля. Определенной спецификой обладает процесс теплообмена в том случае, когда число Прандтля имеет малые значения. Такие значения число Прандтля имеет для жидких металлов. В этой ситуации используют формулы, где определяющим параметром является число Пекле, вычисленное по средней по поперечному сечению трубы скорости. Эти формулы получают при помощи результатов измерения температуры в турбулентных потоках жидких металлов. Имеются довольно значительные расхождения между экспериментальными данными различных авторов.
Быстрое развитие вычислительной техники в последние десятилетия сделало возможным использование метода прямого численного моделирования процесса переноса теплоты в турбулентных потоках при сравнительно небольших значениях чисел Рейнольдса и Прандтля [1-9]. При расчетах одновременно определяется как профиль скорости жидкости, так и профиль температуры, что позволяет осуществить расчет числа Нуссельта. В указанных работах рассматривался процесс теплообмена в плоском канале.
Целью данной работы является построение расчетных формул для нахождения числа Нуссельта, средней по сечению канала температуры и некоторых
ТЕПЛООБМЕН В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ ПРИ
ТУРБУЛЕНТНОМ РЕЖИМЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИИ ЧИСЛА ПРАНДТЛЯ ПО ДАННЫМ ПРЯМОГО ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия ygchesnokov@yandex.ru
При помощи результатов, полученных методом прямого численного моделирования процесса теплообмена в плоском канале различными авторами, показано, что при малых значениях числа Прандтля ряд характеристик процесса теплообмена в плоском канале зависят не от чисел Рейнольдса и Прандтля по отдельности, а от числа Пекле. Число Пекле вычисляется по так называемой динамической скорости.
Ключевые слова: теплообмен, турбулентные течения, число Нуссельта, число Прандтля, число Пекле.
Дата поступления -1 февраля 2021 года
других характеристик процесса теплообмена в плоском канале при малых числах Прандтля на основе сравнительного анализа данных, полученных различными исследовательскими группами при помощи метода прямого численного моделирования. Используются результаты работ [2-6, 9], в которых теплообмен рассматривался при фиксированном значении удельного теплового потока ц через стенку канала, причем тепловой поток через обе стенки одинаков.
Формулы для расчета числа Нуссельта и других интегральных характеристик процесса теплообмена
Введем в рассмотрение декартову систему координат (х,у,г), ось х которой направлена вдоль потока, ось у по нормали к стенке, а ось г в поперечном направлении. Начало системы координат расположено на одной из стенок канала. Через /з обозначим полуширину канала. Обозначим через г осредненное значение температуры в рассматриваемой точке поперечного сечения канала, а через ^ температуру на стенке. При фиксированном значении удельного теплового потока на стенке величина в, которая определяется по формуле:
зависит только от расстояния до стенки. Будем использовать безразмерные переменные. В качестве масштабов скорости, длины и температуры можно ис-
пользовать так называемые динамическую скорость, динамическую длину и динамическую температуру, которые определяются по формулам:
«Г = -ЩЬ' lT = V/UT, = Ч/(СрРЩ).
Здесь т - напряжение трения на стенке, р, v и .. - плотность, кинематическая вязкость и теплоемкость при постоянном давлении соответственно. Безразмерные переменные при таком выборе масштабов принято называть переменными стенки и обозначать при помощи надстрочного индекса «+». В том случае, когда рассматриваются каналы некругового поперечного сечения, при расчете чисел Рейнольдса и Нус-сельта в качестве определяющего линейного размера используют так называемый эквивалентный диаметр. Для плоского канала эта величина равна 4h. Обозначим через ит среднюю по поперечному сечению канала скорость жидкости. Число Рейнольдса определяется следующим образом:
е
При расчете теплоотдачи в качестве движущей силы процесса теплоотдачи используют разность температуры стенки и среднемассовой температуры жидкости. Эта величина вычисляется по формуле:
Обозначим через а коэффициент теплоотдачи. Число Нуссельта определяется при помощи следующего выражения:
Здесь Л - коэффициент теплопроводности. Выражение, которое позволяет найти эту величину по данным прямого численного моделирования, имеет вид:
Здесь Дет = риТЬ/ц - число Рейнольдса, рассчитанное по динамической скорости, Рг = ср^/А. -
число Прандтля. Как известно, из соображений размерности вытекает, что число Нуссельта зависит от двух безразмерных величин - чисел Рейнольдса и Прандтля. Как показывает рис.1, при малых значениях числа Прандтля число Нуссельта зависит лишь от одного параметра - числа Пекле Рет = рсритк/Л, рассчитанного по динамической скорости и полуширине канала. При построении этого рисунка использовались данные прямого численного моделирования процесса теплоотдачи в плоском канале из работ [2-6, 9], причем число Прандтля изменялось в диапазоне от 0.007 до 0.1, а число Рейнольдса от 9000 до 172000. Число Пекле Рет изменялось в диапазоне от 1.8 до 197.5.
