CC BY
5Процессы и аппараты
УДК 532.542
Yuri G. Chesnokov1
REYNOLDS NUMBER DEPENDENCE OF SOME STATISTICAL QUANTITIES CHARACTERIZING TURBULENT WALL-BOUNDED FLOWS
St Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moskovsky Pr., 26, St Petersburg, 190013, Russia ygchesnokov@yandex.ru
By using the law of the wall, formulas for calculation of maximum Reynolds shearing stress for turbulent wall-bounded flows and the distance from the wall where this stress is reached are obtained. The coefficients in the formulas are found with the help of the data of direct numerical simulations obtained by different authors.
Keywords: turbulent flows, turbulent boundary layer
Ю.Г. Чесноков1
ВЛИЯНИЕ ЧИСЛА РЕИНОЛЬДСА НА НЕКОТОРЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИСТЕННЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИИ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр. 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия. ygchesnokov@yandex.ru
В работе на основе закона стенки получены формулы для расчета максимального значения касательного напряжения Рейнольдса для течений вблизи твердой поверхности, а также расстояния до поверхности, где это максимальное значение достигается. Коэффициенты в расчетных формулах найдены при помощи данных прямого численного моделирования течений, полученных различными авторами.
Ключевые слова:
пограничный слой
турбулентные течения, турбулентный
DOI 10.15217/issn1998984-9.2018.43.66
Введение
Турбулентные течения жидкостей и газов очень широко распространены как в природе, так и в различных технических устройствах. Наиболее важный класс турбулентных течений - турбулентные течения, ограниченные твердыми поверхностями. К этому классу относятся турбулентные течения в трубах и каналах, течения в турбулентном пограничном слое. Для расчета турбулентных течений используются уравнения Рейнольдса, которые содержат помимо осредненных значений скорости и давления так называемые напряжения Рейнольдса. Строгая теория, которая позволяла бы рассчитывать эти величины, отсутствует. По этой причине приходится использовать различные полуэмпирические модели. Укажем, например, сравнительно недавно опубликованный обзор [1].
Для течений в трубах и каналах, а также для течения в пограничном слое справедлив закон стенки (например, [2]). Согласно этому закону средняя скорость жидкости и вблизи гладкой стенки (кривизной поверхности которой можно пренебречь) зависит лишь от расстояния у до стенки, напряжения трения на стенке т№ и физических характеристик жидкости (плотности р и вязкости |). От других величин, таких как ширина канала или диаметр трубы, скорость жидкости не зависит. Введем в рассмотрение так называемую динамическую скорость щ = р и
динамическую длину 1т =у/ит. Здесь у = ^р -
кинематическая вязкость жидкости. Перейдем к безразмерным переменным. Если в качестве масштабов длины и скорости взять динамическую длину и динамическую скорость, то безразмерные переменные принято называть внутренними и обозначать при помощи надстрочного индекса «плюс». Например, безразмерная скорость и безразмерное
расстояние до стенки обозначаются так: и+ = иЩт,
у+ = уII . Из соображений размерности вытекает, что
зависимость безразмерной скорости от безразмерного расстояния до стенки должна иметь универсальный характер:
и += / (у+).
Этот закон стенки выполняется при значениях у меньших чем примерно 0,2Л. В роли Л выступает полуширина канала (для течений в плоских каналах), радиус трубы или толщина пограничного слоя. Обозначим через и, V и w соответственно продольную (в направлении движения), нормальную к стенке и поперечную (нормальную к плоскости течения) проекции пульсационной составляющей скорости жидкости на оси декартовой системы координат. При помощи черты над величиной будем обозначать операцию осреднения. Уравнение Рейнольдса для средней скорости жидкости и содержит [2] касательное напряжение
Рейнольдса — иу. Поэтому закон стенки будет выполняться только в том случае, когда аналогичное соотношение выполняется и для касательного напряжения Рейнольдса:
—ит7 = ¿(у+).
