CC BY
18УДК 532.542 Yuri G. Chesnokov
REYNOLDS NUMBER DEPENDENCE OF INTEGRAL CHARACTERISTICS OF FLOW IN FLAT CHANNEL
St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), Moscovsky pr., 26, St. Petersburg, 190013, Russia e-mail: ygchesnokov@yandex.ru
Dependences of friction coefficient, ratio of mean velocity to velocity at the axis and other integral characteristics of a turbulent flow in a flat channel on the Reynolds number were obtained. The relations were derived by using the data of direct numerical simulation reported by different authors.
Key words: turbulent flows, turbulent boundary layer
Введение
Турбулентные течения жидкостей и газов по трубам и каналам с различной формой поперечного сечения широко распространены во многих химико-технологических процессах. Расчет характеристик подобных течений представляет собой важную практическую задачу. Наибольшее значение для практических расчетов имеют зависимости для потери давления на единицу длины трубы. Для труб с круговым поперечным сечением первая формула такого рода (формула Блазиуса) была предложена более 100 лет назад. В дальнейшем подобные соотношения для труб, как с гладкими, так и с шероховатыми стенками многократно уточнялись. На практике часто встречаются течения и в трубах с другой формой поперечного сечения. В частности широко распространены течения в каналах прямоугольного поперечного сечения. Если длина одной из сторон превышает длину другой стороны поперечного сечения более чем в 7 раз, то течение в таком канале допустимо рассматривать как течение в плоском канале между двумя бесконечными параллельными плоскостями [1]. К этому же типу относятся и течения в кольцевых каналах при условии, что ширина канала мала по сравнению с радиусом. Для плоских каналов Дин [1] обобщил опубликованные к моменту появления его работы экспериментальные результаты и предложил формулы для расчета коэффициента трения, соотношения между осевой и средней скоростью. В этой работе определены также значения констант в универсальном логарифмическом законе для профиля скорости, исследовано влияние числа Рейнольдса на фактор формы (отношение толщины вытеснения к толщине потери импульса) и на ряд других характеристик течения. В дальнейшем эти выводы неоднократно уточнялись. Упомянем, например, сравнительно недавно опубликованные работы [2, 3].
За три последних десятилетия благодаря быстрому развитию вычислительной техники большое развитие получил метод прямого численного моделирования турбулентных течений. В частности, много работ посвящено прямому численному моделированию турбу-
Ю.Г. Чесноков1
ЗАВИСИМОСТЬ ОТ КРИТЕРИЯ РЕЙНОЛЬДСА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ КАНАЛЕ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр., 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: ygchesnokov@yandex.ru
В работе получены зависимости коэффициента трения, отношения средней по сечению скорости к скорости на оси и ряда других интегральных характеристик турбулентного течения в плоском канале от величины критерия Рейнольдса. Формулы построены при помощи данных прямого численного моделирования, полученных различными авторами.
Ключевые слова: турбулентные течения, турбулентный пограничный слой
лентных течений в плоских каналах [4-15]. При помощи этого метода можно определять такие характеристики течения, которые практически невозможно измерить экспериментально. В частности, располагая зависимостью осредненной скорости жидкости от расстояния до стенки канала, можно вычислить многие важные характеристики течения, такие как средняя по сечению канала скорость жидкости, толщина вытеснения, толщина потери импульса, фактор формы и другие. Если первоначально прямое численное моделирование ограничивалось лишь малыми значениями критерия Рейнольдса, то в настоящее время результаты получены и при сравнительно больших значениях этого критерия [13-15]. Это позволяет изучать влияние числа Рейнольдса на статистические характеристики течения. Так, например, в работе [16] результаты прямого численного моделирования использовались для изучения отклонений от закона стенки в непосредственной близости стенки, а в статьях [17] и [18] такого рода данные применены для изучения отклонений от закона дефекта скорости и закона дефекта температуры соответственно.
Целью данной работы является изучение влияния числа Рейнольдса на наиболее важные характеристики течения в плоском канале при помощи данных, полученных различными авторами методом прямого численного моделирования. Обозначим через Л полуширину канала, через иь среднюю по поперечному сечению канала скорость жидкости, через р и ^ плотность и вязкость жидкости соответственно. Для каналов с некруговым поперечным сечением в качестве определяющего линейного размера принято использовать так называемый эквивалентный диаметр. Для плоского канала эквивалентный диаметр de равен 4Л. Число Рейнольдса определяется следующим образом: Re = 4рhUt/^ В опубликованных работах, посвященных прямому численному моделированию турбулентных течений в плоском канале, этот параметр изменяется в интервале от 3700 до 500000.
