О глубине функций k-значной логики в бесконечных базисах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

О ГЛУБИНЕ ФУНКЦИЙ k-ЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ В БЕСКОНЕЧНЫХ БАЗИСАХ

А. В. Кочергин1

Рассматривается реализация функций k-значной логики схемами из функциональных элементов над произвольным бесконечным полным базисом B. Изучается поведение функции Шеннона Db (n) глубины схем над базисом B (здесь при любом натуральном n значение Db (n) равно наименьшей глубине схем, достаточной для реализации над базисом B любой функции k-значной логики от n переменных). Устанавливается, что при любом фиксированном k ^ 2 для любого бесконечного полного базиса B функций k-значной логики либо существует константа а ^ 1, такая, что Db (n) = а при всех достаточно больших n, либо существуют константы в (в > 0), j, S, такие, что в l°g2 n ^ Db (n) ^ j log2 n + S при всеж n.

Ключевые слова: k-значные логики, глубина схем, бесконечный базис.

The implementation of functions of the k-valued logic by circuits is considered over an arbitrary infinite complete basis B. The Shannon function Db (n) of the circuit depth over B is examined (for any positive integer n the value Db (n) is the minimal depth sufficient to implement every function of the k-valued logic of n variables by a circuit over B). It is shown that for each fixed к ^ 2 and for any infinite complete basis B either there exists a constant а ^ 1 such that DB (n) = а for all sufficiently large n, or there exist constants в (в > 0), j, S such that в log2 n ^ DB (n) ^ j log2 n + S for all n.

Key words: k-valued logics, circuit depth, infinite basis.

Рассматривается реализация функций k-значной логики схемами из функциональных элементов над произвольным бесконечным базисом. Под базисом будем понимать любое множество функций k-значной логики (k ^ 2), такое, что суперпозициями функций этого множества можно реализовать любую функцию k-значной логики. Базис называется бесконечным, если для любого натурального числа m существует функция из этого базиса, существенно зависящая более чем от m переменных. Глубиной схемы над базисом B называется наибольшее число функциональных элементов, составляющих ориентированную цепь, ведущую от входов схемы к ее выходу. Наименьшая глубина схем над базисом B, реализующих функцию k-значной логики f, называется глубиной функции f над базисом B и обозначается через Db (f). Каждому базису B соответствует функция Шеннона глубины Db (n), определяемая при всех n соотношением Db(n) = max/ Db(f), где максимум берется по всем функциям k-значной логики f от n переменных. Более подробно с этими и другими определениями можно ознакомиться в работах [1, 2].

В [3] установлено, что в двузначной логике (k = 2) для любого бесконечного базиса B порядок роста функции Шеннона глубины Db(n) равен либо 1, либо log2 n. В [4] этот результат усилен: доказано, что для любого бесконечного базиса булевых функций B либо существует константа a ^ 1, такая, что Db(n) = a при всех достаточно больших n, либо существуют целочисленная константа b ^ 2 и константа d, такие, что logb n ^ DB (n) ^ logb n + d при всех n.

В данной работе доказано следующее утверждение.

Теорема. При любом фиксированном k ^ 2 для любого бесконечного базиса B функций k-значной логики либо существует константа а ^ 1, такая, что Db (n) = а при всех достаточно больших n, либо существуют константы в, Y, S, где в > 0, такие, что в log2 n ^ Db(n) ^ j log2 n + S при все% n.

В [4, 5] показано, что при любом простом p всякую булеву функцию f от n переменных можно представить, и притом единственным образом, в виде многочлена

n

f (xi, ...,Xn) = ao + ^ ^ ai1...is Xii ... Xis (mod p)

S=1 i<il <...<is^n

с коэффициентами ao, ai1..,is E {0,1,...,p- 1}. Представление булевой функции f в указанном виде называется ее p-представлением. Наибольшее из таких чисел s, что ai1..,is = 0, называется p-степенью булевой

1 Кочергин Алексей Вадимович — студ. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

функции f и обозначается через degp f; если все ai1...is = 0, то р-етепень функции f полагается равной нулю. Для любого множества булевых функций обозначим через degpA максимум из р-степеней входящих в A функций, если он существует. В противном случае положим degpA = то.