Такие же соотношения должны быть справедливы и
для других напряжений Рейнольдса и+2, у*г, .
Как было показано в работе [3], имеются определенные отклонения от закона стенки. Это относится, в частности, к максимальным значениям напряжений Рейнольдса и к тем расстояниям до стенки, где эти максимальные значения достигаются. Все эти величины оказываются зависящими от числа Рейнольдса. В [3] использовались данные прямого численного моделирования турбулентных течений в плоском канале, полученные в работах [4-8]. В последние годы появились новые работы по прямому численному моделированию таких течений [9-15].
Чесноков Юрий Георгиевич, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. процессов и аппаратов, e-mail: ygchesnokov@yandex.ru Yuri G. Chesnokov, Ph.D, Associate Professor, Department of Chemical Engineering
Дата поступления - 18 декабря 2017 года
Благодаря быстрому развитию вычислительной техники в этих работах удалось значительно расширить область значений числа Рейнольдса, при которых проводились вычисления. Кроме работы [3] такого рода данные использовались в статье [16] для изучения отклонений от закона дефекта скорости и в работах [17, 18] для исследования влияния числа Рейнольдса на закон дефекта температуры и закон стенки для температуры соответственно.
Целью данной работы является изучение влияния числа Рейнольдса на распределение касательного напряжения Рейнольдса в плоском канале при помощи данных, полученных методом прямого численного моделирования турбулентных течений в плоском канале в работах [4-15]. Интервал изменения числа Рейнольдса, рассчитанного по средней по сечению скорости и эквивалентному диаметру канала, от 3700 до 500000, что существенно больше интервала значений, рассмотренного в [3]. Исследованы также два других важных типа течений -течение в трубе кругового поперечного сечения и течение в пограничном слое. Для течений в трубах использовались данные прямого численного моделирования, полученные в работах [19, 20], для течений в пограничном слое - данные работ [21-23].
Расчет расстояния до стенки, при котором достигается максимальное значение касательного напряжения Рейнольдса
При установившемся турбулентном движении жидкости в плоском канале в переменных стенки уравнение Рейнольдса для осредненной скорости жидкости записывается следующим образом:
М+ — у+ .
--и V = 1--
ду у к+
(1)
Здесь к = к/1т = кит ¡V. Через Л обозначена
полуширина плоского канала. Безразмерную величину к называют либо числом Кармана, либо числом Рейнольдса, определенным по динамической скорости. В этом случае ее обозначают Яе,. Как показывает рисунок 1 касательное напряжение Рейнольдса в окрестности стенки быстро увеличивается от нулевого значения на стенке до некоторого максимального значения р+. Затем эта величина убывает и
обращается в нуль на оси канала. В переменных стенки координата точки, в которой достигается максимум, увеличивается при увеличении числа Кармана. Само максимальное значение при увеличении к увеличивается, приближаясь к единице. Обозначим через у+ расстояние до
стенки, при котором касательное напряжение Рейнольдса принимает максимальное значение. В этой точке производная д)/ф+ должна обращаться в нуль.
Рисунок 1. Зависимости касательного напряжения Рейнольдса от расстояния до стенки в полулогарифмических координатах. Кривые 1,2,3,4 и 5 построены при помощи данных работы [15] при значениях числа Кармана 182, 543, 1001, 1995и 5186 соответственно.
