О сложности ориентированных контактных схем с ограниченной полустепенью исхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 2

Физико-математические пауки

2009

УДК 519.95

О сложности

ОРИЕНТИРОВАННЫХ КОНТАКТНЫХ СХЕМ С ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛУСТЕПЕНЬЮ ИСХОДА

А.Е. Шигтюв

Аннотация

В работе исследуется реализация булевых функций в классе ориентированных контактных схем (ОКС) с некоторыми ограничениями па вес и число смежных контактов. Рассматриваются ОКС, в которых из произвольной вершины может исходить не более А дуг. Вводится понятие веса вершины ОКС, который полагается равным А, если в вершину входит одна дуга и А(1 + ш), где ш > 0, в противном случае. Далее обычным образом определяется вес ОКС как сумма весов вершин, вес булевой функции как минимальный вес реализующих ее ОКС и функция Шеннона W\tШ (п) как максимальный вес булевой функции от п переменных. Для этой функции Шеннона при А > 1 и произвольном ш > 0 получена так называемая оценка высокой степени точности:

Полученный результат показывает, каким образом введение ограничений па количество исходящих из вершил ОКС дуг влияет па асимптотическое поведение функции Шеннона и на первый остаточный член ее разложения. Отметим, что от вели-

чины ш зависит только константа в члене 0(1).

Ключевые слова: булева функция, ориентированная контактная схема, сложность, функция Шеннона, оценка высокой степени точности.

В настоящей работе изучается поведение функции Шеннона, связанной с реализацией булевых функций в классе ориентированных контактных схем1 (ОКС) с некоторыми ограничениями на вес и число смежных контактов.

Пусть и - класс всех ОКС, а^^^мс О КС £ таких, что полустепени исхода вершин £ те превосходят А. Весом вершины V ОКС £ из класса и\ назовем А, если в V входит одна дуга и А(1 + ш), где ш > 0, в противном случае. Под сложностью Ь(£) произвольной ОКС £ будем понимать число контактов в ней. Весом (£) ОКС £ из класса ид назовем сумму весов вершин £. Отметим, что если £ е их, то Ь(£) < (£)■

Сложностью Ь(/) (соответственно, весом (/)) булевой функции / назы-

£

£ е и (соответстве нно, £ е ид), ревизую щей /. Функции Шеннона, связанные с функционалами Ь(/) и (/), определяются обычным образом:

/

^1о8п±0(1)\ 1 + -

п

V

/

1. Постановка задачи

Ь(п) = тах Ь(/), ШХм (п) = тах (/).

1Понятия, которые в данной работе не определяются, могут быть найдены, например, в [1, 2].

Асимптотическое значение 2п/п функции Шеннона для сложности ориентированных контактных схем может быть установлено с использованием результатов О.Б. Лупанова [3, 4]. Из этих результатов, в частности, следует, что2

В работе [5] оценки для Ь(н) были впервые уточнены, а именно: была получена так называемая асимптотическая оценка высокой степени точности (АОВСТ)3:

В работе [6] была получена АОВСТ для функции Шеннона, связанной с реализацией булевых функций в классе двоичных решающих диаграмм (ВВВ) (см., например, [2, гл. 2, § 7]) с весовыми ограничениями. В этой работе вес вершины ВОВ полагался равным 1, если в вершину входит одна дуга и (1 + ш), ш > 0,в противном случае. В работе [7] рассматривался класс контактных схем с ограничением на степени вершин и была получена асимптотика соответствующей функции Шеннона.

В настоящей работе модель весовых ограничений в классе ВВВ [6] и структурных ограничений [7] переносится на случай ОКС. Основным результатом данной работы является следующая

Теорема. Для п > 1, ш > 0, А> 1 справедливо равенство

2. Основные определения и вспомогательные результаты

Для набора («1,..., ап) единичного п-мерного куба {0,1}п будем использовать сокращенную запись а. Пусть f (х1:... ,хп) - булева функция, тогда набор (х1,..., хп) будет обозначаться через ж, а множество {х1:..., хп} - через X.

