О характере невыпуклости траекторий кубической дифференциальной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.4 ББК 22.161.6 Т 49

Тлячев Вячеслав Бесланович

Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, email: stvb2006@rambler.ru Ушхо Адам Дамирович

Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593908, email: uschho76@mail.ru Ушхо Дамир Салихович

Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru

Аннотация. Рассматривается вопрос о характере невыпуклости замкнутой траектории кубической дифференциальной системы. Доказано, что замкнутая траектория такой системы является s -конечной звездой, где s < 4. Даны примеры кубических систем, имеющих замкнутые траектории типа « m -конечная звезда».

Ключевые слова: кубическая дифференциальная система, невыпуклость траектории, контакт, фазовая плоскость, состояние равновесия.

Tlyachev Vyacheslav Beslanovich

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: tlyachev@adygnet.ru Ushkho Adam Damirovich

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593908, e-mail: uschho76@mail.ru Ushkho Damir Salikhovich

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: damirubych@mail.ru

Abstract. In the paper we consider the character of nonconvexity of a closed trajectory of a cubic differential system. It is proved that the closed trajectory of such system is an s-pointed star where s < 4. Examples of the cubic systems having the closed trajectories a type of "m-pointed star" are given.

Keywords: cubic differential system, nonconvexity of a trajectory, contact, phase plane, equilibrium state.

Известно, что замкнутая траектория дифференциальной системы

где ац, Ъу еЯ, с взаимно простыми правыми частями, является выпуклой [1]. Однако такое утверждение, вообще говоря, неверно для системы

О характере невыпуклости траекторий кубической дифференциальной системы

(Рецензирована)

On the character of nonconvexity of the trajectories of a cubic differential system

Например, система

= 9 y - y(9 x2 + y2),

dx dt

dy = -9 x + x( x2 + 9 y2) dt

имеет пять центров: (0;0), (0;3), (0;-3), (3;0), (-3;0), и четыре седла: Г 3 3 ^ Г 3 3 ^ Г 3

(1а)

VTö' VTö

Г 3

^. I

_Г

.VTö'VTö

_г

VTö'VTö

VTö' VTö

Непосредственные вычисления показывают, что эта система не имеет состояний равновесия на экваторе сферы Пуанкаре. Кроме этого, векторное поле системы имеет четыре оси симметрии N -типа: х=0, у=0, у-х=0, у+х=0 по терминологии [2].

Фазовый портрет системы в круге Пуанкаре изображен на рисунке 1.

Рис. 1. Векторное поле системы 1а) имеет четыре оси симметрии N -типа и не имеет состояний равновесия на экваторе сферы Пуанкаре

Замкнутые траектории системы, охватывающие все состояния равновесия, расположенные в ограниченной части фазовой плоскости, а также проходящие через точки, достаточно близкие к седлам, являются невыпуклыми. Поэтому естественно поставить вопрос о характере невыпуклости замкнутой траектории системы (1).

Рассмотрим систему

Л п

■ = Е Р (х, У) - Р( х, У),

i=0

dt

d- = ZQ, (x, y) - Q( x, y), dt

(2)

i =0

где (P, Q) = T, P (x, y) = 2 arSxryS

Q, (x, y) = 2 brsxryS

arS , bS G R-

Определение 1. Точка М(х0, у0), принадлежащая гладкой кривой Ь, называется контактом на Ь, если вектор V = (Р(х0, у0), Q(х0, у0)) является направляющим вектором касательной к кривой Ь в точке М.

Рассмотрим систему уравнений

{Р (х, У) = 0, (3)

[Р'х (х, у)Р(х, у) + Р'у (х, у^(х, у) = 0, (4)

где Р(х, у) = 0 - гладкая алгебраическая кривая порядка т, т > 1.

Система (3), (4) имеет не более т(т + п -1) решений [3]. Каждое решение этой системы в силу гладкости кривой (3) является либо контактом на кривой (3), либо состоянием равновесия системы (2). Поэтому справедлива

Теорема 1. Сумма числа состояний равновесия системы (2) и числа контактов, расположенных на гладкой кривой порядка т, т > 1, не состоящей из траекторий системы (2), не превосходит числа т(т + п -1).

