О глубине булевых функций при реализации схемами над произвольным базисом Текст научной статьи по специальности «Математика»

18

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2007. № 1

Далее,

\Snp(fk, 0)| =

rcuVW. s'm((Nk + sm((Np + ±)t)

'Ck

2 Sin ;

dt

<

<

2

Ck

t

2

(Nk + i) < 7Г2

Перемножив эти три оценки, приходим к неравенству

t

2

\SNp(Fk,0)\<C2^, (8)

где С2 — положительная абсолютная постоянная. Учитывая оценки (6)—(8), окончательно получим

¿чсад > -Е 1^(^,0)1 - х; \зМр(гк,о)\>

ln Np

р— 1 ЛГГ" 00

p k=l k=p+l

„ -г- ^ „ ^ 1 „ (у-цузут „„1 " 1 1 2-^--^ 01 >0

при р ^ж, т.е. сходимости к нулю нет. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-01-00268) и программ государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-4681.2006.1, МК-6085.2006.01).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Waterman D. On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation // Stud. math. 1972. 44, N 1. 107-117.

2. Саакян А.А. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Изв. АН АрмССР. 1986. 21, № 6. 517-529.

3. Саблин А.И. Функции ограниченной Л-вариации и ряды Фурье: Канд. дис. М.: МГУ, 1987.

4. Саблин А.И. Л-вариация и ряды Фурье // Изв. вузов. Математика. 1987. № 10. 66-68.

5. Бахвалов А.Н. Непрерывность по Л-вариации функций многих переменных и сходимость кратных рядов Фурье // Матем. сб. 2002. 193, № 12. 3-20.

6. Бахвалов А.Н. Представление непериодических функций ограниченной Л-вариации интегралом Фурье в многомерном случае // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. 67, № 6. 3-22.

7. Goffman C, Waterman D. The localization principle for Fourier series // Stud. math. 1980. 99, N 1. 41-57.

Поступила в редакцию 06.02.2006

УДК 519.6

О ГЛУБИНЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ СХЕМАМИ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ БАЗИСОМ

О. М. Касим-Заде

1. Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из функциональных элементов над произвольным фиксированным базисом В. Под базисом будем понимать любое функционально полное множество булевых функций, т.е. такое, что суперпозициями функций этого множества можно реализовать любую булеву функцию. Под глубиной схемы над базисом В понимается наибольшее число функциональных элементов, составляющих ориентированную цепь, ведущую от входов схемы к ее выходу. Наименьшая

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2007. № 1

19

глубина схемы над базисом Б, реализующей булеву функцию /, называется глубиной функции / над базисом Б и обозначается через Ов(/)■ Всякий базис Б характеризуется функцией Шеннона глубины О в (п), определяемой при всех натуральных п соотношением О в (п) = тах О в (/), где максимум берется по всем булевым функциям / от п переменных. Подробные определения этих и других используемых в работе понятий см. в [1, 2].

Базис называется конечным, если число существенных переменных входящих в него функций ограничено, т.е. найдется такое число т, что любая функция этого базиса существенно зависит не более чем от т переменных; в противном случае базис называется бесконечным.

В работе используются обычные обозначения: а(п) = 0(Ь(п)), если существует такая постоянная с, что |а(п)| < сЬ(п) при всех достаточно больших п; а(п) = 0(Ь(п)), если одновременно а(п) = 0(Ь(п)) и Ь(п) = 0(а(п)).

Известно [1], что для любого конечного базиса Б выполняется соотношение Ов(п) = 0(п). Известно также, что существуют бесконечные базисы, для которых порядки роста функции Шеннона глубины имеют вид 0(1) и в(^2 п) (например, базис всех булевых функций и соответственно базис, состоящий из конъюнкции двух переменных и всех линейных булевых функций [3]). Вопрос о полном описании порядков роста функции Шеннона глубины для всех бесконечных базисов до сих пор оставался открытым. В данной работе этот вопрос решен.

