CC BY
13
УДК 519.714
С.А. Ложкин, В.А. Коноводов2
О СИНТЕЗЕ И СЛОЖНОСТИ ФОРМУЛ С ОГРАНИЧЕННОЙ ГЛУБИНОЙ АЛЬТЕРНИРОВАНИЯ*
Рассматриваются формулы алгебры логики в стандартном базисе {&, V, с заданной глубиной альтернирования. Формула, рассматриваемая как частный случай схемы из функциональных элементов, имеет глубину альтернирования а, если максимальное число изменений типов элементов в последовательностях, которые являются цепями этой формулы и не содержат отрицаний, присоединенных к ее входам, равно (а — 1). Вводится величина (п), равная минимальной сложности формулы, имеющей глубину альтернирования не больше, чем а, и реализующей самую сложную в этом смысле функцию. Лупановым было показано, что L^ (п) асимптотически равно 1о| п при а '¡> о. В данной работе устанавливается поведение этой функции для а ^ 3 на уровне асимптотических оценок высокой степени точности:
log2п ^ log2n J
где logjf-1' n = log2 ... log2 n, которые имеют относительную погрешность О ^^.
(а —1) раз
Ключевые слова: формулы, сложность, альтернирование, функция Шеннона, оценки высокой степени точности.
1. Введение. Рассматриваются (см., например, [1]) схемы из функциональных элементов и формулы в стандартном базисе Б0, состоящем из функциональных элементов (в дальнейшем будем называть их просто элементами) V и веса 1, которые реализуют функции алгебры логики (в дальнейшем — просто функции) х\ ■ Х2, х\ V Х2 и XI соответственно. При этом, как обычно, формулами
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: lozhkinQcs.msu.su
2 Факультет ВМК МГУ, студ., e-mail: vkonovodovQgmail.com
* Работа выполнена при поддержке ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 20092013 годы.
считаются те одновыходные схемы, в которых выход любого элемента либо поступает на вход ровно одного (другого) элемента, либо является выходом схемы.
Под сложностью L(S) схемы S понимается, как обычно, число элементов в ней. Число A(S) называется глубиной альтернирования схемы S, если максимальное число изменений типов элементов в последовательностях, которые являются цепями схемы S и не содержат отрицаний, присоединенных к ее входам, равно — 1). Отметим, что в ряде работ величина А(Т) называлась глубиной фор-
мулы Т (см., например, [2]), при этом в работе [1] величина (А(Т) — 1) называлась альтернированием формулы Т.
Для любого а, а ^ 2, определим сложность L^(f) функции / как минимальную из сложностей тех реализующих ее формул, глубина альтернирования которых не больше чем а. Введем далее функцию Шеннона L^(n) как максимальную из сложностей (/), где максимум берется по всем функциям / от булевых переменных xi,...,xn. Известно (см., например, [1]), что L^(n) = § п ■ 2п~1 — 1. При этом в работе [2] доказано, что при любом а, а ^ 3, справедливы неравенства (здесь и далее все логарифмы двоичные) *
Л 0 fi'\\ , iW(n) 4SL(1 + 21^„ + 0(1Л
log п \ \ log п J J log п \ log п J
которые устанавливают поведение функции Шеннона L^(n) с относительной погрешностью вида О ^^fqg0^п^ • Положим log'-0-' х = log ... loga;, если указанный повторный логарифм определен и неотри-
а раз
цателен, и log'a' х = 0 в остальных случаях. При этом будем считать, что log'0' х = 1 при любом х.
Основной задачей данной работы является получение при любом фиксированном а, а ^ 3, асимптотических оценок высокой степени точности для функции Шеннона L^(n), устанавливающих ее
поведение с относительной погрешностью О ■
Теорема 1. Для любого натурального числа а, а ^ 3, при растущем значении натурального аргумента п, п ^ 2, выполняется соотношение
2" (г i Wa-1]n±o(iA
logn I logn I
2. Некоторые понятия и вспомогательные результаты. Пусть В = {0,1} и И". п = 1,
f
2,..., — единичный n-мерный куб, а Рг(^) — множество всех функций / = f(x\,... ,хп) : Вп ^ В. Элементы т-ъ декартовой степени множества -Рг(и), т.е. множества (Р2(п))т = Р™(п), будем, как обычно, считать системами функций и записывать их в виде вектора (/i,..., /то), где fi G Рг(и) при любом î, ie [1,тте]. При этом для любого множества G, G С Рг(и), будем использовать обозначение ~Ô для системы, составленной из функций множества G, упорядоченных в соответствии с лексикографическим порядком их столбцов значений.