Представленная на рис. 1 зависимость числа Нуссельта от Рет, неплохо описывается при помощи формулы:
N11 = 8.67 + 0.604Ре?9 (1)
Введем в рассмотрение число Пекле Ре = ^рс^и^/А, рассчитанное по средней по сечению
скорости и эквивалентному диаметру. На рис. 2 изображена зависимость числа Нуссельта от этой величины. Для описания этой зависимости можно использовать следующее соотношение:
N11 = 8.63 + 0.017Ре0,354 (2)
Рис.1. Зависимость ЬМи от1пРет (безразмерные величины). Кривая построена по формуле (1). Символы обозначают результаты прямого численного моделирования, а именно: черный кружок построен по результатам работы [2], черные квадраты - [3-5], черные ромбы - [6], черные треугольники вершиной вверх - [8].
Рис.2. Зависимость InNu orlnPe (безразмерные величины).
Кривая построена по формуле (2). Обозначения те же, что и на рис.1.
Формула такого же вида, как и (2), предложена для плоского канала в статье [10] но с другими значениями коэффициентов. Это связано с тем, что авторы указанной работы использовали другие данные, а в качестве определяющего линейного размера использовали полуширину канала а не эквивалентный диаметр. Число Пекле Ре изменялось в диапазоне от 113 до 17200.
Сравнение рис. 1 и рис. 2 показывает, что значения числа Нуссельта, определенные по данным прямого численного моделирования, лучше укладываются на одну кривую, если в качестве аргумента использовать число Рет. Если использовать для расчета числа Нуссельта однотипные зависимости (формулы (1) и (2)), то при расчетах по формуле (1) среднеквадратичное значение отклонения от данных прямого численного моделирования примерно в два раза меньше, чем при расчетах по формуле (2). Числа Пекле Рет и Ре связаны с числами Рейнольдса ReT и Re и числом Прандтля Рг так: Рет = ReTPr, Ре = RePr. Поскольку зависимость между ReT и Яе нелинейная, переход от Рет к Ре не сводится к простому изменению масштабов.
При расчетах теплоотдачи обычно известной величиной является число Рейнольдса Re. Для того, чтобы использовать формулу (1) необходимо располагать зависимостью между ReT и Re. Формула, которая позволяет вычислить ReT, получена в работе [11] на
основе данных прямого численного моделирования турбулентных течений в плоском канале. Она справедлива в широком диапазоне значений числа Рейнольдса и имеет следующий вид:
1пИет = 0.8865г?(йе - 3.09.
Среднемассовая температура жидкости, так же как и число Нуссельта, при малых значениях числа Прандтля будет зависеть только от Рет. Как видно из рис. 3, эта зависимость, в пределах указанного выше диапазона изменения параметров, неплохо описывается при помощи формулы:
19t = -4.67 + -
-+ 2.641пРет
(3)
1пРет+0.76 т' к '
Поскольку АГи = 4Рет/д£, формулу (3) можно использовать для расчета числа Нуссельта.
Рис.3. Зависимость от1пРет (безразмерные величины,)}. Кривая построена по формуле (3). Обозначения те же, что и на рис.1.
Обозначим через среднюю по сечению канала температуру, которая определяется таким образом:
Оказывается, что эта величина, как и , будет зависеть лишь от Рет. Эта зависимость может быть описана при помощи формулы такого же типа, как и формула (3):
■8t = -5.48+ -
- + 2.67 lnPeT
(4)
In 9
m 2.0
1.5
1.0
0.5
-0.5
0.5
1.0
1.5
2-0 Ш9+
Рис.4. Зависимость Ы-д^ отЫд^ (безразмерные величины). Прямая построена по формуле (4). Обозначения те же, что и на рис.1.
