CC BY
6р и nR(( — 1) sin 2а / 2V2 ^3/2__7_V2_^5/2 _4^/2_^7/2 7/2
I 13 Vr cos a 30(R cos a)3/2 15(R cos a)5/2
4га(3Сг 1-> л/2-Rcos a • sin a • ж3/2 (l — ^ЛГЕ
20R cos ос X) ■
Для вертикального колеса (a = 0) суммарная касательная реакция PT будет равна нулю.
Когда в зоне контакта присутствует проскальзывание, формулы для Pn и PT усложняются. Тогда интегрирование должно вестись отдельно по области контакта и области прилипания с учетом актуальной величины проскальзывания у, зависящей в общем случае от истории нагружения.
Постановка данной задачи была предложена автору профессором В.Г. Вильке (1938-2016). Автор приносит благодарность доценту А.С. Кулешову за обсуждение результатов и ценные замечания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вильке В.Г., Гусак Г.В. Об одной модели армированной шины со стержневым протектором // Прикл. матем. и механ. 2011. 75, вып. 3. 350-354.
2. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: Изд-во МГУ, 1997.
3. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995.
4. Левин М.А., Фуфаев Н.А. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989.
5. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. London: Elselvier, 2005.
6. Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1942.
Поступила в редакцию 06.12.2017
УДК 532.517.4
О ПОДДЕРЖАНИИ КОЛЕБАНИЙ В ТРЕХМЕРНЫХ БЕГУЩИХ ВОЛНАХ В ПЛОСКОМ ТЕЧЕНИИ ПУАЗЕЙЛЯ
В. О. Пиманов1
Численно исследованы два решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, описывающие движение жидкости в плоском канале. Решения имеют вид бегущей волны и периодичны в продольном и боковом направлениях. Показано, что в каждом решении колебания возникают в результате линейной неустойчивости осредненного вдоль потока поля скорости. Его неустойчивость связана с наличием продольных полос — областей, в которых скорость выше или ниже среднего значения. Выявлен механизм поддержания продольных вихрей, ответственных за формирование полос. Полученные результаты подтверждают и расширяют существующие представления о механизме образования пристенных турбулентных структур.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, прямое численное моделирование, плоский канал, турбулентное течение, пристенные полосы, продольные вихри.
Two solutions of the three-dimensional Navier-Stokes equations are studied numerically. The solutions describe the fluid motion in a plane channel. They are traveling waves that are periodic in streamwise and spanwise directions. We show that, in each solution, oscillations arise as a result of a linear instability of the streamwise averaged velocity field. We associate the instability with the existence of streamwise streaks that are domains with relatively high and low fluid velocity. We present the streamwise vortices generation mechanism and show that
1 Пиманов Владимир Олегович — науч. сотр. Ин-та механики МГУ, e-mail: pimanov-vladimir@yandex.ru.
the vortices maintain the streaks. The obtained results confirm and refine the existing notions about the generation of the near-wall turbulent structures.
Key words: Navier-Stokes equations, direct numerical simulations, plane channel, turbulent flow, near-wall streaks, streamwise vortices.
Введение. Многие особенности пристенных турбулентных течений до сих пор не имеют объяснения. В частности, не установлен механизм поддержания турбулентных пульсаций, существующих на фоне линейно устойчивого среднего течения. Образование пульсаций связывают с наличием в пристенной области крупномасштабных долгоживущих структур — вытянутых вдоль потока полос, скорость жидкости внутри которых выше или ниже среднего значения на данном расстоянии от стенки [1, 2]. Хотя каждая полоса существует ограниченное время и перемещается вдоль стенки случайным образом, полосы достаточно хорошо различимы на фоне мелкомасштабных пульсаций. Пульсации могут возникать в результате неустойчивости сдвиговых слоев, существующих вблизи полос. Образование полос объясняют наличием продольных вихрей, перемещающих жидкость в нормальной к основному потоку плоскости. Изучению механизма регенерации пристенных структур посвящено большое количество работ, но его детали и в первую очередь механизмы образования продольных вихрей в настоящее время не установлены.
Численное решение уравнений Навье-Стокса позволяет адекватно воспроизводить характеристики турбулентных течений [3]. В частности, в численных расчетах получены основные представления о механизме регенерации пристенных структур [4-6]. Численно найдены семейства так называемых инвариантных решений с регулярным поведением в пространстве и во времени, описывающих движение жидкости в круглой трубе и плоском канале [7]. Наиболее простым примером такого рода решений являются трехмерные бегущие волны. Они стационарны в сопутствующей системе отсчета и периодичны вдоль потока. Известны инвариантные решения с периодическим поведением во времени и отличным от периодического поведением в пространстве. Хотя все инвариантные решения неустойчивы и не могут быть получены в эксперименте, они воспроизводят некоторые характерные особенности турбулентного движения и в силу простоты своего поведения допускают детальное исследование.