Следовательно, при следующее равенство:
У = У
ду+2
должно выполняться
к
Как известно [2] на некотором расстоянии от стенки в пределах области, где справедлив закон стенки, зависимость скорости жидкости от расстояния до стенки имеет примерно логарифмический вид:
= -1п у+ + В ■ к
Здесь к и В - некоторые постоянные. Постоянную к называют постоянной Кармана. Различные авторы указывают несколько различающиеся значения этих постоянных. Типичные значения констант к = 0,41 и В = 5,5. Дифференцирование логарифмического закона изменения
скорости дает: Поэтому, если
аи+1ду+ = 1/ (ку+) и а 2п+/ду бы точка, где достигается значение касательного напряжения располагалась бы в области, где логарифмический закон изменения скорости, бы выполняться следующие соотношения:
1=[1 - ;+- £ ] у+'
(ку2)■
.(у; )2
максимальное Рейнольдса, справедлив должны были
(2)
и+
Однако, как показывают рисунки 2 и 3, величины, стоящие в правых частях записанных уравнений, не сохраняют постоянные значение, а изменяются при
изменении у +;. Это означает, что в той области, где
располагаются максимальные значения касательного напряжения, логарифмический закон изменения скорости не выполняется.
Рисунок 2. Зависимость между величинами
(1 - ; +- у;1к+уг и у; ■
Точки построены по результатам работ[7-13,15],
кривая по формуле (7).
Рисунок 3. Зависимость между величинами (у+)2/И+ и у + . Точки построены по результатам работ[7-13,15], кривая по ¡формуле (3).
Отметим, что при построении этих рисунков не использовались результаты работ [4-6] и [14] по той причине, что имеются заметные расхождения этих результатов с
1
результатами работ других авторов. Хорошей аппроксимацией для второй производной от скорости в рассматриваемой области является следующее выражение:
+2 а 2и+
y
dy+
■- a, +-
(3)
+
y - a3
Коэффициенты а а2 и а3 в этой зависимости определяются путем аппроксимации данных работ [7-13, 15], полученных на основе результатов прямого численного моделирования. Численные значения этих констант таковы: а = 1,5471, аз = 46,264, аз = 19,907. Используя соотношение (2) и полученную аппроксимацию (3), можно построить
уравнение для расчета зависимости yp от h+ :
Р
1.5471 46.264 1 -:—i- -
Ур2(yp -19.907) h
(4)
Это кубическое уравнение либо имеет один положительный вещественный корень и два комплексно сопряженных (при h+ < 984), либо два отрицательных и один положительный. Физический смысл имеет положительный
корень уравнения. На рисунке 4 зависимость yp от h+,
построенная по уравнению (4), сопоставляется с данными прямого численного моделирования. Как видно, уравнение (4) хорошо описывает данные численных расчетов.
in
4.6 4.4 4,2
3,8 3,6 3,4 3,2
In yp
Рисунок 4. Зависимость '" у р от И . Точки построены по результатам работ[7-13,15], кривая линия по уравнению (4). Светлые точки построены по данным работ [20,21].
Нетрудно построить асимптотическое решение алгебраического уравнения (4), которое справедливо при
больших значениях И+. Это асимптотическое разложение имеет следующий вид:
у,
г— a2 a2 (3a4
= Vaih ^T-k |тГ - <
2a 4a3/2 | 4a 3 )4h+
1
(5)
= 1.2536Vh+ + 14.517 -
20.936
4k+
В той области изменения параметра И , для которой имеются результаты прямого численного моделирования (64 < Л+ < 5186) хорошим приближением является двучленное асимптотическое разложение:
а„
Ур = V a1h+ +
'2 2ai
определить среднюю по сечению канала скорость жидкости и и рассчитать число Рейнольдса по средней скорости и эквивалентному диаметру канала, который для плоского канала равен 4Л: Яе = 4рЩ / Формула для расчета Л в зависимости от Яе предложена в работе [24].
Для труб кругового поперечного сечения расстояния от стенки до той точки, где располагается максимум касательного напряжения, можно вычислить по формулам, полученным для плоского канала. Об этом свидетельствует рисунок 4, где светлые точки построены по результатам прямого численного моделирования течений в трубах [20, 21]. В роли Л в этом случае выступает величина Я/ I, где Я -радиус трубы. Для ее расчета можно использовать результаты, полученные в работе [25].