На наборах единичного куба {0,1}п будем рассматривать лексикографический порядок, который задается нумерацией V : {0,1}п ^ [0, 2п) такой, что для набора а = (а1;..., ап) € {0,1}п его ном ер v(а) равен а12п-1 + а22п_2 + • • • + ап20.

Пусть П - разбиение множества булевых переменных У функции ф(у) на компоненты У,...,У;. Разбиение П называется селекторным разбиением переменных функции ф(у) [8, §3], если для любого г, г = 1,..., й, и для любой переменной у, у € У, найдется константа а € {0,1} и табор (а1;..., аг-1, аг+1,..., а^) € {0,1}^-1 такие, что если заменить каждую переменную из множества у, = 1,..., г — 1, г + + 1,..., й, константой а^ , то функция ф совпадет су © а.

Пусть П - разбиение множества У та компоненты У1,..., У. Величина

называется энтропией разбиения П.

2 Все логарифмы в данной работе берутся по основанию 2.

3Равенство Н(п) = Ь(п) ± 0(д(п)) означавт, что |Н(п) — Ь(п)| = 0(д(п)).

Пусть D - разбиение множества Y на компоненты Y1,..., Yd и пусть Z С Y, a (1 ^ k ^ й) — номера компонент разбиения D, имеющих непустое

пересечение с Z. Тогда будем говорить, что разбиение Д = (Z П Yil,..., Z П Yik)

DZ

Разбиение D называется геометрическим разбиением с основанием Л кратности q и высоты h, если оно для каждого i, i = 0,..., h — 1 включает в себя q компонент мощности Л® и, возможно, содержит еще не более Л дополнительных компонент. Отметим, что в этом случае4 H (D) ^ log q + С1(Л), где ^(Л) = log Л + 5, (см., например, доказательство для случая Л = 2, приведенное в [8, § 3]).

Напомним, что в [8] указан способ, как из селекторных разбиений для исходных функций получать селекторные разбиения для их суперпозиций.

Лемма 1. Пусть D®, i =1, 2, - селекторное разбиение множества переменных Y функции —¿(у®), Z = {z1;..., zt} - одна из компонент D1, £ = {£j}j=1 -система взаимно-однозначных отображений множества Y2 в различные непересекающиеся между собой и с Y1 множества переменных, а суперпозиция F, которая получается из функции —1(у1) в результате замены каждой переменной zj, j = 1,..., t, на функцию вида —2(£j(¿/2)), реализует функцию —3(у3) от множества переменных Y3.

Тогда разбиение D множества Y3, которое включает в себя отличные от Z компоненты D1, а также все компоненты вида £(Q), где Q - компонента D2 и

t

£(Q) = U U £j(у),

j=1 yeQ

является селекторным разбиением переменных функции —3.

Рассмотрим булевую функцию от 2Л переменных —л(и1,..., ил, ¿1,..., ул) = = М1У1 V ••• V илул- Первые Л переменных и1,...,ил (соответственно, последние Л переменных ¿1,..., ул) функци и —л будем называть управляющими (соответственно, узловыми) переменными. Легко видеть, что разбиение ({м1},..., {ил}, {¿1,..., ул}) является селекторным разбиением переменных функции —л •

Будем рассматривать суперпозиции функций —л, в которых подстановка одних функций осуществляется па места узловых переменных других. При этом если F - формула в базисе {—л}, то будем говорить, что переменная формулы F является управляющей (соответственно, узловой), если она является управляющей (соответственно, узловой) в некоторой функции —л, участвующей в суперпозиции.

Запись Е(а1,..., ар а",..., а^'; ..., xn), где £ - ОКС, означает, что схема £ имеет входы а1,..., а^, выходы а'/,..., а^' и зависит от переменных Х1,..., xn. В этом случае также будем пользоваться сокращенной записью Е(ж1?..., xn).