Заметим, что доказанная автором [1] лемма о том, что число состояний равновесия квадратичной системы и контактов, вместе взятых, на прямой, не состоящей из траекторий этой системы, не превосходит двух, непосредственно следует из теоремы 1.

Следствие 1. Сумма числа состояний равновесия системы (2) и числа контактов на прямой, не состоящей из траекторий этой системы, не превосходит п.

Следствие 2. Сумма числа состояний равновесия системы (1) и числа контактов на гладкой кривой второго порядка, не состоящей из траекторий этой системы, не превосходит восьми.

Пусть М1 и М2 - две различные точки гладкой кривой Ь, не являющиеся контактами на Ь. Достроим произвольным образом дугу М1М2 кривой Ь до гладкой замкнутой кривой 10. Односвязную (двусвязную) область, ограниченную кривой 10 на фазовой плоскости, обозначим ^¡(Ж2). Условимся вектору V(М1) ¡V(М2)) ставить в соответствие вектор р (М1) = а1У (М1) (р (М2) = а2У (М2)) такой, что его проекция на нормаль к кривой 10 в точке М1 (М2) лежит целиком только в области Щ или только в области Щ2. Здесь аг > 0 (г=1;2), V(Мг) - вектор поля системы (2) в точке (г=1;2).

Определение 2. Точки М1 и М2 назовем согласованными на кривой Ь, если проекции векторов р(М1) и р(М2) на нормаль к кривой Ь в точках М1 и М2 соответственно лежат одновременно в области Щ или в области Щ2.

Если указанные проекции лежат в разных областях связности, то М1 и М2 не согласованы на Ь.

В силу непрерывности векторного поля системы (2), на дуге М1М2 кривой Ь имеется хотя бы один контакт либо одно состояние равновесия системы (2), если М1 и М2 не согласованы на Ь.

Далее рассмотрим замкнутую траекторию Ь системы (2). Обозначим открытую одно-связную область на фазовой плоскости, ограниченную кривой Ь, символом G1.

Будем говорить, что дуга I некоторой кривой опирается на хорду АВ (см. рис. 2), если любая прямая, перпендикулярная прямой (АВ), пересекает I не более одного раза.

В

Рис. 2. Дуга I некоторой кривой опирается на хорду АВ

Определение 3. Замкнутую траекторию Ь системы (2) назовем т -конечной звездой, если:

1) существуют пары точек А2г-1 и А2г (г = 1, т) такие, что прямые (А2г-1 А2г) касаются Ь в точках А2г-1 и А2г (г = 1, т);

2) отрезки [А2г-1 А2г ] прямых (Аъ-1 А2г) (г = 1, т) расположены целиком в двусвязной

области G2 = Я2 \ G1;

3) отрезок прямой, соединяющий любые две точки дуги Л2г_1 А2г кривой Ь, опирающейся на отрезок \Л2 _1 Л2г ] ( = 1, т), лежит целиком в области G2.

Замечание 1. Если не существует ни одной пары точек, удовлетворяющих определению 3, то замкнутая траектория системы (2) является 0 -конечной звездой (выпуклой кривой).

Невыпуклая замкнутая траектория, изображенная на рисунке 1, является траекторией типа «4-конечная звезда».

Замечание 2. Согласно следствию 1 и определению 2 на касательной (А2_ Л2г) к замкнутой траектории системы (1) между точками Л2г_1 и Лъ расположен один контакт либо одно состояние равновесия системы (1).

Теорема 2. Замкнутая траектория системы (1) является s -конечной звездой, где s < 4.

Доказательство. Если покажем, что система (1) не имеет замкнутой траектории типа «5-конечная звезда», то тем более будет установлено, что система (1) не имеет замкнутой траектории типа « ^ -конечная звезда», где ^ > 5 . Это и будет доказательством теоремы.

Предположим, что система (1) имеет замкнутую траекторию Ь типа «5-конечная звезда».

Согласно следствию 1, траектория Ь целиком расположена в одной полуплоскости относительно своей касательной (Л2г_1 Л2) (г = 1,5). Кроме этого, касательные (Л2г_1 Л2), пересекаясь парами, образуют выпуклый пятиугольник. Совмещая оси координат со смежными сторонами этого многоугольника, можно привести систему (1) к такой системе, для которой траектория Ь имеет вид, изображенный на одном из рисунков 3-6.