В круглых трубах при переходных числах Рейнольдса турбулентность принимает форму порывов — локализованных в пространстве структур, разделенных ламинарным течением [8]. В [9, 10] исследовано инвариантное решение уравнений Навье-Стокса, воспроизводящее ряд характерных особенностей турбулентного порыва. Оно описывает локализованную структуру, перемещающуюся вниз по потоку с постоянной скоростью, и является периодическим по времени в сопутствующей системе отсчета. Колебания в решении возникают в результате линейной неустойчивости поля скорости, осредненного по времени в сопутствующей системе отсчета. Его неустойчивость связана с наличием полос повышенной и пониженной скорости. В [10] выделен механизм поддержания продольных вихрей, ответственных за формирование полос. Пульсации продольной скорости вследствие сжатия и растяжения существующих вихревых нитей формируют пульсации продольной завихренности, согласованные с пульсациями продольной скорости таким образом, что их нелинейное взаимодействие поддерживает существование продольных вихрей. Оценить универсальность выделенных в [9, 10] механизмов позволяет анализ полученных в настоящей работе решений типа бегущей волны, описывающих течение в плоском канале. Общие для достаточно большого числа решений особенности движения могут наблюдаться в более широком классе течений и, возможно, способствовать организации турбулентного движения.
Решение, исследованное в [9, 10], найдено в [11]. Это предельное состояние решения, эволюционирующего на сепаратрисе, разделяющей области притяжения решений, соответствующих ламинарному и турбулентному режимам течения. Ламинарное течение в круглой трубе устойчиво к малым возмущениям, поэтому для выхода на турбулентный режим необходимы возмущения некоторой конечной амплитуды. Варьируя амплитуду начального возмущения, можно добиться того, что до выхода решения на ламинарный или турбулентный режим оно будет балансировать в некотором промежуточном состоянии, т.е. находиться на сепаратрисе. Уточняя начальную амплитуду, можно удерживать решение на сепаратрисе достаточно долго, что позволяет определить основные характеристики предельного решения. В некоторых случаях решение, эволюционирующее на сепаратрисе, сохраняет характерные особенности турбулентного движения, но имеет более простую динамику [12]. В настоящей работе исследовано течение в плоском канале. Наложение на решение условий симметрии, аналогичных примененным в [11], позволило в этом случае также получить решение на сепаратрисе с простым предельным поведением — выходом на режим бегущей волны.
Также найдены условия, при которых на режим бегущей волны выходит решение, соответствующее турбулентному течению. Анализ предельных решений показал, что для них справедливы все основные выводы работ [9, 10].
Постановка задачи и метод получения решений. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости в плоском канале, вызываемое внешним перепадом давления. Уравнения Навье-Стокса решаются в прямоугольной системе координат (ж, у, г); ж, у, г — продольная, нормальная к стенке и поперечная координаты. Полуширина канала равна Н. На его стенках при у = 0 и у = 2Н ставится условие прилипания. В направлениях ж и г движение считается периодическим. Дополнительно на решение накладываются условия отражения относительно плоскостей у = Н и г = 0. Условие отражения относительно у = Н, эквивалентное условию проскальзывания на этой плоскости, исключает влияние каждой из стенок на движение жидкости вблизи противоположной стенки. Условие отражения относительно г = 0 исключает смещение возникающих в потоке структур в направлении г и фиксирует их положение в пространстве. Расчетная область, таким образом, имеет форму параллелепипеда размером Ьх х Н х Ьг, где Ьх — период изменения решения в направлении ж, Ьг — половина периода изменения решения в направлении г. Численный метод решения задачи совмещает конечно-разностную аппроксимацию второго порядка по пространственным переменным и полунеявный метод Рунге-Кутты третьего порядка интегрирования по времени [13, 14].