Напомним, что формула F называется абсолютной, если каждая ее входная переменная встречается в записи формулы F один раз.

Лемма 2. Для любого натурального l найдется абсолютная формула F О в базисе {—л}, реализующая функцию —(u1;...,u;', у1;...,у;»), г<?е l' = Л(Лг — 1)/(Л — 1), l'' = Л1, такую, что:

1) перемениые и1,...,Щ' (соответственно, у1;...,у;») являются узловыми (соответственно, управляющими) переменными;

2) существует селекторное разбиение D(1) переменных функции —, являющееся геометрическим разбиением с основанием Л кратности Л и высоты l с одной дополнительной компонентой, содержащей все узловые переменные;

4Буквой c с индексами будем обозначать константы.

3) существует, (1,1'')-ОКС Т (1)(Ьо; Ь1,...,Ь[»; и1,...,и1/) из клас са их такая, что

I"

■ф{-1)(и1,...,и,/ ,У1,...,У1" ) =У }1(и1,...,Щ' )уг,

г=1

где ¡г - функция проводимости от входа Т(1) к выходу Ьг, г = 1,... ,1".

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по I. Легко видеть, что в качестве формулы Т(1) достаточно взять функцию фх(и1,..., их, у1,..., ух). Положим Б(1) = ({и1},..., {ил}, {у1, ..., ух}) ■ Схема Т (1)(и1,... ,их) состоит из вершины (входа) Ьо, го которой исходят А дуг, помеченных переменными и1 , . . . , их Ь1 , . . . , Ьх

ствепио.

Пусть формула Т(1 ), разбиение 1) и гаем а Т( 1) удовлетворяют указанным в лемме свойствам. Применим лемму 1 к функциям ■ =

стве компоненты Z возьмем дополнительную компоненту разбиения МОГЦ-

А

ременных обозначим через Т(1+1) и +1) соответственно. Пусть при этом для переменных функций ф2 использовалась система взаимно-однозначных отображений (^ }Х=1 • Для г = 1, . . . , А1 присоединим к выходу Ьг схемы Т( 1) схему Т(1 = = Т (1)(Ь

г,о; Ьг, 1,..., Ьг,х; £г(и1,..., их)) и обозначим результат суперпозиции через ТС+1). При этом входные пометки присоединенных схем Т..., Т(,1) и выходные пометки схемы Т(1) снимаются, а выходы схем Т(1),..., объявляются выходами ТС+1). Легко видеть, что можно так переименовать без отождествления переменные формулы Т(г+1) и гаемы Т(г+1), а также дополнительно переименовать выходы схемы Т(1+1), что формула Т(1+1), разбиение Б(1+1) и схема Т(1+1) будут являться искомыми. □

Пусть ро - натуральное, ро ^ А, а, Но, Н и р выбраны так, что

Но =

\ogpo . 1оё А

Н=

log А

р=

ро

- Ак°

А(А - 1)

А(А - 1) + Ак0. (1)

Отметим, что при этом ро < р < ро + А(А — р кратно А (р — АН-1) кратно (А — — 1). Обозначим а = (р — Ак-1)/(А — 1). При р = А положим ур = ф(1), Б = Б(1), Тр = Т(1). Пр и р > А возьмем формулу Т(к-1), разбиение Б(к-1) и гаем у Т построенные по лемме 2. Разобьем дополнительную компоненту разбиения на два непересекающихся множества Z1 и Z2 такие, что Z1 = {у1,..., уа}, = = Ак-1