Теорема. Для любого базиса Б выполняется одно из соотношений: либо Ов(п) = 0(1), либо Ов(п) = в(^2 п), либо Ов(п) = 0(п), причем последний случай имеет место тогда и только тогда, когда базис Б конечный.

Доказательство теоремы в сжатом виде дано ниже.

2. Будем говорить, что множество (последовательность) булевых функций А реализуется над базисом Б с ограниченной глубиной, если существует такое число й, что любую функцию из А можно реализовать над Б схемой глубины не более й.

Последовательность булевых функций {д8}^=1 назовем правильной, если для любого в функция д8 этой последовательности существенно зависит от в переменных.

О-функцией называется любая булева функция, принимающая на нулевом наборе значение 0, а на любом наборе, содержащем ровно одну единицу, — значение 1. Для любого в из любой булевой функции, существенно зависящей от достаточно большого числа переменных, путем подстановки констант 0,1, замены некоторых переменных их отрицаниями и, возможно, самой функции ее отрицанием можно получить некоторую О-функцию от в переменных [4].

Над любым базисом константы 0,1 и функция отрицания Х реализуются с ограниченной глубиной. Поэтому над любым бесконечным базисом можно реализовать с ограниченной глубиной некоторую правильную последовательность О-функций {д8}^=1.

Располагая О-функцией д8 от в переменных, любую булеву функцию /, принимающую единичные значения на в наборах, можно представить в виде / = д3(К\,К2,...,К8), где К^ — все различные элементарные конъюнкции, входящие в совершенную дизъюнктивную нормальную форму этой функции:

/ = ч и К.

Обозначим через кп конъюнкцию п переменных: кп = Х\Х2 .. .Хп. Множество всех функций кп обозначим через К.

Из сказанного выше следует, что для любого бесконечного базиса Б выполняются соотношения Ов(кп) < Ов(п) < Ов(кп) + 0(1) (левое неравенство очевидно).

Для любого базиса Б выполняется соотношение Ов(кп) = 0(\og2 п), ибо Ов(кп) < Ов(к2)(^2 п+1), а Ов(к2) = 0(1). Поэтому для любого бесконечного базиса Б выполняется соотношение Ов(п) = 0(\og2 п).

3. Обозначим через поле классов вычетов по простому модулю р, Ер = {0,1,...,р — 1}. Для любого простого р любую булеву функцию / можно представить, и притом единственным образом, в виде многочлена

п

/ (Х1, ...,Хп) = ао + ^ Хгг ...Хгв ^¿р)

8=1 1^г1<...<г3^п

с коэффициентами ао, а¿1 ...гд из поля (ограничив значения переменных Х1 множеством {0,1}) [5]. Назовем р-степенью функции / и обозначим через degp/ наибольшее число в, такое, что найдется хотя бы один коэффициент агг..ла = 0; если такого в не существует, то положим degp/ = 0.

Для любого базиса Б обозначим через degpB наибольшую р-степень входящих в него функций; если базис содержит функции сколь угодно большой р-степени, то положим degpB = то.

Если degpB < то при некотором р, то для любой булевой функции / выполняется соотношение

degpf < (degpB)Db) (это легко доказывается индукцией по глубине функций). Поэтому для любой булевой функции f, отличной от констант, Db(f) ^ (1°§2 degpB)-i log2 degpf. Учитывая, что degpkn = n при любых p и n, приходим к заключению: если базис B бесконечный и degpB < то при некотором p, то Db(n) = @(log2 n). а

4. При любых n,p, a, где n > 1, p — простое, 0 < a < p — 1, обозначим через ¡pa булеву функцию от n переменных, определяемую соотношением

¡p0( ) = ( 1, если xi + ... + Xn = a(modp);

¡n ^l^. . , xn) S П

' [0 в противном случае,

— элементарную периодическую симметрическую функцию с периодом p и начальным сдвигом a. Множество всех функций ¡pa при фиксированном p и всевозможных n,a обозначим через Lp.

