О сложности реализации булевых функций из некоторых классов, связанных с конечными грамматиками, формулами глубины альтернирования 3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Нурсултанов Е.Д. О коэффициентах кратных рядов Фурье // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. 64, № 1. 93-122.

6. Жантакбаева A.M., Нурсултанов Е.Д. О суммируемости коэффициентов Фурье функций из пространства Лоренца // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 2. 64-66.

7. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции // Докл. АН СССР. 1981. 256, № 1. 14-17.

8. Семёнов Е.М. Интерполяция линейных операторов и оценки коэффициентов Фурье // Докл. АН СССР. 1967. 176,№ 6. 1251-1254.

9. Sagher Y. An application of interpolation theory to Fourier series // Stud. Math. 1972. XLI. 169-181.

Поступила в редакцию 26.04.2012

УДК 519.714

О СЛОЖНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ, СВЯЗАННЫХ С КОНЕЧНЫМИ ГРАММАТИКАМИ, ФОРМУЛАМИ ГЛУБИНЫ АЛЬТЕРНИРОВАНИЯ 3

С. А. Ложкин1, В. А. Коноводов2

Исследуется сложность реализации булевых функций, связанных с конечными грамматиками, в классе формул с глубиной альтернирования 3. Для соответствующей функции Шеннона получены асимптотические оценки высокой степени точности.

Ключевые слова: булевы формулы, сложность, глубина альтернирования, функция Шеннона, оценки высокой степени точности.

The realization complexity of Boolean functions associated with finite grammars in the class of formulae of alternation depth 3 is studied. High accuracy asymptotic bounds are obtained for the corresponding Shannon function.

Key words: Boolean formulae, complexity, alternation depth, Shannon function, high accuracy asymptotic bounds.

Введение. Задача синтеза управляющих систем в математической кибернетике включает исследование сложности реализации булевых функций в различных классах схем. Эта задача часто сводится к изучению поведения так называемой функции Шеннона, которая зависит от натурального аргумента n и определяется как максимальная сложность (в рассматриваемом классе схем) функций алгебры логики из

n

схемы из функциональных элементов, булевы формулы, контактные схемы, где под сложностью обычно понимается число входящих в схему элементов (функциональных символов, контактов), асимптотика этой функции была получена О. Б. Лупановым (см., например, [1]). В дальнейшем в работах С. А. Ложкина (см., например, [2]) уточнялись оценки остаточного члена асимптотического разложения для некоторых функций Шеннона и устанавливались асимптотические оценки высокой степени точности (АОВСТ), в которых указана асимптотика второго члена этого разложения.

Во многих случаях как асимптотика, так и АОВСТ устанавливались для функций Шеннона в некоторых "стандартных" классах схем при наличии определенных ограничений на их структуру. Так, в [3] была найдена асимптотика функции Шеннона для сложности реализации булевых функций формулами с глубиной альтернирования A, A ^ 3, а в [4] для указанной функции Шеннона получены АОВСТ, которые, в отличие от ее асимптотики, явно зависят от A. Таким образом, получение АОВСТ в различных классах схем с ограничениями позволяет обнаруживать "тонкие" эффекты влияния этих ограничений на поведение соответствующих функций Шеннона.

В ряде работ задача синтеза управляющих систем решалась для специальных классов функций, в частности для функций, связанных с языками. В [5] АОВСТ установлены для сложности реализации функций из таких классов схемами с ограниченной глубиной ветвления и ориентированными контактными

1 Ложкин Сергей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: lozhkinQcs.msu.su.

2 Коноводов Владимир Александрович — асп. каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: vkonovodovQgmail .com.

схемами, в [6] — для сложности реализации таких функций в специальном классе схем из функционально проводящих элементов.

В данной работе получены АОВСТ для сложности реализации функций, связанных с конечными грамматиками, в классе формул с глубиной альтернирования 3.

Основные определения и полученные результаты. Будем рассматривать (см., например, [1, 7]) схемы из функциональных элементов и формулы в стандартном базисе, состоящем из функциональных элементов V и —, которые реализуют функции алгебры логики (в дальнейшем просто функции) Х1 ■ Х2, Ж1 V Ж2 и xi соответственно. При этом, как обычно, формулами считаются те одновыходные схемы, в которых выход любого элемента либо поступает на вход ровно одного (другого) элемента, либо является выходом схемы.