— а. Применим лемму 1 к функциям ф1 = ф(к ф2 = фх и компоненте Z1, а полученную в результате суперпозиции функцию и селекторное разбиение ее переменных обозначим через ур и Б соответственно. Пусть }а=1 - использовавшаяся при этом система взаимно-однозначных отображений множества переменных функций фх ■ Для каждого г = 1,..., а присоединим к выходу Ьг схемы Т(к-1) схему Т1 = Т(1)(Ьг,о; Ьг>1,..., Ьг,х; ^г(и1,... ,их)) и обозначим результат суперпозиции через Тр. При этом входные пометки присоедипенных схем Т(1),..., Та1 и выходные пометки Ь1,... ,Ьа схемы Т(к-1) снимаются, а выходы схем Т(1\ ... и вершины Ьа+1,..., Ьхн-1 объявляются выходами схемы Тр. Таким образом, схема Тр является (1, р)-ОКС из класса Их - Переименуем без отождествления переменные функции ур и гаемы Тр, а также дополнительно переименуем выходы схемы Тр

р

Ур(и1,... ,ир' ,у1,...,ур) = \/ ¡г(и1,...,ир' )уг,

г=1

где p' = Л(р — 1)/(Л — 1), множество U = {и1,..., up} (соответственно, множество Y = {у1,... ,ур}) есть множество всех управляющих (соответственно, всех узловых) переменных функции , f® - функция проводимости от входа к выходу b®, i = 1,... ,p.

D1 D2 D

множестве U (соответственно, Y). Отметим, что в случае а = Л^-1 (соответственно, а < D1

Л кратности Л высоты h без дополнительных компонент (соответственно, высоты h — 1 с Л дополнительными компонентами), откуда вытекает, что H(D1) ^ С2(Л), С2(Л) = 2logЛ + 5. Легко видеть, что H(D2) ^ 1 для любого а.

Пусть —(у1,...,ур) - булева функция, существенно зависящая от всех своих переменных. Множество функций G от переменных x, ...,xm называется универсальным порядка m для —, если для любой булевой функции g(x1,..., xm) в G найдутся функции g1,..., gp такие, что g может быть представлена в виде

g = —(g1,... ,gp).

Из [8, Лемма 6] вытекает способ построения универсального множества порядка m для функции — па основании селекторного разбиения ее переменных.

DY

функции —(у), а Д - некоторое разбиение множества Y на компоненты Y®, i = 1,..., k, и пусть разбиение D®, i = 1,..., k, порождается разбиением D мо множестве Y®. Тогда для любых натуральных s1,..., sk, m таких, что s® > > log |Y |, i = 1, ...,k,

k

2m ^ |Y®|(s® — H(D®))

®=1

существует универсальное множество G порядка m для — такое, что G = G1 U ■ ■ ■ U Gk и для каждого i = 1,..., k выполнены условия:

1) |G®| < 2Si+2 ;

2) G® Y®

3) число различных функции вида g'(x,... ), где g' G G®, а G {0,1}, не больше, чем 2Si/2+1.

Лемма 4. Пусть натуральные s', s'', m и p выбраны так, что p удовлетворяет (1) для некоторого натурального po и выполнены следующие соотношения:

Тогда существует универсальное множество G порядка m для такое, что G = G' U G'', |G'| < 2s'+2, |G''| < 2s '+2, функции из G' (соответственно, G'')

U

ственно, множества Y), и число различных функции вида g ''(x1,..., xm-1, а), г<?е g '' G G'', а G {0,1}, не больше, чем 2s /2+1.

Доказательство. Достаточно применить лемму 3 к функции и разбие-D1 D2 D U Y

соответствепио. При этом необходимо положить si = s', s2 = s". □

Множество S С {0,1}q называется m-регулярным [2, гл. 4, § 6], если m < q, |S| = 2m и наборы из S имеют различные префиксы длины m. Заметим, что па

т-регулярном множестве наборов S С {0,1}9 любая функция /(х1,...,хд) совпадает с некоторой функцией д(х1,..., хт). Из результатов [2, гл. 4, § 6] вытекает справедливость следующей леммы.

Лемма 5. Пусть т < ц и О = {д1;..., дч-т} - множество функции от переменных х1,... ,хт. Тогда существует раз биение А = (Б1у..., Б2я-т) куба {0,1}9 такое, что для г = 1,..., 2ч-т множество Бг является т -регулярным и каждая функция д^ ] = 1,... — т, совпадает на Бг с перемен ной х^+т или с ее отрицанием..

