Качественное исследование полиномиальных дифференциальных систем и некоторые приложения теории прямых изоклин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.41 ББК 22.161.61 Т 49

В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо

Качественное исследование полиномиальных дифференциальных систем и некоторые приложения теории прямых изоклин

(Рецензирована)

Аннотация

В работе рассматриваются применения теории прямых изоклин к изучению вопросов качественного исследования автономных кубических и квадратичных дифференциальных систем. В частности, приводится новое доказательство теоремы Берлинского о числе особых точек второй группы квадратичной системы.

Ключевые слова: прямая изоклина, особая точка, полиномиальная автономная дифференциальная система.

V.B. Tlyachev, A.D. Ushkho, D.S. Ushkho

Qualitative research of polynomial differential systems and some applications of the straight isoclines theory

Abstract

The paper examines applications of the straight isoclines theory to qualitative research of independent cubic and quadratic differential systems. The authors give the new proof of Berlinsky theorem about a number of special points of the second group of quadratic system.

Key words: a straight isocline, a special point, polynomial independent differential system.

В общей качественной теории автономных систем двух дифференциальных уравнений важная роль отводится полиномиальным системам. Наиболее изученными из них являются системы вида:

d= X avx'у1 ° P2, d = X W ° Q2 , (1)

dt “ = о dt “ = о

где aj, bj е R, (P2, Q2) = 1. Это можно объяснить многочисленными их приложениями во многих областях, и прежде всего, в теории колебаний [1]. Для системы (1) решены многие проблемы, такие, как проблема различения центра и фокуса [2], числа особых точек второй группы и распределения особых точек в конечной части фазовой плоскости [3], сосуществования особой точки типа «центра» и предельных циклов [4], прямых изоклин и канонических форм [3, 5, 6].

Число работ, посвященных изучению кубической дифференциальной системы

d = X aixyi ° рз, d= x b4xiy] ° q3 , (2)

ш i+ i= о dl i+ i= о

где aii,bii е R , (Pз,Q3) = 1 , значительно меньше. Для частного случая системы (2) решена проблема различения центра и фокуса (см. монографию [2] и указанную в ней библиографию), проблема сосуществования предельного цикла и особой точки типа «центр» [7], оценки числа особых точек второй группы для системы (2) [8], проблема симметрии векторного поля системы (2) [9], сосуществования предельных циклов и инвариантных прямых [10], прямых изоклин и канонических форм [11].

В настоящей работе приводятся применения теории прямых изоклин к изучению некоторых вопросов качественного исследования систем (1) и (2).

П.1. Элементарное доказательство теоремы Берлинского А.Н. о числе особых точек второй группы системы (1)

Определение 1.1. Особая точка М (x0, у0) типа «фокус» или «центр» дифференциальной системы

dx . dx

— = р(x, у), — = Q( x, у) (3)

dt dt

называется особой точкой второй группы, если выполняется одно из условий:

/ / І І І I

P (x0,У0) + Q (x0,У0) = 0, р (xo,yo)Q (xo,уо)- р (xo,yo)Q (xo,yo) > 0, (4)

x 00 y 00 x 00 y 00 y 00 x 00

/ / i i i i

P (x0.y0) + Q (x^y0) = 0, P (x0,y0)Q (x0,y0)- P (x0.y0)Q (x0,y0) = °. (5)

x 00 y 00 x 00 y 00 y 00 x 00

Очевидно, условие (4) ((5)) соответствует случаю чисто мнимых (двух нулевых) корней характеристического уравнения особой точки М (x0, y0). Согласно [2] система (1) может иметь только особые точки второй группы с чисто мнимыми характеристическими числами. В статье [3] доказана теорема 2, согласно которой квадратичная

дифференциальная система (1) имеет не более двух особых точек второй группы.

Приведем доказательство этой теоремы, опирающееся на сведения из теории прямых изоклин [5, 6]. Предварительно дадим уточненное определение понятий контакта и согласованности точек на гладкой кривой (см. [12])

Определение 1.2. Точка М называется контактом на гладкой кривой L, если вектор V(M) поля системы (3) в точке М является направляющим вектором касательной к L в этой точке.

Определение 1.3. Пусть прямая d - нормаль к гладкой кривой L в точке M,

V(M) = MN, N - нормальная проекция точки N на прямую d. Тогда, позволяя себе

некоторую вольность, проекцией вектора V (M) на нормаль назовем вектор MN1 .