В приведенной постановке при Ьх = 5Н, Ьх & Н и числе Рейнольдса И,е = иН/^ = 2000 (и — максимальная скорость в ламинарном течении, V — кинематическая вязкость) получено нестационарное решение. Обнаружено, что соответствующее ему решение, эволюционирующее на сепаратрисе, при Ьг = 1,2Н приближается к решению типа бегущей волны с фазовой скоростью 0,9би. Алгоритм поиска решения на сепаратрисе описан в [9, 11, 12]. Также обнаружено, что при Ьг = Н плавное снижение числа Рейнольдса упрощает предельное поведение решения, соответствующего турбулентному течению, так что при И,е = 1700 оно тоже приближается к решению в виде бегущей волны, имеющей фазовую скорость 0,73и. Первое решение будем называть решением А, второе — решением Б. Оба решения получены на расчетной сетке, содержащей 64 х 40 х 64 ячеек. Результаты, полученные на исходной сетке и на сетке, содержащей вдвое меньшее число ячеек в каждом направлении, совпадают качественно и близки количественно.
Механизм поддержания колебаний. Поле скорости бегущих волн неоднородно в направлении г. В каждом из рассматриваемых решений области, в которых продольная скорость жидкости существенно выше и ниже среднего в направлении г значения, оказываются вытянутыми вдоль потока. Будем называть их полосами повышенной и пониженной скорости. В каждом решении полоса пониженной скорости расположена в центре расчетной области при г = Ьг/2. В этой области изо-поверхность 1 на рис. 1 находится на большем удалении от стенки, чем при г = 0 и г = Ьг, где расположены полосы повышенной скорости. В сравнении с решением А в решении Б интенсивность полосчатого движения, т.е. амплитуда отклонения продольной скорости от среднего в направлении г значения, выше и достигает максимума ближе к стенке. В каждом случае между полосами повышенной и пониженной скорости находятся продольные вихри (изоповерхности 2, 3 на рис. 1). Направление их вращения таково, что в центральной части расчетной области при г = Ьг/2 они перемещают жидкость от стенки в основной поток, на боковых границах г = 0 и г = Ьг жидкость движется в сторону стенки. На фоне нормального к стенке градиента скорости такое движение поддерживает существование полос.
По аналогии с работой [9] разделим поле скорости бегущей волны V = v(x — с^ у, z) на среднюю V = V(y, z) = (V) и пульсационную V1 = v/(x — с^ у, z) = V — V составляющие путем осреднения вдоль оси ж, обозначенного угловыми скобками. В случае бегущей волны осреднение вдоль оси ж эквивалентно осреднению по времени, примененному в [9]. Средние величины симметричны относительно плоскости г = Ьг/2, так как поле скорости полученных решений V = (гх, гу, ^) обладает дополнительной симметрией отражения относительно этой плоскости со сдвигом на половину периода по ж:
(гх ,гу,г.г )(ж,у,Ьг/2 + = (г х , гу, )(ж + £х/2,у,£.г/2 — г).
Для каждого из рассматриваемых решений среднее течение воспроизводит полосы повышенной и пониженной скорости, не искаженные пульсациями. Продольная компонента среднего течения изображена на рис. 2, а, г. Амплитуда пульсационной составляющей движения решения А оказывается невелика — не более 0,03и. Среднее течение в этом случае достаточно точно воспроизводит форму полос, которую они имеют в исходном поле скорости V в поперечном сечении. В решении Б амплитуда пульсаций оказывается значительно выше и достигает 0,15и; смещение полосы понижен-
ной скорости в направлении г имеет существенную амплитуду. В такой ситуации осреднение вдоль потока не позволяет точно передать форму полос. В среднем течении на гребне полосы пониженной скорости возникает область, в которой скорость жидкости выше, чем при больших и меньших значениях г, что не наблюдается в исходном поле скорости V. Также в среднем течении на удалении от стенки существенно падает интенсивность полосчатого движения. Несмотря на перечисленные отличия, среднее поле скорости каждого из решений достаточно точно повторяет форму полос, чтобы можно было объяснить механизм образования пульсаций в потоке.
Рис. 1. Мгновенное поле скорости решений А (а) и Б (б): 1 — изоповерхность продольной скорости 0,8U (а) и 0,5U (б); 2, 3 — изоповерхности продольной завихренности ±0,05U/Н (а) и ±0,8U/Н (б). Твердая стенка
находится внизу. Поток направлен вдоль оси x
В согласии с [9] в каждом случае среднее течение оказывается неустойчивым к малым возмущениям. Для решения А наиболее быстро растущее собственное решение линейной задачи устойчивости воспроизводит форму и фазовую скорость пульсационной составляющей движения, его инкремент нарастания равен 4,4 ■ 10-5U/H, фазовая скорость 0,96U. Для решения Б соответствие наиболее быстро растущего решения линейной задачи устойчивости пульсационной составляющей движения не столь очевидно, однако оно также соответствует синусоидальной неустойчивости [3], при которой полоса пониженной скорости периодическим образом смещается в направлении z (см. рис. 1, б). Таким образом, в каждом решении образование пульсационной составляющей движения можно связать с линейной неустойчивостью среднего течения. В случае решения Б существенными оказываются также нелинейные слагаемые в уравнении, описывающем эволюцию возмущений среднего течения, так как их амплитуда велика (в сравнении с решением А). Инкремент нарастания во втором случае равен 8,2 ■ 10-3U/H, фазовая скорость 0,7U.