Через обозначим значение температуры на оси канала. Данные прямого численного моделирования показывают, что и зависимость 1пд* от Ind^ близка к линейной и описывается при помощи соотношения:
bißt = 0.435 + 0.924im9+ . (5)
В работе [12] было показано, что при сравнительно малых значениях числа Рейнольдса так называемый дефект температуры зависит не только от числа Прандтля, но и от числа Рейнольдса. При малых значениях числа Прандтля дефект средней по сечению температуры, т.е. величина - ¡Я+, как показывают данные прямого численного моделирования, представленные на рис. 5, зависит только от Рет. Эта зависимость адекватно описывается при помощи формулы: - т9+ = 1.22 + 0.93arctg[0.848(ZпРет - 2.19)] (6)
2.0
1.5
1.0
0.5
1пРет+1.06
Как показывает рис. 4 зависимость 1пд+ от Л, близка к линейной. Эта зависимость описывается при помощи формулы:
(71(9+ = -0.0803+ 1.02гт?;
1 2 3 4 5 |пРет
Рис.5 Зависимость St -19+ от1пРет (безразмерные величины). Кривая построена по формуле (6). Обозначения те же, что и на рис. 1.
Заключение
1. Показано, что в случае турбулентного течения в плоском канале при малых значениях числа Прандтля, характерных для жидкометаллических теплоносителей, число Нуссельта, среднемассовая температура, средняя по сечению температура, осевая температура и дефект средней температуры зависят только от числа Пекле, рассчитанного по динамической скорости.
2. Для расчета числа Нуссельта при Рг <0.1 предлагается использовать формулу (1).
3. Зависимости между логарифмами средней по сечению и среднемассовой температуры, а также осевой и средней по сечению температуры являются линйными и описываются соотношениями (4) и (5).
Литература
1. Kasagi N, Tomita Y., Kuroda A. Direct numerical simulation of passive scalar field in turbulent channel flow // ASME J. Heat Transfer. 1992. V. 114. P. 598-606.
2. Kasagi N., Ohtsubo Y. Direct numerical simulation of low Prandtl number thermal field in a turbulent channel flows // Selected Papers from the Eighth International Symposium on Turbulent Shear Flows VIII, Munich, Germany, September 9 - 11, 1991. Editors: F. Durst et al. Springer, Berlin, 1993. P. 97-117.
3. Kawamura H, Oshaka K, Abe H, Yamamoto K DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid. // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1998. V. 19. P. 482-491.
4. Kawamura H, Abe H, Matsuo Y DNS of turbulent heat transfer in channel flow with respect to Reynolds and Prandtl number effects // Int. J. Heat and Fluid Flow. 1999. V. 20. P. 196-419.
5. Abe H, Kawamura H, Matsuo Y Surface heat-flux fluctuations in a turbulent channel flow up to ReT = 1020 with Pr = 0.025 and 0.71 // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2004. V. 25. P. 404-419.
6. Niselj I., Cizejj L DNS of turbulent channel flow with conjugate heat transfer at Prandtl number 0.01 // Nucl. Eng. Des. 2012. V. 253. P. 153-160.
7. Pirozzoii S, Bernardini M, Orlandi P. Passive scalars in turbulent channel flow at high Reynolds number // J. Fluid Mech. 2016. V. 788. P. 614-639.
8. Lluesma-Rodrigez F, Hoyas S, Perez-Quiles M.J. Influence of computational domain on dns of turbulent heat transfer up to ReT = 2000 for Pr = 0.71 // Int. J. Heat MassTransf. 2018. V. 122. P. 983-992.
9. Alcantara-Avila F., Hoyas S., Perez-Quiles M.J. DNS of thermal channel flow up to ReT = 2000 for medium to low Prandtl numbers // Int. J. Heat Mass Transf. 2018. V. 127. P. 349-361.
10. Abe H, Antonia R.A. Mean temperature calculations in turbulent channel flow for air and mercury // Int. J. Heat Mass Transf. 2018. V. 132. P. 1152-1165.
11. Чесноков Ю.Г.Зависимость от критерия Рейнольдса интегральных характеристик течения в плоском канале. // Известия СПбГТИ(ТУ). 2016. № 36. С. 104-107. (Chesnokov Yu.G. Zavisimost' ot kriteriya Re-jnol'dsa integral'nyh harakteristik techeniya v ploskom kanale. // Izvestiya SPbGTI(TU). 2016. № 36. S. 104-107)
12. Чесноков Ю.Г. Отклонения от закона дефекта температуры // Журн. прикл. химии. 2013. Т. 86. № 2. С. 239-245. (Chesnokov Yu.G. Deviations from the Temperature-defect law // Russian Journal of Applied Chemistry. 2013. V. 86. N 2. P. 220-224.)
Сведения об авторах
Чесноков Юрий Георгиевич, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. процессов и аппаратов; Yurii G. Chesnokov, Ph D (Phys-Math.), Associate Professor, Department of Chemical Engineering, ygchesnokov@yandex.ru