Значения у+р для турбулентного пограничного слоя
без градиента давления превышают значения, этой величины для плоского канала и круглой трубы. Здесь вместо Л+ используется величина 5+ = 5/1. Здесь 5 - толщина пограничного слоя. При больших значениях этого параметра точки не укладываются на гладкую кривую (рисунок 5). Для
расчета ур в этом случае можно использовать следующую формулу:
у+= 2.3026л/д+ + 2.0364. (6)
Рисунок 5. Зависимость ур о! §+ . Точки построены по результатам работ[21-23], кривая по формуле (6).
Расчет максимального значения касательного напряжения Рейнольдса
Выражение для расчета р+ можно получить при помощи соотношений (1) и (3). Интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение (3), получаем следующее
решение, удовлетворяющее условию:
dU+
dy+
пРи У+
dU+ dy+
a I 1 a, , -+-2 in
У
y+ - a3
+
У
Формула (5) является более точным приближением при Л > 2900, а при меньших значениях числа Кармана дает большую погрешность, чем формула с двумя слагаемыми в
правой части. Отметим, что формула для у+р из работы [3]
имеет такой же вид, как и формула (5), но отличается численными значениями коэффициентов.
При расчетах известной величиной обычно является не напряжение трения на стенке, а расход жидкости. В этом случае, чтобы использовать одну из полученных формул, надо предварительно определить Л+. В этом случае надо
Если подставить это выражение в (1) и заменить в
полученной формуле у+ на ур, то получим соотношение, при
помощи которого можно найти р+. Данные прямого численного моделирования можно описать при помощи формулы такого типа, но коэффициенты следует изменить, чтобы добиться лучшего согласования с этими данными. В результате получается следующая формула:
1 - р = 066579 -0.051927in
(у+ - 24.859^
Ур
(7)
Для того чтобы определить р+ по этой формуле,
у+
необходимо вычислить по уравнению (4) значение р, а затем при помощи (7) найти р+. Для труб кругового
= -I a
+
h
+
поперечного сечения расчеты можно производить по этим же формулам.
1п(1-р+)
результатам работ [7-13,15], кривая по формуле (7).
Для турбулентного пограничного слоя следует использовать другую формулу:
+ 1.0316 17.047
1 - * = ЮТ-+—
Заключение
Результаты данной работы показывают, что при построении формул для расчета максимального значения касательного напряжения Рейнольдса и расстояния до стенки, где достигается этот максимум, можно исходить из закона стенки. Построенные таким путем формулы хорошо согласуются с результатами, полученными при помощи прямого численного моделирования турбулентных течений в плоском канале и трубе кругового поперечного сечения. Для турбулентного пограничного слоя следует использовать другие формулы, которые также получены в работе.
Литература
1. Argyropoulos C.D., Markatos N.C. Recent advances on numerical modeling of turbulent flows. //Appl. Math. Modelling. 2015. V. 39. P. 693-732.
2. Протодьяконов И.О., Чесноков Ю.Г. Гидромеханические основы процессов химической технологии. Л.: Химия. 1987. 576 с.
3. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на закономерности турбулентного течения жидкости в плоском канале. // Журн. техн. физ. 2010. Т. 80. № 12. С. 33-39.
4. Kim J,, Moin P., Moser R.D. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number. // J. Fluid Mech. 1987. V. 172. P. 133-166.
5. Moser R.D., Kim J,, Mansour N.N. Direct numerical simulations of turbulent channel flow up to Re = 590 // Phys. Fluids. 1999. V. 11. P. 943-945.
6. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. Direct numerical simulation of fully developed turbulent channel flow with respect to Reynolds number dependence // J. Fluid Eng. 2001. V. 123. P. 382-393.
7. Iwamoto K, Suzuki Y, Kasagi N. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2002. V. 23. P. 678-689.
8. Hoyas S, Jimenez J. Scaling of velocity fluctuations in turbulent channels up to Re = 2003 // Phys. Fluids. 2006. V. 18. 011702.
