Об отсутствии предельных циклов полиномиальных векторных полей с вырожденной бесконечностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.2 ББК 22.161.6 У 95

Ушхо А.Д.

Кандидат физико-матаиатических наук, доцент кафедры теоретической физики инженерно-физического факультета Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 5939-08, e-mail: [email protected] Панеш Т.А.

Ассистент кафедры алгебры и геометрии факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-03, e-mail: [email protected]

Об отсутствии предельных циклов полиномиальных векторных полей с вырожденной бесконечностью

(Рецензирована)

Аннотация

Рассматриваются достаточные условия отсутствия предельных циклов полиномиальных век-n- . ,

удовлетворяющих этим условиям.

Ключевые слова: предельный цикл, векторное поле, вырожденная бесконечность, инвариант, линейное неособенное преобразование.

Ushkho A.D.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Theoretical Physics Department of Engineering-Physics Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-08, e-mail: [email protected] Panesh T.A.

Assistant Lecturer of Algebra and Geometry Department, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-03, e-mail: [email protected]

On lack of limit cycles of polynomial vector fields with degenerate infinity

Abstract

Sufficient conditions of lack of limit cycles of n degree polynomial vector fields on the plane with degenerate infinity are considered. Examples of the systems meeting these conditions are given.

Keywords: limit cycle, vector field, degenerate infinity, invariant, linear nonexceptional transformation.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

n

dx=i p (x, y) - P( x, y),

dt i=0

<

%=¿a (x, y) - q( x, y),

_dt i=0

где Pi (x, y) = £arsxrys , Qt (x, y) = £ brsxrys .

r+s=i r+s=i

В данной работе считается, что (P, Q) = 1. По терминологии [1] система (1) называется системой с вырожденной бесконечностью, если

(1)

xQ(x, y) - yPn (x, y) = 0. (2)

Обозначим Mk (k) - множество, состоящее из s параллельных между собой инвариантных прямых системы (1) с угловым коэффициентом k. Если система (1) является системой с вырожденной бесконечностью, то этот факт мы будем символически обозначать так: (1) е Wn.

Можно показать, что свойство системы (1) быть вырожденной на бесконечности является инвариантом относительно линейного неособенного преобразования.

Теорема 1. Пусть (1)е Wn, кроме этого Mksl(kl) (Mkr2(k2)) - инвариантные множества системы (1), причем k1 ф k2. Тогда r + s < n +1.

Доказательство. Следуя работе [2], применим к системе (1) преобразование x = x + y , y = k1 x + k2y, которое переводит прямые множества Mk1(k1) (Mrk2(k2)) в изоклины нуля (бесконечности) дифференциальной системы (обозначения переменных x, y, t оставляем неизменными):

dx

— = (x - a)( x -a2) ■ ... • (x -ar )[ Pn-r (^ y) + ... + Po (x, y)],

d (3)

= (y-A)(y в2)■..■ (y-в)[q-s(x,y) + ..+qo(x,y)],

dt

где pt (i = 0, n - r) - однородные многочлены степени i; qj (i = 0, n - s) - однородные многочлены степени j .

Систему (3) перепишем в виде

dx

. xPn-r(x y) + ^n-1( x, y), dt

=ysqn-s(x y)+^n-1( x, y),

_ dt

(4)

где (п-1, у/п-1 - многочлены степени п -1; рп-г и дп-,. - однородные многочлены степеней п - г и п - s соответственно.

Так как (4) е Жп, то выполняется равенство хгурп-г (х, у) = ху'дп-х (х,у), из которого следуют отношения Рп-Г (x, у) = у'-1 Вп+1-г-,(x, у), дп-,(x, у) = хГ~1Вп+1-г-,(x, У), где Вп+1-г-' (х, у) - однородный многочлен степени п +1 - г - '. Отсюда следует, что г + ' < п +1. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорема 2.2 [1] является следствием теоремы 1.

Далее предположим, что система (1) е Жп имеет два инвариантных множества

Ы^к) и Мк2^), где к ф кг.

Тогда систему (1) можно привести к системе:

-х —

— =(х-Ц) •... •(х-ап-1)( у + с) = р,

ау ^ (5)

-£ = (у -в)(у - в)[хп-2 + бп-3 (х, у)] = б,

аХ

где бп-3 (х, у) - многочлен степени не выше п - 3.

Теорема 2. Если дбп з(ху) > 0 (< 0), то система (5) не имеет предельных циклов.

дУ

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию Дюлака А( х, у) = [(X -а) •.... • (х - ап-1 )(у - А )(у - в )]-1. _

Тогда (РП)'Х + (йВ)у = [(х - а,) •.... • (х - а)]-1 • [бП-3(х,у)]у.

Если [бп-3( х, у)] = 0, то система (5) является консервативной и не может иметь изолированных периодических решений [3]. Если [бп-3(х, у)]у £ 0, но [бп-3(х, у)]'у > 0 или [бп-3(х,у)]у < 0, то согласно критерию Дюлака для односвязной области [3] система (5) не имеет предельных циклов. Теорема доказана.