На рис. 2, б, д представлена амплитуда пульсационной составляющей движения. В каждом случае пульсации достигают максимума между полосами повышенной и пониженной скорости. Вероятным механизмом образования пульсаций является неустойчивость типа Кельвина—Гельмгольца, так как в этой области среднее поле скорости имеет точки перегиба, если рассматривать его как функцию переменной z. Амплитуда пульсаций в решении А значительно ниже, чем в решении Б, что согласуется с тем, что интенсивность полосчатого движения в первом случае также ниже и среднее течение значительно более устойчиво (инкремент нарастания наиболее быстро растущего собственного возмущения отличается на два порядка).
Поперечная компонента среднего течения, приведенная на рис. 2, в, е, соответствует наличию пары продольных вихрей, поддерживающих полосчатое движение. Положение продольных вихрей согласуется с положением полос: в решении А вихри расположены на удалении от твердой стенки, в решении Б — ближе к ней. Интенсивность поперечного движения во втором случае значительно выше, что соответствует более высокой интенсивности полосчатого движения. Максимум поперечной компоненты среднего поля скорости решения А составляет 0,005U, в решении Б — 0,07U.
Установить механизм образования продольных вихрей позволяет анализ уравнения, описываю-
щего баланс средней составляющей продольной завихренности, полученного применением оператора ротора к осредненному по времени уравнению движения:
dQx ~dt
+ (V, V)Ox - (О, V)Vx - VV2Ox = -((v', V)wX) + <(ш', V)vX).
(1)
Здесь Q = (Qx, Qy, Qz) = rot V, Ш = (ш'х,ш'у,w'z) = rot v' — средняя и пульсационная составляющие продольной завихренности. Слагаемые в правой части уравнения отвечают за производство Qx за счет нелинейного взаимодействия пульсаций. Других источников Qx нет. Второе слагаемое в левой части уравнения ответственно за конвекцию существующих вихрей, третье равно нулю в силу однородности среднего течения вдоль потока. Так как среднее поле скорости стационарно, производство Qx, обусловленное слагаемыми в правой части уравнения, компенсируется вязким слагаемым в его левой части.
Рис. 2. Изолинии продольной компоненты средней составляющей движения (а, г), изолинии амплитуды пульсационной составляющей движения (б, д) и векторное поле поперечной компоненты средней составляющей движения (в, е). Верхний ряд соответствует решению А, нижний — решению Б. Твердая стенка
внизу
Рис. 3. Механизм образования стационарных продольных вихрей. Верхний ряд соответствует решению А,
нижний — решению Б. Твердая стенка внизу
Работать удобнее с уравнением баланса Пх, полученным умножением каждого слагаемого уравнения (1) на 2Пх. Положительное или отрицательное значение слагаемых в этом уравнении говорит об их положительном или отрицательном влиянии на интенсивность продольных вихрей. Продольным вихрям соответствуют области повышенных значений (см. рис. 3, а, г). В согласии с [9] в случае каждого из решений за образование продольных вихрей в уравнении (1) ответственны слагаемые
+ (2)
Значение слагаемых (2), умноженное на 2Пх, характеризующее вклад соответствующего механизма в образование П^, представлено на рис. 3, б, д. Слагаемые (2) определяют форму поля Пх, а их вклад на порядок превосходит вклад других слагаемых в правой части уравнения (1). Значение других слагаемых, умноженное на 2Пх, приведено на рис. 3, в, е. В случае решения А другие слагаемые также оказывают положительное влияние, хотя и не столь существенное. В случае решения Б в области существования продольных вихрей другие слагаемые оказывают достаточно существенное как положительное, так и отрицательное влияние, но их суммарный эффект также близок к нулю. Слагаемые (2) равны друг другу вследствие периодичности поля скорости вдоль потока. Они отличаются от нуля за счет наличия корреляции между сомножителями, превышающей в каждом решении в области существования продольных вихрей 0,8. Наличие корреляции объясняется тем, что ш'х в области существования продольных вихрей формируется преимущественно за счет сжатия и растяжения уже имеющихся вихревых нитей. В уравнении, описывающем эволюцию ш'х, за выделенный механизм отвечает слагаемое
дш' ди'
^^X _ ^ ^ иХ
дЬ х дх
Этот механизм стремится произвести пульсации ш'х, пропорциональные дь'х/дх, причем коэффициентом пропорциональности выступает Пх. Соответственно в области расположения положительного вихря произведение ш'х и дь'х/дх имеет положительное значение, а в области расположения отрицательного вихря — отрицательное, что обеспечивает поддержание существующей Пх за счет второго из слагаемых (2). Согласованность сомножителей в первом из слагаемых (2) следует из согласованности сомножителей во втором. Продольные вихри, таким образом, достигают наибольшей интенсивности в области возникновения пульсаций, так как в этой области пульсации ь'х имеют наибольшую амплитуду и средняя скорость жидкости совпадает с фазовой скоростью пульсаций (пульсации ш'х сносятся вниз по потоку, сохраняя согласованность с дь'х/дх). Формируясь в области образования пульсаций — между полосами повышенной и пониженной скорости, продольные вихри оказываются расположенными наиболее удачным образом для поддержания существования этих полос.