Далее рассмотрим две произвольные точки M1 и M2 гладкой кривой L, не

являющиеся контактами на L. Дугу M1M2 кривой L достроим произвольным образом до простой гладкой замкнутой кривой L. Односвязную (двусвязную) область, ограниченную кривой Ц, обозначим через G\(Gt). Условимся вектору V(M1) (V(M2)) ставить в

соответствие сонаправленный с ним вектор p(M1) (p(M2)) такой, что его проекция (в смысле определения 1.3) на нормаль к кривой L в точке Mj(M2) целиком лежит в одной и только одной из двух областей Gi и G2.

Определение 1.4. Точки Mj и M2 называются согласованными на L, если проекции

векторов p(M1) и p(M2) на нормали к кривой L в точках Mx и M2, соответственно, лежат в одной из областей: G1 или G2. Если проекции векторов p(M1) и p(M2) лежат в разных областях, то M1 и M2 не согласованы на L.

Из последнего определения в силу непрерывности векторного поля системы (3), следует, что на дуге M1 M2 кривой L имеется, по крайней мере, один контакт или одна точка покоя системы (3), если M1 и M2 не согласованы на L.

Согласно следствию 1 [12], а также [6, 11] сумма числа контактов и особых точек на произвольной прямой, не состоящей из траекторий системы (1), не более двух.

Теперь докажем теорему Берлинского.

Предположим, что система (1) имеет три особые точки второй группы A, B, C. Тогда для каждой из них выполняется условие (4), в силу которого особая точка второй группы:

а) либо расположена на прямой

б)либо

Р2 (х, у) + Q (х, у) ° 0.

2 х 2 у

(7)

Так как квадратичная система не может иметь три состояния равновесия на одной прямой (6), то, очевидно, выполняется тождество (7). Поэтому особые точки А, В, С являются центрами [1, 2]. Рассмотрим треугольник АВС. Согласно [6, 11] каждая прямая АВ, ВС, АС является изоклиной системы (1). Рассмотрим в достаточно малой окрестности каждого из центров А, В и С по одной замкнутой траектории £ А , £В и £С, соответственно. Какие бы направления обхода изображающей точки ни были на кривых £ А, £В и £С, среди пар точек: М1 и М2; М3 и М4; М5 и М6 хотя бы одна является парой несогласованных точек на соответствующей стороне треугольника АВС. На такой стороне, которая, очевидно, не является инвариантной, имеется либо один контакт, либо одна особая точка (отличные от вершин треугольника). Пришли к противоречию со следствием 1 [12]. Теорема доказана.

Заметим, что приведенное выше доказательство теоремы Берлинского более компактно, а в работе [3] оно представлено на более чем четырех страницах.

Предположим, что точки покоя О (0, 0), А (0, у;), В (хь 0), С (х2, У2) образуют невыпуклый четырехугольник. При этом считаем, что точка С лежит внутри треугольника ОАВ. В этом случае справедливо утверждение: если О - седло и х1 • у1 > 0, то система (8) не имеет замкнутых траекторий.

Доказательство. Так как по условию О - седло, то тогда согласно [3] А и В также являются седлами, а С - антиседлом (узел, фокус или центр). Таким образом, если имеется замкнутая траектория системы (8), то она непременно окружает точку покоя С и только эту точку (индекс Пуанкаре замкнутой траектории равен +1 [1]). Согласно [6, 11] прямые ОА, ОВ, АВ - изоклины системы (8) и никакая траектория системы (8) не может пересекать указанные изоклины более одного раза. В самом деле, допустив противное, мы на одной из сторон треугольника ОАВ непременно будем иметь две несогласованные точки, и как следствие этого, на одной из сторон треугольника ОАВ сумма числа контактов и особых точек будет не менее трех. В результате пришли к противоречию со следствием 1 [12].

Предположим, что система (8) имеет замкнутую траекторию L. По критерию Бендиксона [1] кривая L должна пересекать прямую

Покажем, что прямая (9) расположена во втором и четвертом квадрантах координатной плоскости. В силу выполнения неравенства х1 • у1 > 0 особая точка С расположена в первом или третьем квадранте. Поэтому угловые коэффициенты главных изоклин: £1: ах + Ьу + п = 0, £ 2: тх + пу + q = 0 отрицательны, то есть

П.2. Исследование на ацикличность квадратичной системы

dt М

(8)

ау + пх = 0 .