Следствие 1. Кубическая дифференциальная система с вырожденной бесконечностью не имеет предельных циклов при наличии у этой системы инвариантных множеств М2к (к,) и М2к2(к2).

В самом деле, система (5) при п = 3 имеет вид

йх

— =(х -а)( х -а2)( у +

а (6)

-¡у = (у-А)( у-АХ х+а),

а

где с, й е Я \{0}, с Ф -Д 2, й Ф -а12.

Очевидно, что система (6) является канонической по терминологии [4] и имеет только особые точки типа «центр» и «седло», а значит предельных циклов не может иметь.

Следствие 2. Полиномиальное векторное поле четвертой степени с вырожденной бесконечностью не имеет предельных циклов, если Мк(к,) и М^(к2) (к, Фк2) - инвариантные множества указанного векторного поля.

Действительно, при п = 4 система (5) имеет вид

йх =

— = (х - а)( х - а2)( х - а3)(у + с) = Р,

а = (7)

ау = (у-А)( у -АХ х2 + Ях + £у + Т) £ б,

_ аХ

где С Ф -А,2 .

При £ = 0 система (7) является канонической и предельных циклов не имеет. Если £ = 0, то в областях возможного расположения предельных циклов системы (7) выражение в правой части (8)

(РА )'х+(бА )'у = £[( х - а)( х а х - а3)]- (8)

знакопостоянно, и мы оказываемся в условиях критерия Дюлака [3].

Здесь А, (х, у) = [(х - а,)(х - а2)(х - а3)(у - в,)(у - в2 )Г.

Замечание 2. Если кубическая дифференциальная система с вырожденной бесконечностью имеет два инвариантных множества М^ (к,) и М22 (к2) (к, Ф к2), то она является консервативной. В отличие от этого полиномиальное векторное поле четвертой степени с вырожденной бесконечностью может не быть консервативной.

Пример. Состояние равновесия (2;2) системы

dx dt dy

:(x -1)( x - 3)( x - 5)( y - 2),

-± = (у -1)(у - 3)(х2 - у - 2), ах

является простым устойчивым фокусом.

Замечание 3. Существуют кубические системы, имеющие предельный цикл и два инвариантных множества М2,1(к1) и Мк22(к2) (к1 Ф к2) ([5]). Очевидно, такие системы не являются системами с вырожденной бесконечностью.

Пусть в системе (1) п - нечетно и п > 3 . Предположим, что Мкг1 (к1) и Мкг2 (к2) -инвариантные множества системы (1), причем к1 Ф к2, 2г = п +1. Тогда систему (1) можно привести к системе:

dx -

— =(x - а) •... •(x -ar)[ y'r-1 + Pn-r -(x y)], dt

dy_ dt

(9)

:(y-ßi) •... • (y-ßr)[xr-1 + Q,-r-i(x,y)],

где Р ,, О , - многочлены степени не выше п - г -1.

^ п-г-15 Х^п-г-1

Теорема 3. Для отсутствия у системы (9) предельных циклов достаточно выпол-

нения одного из трех условий:

Рп-Г-1 (х, у) = / (у), Оп-г-1 (х, у) = ((х); Р„-г-1(х, у) = /(у), Оп-г-1 (х, у) = Ах + Ву + С, В Ф 0; Рп-г-1 (х, у) =Мх + Ыу + К, Оп-г-1 (х, у) = ((х), М Ф 0. Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

(10) (11) (12)

Примечания:

1. Долов М.В., Чистякова CA. О линейных частных интегралах полиномиальных векторных полей четвертой степени с вырожденной бесконечностью. I // Вестник ННГУ. 2010. № 6. С. 132-137.

2. Ушхо Д.С., Горних МЛ. Прямые изоклины и канонические формы квадратичной дифферен-

// -

РА. 2002. № 7. С. 72-82. URL: http://fora.adygnet.ru

3. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 490 с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 916 с.

5. Ушхо Д^., Ушхо АД. О сосуществовании предельных циклов и линейных частных интегралов кубических дифференциальных систем на плоскости // Труды ФОРА. 2004. № 9. С. 2024. URL: http://fora.adygnet.ru

References:

1. Dolov M.V., Chistyakova S.A. On linear private integrals of polynomial vector fields of the fourth degree with degenerate infinity. I / The NNGU Bulletin. 2010. No. 6. P. 132-137.

2. Ushkho A.D., Gornikh M.I. Straight isoclines and canonical forms of the quadric differential system on the plane // Proceedings of Physical Society of in Adygheya Republic. 2002. No. 7. P. 72-82. URL: http://fora.adygnet.ru

3. Bautin N.N., Leontovich E.A. Methods and techniques of high-quality research of dynamic systems on the plane. M.: Nauka, 1976. 490 pp.

4. Andronov A. A., Vitt A. A., Khaykin S.E. Theory of vibrations. M.: Fizmatgiz, 1959. 916 pp.

5. Ushkho D.S., Ushkho A.D. On coexistence of limit cycles and linear particular integrals of cubic differential systems on plane // Proceedings of Physical Society of Adygheya Republic. 2004. No. 9. P. 20-24. URL: http://fora.adygnet.ru