Задача о ламинарном течении жидкости в плоском канале имеет точное аналитическое решение
1 Чесноков Юрий Георгиевич, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. процессов и аппаратов, e-mail: ygchesnokov@yandex.ru Yuri G. Chesnokov, Ph.D, Associate Professor, Department of Chemical Engineering
Дата поступления - 10 ноября 2016 года
(см., например, [19]). Обозначим через у расстояние от рассматриваемой точки до стенки канала, а через U осредненную скорость жидкости в этой точке. Профиль скорости при ламинарном режиме течения имеет параболическую форму:
U = Uo- \ I-
Здесь Uo скорость жидкости на оси канала. Она связана с падением давления Др на участке канала длиной L следующим образом: Ц = Др/2^. Располагая выражением для скорости жидкости, можно вычислить все характеристики течения. Так, например, отношение средней скорости к максимальной, т.е. скорости на оси, равно 2/3.
Расчет потерь давления на трение Потери давления на трения принято характеризовать при помощи коэффициента трения Л, который определяется посредством соотношения:
с/ =
2т
рщ
Уравнение баланса сил, приложенных к жидкости, дает: т = Дph/L. Это позволяет связать между собой коэффициенты Л и с^ Л = 4^,. В результате предложенную Дином формулу можно представить в виде:
/1 =
0,347
Re
0,25
(1)
л =
0.262
При ламинарном режиме течения в плоском канале коэффициент трения обратно пропорционален критерию Рейнольдса: Л = 96/Re. Согласно [1] ламинарный режим течения сохраняется при значениях критерия Рей-нольдса меньших чем примерно 2600. Для турбулентного режима течения Дином предложена формула для коэффициента Си который связан с напряжением трения т на стенке канала следующим образом:
Рисунок 1. Зависимость коэффициента трения от критерия Рейнольдса в логарифмических координатах. Точки построены по результатам работ [4-15], кривая 1 по формуле Дина (1), кривая 2 по формуле (2).
Как видно из рисунка 1, эта формула неплохо описывает имеющиеся данные численных расчетов.
Так называемый универсальный логарифмический закон сопротивления получается на основе логарифмической формулы для профиля скорости. Введем в рассмотрение безразмерные переменные (переменные стенки): U+ = U/uT, y+ = у//т. Тогда в пограничном слое у стенки скорость изменяется по логарифмическому закону:
Здесь k и C постоянные, которые определяются при помощи экспериментальных данных (постоянная k называется постоянной Кармана). Эта формула не справедлива в очень узкой зоне вблизи стенки (в вязком подслое и буферной зоне). Отклонения от логарифмического распределения скорости начинают проявляться для течений в каналах примерно при y/h > 0,2. Если пренебречь этими отклонениями, то интегрирование распределения скоростей по сечению канала дает:
Показатель степени при критерии Рейнольдса здесь такой же, как и в формуле Блазиуса. В большей части работ, посвященных прямому численному моделированию течений в плоском канале, численные значения коэффициента трения не указаны. Однако их можно рассчитать, используя зависимость безразмерной скорости жидкости от безразмерного расстояния до стенки. В качестве безразмерных переменных используют так называемые переменные стенки. Скорость жидкости относят к динамической скорости иТ, определяемой при помощи формулы: т = рыт , а координату к динамической длине /т = р/рит. Интегрируя распределение скорости по сечению канала, можно вычислить среднюю скорость жидкости и найти коэффициент трения по формуле: Л = 8(ит/Ц,)2. Как показывает рисунок 1, формула (1) дает завышенные значения коэффициента трения при небольших значениях критерия Рейнольдса, а при больших - заниженные. Для рассматриваемого диапазона значений критерия Рейнольдса зависимость коэффициента трения от критерия Рейнольдса можно описать простой степенной формулой, но коэффициенты следует изменить:
Здесь И* = /?//т = р/шт/ц - безразмерная полуширина канала (в переменных стенки). Часто эту величину называют критерием Рейнольдса Reт, определенным по динамической скорости жидкости или числом Кармана. В силу определения критерия Рейнольдса имеет место формула: Ке = 4Ь+и^. Как указывалось выше: = 8 Я. Поэтому величины / я и 1п(|1е я) должны быть связаны
между собой при помощи линейной зависимости:
,
Л
Здесь a = l/(k s), b = 1 8
C k{' h( s
. Следует
отметить, что профиль скоростей имеет участок, хорошо аппроксимируемый логарифмической зависимостью, лишь при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса (величина Reт не менее 500). Поэтому для того, чтобы формула была пригодна и при малых значениях числа Рейнольдса, ее необходимо модифицировать. Как показывает рисунок 2, соотношение:
Re
42258 '
(2)
1 = 0.2249-+ 0.9l2)abs4l)-1.541 (3)
/I ln(Re Л)-6.229 V '
хорошо описывает данные прямого численного моделирования. При расчетах по этой формуле критерий
Рейнольдса должен превышать примерно 3400. Коэффициент перед вторым слагаемым в правой части соответствует значению числа Кармана 0.388. Это почти не отличается от числа Кармана 0.383, указанного в работе [20] для плоского канала.