Для обозначения характеристической функции множества наборов ô, ô С И". от переменных х\,... ,хп, т.е. функции, равной 1 на множестве ô и равной 0 вне его, будем использовать запись xs-Заметим, что характеристическая функция множества И" \ {а}, где а = («i,..., ап) G H". является элементарной дизъюнкцией ранга п от п переменных х\,..., хп и имеет вид
Jailli ■ ■ ■ 1 %п) — % 1 V ... V Хпп .
Символ (точнее, запись) А^ (соответственно Ау), а ^ 1, будем использовать для обозначения класса всех формул с глубиной альтернирования, не превосходящей а, и таких, что любая цепь максимальной длины заканчивается элементом к, (соответственно V). Пусть, далее, Ыф'а — множество формул в базисе Б0 = {&, V, -i}, а W*'a(L, п) — множество формул Т из реализующих функции
от п переменных и таких, что А(Т) ^ a, L(T) ^ L.
* Верхняя оценка получена при более точной оценке сложности построенных в [2] формул.
Если I) — разбиение конечного множества У на непересекающиеся непустые подмножества У\, . . . , У(1, то величина
называется энтропией (см., например, [3]) разбиения D.
Пусть (р{у 1,... ,yjv) — функция, существенно зависящая от всех своих переменных из множества Y = {Уъ • • •! Шу}, a D — разбиение множества У на компоненты Yi,..., У&. Разбиение D называется селекторным [3] для функции р(У), если для каждого г, г = 1,..., d, и для любой переменной у, у € Y%, найдутся константы а,\,..., Щ-i, скг+ъ ■ ■ ■ ■> а<1-, такие, что при подстановке их вместо переменных из Yi,..., Yj_i, Yj+i, ■ ■ ■ ,Yd соответственно выполняется равенство ср = у Ф щ, щ € {0,1}.
Множество функций G, G С Р2(т), называется [1] if-универсальным множеством порядка т, если любая функция g, д € Р2(т), может быть представлена в виде д = <p(gi, ■ ■ ■ ,дм), где gi £ G для всех г, г = 1,..., N. Справедливо следующее утверждение.
Лемма 1 [3, § 4]. Пусть D — селекторное разбиение множества переменных У, У = = {yi,..., yjv}, функции <p(Y) на d компонент. Тогда для любого натурального s, где s > log N и N(s — H(D)) ^ 2™, можно построить (p — универсальное множество G порядка т, такое, что |G| ^ 2S+2. При этом существует схема из функциональных элементов S в базисе Ба, реализующая систему функций такая, что L(E) ^ |G| + 0(d ■ 2i+m).
Следуя [1], множество наборов 8, 8 С Bq, будем называть т-регулярным множеством наборов куба Bq, если т < q, |<5| = 2™, и все префиксы длины т наборов из 8 различны. Пусть А = (<5i,... ,82q-m) — разбиение куба Bq на m-регулярные подмножества. Будем говорить, что разбиение А моделирует функции из множества G, G С Р2{т), с помощью булевых переменных или их отрицаний тогда и только тогда, когда для любой функции g, д € G, и для каждого г, г = 1,..., 2q~m, существует переменная Xj, где 1 ^ j ^ q, и константа а, а € В, такие, что д = на компоненте 8i. При этом компонента Sf считается "хорошей" компонентой, если для каждой такой функции д указанное свойство выполняется при а = 1.
Лемма 2 [1, гл. 4]. Пусть G С Р2(т) и q ^ т + \G\. Тогда существует разбиение А куба Bq на т-регулярные подмножества 8\,... ,S2q-m, моделирующее функции из G с помощью булевых переменных или их отрицаний, где 81 — "хорошая" компонента, "параллельная" остальным.
Лемма 3 [4]. Для любого множества G\, G\ С Р2(т), и любого q, q ^ т + 3|Gi|, существует разбиение А = (8\,..., 82q-m) куба Bq на т-регулярные подмножества, моделирующее все функции из G\ с помощью булевых переменных или их отрицаний, и такое, что доля "плохих" компонент в нем не превосходит (ei)q~m, где* е\ < 1.