Под сложностью L(S) схемы S понимается, как обычно, число элементов в ней. Формулу C, которая состоит из r, r ^ 1, функциональных элементов E(1),...,E(r) и в которой выход элемента E(i), i = 1,...,r — 1, является входом эле мента E(i+1), будем называть нетривиальной цепью. Если при этом последовательность f(1)f(r), где f(i) е {&, V, —} — тип базисного элемента E(i), i = 1,...,r, имеет вид f 1,..., , f2,f2, • ••, f A, • ••, f A, где f j = f j+1 ПРИ всех j, j = 1,...,A — 1, а число q равно 1 в случае f 1 = — и 0 в остальных случаях, то разность (A — q) будем называть глубиной альтернирования цепи C. Формулу, которая состоит из единственной вершины, являющейся как ее входом, так и ее выходом, будем считать тривиальной цепью, а глубину альтернирования такой цепи положим равной 0. Для схемы S, следуя [4], определим ее глубину альтернирования A(S) как максимальную глубину альтернирования

S.

Отметим, что в ряде работ величина A(F) называлась глубиной формулы F (см., например, [3]), при этом в работе [7] величина (A(F) — 1) называлась альтернированием формулы F.

Для любого A, A ^ 2, определим сложность L(A)(f) функции f как минимальную из сложностей тех реализующих ее формул, глубина альтернирования которых не превосходит A. В работе [4] показано, что для функции Шеннона L(A)(n), т. е. для максимальной из сложностей L(A) (f), где максимум берется по всем функциям f от булевых переменных Х1,... ,xn, при A ^ 3 и растущем значении натурального аргумента n справедливо соотношение (здесь и далее все логарифмы берутся по основанию 2)

£<.<>(„) = 2L Л + log1"1'11 ч±0(1)\

log n \ log n I

где log[A-1] n = log... log n. Это оценка является оценкой высокой степени точности и имеет относитель-

(A-1) раз ную погрешность О •

В классе формул с глубиной альтернирования не более 3 будем рассматривать реализацию функций из специального класса, связанного с конечными грамматиками.

В [8] введено понятие грамматики с конечным числом состояний. Модицифируем это понятие следующим образом. Пусть грамматика G задается множеством внутренних состоянии S1,..., Sp и множеством грамматических правил. Каждое грамматическое правило определяется упорядоченной парой (а, к), а е {0,1}, 1 ^ к ^ p. Если такое правило (a, к) сопоставляется с состоянием Si, 1 ^ i ^ p, то это означает, что, когда грамматика находится в состоянии Si, может быть произведен символ а, причем грамматика переходит в состояние Sk .Выделим в G два произвольных (возможно, совпадающих) состояния Si и Sj, 1 ^ i,j ^ p. Грамматика G, отправлясь от состояния Si, пробегает в соответствии с грамматическими правилами последовательность состояний Si1,..., Sit, где 1 ^ i 1,... ,it ^ p, ¿1 = i, it = j, и переходит в состояние Sj, при этом она производит слово — цепочку символов, стоящих в том порядке, в котором они выбирались при последовательных переходах. Пусть Tij — множество таких слов. G

Tg = U Tij •

1<i<j<p

Из определений следует, что если слово w, w = W1. ..ws, принадлежит языку Tg, то любое его подслово, т. е. слово w', w' = WiWi+1 ...Wj, 1 ^ i ^ j ^ s, также принадлежит этому языку.

Пусть Tg(s), s ^ 1, — множество слов языка Tg , длина которых равна s. Тогда, как следует из работы [8], мощность Tg(s) либо ограничена, либо с ростом s растет линейно, либо экспоненциально. В последнем

случае существует такая константа ac G (0,1], что при s ^ те справедливо [6] соотношение

|Tg(S)| =2ctg •s+O(1). (1)

Величину ас будем называть мощностной константой грамматики G.

Пусть Qc(n)— класс булевых функций от n, n ^ 1, переменных, множество столбцов значений которых совпадает с Tc(2n). В случае, когда мощность TC(s) растет экспоненциально с ростом s, из (1) следует, что

|Qc (n)| =2CTG •2n+O(1). (2)

Положим Qc = U Qc(n). Как обычно, функция Шеннона для сложности формул с глубиной альтернирования не более 3, реализующих функции из класса Qc, определяется как Lc(n) = max L(3)(f).

f eQc(ra)

Основной результат данной работы представляет следующая теорема.