Пусть f (xi,... ,xn) — функция k-значной логики, принимающая только значения 0 и 1. Обозначим через g(xi,... ,xn) булеву функцию, получающуюся из функции f путем ограничения области определения на множество {0,1}n .В этом случае будем говорить, что функция k-значной логики f порождает булеву функцию g. Скажем, что схема R-реализует булеву функцию g, если эта схема реализует некоторую функцию k-значной логики f, порождающую булеву функцию g.

В работе используется известная идея Э. Поста о моделировании конечнозначных логик в двузначной логике на основе двоичного кодирования значений функций k-значной логики и их переменных [6, 7]. Запишем двоичное представление произвольного целого числа x, 0 ^ x ^ k — 1, в виде

x = yi(x) + 2y2(x) + ... + 2r-iyr (x),

где r = [log2 k], yj(x) E {0,1}. Будем рассматривать функции yj(x), выражающие разряды двоичного представления числа x, как одноместные функции k-значной логики, принимающие значения 0 и 1. Для любого простого числа р и для любой функции k-значной логики f = f (xi

, x2, ..., xn

) определим

ее обобщенную р-степень, обозначаемую через gdegp f, следующим образом:

gdegp f = max min degpg( , %),

af J

где при каждом j минимум берется по всем булевым функциям gf (t, ...,tt2 ,...,tn,..., tt^) от nr переменных, удовлетворяющим условию

gf (yi(xi),..., yr(xi),..., yi (xn),..., Уг (xn)) = yj (f (xi,xt,..., xn)). (1)

Далее для простоты для каждого j, 1 ^ j ^ r, будем считать, что gf = gf (ti,... ,tr,t2, ...,ttt,..., tn,..., tn) — булева функция, на которой достигается указанный минимум.

При любом простом р для любого множества A функций k-значной логики обозначим через gdegpA максимум из обобщенных р-степеней входящих в A функций, если он существует. В противном случае положим gdegpA = то.

Будем говорить, что множество функций k-значной логики (соответственно булевых функций) A реализуется (R-реализуется) с ограниченной глубиной над базисом B функций k-значной логики, если существует такое число d, что над базисом B любую функцию из A можно реализовать (R-реализовать) схемой глубины не более d.

Через h(zi,..., zr) обозначим функцию из множества {0,1}r в множество {0,1,...,k — 1}, определяемую равенством

(zi + 2zt + ... + 2r-izr, если zi +2z2 + ... +2r-izr ^ k — 1; h(zi ,...,zr) = <

0 в противном случае.

Для произвольной функции k-значной логики f = f(xi,... ,xn) и ее переменных имеем

f = h(yi(f ),y2(f ),...,yr (f));

xi = h(yi(xi),y2 (xi), . . . , Уг (xi)), i = 1,...,n. Поэтому функцию f = f (xi,..., xn) можно представить в виде

f = h(yi (f (h(yi(xi),.. .,Уг (xi)),..., h(yi (xn),.. .,Уг (xn)))),...

..., Уг (f (h(yi (xi), ..., Уг (xi)), ..., h(yi (xn), ..., Уг (xn))))).

Рассмотрим произвольный базис B функций k-значной логики. Через Ab обозначим базис булевых функций, который состоит из двуместной дизъюнкции, отрицания и всех булевых функций вида yj (f (h(ti,... ,t),..., h(tn,..., tn))), где 1 ^ j ^ r, а f — функция k-значной логики из базиса B.

12 ВМУ, математика, механика, № 1

Лемма 1. Пусть функция k-значной логики f = f (x1

,x2, . .., Xn

) существенно зависит от n переменных. Тогда существует такое j, 1 ^ j ^ r, что булева функция yj(f (h(ti,..., t),..., h(tn,..., tn))) существенно зависит не менее чем от j переменных.