Лемма 4. Пусть С Р2(т), а схема Е в базисе {&, V,->} реализует систему и. Тогда существует т-регулярное разбиение А = ..., <52«-т) куба В'1, где q = т + Ь(Е), моделирующее все функции из С с помощью булевых переменных или их отрицаний, такое, что характеристическая функция каждой компоненты может быть представлена в виде КНФ, сложность которой не превосходит е2 • Ь(Е).
Доказательство. Введем произвольную монотонную (см., например, [1]) нумерацию вершин схемы £ числами отрезка [1, д], где q = т + Ь(Е), при которой различные вершины имеют различные номера, номер начальной вершины любой дуги £ меньше номера ее конечной вершины, а входы х\,..., хт пронумерованы числами 1 ,...,т соответственно. Сопоставим вершине с номером г, г € [т + 1,д], которая связана с ^-входовым базисным элементом ц)^, ¡^ € Б0, переменную х^ и формулу Щ = ( Жг ~ <р%{х .(¿),..., х .(¿)) ), где ..., № — номера начальных вершин тех дуг которые
V :)кг )
входят в данную вершину.
Рассмотрим множество С', О' 5 G, состоящее из всех различных и отличных от переменных х\,..., хт функций, которые реализуются в вершинах схемы £. Построим по лемме 2 разбиение А = (^1,... ,82д-т) куба В4, на компонентах которого моделируются функции из О', и заметим, что для характеристической функции хг компоненты выполняется равенство
Xl — Rm+l • ■ ■ ■ • Rq-
* Буквой е здесь обозначается основание натурального логарифма, е» — некоторые абсолютные константы.
Действительно, пусть в вершине с номером г, г € [т + 1, д], схемы £ реализуется функция /¿, € С. Индукцией по г, % = т + 1,..., д, нетрудно показать, что единственным решением уравнения
■ 1 • ... •/>',• = I
относительно переменных жто+1,..., х^ являются функции /то+1, • • •, /г соответственно. Следовательно, правая часть (1) обращается в 1 на наборе («1,..., ая) значений переменных х,\,..., хч тогда и только тогда, когда для каждого г, г = т + 1,..., д, выполняется равенство щ = /¿(«1, • • •, а,т), т. е. тогда и только тогда, когда XI(®1> ■ ■ ■ > ад) = 1-
Искомая КНФ для функции XI получается заменой в правой части (1) каждой формулы Щ, % € [т +1, д], ее совершенной КНФ. Искомые КНФ для характеристических функций других компонент А получаются из в результате инвертирования некоторых переменных. Лемма доказана.
Аналогично на основе леммы 3 можно доказать следующее утверждение.
Лемма 5. Пусть О С Р2(т), а схема из функциональных элементов £ в базисе ре-
ализует систему . Тогда существует т-регулярное разбиение А = (^1,..., куба В'1, где
д = т + 3Ь(Е), моделирующее все функции из О с помощью булевых переменных или их отрицаний, такое, что доля "плохих" компонент в нем не превосходит (, где ез < 1, а характеристическая функция каждой компоненты может быть представлена в виде КНФ, сложность которой не превосходит е4 • Ь(Е).
Лемма 6. Пусть П = (У^,...,У^) — разбиение множества У, в котором первые к, к ^ й, компонент имеют мощность и пусть для каждого ¡, ! е [1, А;], А = (Х{,..., Хгр) — разбиение множества У^, причем для каждого ], j = 1,... ,р, выполняются равенства
\х}\ = \х]\ = ... = \хк\.
к
Тогда для разбиения I) = {Х\,..., Хр, ..., У^) множества У, где X^ = У X* при любом ],
1=1
j = 1,... ,р, выполняется равенство
ЩБ) = Я(П) + —(Я(А) - 1оЕк). (2)
Доказательство этого утверждения основано на определении энтропии и использует структуру указанных разбиений.
Для любого натурального а определим величину Ша как наименьшее натуральное число х, при
,2
котором х > 1, т. е. Ша +1. При этом положим \¥а = 2.
а раз
Лемма 7. При любых натуральных а и х, где х ^ справедливо неравенство
хк ,х
шах -г— г 1 / ч ^ (е5) ■ ккк\ (§) / ^ '
Доказательство. Полагая /3 = | и учитывая то, что к\ > , получим
хк {\0Ё1«+Цху хкек (\оЁ1а+Цху _ д ((1оё[а+1] ^ "Ж" ы /^ч ~~ Р0е0
kkkl (|)) " ^ogW (I); р \ß) \ logW/3 ) '
Поделив na х натуральный логарифм последнего выражения, легко убедиться в том, что для доказательства леммы достаточно доказать неравенство
-\n:i+-, - -%i.r + lnlog[a+1] ж - lnlogW ß sC lne5. (3)
ß ß ß
Используя необходимое условие достижения максимума, нетрудно убедиться в его справедливости при = е3.