(9)

аЬ > 0, тп > 0 .

(10)

По условию О - седло, следовательно,

qc > 0

(11)

Легко видеть, что абсцисса (ордината) точки B(A) определяется по формуле:

q с

Х1 = - - (y = - b )• (12)

m b

Из (11) и (12) и условия x ' У1 > 0 следует неравенство

mb > 0 . (13)

Из (10) и (13) получаем неравенство an > 0, которое говорит о том, что прямая (9), действительно расположена во втором и четвертом квадрантах. В таком случае замкнутая траектория L, окружающая точку покоя C, должна пересекать одну из сторон треугольника OAB. Но выше мы показали, что это невозможно.

Утверждение доказано.

Если в доказанном утверждении неравенство x1 • y1 > 0 заменить на неравенство X • У < 0, то прямая (9) будет расположена в первом и третьем квадрантах, тогда как антиседло C принадлежит второму или четвертому квадранту.

Рассуждая аналогичным образом, мы вновь придем к отсутствию замкнутых траекторий у системы (8).

Таким образом, верно следующее утверждение:

если точки покоя O (0, 0), А (0, yi), В (xh 0), С (x2, y2) образуют невыпуклый четырехугольник, причем C - антиседло, то система (8) ациклична, то есть не имеет ни замкнутых траекторий, ни особых циклов.

П.3 Исследование сложной особой точки кубической дифференциальной системы

Задача нахождения координат особых точек, а также исследования топологической структуры начала координат (0;0) дифференциальной системы

dx 2 2 3 2 2 3

— = a20x + a11xy + a02y + a30x + a21x y + a12xy + a03y ,

dt

= b30x3 + b21x" y + b12 xy2 + b03 y3 (14)

dt

где |a20| + |an| + |a02| > 0, в общем случае достаточно сложна. Однако она упрощается, если

учесть, что через начало координат O (0,0) системы (14) проходит хотя бы одна прямая изоклина [11]. В этом случае можно поступить следующим образом: найти указанную прямую изоклину, а затем подходящим линейным преобразованием [11] перевести эту прямую в одну из главных изоклин, например, в изоклину бесконечности. Тогда система

(14) преобразуется в систему:

dx

— = (ax + by)(Awx + A0lÿ + A20x2 + Aux y + A02y2)

dy -3 -2- --2 -3 , (15)

J = B30x + B21x y + B12x y + B03y dt

В силу теоремы 7 [11] и неравенства |a20| + |a1J + |a0^ > 0 в системе (15) выполняется условие |A10| + |Aq1 > 0. Отсюда по теореме о неявной функции [13] существует решение уравнения A10x + A01 y + A20x2 + A11xy + A02y2 = 0 в виде y = j (x) или x = j (y), где

j ( x ) (j (y )) - ряд по степеням x (y ) . Таким образом, мы имеем информацию о характере изоклины бесконечности системы (15) в достаточно малой окрестности точки покоя O (0,0). А изоклина нуля в качестве ветви имеет хотя бы одну прямую. Все эти сведения,

вместе взятые, позволяют полностью охарактеризовать поведение траектории системы

(15) вблизи точки О (0,0), то есть установить ее тип.

Пример 1. Дифференциальная система

dx 3 3 dy 3 3 2 3 2 3 .ч

— = ху + х + у , — = х - — ху -- ху + у (16)

dt сИ 2 2

имеет две прямые изоклины: х = 0 ; у = 0 , на которых она индуцирует направление т = 1

и три изоклины нуля: у = 2х, у = х, у = - х .

Следуя работе [11], совершим в системе (16) преобразование: х = х + У, у = у, переводящее прямые х = 0 и у = 0 в изоклины бесконечности. Далее, изменяя масштаб времени dt = 2Сх , приходим к системе:

= у(х + у)(6у + 3х + 2), ^ = (х - у)(у + 2х)(х + 2у) (17)

Сх Сх

Анализ проведенного исследования свидетельствует о том, что окрестность особоИ точки О (0,0) системы (17) состоит из одного параболического (узлового) и двух гиперболических секторов.

П.4. Новое доказательство теоремы о числе особых точек второй группы кубической дифференциальной системы

В работе [8] доказано, что число особых точек второИ группы системы (2) не превосходит пяти. При этом рассмотрены только особые точки с чисто мнимыми характеристическими числами.