Доказательство. Предположим, что для любого j, 1 ^ j ^ r, булева функция

yj (f (h(ti,...,tl),...,h(tn,...,tn)))

существенно зависит менее чем от j переменных. Тогда и функции fc-значной логики lj(x\,x2, ■ ■ ■ ,хп) = yj(f(h(yi{x\),... ,yr(xi)),... ,h(y\(xn),... ,yr{xn)))) существенно зависят менее чем от j переменных. Но, следовательно, функция k-значной логики

f (X1 , X2,. .., Xn ) = h(yr(f (h(yr (Xi), . . .,yr (Xi )), ..., h(yr (Xn), .. .,yr (Xn)))), . . .

..., yr (f (h(yi(Xi),..., yr (Xi )), ..., h(yi (Xn), ..., yr (Xn)))))

существенно зависит менее чем от n переменных. Получаем противоречие. Лемма доказана.

Из леммы 1 следует, что для произвольного бесконечного базиса B функций k-значной логики базис булевых функций Ab также является бесконечным.

Лемма 2. Над любым базисом B функций k-значной логики базис булевых функций Ab можно R-реализовать с ограниченной глубиной.

Доказательство. Любую булеву функцию из базиса Ab можно R-реализовать над B схемой глубины не более ci + С2 + Сз, где ci — глубина, достаточная для реализации над базисом B всех функций k-значной логики от r переменных; С2 — глубина, достаточная для реализации над базисом B всех функций k-значной логики от одной переменной; Сз — глубина, достаточная для R-реализации над базисом B дизъюнкции и отрицания. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть B — бесконечный базис функций k-значной логики, такой, что gdegpB = ж при некотором простом p. Тогда для базиса булевых функций Ab выполняется соотношение degpAB = ж. Доказательство. Для любой функции k-значной логики f имеет место неравенство

gdegpf = max degpgf(ti,...,t^,ti,...,t2,...,tn,...,tn) <

i ^ j ^r J

< max degp yj (f (h(t^ ...,t),.. .,h(tn,.. .,t))).

i^j^r

Неравенство верно в силу того, что булева функция yj(f (h(ti,..., t),..., h(tn,..., t))) удовлетворяет условию (1), т.е.

yj (f (h(yi(Xi),.. .,yr (Xi)),..., h(yi(Xn),.. .,yr (Xn)))) = yj (f (Xi , x2, . .., Xn))

а gf (ti,. ..,ti,t2,...,tt2,...,tn,..., t) — булева функция минимальной p-степени, удовлетворяющая условию (1).

Отсюда следует, что degpAB = ж. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть B — бесконечный базис функций k-значной логики, такой, что gdegpB = ж для любого простого p. Тогда существует константа а ^ 1, такая, что Db(n) = а при всех достаточно больших n.

Доказательство. По леммам 2 и 3 над базисом B с ограниченной глубиной можно R-реализовать бесконечный базис булевых функций Ab, такой, что degpAB = ж для любого простого p. В [4] доказано, что над произвольным бесконечным базисом булевых функций, p-степень которого бесконечна для любого простого p, можно с ограниченной глубиной реализовать множество всех булевых функций. Следовательно, над базисом B можно R-реализовать с ограниченной глубиной множество всех булевых функций. Рассмотрим представление произвольной функции k-значной логики f = f(xi,... ,xn) в виде

f = h(yi (f (h(yi(xi),.. .,yr (xi)),..., h(yi (Xn),.. .,yr (xn)))),...

..., yr (f (h(yi (xi),..., yr (xi)),..., h(yi (Xn), ..., yr (Xn))))).