Теорема. Пусть G — грамматика с конечным числом состояний, для которой мощность множества Tc(s) растет экспоненциально с ростом s, a ac, ac G (0,1], — ее мощностная константа. Тогда, при растущем значении натурального аргумента n, n ^ 2, справедливо соотношение

Г . , 2n / loglogn ± O(1)\

Lc(n = aG ■ 1- 1 + -2—f-— •

log n \ log n /

Теорема устанавливает поведение функции Шеннона Lc(n) с относительной погрешностью О ^^ и тем самым приведенная в ней оценка является оценкой высокой степени точности.

Некоторые определения и вспомогательные результаты. Пусть B = {0,1} и Bn, n = 1, 2,..., —

единичный n-мерный куб, a P2 (n) — множество всех функций f = f (xi,..., xn ) : Bn A- B. Для любого множества H, H С P^n), будем использовать обозначение H для системы, составленной из функций множества H, упорядоченных в соответствии с лексикографическим порядком их столбцов значений.

Для обозначения характеристической функции множества наборов 5, 5 С Bn, от переменных xi,..., xn, т.е. функции, равной 1 на множестве 5 и 0 вне его, будем использовать запись xs• Кроме того, для всякого набора а, а = (ai,...,an) G Bn, элементарную конъюнкцию (элементарную дизъюнкцию) ранга n от переменных (xi,.xn), которая равна 1 (соответственно 0) только на наборе а, будем записывать в виде K(x1,.xn) = x^1 ... x^" (соответственно J„(x1,xn) = x"1 V ... V хПп).

Следуя [7], множество наборов 5, 5 С Bq, будем называть ш-регулярным, множеством наборов куба Bq, если ш < q, |5| = 2m и все префиксы длины ш наборов из 5 различны. Пусть А = (5i,...,52q-m) есть разбиение куба Bq на ш-регулярные подмножества. Будем говорить, что разбиение А моделирует функции из множества H, H С РДш), с помощью булевых переменных или их отрицаний тогда и только тогда, когда для любой функции g, g G H, и для каждого i, i = 1,..., 2q-m, существуют переменная xj, 1 ^ j ^ q, и константа a, a G B, такие, что g = xj на компоненте 5i. При этом компонента 5i считается "хорошей" компонентой, если для каждой такой функции g указанное свойство выполняется при a = 1.

Лемма 1 [4]. Пусть H С P2(m), а схем,а, из функциональных элементов S в базисе {&, V, —} реализует систему H. Тогда, существует ш-регулярное разбиение А = (5i,..., 52q-m) куба Bq, где q = m + L(S),

H

ра,кт,ери,ст,и,ч,еска,я, функция каждой, компоненты может быть представлена в виде конъюнкт,иеной нормальной формы (КНФ), сложность которой не превосходит3 ei ■ L(S).

Лемма 2 [4]. Пусть H С P2(ш), а схем,а, из функциональных элементов S в базисе {&, V, —} реализует систему H. Тогда, существует ш-регулярное разбиение А = (5i,..., 52q-m) куба Bq, q = ш + 3L(S),

H

(e2)q-m, e2 < 1,

компоненты может быть представлена в виде КНФ, сложность которой не превосходит, e3 ■ L(S).

Пусть Ф(Ь, n) — число попарно не эквивалентных формул, реализующих функции от n переменных и имеющих сложность не более L, а глубину альтернирования не более 3. Из работы [4] вытекает следующий факт.

Лемма 3. При любых натуральных значениях n и L, таких, что 3 ^ L ^ 2n, справедлива оценка,

G,вГ'

3Вуквами ei обозначаются некоторые абсолютные константы.

Доказательство теоремы. Зафиксируем произвольную грамматику G с конечным числом состояний, для которой мощность TG(s) растет экспоненциально с ростом s, и пусть ctg, ctg G (0,1], — мощ-ностная константа этой грамматики. Рассмотрим произвольную функцию f, f G Qg(^). Для построения формулы F, которая имеет глубину альтернирования 3 и реализует эту функцию со сложностью

log n \ log n )

воспользуемся методом, предложенным в [3], с некоторыми модификациями.

Разобьем набор переменных (xi,xn) на группы

x = (xb...,xa), y = (жа+1,...,жа+ь), 5 = (жа+ь+1,...,жа+ь+с), u = (xa+b+c+i,...,xa+b+c+d),

где n = a + b + c + d. Кроме того, будем считать, что c = m + 3 ■ 2m+1 для некоторого натурального m, и обозначим 5' = (xa+b+1xa+b+m), Z" = (xa+6+m+1, Xa+6+c).