драта скорости
квадрату средней
hU2b Î
U2dy,
а также величины
скорости
h
U3dy-
' hui i
как толщина вытеснения s* = 1 11 1
!
,
толщина потери
импульса g*'
, 1 Г и и Ьу, фактор формы н = 5* S* Ajc/ol i/o J
о
Имеются определенные соотношения перечисленными характеристиками. Так,
uh , „, , 1-S* -8*
U,
--1-S , к
о
— -0,7 75Re'
0,0116.
(4)
мерностей при сравнительно малых значениях Л+. Таким путем можно построить следующие формулы, аппроксимирующие данные прямого численного моделирования:
щ =
1.055
In h+ -3.622
+1.422 + 2.63\nh+
При расчетах обычно известно не число Кармана h+ а критерий Рейнольдса Re. Как видно из рисунка 3, для рассматриваемого диапазона значений критерия Рейнольдса зависимость между логарифмами этих величин близка к линейной и описывается следующим соотношением:
.
(5)
Рисунок 2. Зависимость между величинами / Я и 1п (Яе Я). Точки построены по результатам работ [4-151, кривая по формуле (3).
Интегральные характеристики профиля скорости
При гидравлических расчетах необходимо располагать значениями таких, например, характеристик, как отношение средней по сечению скорости к скорости и0 на оси канала: Ц/Ц,, отношение среднего по сечению канала ква-
Две последние величины появляются, например, при записи уравнения баланса механической энергии. Иногда предпочитают использовать другие характеристики, такие
Рисунок 3. Зависимость In /;+ от InRc. Точки построены по результатам работ [4-15], прямая линия по формуле (5).
По этой причине зависимости средней и осевой скорости от критерия Рейнольдса можно представить в такой форме:
иг =
1.475
hRе-7.465
,
между например,
Все они могут быть вычислены,
(6)
(7)
Рисунок 4 показывает, что данные формулы позволяют с хорошей точностью определить отношение средней скорости к максимальной в зависимости от критерия Рейнольдса.
если известно распределение скорости по сечению канала. При ламинарном режиме движения, они принимают постоянные значения, а при турбулентном режиме движения изменяются при изменении критерия Рейнольдса. Для плоских каналов формула для расчета отношения осевой скорости к средней скорости была предложена Дином [1]. Ее можно преобразовать к следующему виду:
и0
Формулы для расчета величин иь/и0, к1, к2, пригодные в случае труб кругового поперечного сечения, предложены в работе [21].
При построении формулы для расчета отношения средней скорости к максимальной можно исходить из логарифмического распределения скорости. Как уже указывалось при таком распределении скорости зависимость от 1пЛ+является линейной и зависимость и^ от 1пЛ+ является линейной. Однако необходимо ввести поправочные слагаемые, которые учитывали бы отклонения от этих законо-
Рисунок 4. Зависимость отношения средней по сечению скорости к максимальной от критерия Рейнольдса в полулогарифмических координатах. Точки построены по результатам работ [4-15], прямая линия по формуле Дина (4), кривая по формулам (6) и (7).
Величины ki и k2 заметно превышают 1 лишь при сравнительно малых значениях критерия Рейнольдса. Нетрудно подсчитать, что при ламинарном режиме движения k1 = 6/5 а k2 = 54/35. При увеличении числа Рейнольдса обе эти величины приближаются к единице. Аппроксимация данных, полученных при помощи результатов работ [4-15], дает следующие формулы:
к, -1 =
0.1101
к,-1 =
(h Re—7.252)IJ7Ç ' 0.2142
In Re- 7.486
(8)
(9)
Сравнение с данными, полученными на основе работ [4-15], представлено на рисунке 5 и рисунке 6 соответственно. В обоих случаях формулы хорошо согласуются с результатами численных расчетов.
Рисунок 5. Зависимость величины к1 -1 от критерия Рейнольдса в полулогарифмических координатах. Точки построены по результатам работ [4-15], кривая по формуле (8).