9. Tsukahara T, Seki Y, Kawamura H, Tochio D. DNS of turbulent channel flow at very low Reynolds numbers // Proc. of the Forth. Int. Symp. on Turbulence and Shear Flow Phenomena. Williamsburg, USA. 2005. P. 935-940.
10. Hu Z.W., Morfey C.L., Sandham N.D. Wall pressure and shear spectra from direct numerical simulations of channel flow up to Re = 1440 // AIAA Journal. 2006. V. 44. N 2. P. 15411549.
11. Vreman A.W, Kuerten J.G.M. Comparison of direct numerical simulation databases of turbulent channel flow at Re = 180 // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 015102.
12. Vreman A.W., Kuerten J.G.M. Statistics of spatial derivatives of velocity and pressure in turbulent channel flow // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 085103.
13. Lozano-Duran A,, Jimenez J. Effect of the computational domain on direct simulations of turbulent channels up to Re = 4200 // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 011702.
14. Bernardini M, Pirozzoli S, Orlandi P. Velocity statistics in turbulent channel flow up to Re = 4000 // J. Fluid Mech. 2014. V. 742. P. 171-191.
15. Lee M, Mozer R.D. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re = 5200 //J. Fluid Mech. 2015. V. 774. P. 395-415.
16. Чесноков Ю.Г.Отклонения от закона дефекта скорости, наблюдаемые при малых значениях числа Рейнольдса //Журн. техн. физ. 2011. Т. 81. № 7. С. 30-34.
17. Чесноков Ю.Г. Отклонения от закона дефекта температуры. //Журн. прикл. хим. 2013. Т. 86. № 2. С. 239245
18. Чесноков Ю.Г. О законе стенки для температуры. // Теор. основы хим. техн. 2017. Т. 51. № 2. С. 230-234.
19. Wu X,, Moin P. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristics in turbulent pipe flow // J/ Fluid Mech. 2008. V. 608. P. 81-112.
20. Ei Khoury G.K., Schlatter P., Noorani A., Fischer P.F, Brethouwer, G, Johansson, A.V. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow at moderately high Reynolds numbers // Flow Turbul. Combust. 2013, V. 91. P. 475-495.
21. Schlatter P., Örlü R. Assessment of direct numerical simulation data of turbulent boundary layers. // J. Fluid Mech. 2010. V.658. P.116-126.
22. Jimenez J,, Hoyas S., Simens M.P., Mizuno Y. Turbulent boundary layers and channels at moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 2010. V. 657. P. 335-360.
23. Siilero J.A, Jimenez J,, Moser R.D. One-point statistics for turbulent wall-bounded flows at Reynolds numbers up to 5+ ^ 2000 // Phys. Fluids. 2013. V. 25. 105102.
24. Чесноков Ю.Г. Зависимость от критерия Рейнольдса интегральных характеристик течения в плоском канале // Известия СПбГТИ(ТУ) 2016. № 36(62). С. 104-107.
25. Чесноков Ю.Г.Новые формулы для расчета характеристик течения жидкости или газа в трубе кругового поперечного сечения. // Инженерно-физический журнал. 2017. Т. 90. № 4. С. 1005-1011.
References
1. Argyropoulos C.D., Markatos N.C. Recent advances on numerical modeling of turbulent flows. //Appl. Math. Modelling. 2015. V. 39. P. 693-732.
2. Protod'jakonovI.O, Chesnokov Ju.G. Gidromehanicheskie osnovy processov himicheskoj tehnologii. L.: Himija. 1987. 576 s.
3. Chesnokov Yu.G. Influence of the Reynolds number in the plane-channel turbulent flow of a fluid // Thechnical Physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2010. V. 55. N. 12. P. 17411747.
4. Kim J,, Moin P., Moser R.D. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number. // J. Fluid Mech. 1987. V. 172. P. 133-166.
5. Moser R.D., Kim J,, Mansour N.N. Direct numerical simulations of turbulent channel flow up to ReT = 590 // Phys. Fluids. 1999. V. 11. P. 943-945.
6. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y Direct numerical simulation of fully developed turbulent channel flow with respect to Reynolds number dependence // J. Fluid Eng. 2001. V. 123. P. 382-393.
7. Iwamoto K, Suzuki Y., Kasagi N. Reynolds number effect on wall turbulence: toward effective feedback control // Int. J. Heat and Fluid Flow. 2002. V. 23. P. 678-689.
8. Hoyas S, Jimenez J. Scaling of velocity fluctuations in turbulent channels up to ReT = 2003 // Phys. Fluids. 2006. V. 18. 011702.
9. Tsukahara T., Seki Y., Kawamura H, Tochio D. DNS of turbulent channel flow at very low Reynolds numbers // Proc. of the Forth. Int. Symp. on Turbulence and Shear Flow Phenomena. Williamsburg, USA. 2005. P. 935-940.
10. Hu Z.W., Morfey C.L., Sandhiam N.D. Wall pressure and shear spectra from direct numerical simulations of channel flow up to ReT = 1440 // AIAA Journal. 2006. V. 44. N 2. P. 15411549.
11. Vreman A.W., Kuerten J.G.M. Comparison of direct numerical simulation databases of turbulent channel flow at ReT = 180 // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 015102.
12. Vreman A.W., Kuerten J.G.M. Statistics of spatial derivatives of velocity and pressure in turbulent channel flow // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 085103.
13. Lozano-Duran A,, Jimenez J. Effect of the computational domain on direct simulations of turbulent channels up to ReT = 4200 // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 011702.
14. Bernardini M, Pirozzoii S., Orlandi P. Velocity statistics in turbulent channel flow up to ReT = 4000 // J. Fluid Mech. 2014. V. 742. P. 171-191.
15. Lee M, Mozer R.D. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to ReT = 5200 //J. Fluid Mech. 2015. V. 774. P. 395-415.
16. Chesnokov Yu.G. Deviation from the law of velocity defect observed for small Reynolds numbers // Thechnical Physics. The Russian Journal of Applied Physics. 2011. V. 56. N. 7. P. 931-935
17. Chesnokov Yu.G. Deviation from temperature-defect law // Russian Journal of Applied Chemistry. 2013. V. 86. N 2. P. 220224.
18. Chesnokov Yu.G. On the wall law for temperature// Theoretical Foundation of Chemical Engineering 2017. V. 51. N 2. P. 247-251.
19. Wu X,, Moin P. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristics in turbulent pipe flow // J/ Fluid Mech. 2008. V. 608. P. 81-112.
20. El Khoury G.K, Schlatter P., Noorani A., Fischer P.F, Brethouwer, G, Johansson, A.V. Direct numerical simulation of turbulent pipe flow at moderately high Reynolds numbers // Flow Turbul. Combust. 2013. V. 91. P. 475-495.
21. Schlatter P., Orlu R. Assessment of direct numerical simulation data of turbulent boundary layers. // J. Fluid Mech. 2010. V.658. P.116-126.
22. Jimenez J,, Hoyas S., Simens M.P., Mizuno Y. Turbulent boundary layers and channels at moderate Reynolds numbers // J. Fluid Mech. 2010. V. 657. P. 335-360.
23. Sillero J.A., Jimenez J,, Moser R.D. One-point statistics for turbulent wall-bounded flows at Reynolds numbers up to 5+ ^ 2000 // Phys. Fluids. 2013. V. 25. 105102.
24. Chesnokov Ju.G. Zavisimost' ot kriterija Rejnol'dsa integral'nyh harakteristik techenija v ploskom kanale // Izvestija SPbGTI(TU) 2016. № 36(62). S. 104-107.
25. Chesnokov Yu.G. New formulas for calculating the fluid flow characteristics in a circular pipe // Journal of engineering Physics and Thermophysics. 2017. V. 90. N 4. P. 958-964.