Рис. 3. К кривой Ь имеется две пары параллельных между собой касательных:

(аЛ2)||(АЛ8), (АЛ6)||(АЛ10)

Рис. 4. К кривой Ь имеется только одна пара параллельных касательных: (Л1Л2)|| (Л7Л8)

Рис. 5. Не существует ни одной пары параллельных касательных к кривой Ь, но лишь одна касательная имеет отрицательный угловой коэффициент

Рис. 6. Среди касательных к кривой Ь имеются две касательные с отрицательным угловым коэффициентом

Для каждой из касательных {Аъ_1 Л2г.) существует единственная прямая, параллельная ей и касающаяся дуги кривой Ь, опирающейся на хорду Л2г._1 Л2г.. Эту точку касания, соответствующую прямой (Л2г1 Л2.), обозначим Л2г_12г (г = 1,5). Касательные к Ь, проходящие через точки Л2г12г. (г = 1,5), образуют пятиугольник N1 Ы2ЫъЫ5.

Относительно расположения вершин этого пятиугольника возможны предположения:

1) все вершины расположены в замкнутой односвязной области Н1, ограниченной кривой Ь;

2) среди вершин хотя бы одна расположена в открытой двусвязной области

Н 2 = Я2\Н1.

Пусть все вершины пятиугольника расположены в области Н1. Согласно теореме о единственности кривой второго порядка [4], через точки N. (г = 1,5) проходит единственная неприводимая кривая второго порядка, то есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола. На рисунке 7 изображена парабола, проходящая через вершины N. (г = 1,5) пятиугольника, расположенные в области Н1 .

Точки касания пятиугольника N1N2N3 N4N5 с кривой Ь (рис. 7) обозначены буквами Л2г._12г (г = 1,5), а точки пересечения параболы 10 с кривой Ь - точками В. (. = 1,10) . Какие бы пары точек В2г_1 В2г (г = 1,5) ни взять, они являются несогласованными на 10 (см. определение 2). Следовательно, на каждой дуге В2г_1В2г параболы 10 имеется хотя бы один контакт или одно

состояние равновесия системы (1). Таким образом, сумма числа контактов и числа состояний равновесия системы (1) на параболе 10 не менее девяти. Это противоречит следствию 2. Разумеется, если через точки ^ (г = 1,5) проходит эллипс, то тем более сумма числа контактов и числа состояний равновесия системы (1), расположенных на эллипсе, не менее девяти.

'Вт \1о

Рис. 7. Парабола 10 проходит через вершины N (г = 1,5) пятиугольника,

расположенные в области Н1

Для доказательства теоремы в случае, когда хотя бы одна из вершин пятиугольника, Ы1, Ы2, Ы3, Ы4, Ы5, расположена в открытой двусвязной области Н2, сформулируем одну лемму, доказательство которой не вызывает затруднений.

Пусть дан выпуклый пятиугольник I, и прямые, на которых расположены его стороны, обозначены буквами а1 , а2 , а3, а4 , а5 в соответствии с принятым направлением обхода I . Полуплоскость относительно прямой аг (исключая точки прямой аг (г = 1,5)) обозначим ж(аг), если она не содержит вершин пятиугольника I . Будем говорить, что сторона пятиугольника I, расположенная на прямой аг (г = 1,5), обладает свойством (П), если прямые а 1 и а,,, пересекающие прямую аг в вершинах пятиугольника I, параллельны или пересекаются в полуплоскости п(а{), г, ],, е {1;2;3;4;5}, (г _ ])(г _ ,) ^ 0, ] ^ ,.

Лемма. Пусть все стороны выпуклого пятиугольника I обладают свойством (П). Тогда через вершины I проходит эллипс.