Лемма доказана.
е5 = е
3. Верхняя оценка исследуемых функций Шеннона. Сначала рассмотрим формулы специального вида из классов А'^, и оценим энтропию некоторых селекторных разбиений переменных для реализуемых ими функций.
Лемма 8. При любых натуральных а и N, где а ^ 1, N ^ И'„. существуют формулы 1, • • • ,Vn) и Ty(yi,... ,yjv) сложности N — 1, принадлежащие классам А^ и Ау соответственно, каждая из которых реализует функцию, имеющую селекторное разбиение D множества своих булевых переменных с энтропией H(D) ^ log^ N + Са, где Са — число, зависящее только от а. Доказательство. Докажем существование искомых формул индукцией по а. Если а = 1, то в качестве искомых формул возьмем формулы
Ту(у1,...,ум) = У\ V ... Vyjv, Ti{yi,...,yN) = yi • ... -yN,
а в качестве искомого разбиения D — тривиальное разбиение ({yi}, • • •, {yjv})-
Предположим, что лемма верна для значения глубины альтернирования, равного а, и построим искомую формулу . Представим число N в виде N = p-r + q, гдер = [logiV] и 0 ^ q < р. Положим
.....Их)
= F&(yi, • • -,Ур-1) • Ур V Р&(Ур+1, • • • ,У2р-1) ■ У2р V . . . V ^|.(ур(г_1)+1, . . .,yPr-1) •Ург V Ург+1 ■ ■■■■yN,
где — формула от р переменных, построенная на предыдущем шаге индукции. Заметим, что формула имеет сложность (N — 1), и рассмотрим разбиение
П = {Yi,..., Yr, Yr+i, • • •, Y2r, Y21-+I) • • •, Y]sf-pr+2r}
множества переменных Y = {yi,... , yjv}, такое, что Yi = {yp(i-i)+i, • • • -.Ург-1}, Yr+i = {yPi} для всех г, г = 1,..., г, и Yi = {ypr-2r+i} для всех г, г = 2r + 1,..., N — рг + 2г. Энтропия этого разбиения удовлетворяет соотношениям
г , г(р — 1) , N q , г , _ г(р — 1) , N
Я П =-logiV+ КР Mog-г + log N — log N + КР log-- + 1.
N N р-1 Jv N N р — 1
Пусть Di — разбиение множества переменных Yi, i = 1,..., г, которое совпадает с селекторным разбиением переменных функции, реализуемой формулой J7^(yp(i_1j+1,... ,ypi_i), построенным на предыдущем шаге индукции, и для которого H(Di) ^ log^(p — 1) + Са. Тогда искомое разбиение D переменных функции, реализуемой формулой ... строится по лемме 6, и, как нетрудно
проверить, оно тоже является селекторным, а его энтропия, согласно (2), удовлетворяет соотношению
H(D) = Н( П) + ik-H (Я(А) - log г) < logW(p - 1) + Са + 1 < Wa+1] N + Са+1.
Остается заметить, что в качестве формулы достаточно взять формулу, двойственную к формуле
Лемма доказана.
Теорема 2. При любом а, а ^ 3, для любой функции /, / € -Рг(и), существует формула Tf G Ыф'а, реализующая эту функцию, такая, что
Г (, + l°g'-''n+0(l)\ _
logn \ logn /
Доказательство. Пусть натуральные параметры rri, q, t таковы, что
1 ^ m < д и q + t ^ п,
И ПуСТЬ X — (Ж1, . . . , Xq), X — (Жд_)_1, . . . , Жи ), X — (Ж1, . . . , Хт), X — (жто_|_1, . . . , Xq), X — (Жд_)_1,... . . . , Xq+t), X = 1, . . . , Хп).
Пусть, далее, натуральные параметры s ж N удовлетворяют неравенствам
s > logiV и N(s - H(D)) ^ 2т,
где D — селекторное разбиение переменных функции <p(yi, . . ., уи)-, реализуемой формулой Т из класса Л у построенной по лемме 8, которое состоит из d компонент и имеет энтропию
H(D) <: logla~2]N + Ca.