Функции yi(xj), 1 ^ i ^ r, 1 ^ j ^ n, реализуются над базисом B охемой глубины не более С2, где С2 — глубина, достаточная для реализации над базисом B всех функций k-значной логики от одной переменной. Булевы функции yj(f (h(ti,..., t),..., h(tn,..., t?))), 1 ^ j ^ r, можно R-реализовать над

базисом B схемой глубины не более С4, где С4 — глубина, достаточная для Д-реализации над базисом B всех булевых функций. Внешняя функция h(ti, ...,tr) (точнее, произвольное доопределение этой функции до функции k-значной логики) реализуется схемой глубины не более ci, где С\ — глубина, достаточная для реализации над базисом B всех функций k-значной логики от r переменных. Поэтому любую функцию k-значной логики f = f (xi,..., xn) можно реализовать схемой глубины не более С2 + С4 + ci.

Таким образом, множество всех функций k-значной логики можно реализовать над базисом B с ограниченной глубиной. Функция Шеннона глубины Db(n) монотонно неубывающая, следовательно, найдется такая константа а ^ 1, что Db(n) = а при всех достаточно больших n. Лемма доказана.

Лемма 5. Если базис B при некотором простом p удовлетворяет условию gdegpB < ж, то для любой функции k-значной логики f выполняется неравенство gdegpf ^ (gdegpB)db ({).

Доказательство проведем индукцией по глубине функций. Базис индукции: функции глубины 0. Глубину 0 имеют только тождественные функции Xi. Для них (gdegpB)DB(xi) = 1 и gdegpxi = 1, так как булевой функцией минимальной p-степени gXг(ti,...,t), такой, что ^(yi(xi),...,yr(xi)) = yj(xi), является функция tj. Базис индукции установлен.

Индуктивный переход: пусть Db(f) ^ 1 и пусть утверждение доказано для всех функций глубины не более Db(f) — 1. Докажем его для функции f = f (xi,... ,xn) глубины Db(f). Рассмотрим реализующую эту функцию схему глубины Db (f). Функция f реализуется в этой схеме на выходе некоторого функционального элемента. Этому элементу приписана некоторая базисная функция ф, на входы которой подаются функции fi,...,fm, и f = ф(^,...^т). Используя предположение индукции, получаем соотношения gdegpfi < (gdegpB)Db({i) < (gdegpB)db ({. Учитывая их, имеем

gdegpf = max degpg{ < max degpgjb (g{l ,...,g{l ,g{2 ,...,gfr2 ,...g{m ,...,gfm) <

i^j^r J i^j^r J

^ max degpgj max max degpg{i ^ gdegp ф max gdegpfi ^ ^ gdegpB max gdegpfi ^ (gdegpB)db ({).

Первое неравенство в этой цепочке соотношений верно в силу того, что булева функция gjf (g{l (t^ ... ,tn), ..., g{m (ti,..., tn)) удовлетворяет условию (1), т.е.

gj (g{l (y i (x i),..., yr(xn)),.. .,g{m (y i (x i),..., yr (xn))) =

= gj (y i (fi (x i, ..., xn)), ..., yr (fm(x i, ..., xn))) = = yj (ф(! i (x i, . . .,xn), ..., fm(x i, . . .,xn))) = yj (f (x i, . . .,xn)),

f

а g{ — булева функция минимальной p-степени, удовлетворяющая этому условию. Лемма доказана.

Лемма 6. Для любого простого p и произвольного натурального n существует функция k-значной логики f, такая, что gdegpf ^ n.

Доказательство. Рассмотрим функцию f(xi,...,xn), которая принимает значение 1 на наборах вида (ai,..., an), где все ai нечетные, а на остальных наборах принимает значение 0. Для булевой функции g{(t i,.. .,t], ,...,tn,..., tn) выполняется неравенство

degpg {(t i,...,tlr ,...,tn,...,tnr) ^ degpg {(t ^ 0,...,0,t, 0,...,0,... ,tn, 0 ...,0).

f

В правой части неравенства стоит булева функция, получающаяся из функции g f подстановкой константы 0 вместо всех переменных tk, 1 ^ i ^ n, 2 ^ k ^ r. Ее р-представление имеет вид t \t\ ...tn (mod p). Поэтому p-степень этой булевой функции равна n. Следовательно, gdegpf ^ n. Лемма доказана.