Заключение. В работе проведен анализ двух численных решений уравнений Навье-Стокса, описывающих течение жидкости в плоском канале. Решения имеют форму бегущей волны, что позволяет выполнить их детальное исследование. Несмотря на существенные количественные отличия, решения воспроизводят общий механизм регенерации, согласующийся с [9, 10]. Основной особенностью решений являются полосы повышенной и пониженной скорости, вытянутые вдоль потока. Пульсации в потоке возникают в результате линейной неустойчивости среднего течения между полосами повышенной и пониженной скорости. Существование полос поддерживают продольные вихри, перемещающие жидкость в нормальной к основному потоку плоскости. Механизм поддержания продольных вихрей аналогичен выделенному в [10] и заключается в нелинейном взаимодействии пульсаций продольной скорости и согласованных с ними пульсаций продольной завихренности. Механизм, обеспечивающий согласованность, также описан. Универсальность выделенных механизмов позволяет надеяться, что они имеют место в более широком классе течений и могут участвовать в организации пристенных турбулентных структур. В [9, 10] исследовано течение в круглой трубе, в то время как в настоящей работе движение жидкости ограничено плоскими стенками, что говорит об отсутствии существенного влияния кривизны стенки на выделенный механизм регенерации.
Работа выполнена на оборудовании "Центра коллективного пользования сверхвысокопроизводительными вычислительными ресурсами МГУ имени М.В. Ломоносова" при финансовой поддержке РФФИ, проект № 17-01-00140-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W. The structure of turbulent boundary layers // J. Fluid Mech. 1967. 30, N 4. 741-773.
2. Smith C.R., Metzler S.P. The characteristics of low-speed streaks in the near-wall region of a turbulent boundary layer //J. Fluid Mech. 1983. 129. 27-54.
3. Kim J., Moin P., Moser R. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1987. 177. 133-166.
4. Schoppa W., Hussain F. Coherent structure generation in near-wall turbulence //J. Fluid Mech. 2002. 453. 57-108.
5. Jeong J., Hussain F., Schoppa W., Kim J. Coherent structures near the wall in a turbulent channel flow // J. Fluid Mech. 1997. 332. 185-214.
6. Hamilton J.M., Kim J., Waleffe F. Regeneration mechanisms of near-wall turbulence structures // J. Fluid Mech. 1995. 287. 317-348.
7. Kawahara G., Uhlmann M., Van Veen L. The significance of simple invariant solutions in turbulent flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2012. 44. 203-225.
8. Wygnanski I.J., Champagne F.H. On transition in a pipe. Part 1. The origin of puffs and slugs and the flow in a turbulent slug //J. Fluid Mech. 1973. 59, N 2. 281-335.
9. Никитин Н.В., Пиманов В.О. Численное исследование локализованных турбулентных структур в трубах // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2015. Вып. 5. 64-75.
10. Никитин Н.В., Пиманов В.О. О поддержании колебаний в локализованных турбулентных структурах в трубах // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2018. Вып. 1. 68-76.
11. Avila M., Mellibovsky F., Roland N., Hof B. Streamwise-localized solutions at the onset of turbulence in pipe flow // Phys. Rev. Lett. 2013. 110, N 22. 224502.
12. Skufca J.D., Yorke J.A., Eckhardt B. Edge of chaos in a parallel shear flow // Phys. Rev. Lett. 2006. 96. 174101.
13. Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier-Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates // J. Comput. Phys. 2006. 217, N 2. 759-781.
14. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 2006. 51, N 2. 221-233.
Поступила в редакцию 22.12.2017