Рисунок 6. Зависимость величины k2 -1 от критерия Рейнольдса в полулогарифмических координатах. Точки построены по результатам работ [4-15], кривая по формуле (9).
Заключение
Результаты данной работы показывают, что при построении формул для характеристик течения в плоском канале можно исходить из логарифмического закона распределения скорости, однако необходимо ввести поправочные слагаемые, которые становятся существенными при сравнительно небольших значениях критерия Рей-нольдса. Построенные таким путем формулы хорошо согласуются с результатами, полученными при помощи прямого численного моделирования турбулентных течений в плоском канале.
Литература
1. Dean R.B. Reynolds number dependence of skin friction and other bulk flow variables in two-dimensional rectangular duct flow // J. Fluid Eng. 1978. V. 100. N 2. P. 215-223.
2. Zanoun E.-S., Durst F., Nagib H. Evaluating the law of the wall in two-dimensional fully developed turbulent channel flows // Phys. Fluids. 2003. V. 15. P. 3079-3089.
3. Schultz M.P., Flak K.A. Reynolds-number scaling of turbulent channel flow. // Phys. Fluids. 2013. V. 25. 025104.
4. Kim J., Moin P., Moser R.D. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. 1987. V. 172. P. 133-166.
5. Moser R.D., Kim J., Mansour N.N. Direct numerical simulations of turbulent channel flow up to Rer =590 // Phys. Fluids. 1999. V. 11. P. 943-945.
6. Abe H., Kawamura H., Matsuo Y. Direct numerical simulation of fully developed turbulent channel flow with respect to Reynolds number dependence // J. Fluid Eng. 2001. V. 123. P. 382-393.
7. Tsukahara T., Seki Y., Kawamura H., Tochio D. DNS of turbulent channel flow at very low Reynolds numbers // In: Proc. of the Forth. Int. Symp. on Turbulence and Shear Flow Phenomena. Williamsburg, USA. 2005. P.935-940.
8. Hu Z.W., Morfey C.L., Sandham N.D. Wall pressure and shear spectra from direct numerical simulations of channel flow up to Rer =1440 //AIAA Journal. 2006. V. 44. N2. P. 1541-1549.
9. Hoyas S., Jimenez J. Scaling of velocity fluctuations in turbulent channels up to Rer =2003 // Phys. Fluids. 2006. V.18. 011702.
10. Vreman A.W., Kuerten J.G.M. Comparison of direct numerical simulation databases of turbulent channel flow at Rer = 180 II Phys. Fluids. 2014. V. 26. 015102.
11. Vreman A.W., Kuerten J.G.M. Statistics of spatial derivatives of velocity and pressure in turbulent channel flow // Phys. Fluids. 2014. V. 26. 085103.
12. Lozano-Duran A., Jimenez J. Effect of the computational domain on direct simulations of turbulent channels up to Re =4200 II Phys. Fluids. 2014. V. 26. 011702.
13. Bernardini M., Pirozzoli S., Orlandi P. Velocity statistics in turbulent channel flow up to Rer = 4000 II J. Fluid Mech. 2014. V. 742. P. 171-191.
14. Orlandi P., Bernardini M., Pirozzoli S. Poiseulle and Couette flows in the transitional and fully turbulent regime.//J. Fluid Mech. 2015. V. 770. P. 424-441.
15. Lee M., Mozer R.D. Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re =5200 // J. Fluid Mech. 2015. V. 774. P. 395-415.
16. Чесноков Ю.Г. Влияние числа Рейнольдса на закономерности турбулентного течения жидкости в плоском канале // Журн. техн. физики. 2010. Т. 80. № 12. С. 33-39.
17. Чесноков Ю.Г. Отклонения от закона дефекта скорости, наблюдаемые при малых значениях числа Рейнольдса // Журн. техн. физики. 2011. Т. 81. № 7. С. 30-34.
18. Чесноков Ю.Г Отклонения от закона дефекта температуры // Журн. прикл. химии. 2013. Т. 86. № 2. С. 239-245.
19. Протодьяконов И.О., Чесноков Ю.Г. Гидромеханические основы процессов химической технологии. Л.: Химия, 1987. 576 с.
20. Pirozzoli S. Revisiting the mixing-length hypothesis in the outer part of turbulent wall layer: mean flow and wall friction // J. Fluid Mech. 2014. V. 745. P. 378.
21. Чесноков Ю.Г. Расчет некоторых характеристик турбулентного течения газа или жидкости в круглой трубе // Журн. прикл. химии. 2010. Т. 83. № 9. С. 1493-1498.