Лемма 1. Над любым бесконечным базисом B хотя бы одно из множеств Lp реализуется с ограниченной глубиной.

Доказательство. Для любого m из любой булевой функции от достаточно большого числа переменных путем подстановки константы 0 можно получить некоторую симметрическую функцию от m переменных [6].

Над базисом B с ограниченной глубиной реализуется некоторая правильная последовательность D-функций. При подстановке константы 0 в любую D-функцию от двух или более переменных снова получается D-функция. Поэтому над B реализуется с ограниченной глубиной некоторая правильная последовательность симметрических D-функций {gsЭту последовательность можно выбрать так, что в ней при любом s функция gs получается из gs+i путем подстановки константы 0 вместо последней переменной. Для любого a < s обозначим через g0 функцию от s — a переменных, полученную из gs путем подстановки константы 1 вместо последних a переменных (g0 = gs).

Каждой функции gs соответствует двоичное слово UoUi ...Us длины s + 1, в котором i-й разряд Ui равен значению этой функции на наборах с i единицами. При этом Uo = 0, Ui = 1, и при любом s слово, соответствующее gs, служит началом слова, соответствующего gs+i. Рассмотрим бесконечное слово U = WoWiW2 ... и его бесконечные подслова Ua = UaUa+iUa+2 ... при всевозможных a > 0 (при этом U0 = U ). Возможны три взаимно исключающих случая:

1) слово U апериодическое, т.е. Ua = Ub при любых a и b, a = b. При любом n найдутся такие a и b, a < b, что в слове U подслова uaua+i ... Ua+n-i и UbUb+i... Ub+n-i одинаковой длины n совпадают. Пусть m — наименьшее положительное число, такое, что Ua+m = Ub+m. Тогда m > n и gO+m- ®g'b+m-n = kn (символ ® обозначает сложение по модулю 2). Отсюда следует, что множество K реализуется над базисом B с ограниченной глубиной. Но тогда и любое множество Lp реализуется над B с ограниченной глубиной;

2) слово U периодическое с периодом 1, т.е. Ua = Ua+i при некотором a. Пусть a — наименьшее число с таким свойством. Тогда a > 1 и gafl+0_i ® g0+a = Xi .. .Xn. Отсюда следует, что множество K, а с ним и любое Lp реализуются над B с ограниченной глубиной;

3) слово U периодическое с минимальным периодом T > 2, т.е. Ua = Ua+T при некотором a, причем Ub = Ub+T' при любых b и T', где 1 < T' < T — 1. Фиксируем произвольную булеву функцию ф от T переменных и применим ее поразрядно к словам Ua,Ua+i,...,Ua+T-i, т.е. образуем бесконечное слово n = n0nin2 ..., полагая nj = ф(Uj+a,Uj+a+i,... ,Uj+a+T-i) при любом j. Слово n чисто периодическое с периодом T (т.е. ni = ni+T при любом i) и однозначно определяется своими T начальными разрядами no,ni,..., nT-i. Указанные разряды являются значениями функции ф на различных наборах значений ее переменных. Поэтому при подходящем выборе ф можно придать этим разрядам любые наперед заданные значения.

Фиксируем любой простой делитель p числа T и возьмем функцию ф, такую, что ni = 1 при г = 0(modp) и щ = 0 в противном случае. Тогда 7Г = 1 1 (L^J)... — чисто периодическое слово с

p- i p- i

периодом p. Отсюда следует, что при любом n имеет место равенство ф(g0+a,g'00++ia+i,... ^n+T+^i) = ¡p0.

Из функций ¡п0 путем подстановки константы 1 получаем все функции множества Lp. Поэтому Lp реализуется над B с ограниченной глубиной. Лемма доказана.

5. Назовем булеву функцию p-главной, если p-степень этой функции равна числу ее существенных переменных.