Построим по лемме 1 ¡^-универсальное множество G', G' С Р2(т), порядка т, такое, что |G'| ^ 2S+2, и реализующую его схему сложности
L(S') < \G'\+0(d-2i+rn).
Положим q = т + 3L(S'), и в предположении, что q < п, по лемме 5 построим разбиение А' = (8[,..., 8'2q_m) куба Bq на m-регулярные компоненты, в котором доля "плохих" компонент не превосходит е®-™, где ез < 1, моделирующее функции из множества G' при помощи булевых переменных группы х' или их отрицаний.
Заметим, что при любом i, г е [1,29_то], любая функция д(х') совпадает на множестве 5[ в силу его m-регулярности с одной из функций от переменных х' и, следовательно, в силу ¡^-универсальности множества G' совпадает на ё[ с суперпозицией вида <р(д(г\ ..., внутренние функции которой
принадлежат G'. Из построения разбиения А' следует, что указанная суперпозиция в свою очередь совпадает на 5\ с формулой (р(хJJ,... переменные которой берутся из набора х' так, что хТ£
моделирует на ё[ функцию д^ при всех с, с £ [1)-^]- Таким образом, на множестве ё[ выполняется равенство
д(х') = Г(х?1,...,х%), (4)
причем п = ... = rjv = 1, если 8\ — "хорошая" компонента разбиения А'.
Пусть G" — множество всех элементарных дизъюнкций ранга t от переменных ж", a S" — реализующая систему схема, для которой [1] L(S") ^ 2t+1. В предположении, что t+2t+1 ^ n—q, по лемме 4 построим разбиение А" = (<5",... ,52n_q_t) куба Bn~q на ¿-регулярные подмножества, моделирующее функции из множества G" при помощи булевых переменных группы х" или их отрицаний. Заметим, что при любом j, j € [1, 2n~q~t], и любом а", а" € <5", дизъюнкция Ja"(x") в силу ¿-регулярности множества наборов 6" совпадает на нем с одной из функций множества G" и, следовательно, совпадает на 6" с переменной или ее отрицанием вида xZaJ,',, где иа" € [д + t + 1, п] и ja/t € {0,1}.
Рассмотрим конъюнктивное разложение функции f(x',x") по переменным группы х" и его последующую модификацию на основе разбиений А' и А" вида
2«-m 2n-q-t
f(x',x") = & (Ja"(x") v f(x',a")) = \f \f Xd'(x')Xd''(x") & №'/, Vv,i(®')) ,
ст"евп-о v v » j (7"ей' \ а /
i=i j=i ]
где для каждого г, г € [1, 29_то], функция да" ,г{х') реализуется формулой Ф0.»^(ж/), имеющей вид правой части (4) и построенной для функции f(x',a"). Искомой формулой является формула
2«-m 2n-q-t
Ъ = V V )®j(s") Д „ (*£» v '
i=1 j=1 ^
где fBi(s'), i € [1,29_TO], и (ж"), j € [l,2n_9_t], — КНФ, построенные по леммам 4 и 5 для функций Xs1. и хд» соответственно. Нетрудно видеть, что A{Tf) ^ а.
Выберем значения параметров, удовлетворяющие всем введенным ограничениям, и оценим сложность построенной формулы Tf. Положим
m = \ 2 log log п\, s = [log 7i — 5~|, и пусть N — минимальное натуральное число, удовлетворяющее неравенству
2 та
N ^ -r^i-,
s - log N - Ga
которое, очевидно, асимптотически равно т. е. имеет порядок роста logn, и для которого поэтому при достаточно больших п выполняется неравенство s > log N. Заметим, что при этом
q = m + 3L(S') < m + 3 • 2S+2 + О (d ■ 2*+™) <
и положим, наконец,
t = [log(n - д)1 - 2.
При выбранных значениях параметров выполнены все ограничения, и сложность формулы Tf удовлетворяет требованиям леммы, т. е.
ЦТ A 1 + W^WoqA ,
logn I logn I '
так как
1) сложность реализации всех КНФ не превосходит 2n_TO_i(e2 • ИТ,') + е4 • ЦТ,")) = О
2) основная сложность формулы — сложность реализации всех подформул вида {х^',, V Фа"^(х')) на "хороших" компонентах, — она не превосходит величину
о п
2п-т .(# + !)<
5 - Я(£>)
где Я(£>) < 1оё[а-1]п + 0(1); 3) сложность всех аналогичных подформул для "плохих" компонент не больше, чем
2"
Т~т ■ е\~т ■ 2N = О , —g
Jog n
Теорема доказана.