Пусть H' — множество всех элементарных конъюнкций ранга m от переменных 5', а Е'— реализующая систему H' схема, для которой L(E') ^ 2m+1 [7]. По лемме 2 построим разбиение А' = (¿1,..., ¿2с-т) куба Bc на m-регулярные подмножества, в котором доля "плохих" компонент не превосходит (e2)c-m, e2 < 1, и которое моделирует функции из множества H' при помощи булевых переменных группы 5'' или их отрицаний. Заметим, что при любом i, 1 ^ i ^ 2c-m, и любом a, a G ¿i, конъюнкция Ka(5) в силу m-регулярности множества наборов ¿i совпадает на этом множестве с одной из функций множества H' и, следовательно, совпадает с переменной или ее отрицанием вида x??, где Y<f G B и a + b + c + m + 1 ^ va ^ a + b + c.

Функцию fi,cr,p(Z, u), где CT G Ba, /5 G 1 ^ i ^ 2c-m, совпадающую с функцией f (CT, p, z,U) на наборах значений переменных, v которых значения группы 5 принадлежат i-й компоненте разбпения А', и равную 0 на остальных наборах, зададим булевой матрицей M размер а 2d х 2m. Строки этой матрицы соответствуют наборам значений переменных группы U, а столбцы — наборам компоненты ¿i. Разобьем строки матрицы M на N полос, каждая из которых содержит по s строк (последняя может содержать менее s строк). Очевидно, что

1 N ^ — + 1.

Столбцы матрицы, соответствующей функции Д^р^, совпадающей на k-й полосе (1 ^ k ^ N) с Д<-,Р и равной 0 вне ее, разбиваются на группы совпадающих между собой столбцов. Пусть — функция,

совпадающая с Д^р^ на группе столбцов, равных 5 в k-й полосе, и принимающая значение 0 в

остальных случаях. Заметим, что 5 принимает не более 2CTG 's+O(1) различных значений. Функция fiyä,p,k,f может быть представлена в виде произведения функции ff-^ к -, равной 1 та столбцах из /¿,ä,p,fc,f и 0 на

остальных столбцах, и функции f,2-, в матрице которой все столбцы равны 5 в k-й полосе и нулю вне этой полосы. Первая из этих функций может быть задана следующим образом:

fffWi) = ^ (5) ■ V Kf (i)= X.' (5) ■ V xYa, (4)

aG/i

где дизъюнкция берется по всем наборам й компоненты соответствующим столбцам из I.

Заметим, что суммарное (для всех г) число дизъюнктируемых переменных и отрицаний переменных равно числу наборов в компоненте т.е. 2т.

Рассмотрим разложение функции / по переменным групп X, у и его последующую модификацию на основе разбиения А' вида

/(£,у,г,й) = V V (ж)Кр(у/)/(СТ,р,£,у) =

2с-т N / \

= У V V V (/)(«)( V Ка(Ю) • (5)

¿=1 стеваревь^=1 г

С учетом (4) и того, что

V Кр(у ) I V Ка(г )) = Д I 7р(у ) V V Ка(г)

преобразуем представление (5) и получим следующую формулу для функции / :

N

^ = V V VV*,(х)®^)^2Г(й)| д (ад)V \/

г=1 ,€Ва к=1 г

(2) (2) где формула ^ г (и) — совершенная КНФ функции / Г (и), а формула ©¿(¿) — КНФ, построенная по лемме 2 для функции х&'. Нетрудно видеть, что глубина альтернирования формулы равна 3.

Положим Ь = ¿+2*+1 для некоторого натурального параметра Ь. Произведем дополнительно разбиение переменных группы у на у' = (ха+1,..., ха+) и у'' = (ха+*+1,ха+ь)•

Пусть И''— множество всех элементарных дизъюнкций ранга Ь от переменных у'. Сложность реализации системы Н'' в классе схем из функциональных элементов не превосходит 2*+1 [7]. По лемме 1 построим разбиение А'' = (61',.¿2'ь-«) куба на ¿-регулярные подмножества, моделирующее функции из множества И'' с помощью переменных из у'' или их отрицаний. При любом 1 ^ j ^ 2Ь—и любом р, р € 6"', дизъюнкция 7р(у) в силу ¿-регулярности множества наборов 6"' совпадает на этом множестве с одной из функций множества И'' и, следовательно, с одной из переменных у'' или ее отрицанием вида Хги^, где а + Ь + 1 ^ -Шр ^ а + Ь и вр € В. Тогда, модифицируя формулу , представим функцию / в виде формулы

2С-т 2ь

N

7 = V V V V V*,(х)®<(г)®"Ш^2Г(й) Д х^ V V х

г=1 3 = 1 ,ева к=1 г \р€Вь \ ае/г.гт.м.т

где ®3'(у/), 1 ^ j ^ 2Ь *, — КНФ, построенная по лемме 1 для функции (у). При этом А(7) = 3.