Взяв любую правильную последовательность p-главных функций любую булеву функцию f

от n переменных можно представить, и притом единственным образом, в виде

f(xi,...,xn) = bo + Е ...is фз(xh ,...,Xis) (modp) (1)

s=1 1^ii<...<is^n

с коэффициентами bo, bi1...is из поля Fp. Обозначим через M сумму всех коэффициентов bo, bi1 ...is этого представления, рассматриваемых как целые числа. Подставим в функцию у1 константу 1 в количестве bo экземпляров и всевозможные функции фз(хi1, ...,Xis) из (1) в количестве bi1...is экземпляров соответственно. Тогда f представляется в виде

f (х1, ..., xn) = M (1,... , ф s (xil , ..., Xis ),.. О, (2)

где правая часть обозначает результат описанной подстановки (по существу, (2) есть лишь другая форма записи (1)).

Лемма 2. Если при некотором p множество Lp реализуется над базисом B с ограниченной глубиной и degpB = ж, то Db(n) = в(1).

Доказательство. Базис B содержит последовательность функций i}?=i возрастающей p-степени, т.е. такую, что degp^>i < degp^i+i при любом i. Из любой последовательности функций возрастающей p-степени путем подстановки констант 0, 1 можно получить правильную последовательность p-главных функций. Отсюда следует, что существует правильная последовательность p-главных функций {фз}J=i, реализуемая над B с ограниченной глубиной. Используя эту последовательность, любую функцию f можно представить в виде (2). Поэтому множество всех булевых функций реализуется над B с ограниченной глубиной, и, стало быть, Db(n) = 0(1). Лемма доказана.

6. Если базис B конечный, то Db(n) = 0(n). Пусть B бесконечный. Если degpB < ж при некотором p, то Db(n) = 0(log2 n). В противном случае degpB = ж при любом p. В силу леммы 1 при некотором p над B реализуется с ограниченной глубиной множество Lp, откуда в силу леммы 2 имеем Db (n) = 0(1). Теорема доказана.

Из доказательства теоремы следует, что Db(n) = 0(1) тогда и только тогда, когда degpB = ж при любом p. Соответственно Db(n) = 0(log2 n) тогда и только тогда, когда базис B бесконечный и degpB < ж при некотором p. Можно показать, что в последнем случае такое число p единственно и Db (n) = (log 2 degpB )"1 log2 n + 0(1).

Отсюда вытекает, что функция Шеннона глубины при n — ж может иметь асимптотику только одного из трех видов: если базис B бесконечный, то либо существует такая положительная постоянная

а, что Db(n) = а при всех достаточно больших n, либо Db(n) = (log2 degpB)-1 log2 n + 0(1), где p — единственное простое число, такое, что degpB < ж; если базис B конечный, то, согласно [1], Db(n) = (log2 m)-1 n(1 + en), где m — наибольшее число существенных переменных у функций базиса B и en — 0 при n — ж.

Автор рассматривает эту статью как скромную дань памяти своего учителя Олега Борисовича Лупанова.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00994), программы государственной поддержки ведущих научных школ РФ (проект № НШ-5400.2006.1) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 43-81.

2. Savage J.E. The complexity of computing. Wiley, 1976 (Сэведж Дж. Э. Сложность вычислений. М.: Факториал, 1998).

3. Ложкин С.А. Асимптотическое поведение функций Шеннона для задержек схем из функциональных элементов// Матем. заметки. 1976. 19, № 6. 939-951.

4. Касим-Заде О.М. Общая верхняя оценка сложности схем в произвольном бесконечном полном базисе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 4. 59-61.

5. Smolensky R. Algebraic methods in the theory of lower bounds for Boolean circuit complexity // Proc. 19th Annual ACM Symp. Theory Comput. ACM Press, 1987. 77-82.

б. Nesetril J. Some nonstandard Ramsey-like applications // Theor. Comput. Sci. 1984. 34, N 1-2. 3-15.

Поступила в редакцию 16.02.2006