ОсновноИ результат работы [8] следует из теорем 1 и 2 [8]. Здесь мы хотим показать новое доказательство теоремы 1 [8], согласно котороИ система (2) не может иметь шесть особых точек второИ группы, если

р3х + йзу = о (ху) ° °. (18)

Если допустить существование шести особых точек второИ группы у системы (2), то в силу неравенства (18) и (4) они все расположены на кривоИ

о (х, у) = 0. (19)

Но, согласно работе [14], кривая (19) является изоклиноИ системы (2). Не нарушая общности, считаем, что кривая (19) является одноИ из главных изоклин, например, изоклиноИ бесконечности системы (2).

Таким образом, изоклина бесконечности системы (2) распадается на прямую ^ 0,

котороИ, впрочем, принадлежат три седла, и кривую второго порядка (19). Если кривая (19) является гиперболоИ, либо параболоИ, либо эллипсом, либо пароИ параллельных прямых, то прямая £ 0 пересекает ее разве что в двух точках. В силу этого в одноИ из двух полуплоскостеИ, на которые прямая £ 0 разбивает всю фазовую плоскость системы (2), окажутся не менее трех особых точек второИ группы. Но это противоречит теореме Пуанкаре [15], согласно котороИ две простые особые точки с одним и тем же индексом Пуанкаре не могут быть расположены рядом, если они не разделены особоИ точкоИ самоИ изоклины (в данном случае бесконечности). Пусть далее кривая (19) суть пара пересекающихся прямых. В соответствии с упомянутоИ теоремоИ Пуанкаре [15] три седла на £ 0 расположены так, что два соседних разделены точками самопересечения изоклины бесконечности. По этоИ же причине особые точки второИ группы, расположенные на кривоИ (19), чередуются с особыми точками изоклины бесконечности Р3 = 0. Анализ

расположения траекториИ системы (2) в окрестности каждоИ из девяти ее особых точек показывает, что хотя бы на одноИ из трех прямых изоклин, на которые распадается изоклина бесконечности, наИдется пара несогласованных точек, расположенных между двумя соседними состояниями равновесия. Но это означает, что на прямоИ изоклине кубическоИ системы имеется не менее четырех контактов и особых точек (в сумме). Это противоречит работе [11]. Теорема доказана.

Мы привели лишь некоторые примеры применения теории прямых изоклин в качественноИ теории, которыми, естественно, не ограничиваются возможности применения этоИ теории.

В заключение отметим, что проблеме прямых изоклин полиномиальных систем на плоскости посвящена работа Чересиза В.М. [16]. В неИ доказана теорема 1, аналогичная одноИ из теорем работы [11].

Примечания:

References:

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., 1959. 915 с.

2. Амелькин В.В., Лукашевич Н.А., Садовский А.П. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск, 1982. 208 с.

3. Берлинский А.Н. О поведении интегральных кривых одного дифференциального уравнения // Известия высших учебных заведений. Математика. 1960. № 2 (15). С. 3-18.

4. Лукашевич Н.А. Качественная картина в целом для системы дифференциальных

^d^x ж' j j

уравнений — = ^ ajjX у ,

dt

i+ j= 0

dy_

dt

i+ j = 0

1. Andronov A.A. Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of fluctuations,. M., 1959. 915 pp.

2. Amelkin V.V. Lukashevich N.A., Sadovsky A.P. Nonlinear fluctuation in systems of the second order, Minsk, 1982. 208 pp.

3. Berlinsky A.N. About behaviour of the integrated curve of one differential equation // News of higher educational institutions. Mathematics. 1960. No. 2. (15). P. 3-18.

4. Lukashevich N.A. A qualitative picture as a whole for system of the differential equations

dx

dt

z,

= I

dy

z,

aÿx'yJ , — = X bvx'yJ , having a

i+ j= 0 dt i+ j= 0

point of balance of the centre type// Reports of

Academy of sciences of BSSR. 1960. V.4, No.12. P.497-500.

5. Shakhova L.V. About straight isoclines // Proc.

Alisher Navoi Samarkand State Univ.

Samarkand, 1964. Issue 144. P. 93-105.