4. Нижняя оценка. Обозначим число попарно неэквивалентных формул во множестве 14 через \\Ы\\. Получим нижние оценки из мощностных соображений.
Лемма 9. Для любого натурального а, при любых натуральных значениях п и Ь, таких, что 1с+ 1))ак п, справедлива оценка*
\\Ыф'а(Цп)\\ <
Г 1 \ L+1
àa>n \
log[a"1](L + 1)
Доказательство. При а = 1 утверждение леммы, очевидно, справедливо. Предположим, что оно выполняется при глубине альтернирования (а — 1), где а ^ 2, т. е.
4«-1]
L+1
с Jn
log[a"2](L + l)
если L + 1 ^ Wa-2, и докажем его справедливость при значении глубины альтернирования, равном а.
Пусть L ^ Wa- 1 — I, T G Ыф'а(Ь, п) и А{Т) = а. Из определения глубины альтернирования следует, что рассматриваемая формула Т представляет собой либо формулу первого типа, которая имеет вид Т = Т', где А{Т') = а — 1, либо формулу второго типа, которая имеет вид Т = Т\ о ... о где k ^ 2, о G {&, V} и G Ыф'а~1, причем ни одна из формул ..., Tk не является формулой вида
Т' о J7", хотя бы одна из них отлична от символа переменной или ее отрицания и хотя бы одна имеет глубину альтернирования (а — 1).
Заметим, что число рассматриваемых попарно неэквивалентных формул Т первого типа не больше, чем
„[a-l],
Докажем, что число рассматриваемых формул Т второго типа не больше, чем
/ \ Ь+1 / с0п \
log[a"1](L + 1)
* Обозначение с'0' или с» = используется для записи констант, зависящих только от а.
Для г = 1,..., к положим Ь{Т%) = и пусть
Li + ... + Lk = L = L - к + 1. (5)
Заметим, что число различных упорядоченных наборов С = (Li,..., Lk), являющихся решениями
уравнения (5), равно .
L — 1
При оценке числа попарно неэквивалентных формул Т второго типа выделим три случая. Случай 1. Набор С принадлежит множеству состоящему из таких неупорядоченных наборов
(Li,..., Lfc), для которых выполнено (5) и, кроме того, L\....././,. ^ И'„ — 1. Пусть при этом набор
С = (L 1,..., Lk) состоит из s попарно различных чисел ..., ls, где 1\ < 12 < ■ ■ ■ < ls, встречающихся в нем с кратностями ti,...,ts соответственно, и пусть t(C) = (t i,... ,ts). Число способов выбрать г = 1,..., s, главных подформул сложности ^ формулы Т есть*
■o\ti/ Гв-11 +
СЛ..,.....1 с п
Таким образом, при фиксированных I/ ..., формулу описанного вида можно выбрать не более чем
, _ 3*1 + -+«. _(с[а-1]та^+1_
способами. Из выпуклости функции действительного переменного /(ж) = ж1п(к^а~2' х) следует, что
3*1+„.+*в (с[а-1]п)Ь+1
Mi(L,k,Li, ...,Lk,ti,...,ts) < M2(L,k,t i, ...,ts) =
«•.'-й- (^т)1"'
Таким образом, число попарно неэквивалентных формул рассматриваемого вида не больше, чем
ЕЕ Е м1(ь,к,ь1,...,ьк,ь,...^а). (6)
t1 + ...+ts=k t(C)=(tl,...,ts)
Заметим, что число различных упорядоченных наборов, получаемых перестановками элементов из С,
к'.
равно полиномиальному коэффициенту [5] , , к~ , ,. С учетом этого выражение (6) не превосходит
^ъ.-.Л)*1''^, 'им2(£,Мъ-..Л), (7)
^ а—2
где ^(¿1,...,^) — количество упорядоченных наборов £, для которых выполнено (5) и таких, что Ь{С) = (¿1,..., Ьа). Так как
¿1! •... • ¿Л . (Зс'а_1'п)1/+1
J 1 "-И ' ' ' ' "s/ , Ч Г4-1
ib! fwe"2]№)'
и, кроме того,
E ««..-.« = <£'< (тУ
l^s^fc, 4 7
tl+...+ts=fc
то выражение (7) можно ограничить сверху величиной
(9da-^n)L+1(L + l)k ( сщ \L+1 L ■ max —1---1-ттт ^
k\kk (W"-2' " \Wa"1](i +1)
где последнее неравенство справедливо в силу леммы 7 и (3).