Выберем значения параметров, удовлетворяющие всем введенным ограничениям, и оценим сложность построенной формулы 7. Положим

т = п] — 5, Ь = [1о§ п] — 3, d = |_2к^к^п], 8 =

— (log п — к^ к^ п)

При таких значениях параметров сложность формулы 7 удовлетворяет неравенству (3), так как

1) каждый множитель вида К, (х)®1 (-5)®"' (у)^^ (и) имеет сложи ость О (а + 2т + d2d + 2*) = О(п), а суммарная сложность множителей такого вида есть

2^ \ /2™—\ / 2™ О ( 2с_т • 2Ь~Ь ■ 2а---2е ■ п) = О (--п = О —5- , ,

8 / \ 8 / П/

2) число букв вида х^; равно

О ( 2с~т ■ 2ь~г ■ 2а---23 ■ 2Ь

в

= О

к^2 п/ '

3) основная сложность формулы 7—сложность реализации всех подформул вида \/ х^? на

А

2е—т . 2Ь— . 2а

2°

2«

+ 1 ) • 2* • 2т = — + 2га_<г =

• 2™

L1og п — ^ 1og п]

+ О

2™

2

п

4) сложность аналогичных подформул для "плохих" компонент не более

2«.+1 / 2™ --(е2)с"т = О

п

Таким образом, верхняя оценка теоремы доказана.

2

с — т

х

п

2

8

8

Для доказательства нижней оценки воспользуемся леммой 3 и равенством (2). В силу неравенства

Ф(Мп),п) ^ |QG(n)| = 2CTG'2"+O(1) n

r . , 2n / log log n - O(1) \

log n log n

Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №12Ч)Ю0964-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Ложкин С.А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматлит, 1996. 189-213.

3. Лупанов О.Б. О реализации функций алгебры логики формулами из конечных классов (формулами ограниченной глубины) в базисе <fc,V,— // Проблемы кибернетики. Вып. 6. М.: Физматгиз, 1961. 5-14.

4. Ложкин С.А., Коноводов В.А. О синтезе и сложности формул с ограниченной глубиной альтернирования // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 2012. №2. 28-36.

5. Ложкин С.А. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности функций, связанных с автоматными языками // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. XII Междунар. конф. Ч. II / Под ред. О. Б. Лупанова. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 1999. 138.

6. Кондратов A.B. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности реализации функций, связанных с автоматными языками, в некоторых классах схем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 13. М.: Физматлит, 2004. 279-288.

7. Ложкин С.А. Лекции по основам кибернетики: Учеб. пособие. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2004.

8. Chomsky N., Miller G.A. Finite state languages // Inf. and Control. 1958. 1. 91-112 (Хомский H., Миллер Дж.A. Языки с конечным числом состояний // Кибернет. сб. 1962. 4. 233-255).

Поступила в редакцию 13.02.2013

УДК 517.9

ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОСТРАНСТВА ОРБИТАЛЬНЫХ КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ НА КОМПАКТЕ

В. М. Фёдоров1

В работе дана характеристика пространства непрерывных орбитальных комплексно-значных функций на хаусдорфовом компакте в категории комплексных банаховых пространств.

Ключевые слова: банаховы пространства, сопряженные пространства, экстремальные множества, максимальные конусы и клинья, непрерывные орбитальные комплекснознач-ные функции, функционалы Майерса.

A characteristic of the spaces of continuous orbital complex-valued functions is given on a compact Hausdorff compactum in the category of complex Banach spaces.

Key words: Banach spaces, dual spaces, extreme set, maximum cones and wedges, continuous orbital complex-valued functions, Myers functionals.

Введение. Результаты, определяющие пространство C(X) в категории действительных банаховых пространств с помощью естественных свойств нормированного пространства, были установлены С. Б. Май-ерсом [1], Р. Ф. Аренсом и Дж. Л. Келли [2], а также М. Джерисоном [3]. Они использовали специальные

1 Фёдоров Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vferdorovQrambler.ru.