Лемма 7. Для произвольного базиса B и любого простого p справедливо неравенство gdegpB > 1. Доказательство. Допустим, что gdegpB ^ 1. В лемме 5 доказано, что если f = ф(/i,..., fm), то

gdegpf ^ gdegpф max gdegpfi.

С использованием этого факта индукцией по глубине функции устанавливается, что для произвольной функции k-значной логики f должно быть выполнено неравенство gdegpf ^ 1. Но в лемме 6 утверждается,

13 ВМУ, математика, механика, № 1

что для любого простого р и любого натурального п существует такая функция f, что gdegpf ^ п. Получили противоречие. Лемма доказана.

Лемма 8. Пусть В — бесконечный базис функций к-значной логики, такой, что gdegpB < ж при некотором простом р. Тогда существуют константы в, 5, где в > 0, такие, что в п ^ Ов(п) ^ 7 ^2 п + 5 при все% п.

Доказательство. Нижняя оценка следует из лемм 5-7, если взять в = 0°ё2 gdegpB)_1.

Доказательство верхней оценки повторяет доказательство леммы 4, стоит только учесть утверждение леммы 2 и тот факт, что, согласно [4], для любого бесконечного базиса булевых функций А существуют константы Ь1 и в1, такие, что множество всех булевых функций от п переменных можно реализовать над А схемой глубины не более Ь1 ^2 п + в1 при всех п. Поэтому любую функцию к-значной логики от п переменных можно реализовать над базисом В схемой глубины не более С2 + С1 + С$(Ъ1 ^2 п + в1), где С2 — глубина, достаточная для реализации над базисом В всех функций к-значной логики от одной переменной; С1 — глубина, достаточная для реализации над базисом В всех функций к-значной логики от г переменных; С5 — глубина, достаточная для Д-реализации над базисом к-значной логики В бесконечного базиса булевых функций Ав. Полагая 5 = С2 + С1 + С$в1, в = С^Ь1, получаем требуемое неравенство. Лемма доказана.

Из лемм 2 и 8 непосредственно следует утверждение теоремы.

Автор выражает искреннюю благодарность О. М. Касим-Заде за постановку задачи, всестороннее внимание и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 43-81.

2. Сэвидж Дж.Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998.

3. Касим-Заде О.Ш. О глубине булевых функций при реализации схемами над произвольным базисом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 1. 18-21.

4. Касим-Заде О. M. О глубине булевых функций над произвольным бесконечным базисом // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2007. 14, № 1. 45-69.

5. Smolensky R. Algebraic methods in the theory of lower bounds for Boolean circuit complexity // Proc. 19th Annual ACM Symposium on Theory of Computing (1987). N.Y.: ACM, 1987. 77-82.

6. Post E. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer. J. Math. 1921. 43. 163-185.

7. Яблонский С.В. Введение в теорию функций k-значной логики // Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. I / Под ред. С.В. Яблонского, О.Б. Лупанова. М.: Наука, 1974. 9-66.

Поступила в редакцию 09.06.2010

УДК 514.7

КРОНЕКЕРОВЫ ИНДЕКСЫ АЛГЕБРЫ ЛИ И ОЦЕНКА СТЕПЕНЕЙ ИНВАРИАНТОВ

А. C. Воронцов1

В статье вводится понятие кронекеровых индексов алгебры Ли — целочисленных характеристик, естественным образом связанных с тензором структурных констант алгебры Ли. Доказывается нижняя оценка на степени полиномиальных инвариантов коприсоеди-ненного представления алгебры Ли, формулируемая в терминах кронекеровых индексов.

Ключевые слова: алгебра Ли, коприсоединенное представление, инварианты, бига-мильтонова геометрия.

The notion of Kronecker indices of a Lie algebra as integers naturally connected to its

1 Воронцов Александр Сергеевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].