Вернемся к доказательству теоремы в случае (2). Для замкнутой траектории системы (1), изображенной на любом из рисунков 3-5 (обозначим ее Ь), существует пятиугольник со сторонами, обладающими свойством (П ), хотя бы четыре из которых касаются кривой Ь. Согласно лемме, через вершины пятиугольника проходит эллипс. Рассуждениями, аналогичными тем, которые проведены в случае 1), доказывается, что сумма числа контактов и числа состояний равновесия системы (1) на этом эллипсе не менее девяти. Получаем противоречие со следствием 2. Если замкнутая траектория Ь системы (1) имеет вид, изображенный на рисунке 6, то применим к системе (1) преобразование

X = X,

, (5)

[у = ку, где к > 0.

В преобразовании (5) возьмем к настолько большим, чтобы угол между касательными (А5 А6) и (А7 А8) был близок к развернутому. Тогда найдется прямая, имеющая с дугой

Л5 Л8 кривой Ь не менее пяти общих точек. Это означает, что на Ь расположены не менее

четырех контактов и состояний равновесия системы (1), вместе взятых. Приходим к противоречию со следствием 1. Теорема доказана полностью.

Система (1) по теореме 2 имеет замкнутые траектории типа « ^ -конечная звезда», где ^ е{0;1;2;3;4}

Пример 1. Система

дх 2

- = _ Г _ ху.

^ =_ х + х 3 дг

имеет в ограниченной части фазовой плоскости три состояния равновесия, в том числе два центра (± 1;0) и седло (0;0). Замкнутая траектория этой системы, проходящая через точку, близкую к седлу (0;0), является кривой типа «2-конечная звезда» (рис. 8). Из вида главных изоклин системы легко усмотреть, что никакая сепаратриса седла не уходит на бесконечность.

Рис. 8. Замкнутая траектория Ь, проходящая через точку, близкую к седлу (0;0), является кривой типа «2-конечная звезда»

Пример 2. Система

^ = у(_2 х + л/3х2 +Л/3у2),

йг

ду = _х(_2х + л/3х2 +у[3у2) + у2 _ 3х2 дг

имеет три оси симметрии N -типа [2]: у = 0, у = 43х, у = _л/3х

В ограниченной части фазовой плоскости система имеет четыре состояния равновесия:

три простых центра

73*),

V3 1) (S 1

v 6 ;2,

v 2,

и сложное состояние равновесия (0;0)

типа «шестисепаратрисное седло». Согласно [5], система не имеет состояний равновесия на экваторе сферы Пуанкаре. Фазовый портрет системы в круге Пуанкаре приведен на рисунке 9.

У

Рис. 9. Замкнутая траектория системы, проходящая через точку, достаточно близкую к шестисепаратрисному седлу (0;0), является кривой типа «3-конечная звезда»

Таким образом, пример 2 является примером кубической системы, имеющей замкну тую траекторию типа «3-конечная звезда».

Примечания:

1. Тун-Цзинь-Чжу. Расположение предельных цик-

Сх Сх

лов системы — = X2 (х, у), — = Г2 (х, у) // Пе-

М Л

риодический сборник переводов иностранных статей: Математика. 1962. Т. 6, № 6. С. 150-168.

2. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости // Известия Саратовского университета. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. С. 41-49.

3. Уокер Р. Алгебраические кривые. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 236 с.

4. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии, пополненные необходимыми сведениями из алгебры. М.: Наука, 1968. 912 с.

5. Тлячев В.Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д.С. Полиномиальные векторные поля на плоскости. Избранные вопросы. Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. 326 с.

References:

1. Tung Chin-Chu. Positions of limit-cycles of the sys-

dx dx

tem — = X2 (x, y), — = Y2 (x, y) // The periodic dt dt collection of transfers of foreign articles: Mathematics. 1962. Vol. 6, No. 2. P. 150-168; Sci. Sinica, 1959. Vol. 8. No. 2. P. 151-171.

2. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Symmetry axis of planar polynomial differential systems // News of Saratov University. New Ser. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2010. Vol. 10, Iss. 2. P. 41-49.

3. Walker R. Algebraic Curves. Princeton University Press, 1950.

4. Aleksandrov P.S. Lectures on analytical geometry, supplemented by essential materials from algebra. M.: Nauka, 1968. 912 pp.

5. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Polynomial vector fields on the plane. Selected questions. Maikop: ASU Publishing House, 2012. 326 pp.