Используется неравенство С® SJ (if)6 (см-> например, [1]).
Случай 2. Оценим число попарно неэквивалентных формул второго типа, для которых /., < < И'„ — 1 при всех г, 1 = 1,..., к. Тогда
ь + 1 = (ь1 + 1) + ... + (ьк + 1)<к- и; ...
т.е. < Ша-2- Заметим, что при любом допустимом Ь и любой глубине альтернирования а справедлива тривиальная оценка \\Ыф'а(Ь,п)\\ ^ {е^ • п)ь, следовательно, аналогично первому случаю получаем, что число формул такого вида не больше, чем
(Ь + 1)к(с2п)ь+1
тах - , -. (о I
1 ккк\
Заметим также, что
(¿ + 1)" ^ (Ша.2)к ^ (еШа.2)к ^ (еШа.2)к ^ (с3)ь+1
ккк\ к\ кк (log(L + l))¿+i
Поэтому выражение (8) не больше, чем
w.
/ \ L+l i С4П \ ^ i С4П
L+1
«с
Vlog(b + 1)У " \log[a"1](L + l)/
Легко видеть, что указанный результат будет справедлив и в том случае, когда < 7 ПРИ всех
i, г = 1,..., к, где 7 — некоторая константа.
Случай 3. Оценим число попарно неэквивалентных формул второго типа, для которых Li,...,Lq <
< Wa-2 - 1, Lq . ,..... Ц. > Wa-2 - 1, где дб[1,Ы]. Пусть U /.,+... + /„,. L" = Lq+l + ... + Lk.
Если L" + к — q < И'„ 1. то, как и в случае 2 при 7 = И'„ i. количество попарно неэквива-
/ \ L+1
лентных формул такого вида не превосходит ( log[a-i]"¿+1) ) • Поэтому далее будем считать, что
L" + к — q ^ Wa-1. Каждая формула Т такого вида может быть представлена как Т = Т' о Т", где Т' = Т\ о ... о Т" = Tq+i о ... о JFfc, а о е {&, V}. Число попарно неэквивалентных формул Т такого типа, согласно случаям 1 и 2, не превосходит
L'+q / \ L"+k~q / \ L+1
С5П \ / СбП Х ' " " х
Лемма доказана.
Из леммы 9, учитывая, что для всех а ^ 3: ||W*'a(L(a^(n),п)|| = 22 и L^(n) ~ следует Теорема 3. Для всех a, а ^ 3, при достаточно больших п
logn \ logn /
Теорема 1 непосредственно следует из теорем 2 и 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ложкин С. А. Лекции по основам кибернетики: Учебное пособие. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.
2. Л у пан о в О. Б. О реализации функций алгебры логики формулами из конечных классов (формулами ограниченной глубины) в базисе &, V,- // Проблемы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматгиз, 1961. С. 5-14.
3. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматлит, 1996. С. 189-213.
4. Ложкин С. А. О синтезе формул, сложность и глубина которых не превосходят асимптотически наилучшие оценки высокой степени точности // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 19-25.
5. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
Поступила в редакцию 05.10.11
ON THE SYNTHESIS OF FORMULAE WITH BOUNDED DEPTH OF ALTERNATION
Lozhkin S. A., Konovodov V. A.
In this paper we consider Boolean formulae over the basis {&, V, with a bounded depth of alternation. A formula has depth of alternation a if the maximum number of changes of gates' types on sequences, each being a path and not containing negations connected to the inputs, equals (a — 1). Let L^(n) be the minimum size of formula with the depth of alternation at most a and which implements the hardest Boolean function of n variables. Lupanov proved that L^(n) asymptotically equals lo| n. In this paper we obtain tight upper and lower bounds on
L<°>(n):
L(a)(n) =
logif Jn=LO(l)
log2n log2n J
where logjf-1' n = log2 ... log2 n. They have a relative error of Our results show how the restriction
(a —1) times
on formula's depth of alternation influences high accuracy asymptotic bounds for the size of the hardest Boolean functions.
Keywords: Boolean formulae, complexity, alternation, Shannon function, high accuracy asymptotic bounds.