6. Ushkho D.S., Gornikh M.I. Straight isoclines and initial forms of quadratic differential system on a plane // Proc. FORA. 2002. No. 7. P. 72-82. (URL: http://fora.adygnet.ru)

= I w , имеющей точку равновесия

типа центр // Доклады Академии наук БССР. 1960. Т.4, №12. С.497-500.

5. Шахова Л.В. О прямых изоклинах // Труды Самаркандского государственного университета им. А. Навои. Самарканд, 1964. Вып. 144. С.93-105.

6. Ушхо Д.С., Горних М.И. Прямые изоклины и

канонические формы квадратичной

дифференциальной системы на плоскости // Труды ФОРА. 2002. № 7. С.72-82. (Ц^: http://fora.adygnet.ru)

7. Лукашевич Н.А. К вопросу о предельных циклах

для системы — = у + Р(х,у) , — = - х + Q(x,y) ,

Л л

3 3

Р(ґх,ґу) = t Р(х,у) , Q(х ґу) = t Q(х, у^ если (0;0) - особая точка типа «центр»// Доклады Академии наук БССР. 1961. Т. 5, № 10. С. 424-426.

8. Ушхо Д.С. О числе особых точек второй

группы кубической системы//

Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29, № 2. С. 240-245.

9. Сибирский К.С., Плешкан И.И. Условия

7. Lukashevich N.A. On limiting cycles for system

= y + P(x,y);

dt

dy = - x + Q(x,y). dt

P(tx, ty) = t P(x, y), Q(tx, ty) = t Q(x, y^ if (0; 0) is a special point such as "centre"// Reports of Academy of sciences of BSSR. 1961. V.5. No. 10. P. 424-426.

8. Ushkho D.S. About a number of special points of

the second group of cubic system // Differential equations. 1993. V. 29, No. 2. P. 240-245.

9. Sibirsky K.S., Pleshkan I.I. A condition of symmetry of a field of directions for a

симметрии поля направлений некоторого дифференциального уравнения// Ученые записи Кишиневского государственного университета. 1957. Т. 29. С. 11-14.

10. Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. О сосуществовании предельных циклов и линейных частных интегралов кубической системы // Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск, 2005. С. 84-85.

11. Ушхо Д.С. О прямых изоклинах кубической дифференциальной системы // Труды ФОРА. 2003. № 8. С. 7-21. (ЦКЬ: http://fora.adygnet.ru)

12. Тун-Изинь-Чжу. Расположение предельных

циклов системы ^Хх - X2 (х, у) , = Y2 (х, у)

// Периодический сборник переводов иностранных статей. Математика. 1962. Т. 6, № 6. С. 150-158.

13. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. М., 1966. Т. 1. 608 с.

14. Ушхо Д.С., Ушхо А.Д. Оценка числа особых

точек второй группы кубической дифференциальной системы// Труды ФОРА. 2005. № 10. С. 44-50. (Ш^

http://fora.adygnet.ru)

15. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М., 1976. 496 с.

16. Чересиз В.М. Об изоклинах полиномиальных векторных полей// Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35, № 6. С. 1390-1396.

differential equation // Scientific Notes of Kishinev State Univ. 1957. V. 29. P. 11-14.

10. Ushkho A.D., Ushkho D.S. About coexistence

of limiting cycles and linear individual integrals of cubic system //The fourth

Bogdanov readings on the ordinary differential equations. Minsk, 2005. P. 84-85.

11. Ushkho D.S. About straight isoclines of cubic differential system // Proc. FORA. 2003. No. 8. P. 7-21. (URL: http://fora.adygnet.ru)

12. Tun-Izin’-Chzhu. An arrangement of limiting

dx

cycles of system = X2 (x, y),

dy = Y2( x, y ) // Periodic collection of

translations of foreign papers: Mathematics. 1962. V. 6. No. 6. P. 150-158.

13. Fikhtengolts G.M. A course of differential and

integral calculus: In 3 v. M., 1966. V. 1. 608 pp.

14. Ushkho D.S., Ushkho A.D. Estimation of a

number of special points of the second group of cubic differential system // Proc. FORA. 2005. No. 10. P. 44-50. (URL: http://fora.adygnet.ru)

15. Bautin N.N., Leontovich E.A. Methods of

qualitative research of the dynamic systems on a plane. M., 1976. 496 pp.

16. Cheresiz V.M. On isoclines of polynomial vector

fields/ V.M.Cheresiz // Siberian Mathematical Journal. 1994. V. 35, No. 6. P. 1390-1396.