Пусть в',в'', т,р удовлетворяют условию леммы 4 и О - универсальное множество порядка т для , построенное то этой лемме. Обозначим ц = т + |О ' и пусть А' = (Б\,..., Б2ч-т) - разбиение куба {0,1}9, построенное по лемме 5 для множества функций О'. Отметим, что на наборах из Б^ 1 < г < 2д-т, произвольная функция д(х1,..., хч) совпадает с некоторой функцией д от т переменных, для которой можно подобрать функции д[,..., д'р, из О' и функции д'{,..., д'Р из О

д = ^р(д'ъ.. .,д'р',д.. .,дР).

В то же время по лемме 5 найдутся булевы константы а\,..., ар> такие, что па наборах из Бг функция д' совпадает с некоторой функцией д вида

1 = ^(хЦ ,...,х% ,д'{,...,д'Р), (2)

где т < г1 ^ г2 ^ ... ^ гр> ^ ц.

3. Доказательство верхней оценки функции Шеннона (п)

Для произвольной функции /(х1у..., хп) построим (1,1)-ОКС 'Sf из класса П\, реализующую f, такую, что

А — 1 п \ п I

Пусть в',в'',т,р выбраны так, что выполнены условия леммы 4 и при этом ц = т + |О '| < п. Рассмотрим разложение функции f (х1,... ,хп) по переменным

xq+1, ... , хп •

f (х1, ... , хп) хд+1 • • • хгГ • f (х ,

а '')

где х' = (x1,...,xq). Воспользовавшись разбиением А ', получаем следующее основное представление для f:

2ч-т /

(х1, . . ., хп) = \! Хг(х') I V хд+11 ••• хПП fa",i(X'

г=1 \а'' = (ая+1,...,ап)

где Хг(х') - характеристическая функция множества Бг, г = 1,..., 2q-цня fa",i(X') совпадав т с f (х ',а'') па табор ах Бг и имеет вид (2).

Напомним, что глубиной вершины корневого дерева называется число ребер на пути от корня к этой вершине. Высота корневого дерева определяется как максимальная глубина его листьев.

Пусть (1, 2п)-ОКС Е П (а ; Й0 , . . . , -1; ..., ж„) представляет собой полное двоичное корневое дерево высоты п, в котором вход а' является корнем, выходы ад,..., а2'п_1 являются листьями, все дуги ориентированы от корня к листьям, из вершин глубины г, г = 0,..., п—1, исходят противоположные контакты переменной ж®, а путь от входа к выходу а^, ] = 0,..., 2П — 1, содержит контакты, помеченные переменными ж^1,..., ж^" так, что ^((а1,..., ап)) = ].

Возьмем схему Ед (ж1?..., жд) и для каждого г, г = 1,..., 29_т, отождествим те ее выходные вершины, номера которых совпадают с номерами наборов из . Полученную (1, 29_т)-ОКС обозначим через Е '. Заметим, что Е ' реализует систему характеристических функций для компонент (51,..., 52,-т) разбиения А'. К каждому выходу Е ' присоединим отдельную (1, 2"_9 )-ОКС Е„_д(жд+1, ...,жп) так, чтобы множества выходных пометок присоединенных схем не пересекались между собой. Обозначим полученную схему через Е. При этом снимем выходные пометки схемы Е ', входные пометки схем Е„_д, а выходы схем Е„_д объявим выходами Е. Легко видеть, что

( Е) < Л^29 + Л2п_т.

Рассмотрим (£, 1)-ОКС Е '', t < 2я"+2, реализующую все различные функции из С', которую можно построить, используя метод каскадов, следующим образом:

1) разложение проводится по переменным жт, жт_1,..., ж1;

2) все остаточные функции вида д''(ж1?..., жт_1, а), где д'' € С', а € {0,1}, реализуются без отождествления вершин.

Из леммы 4 вытекает, что ( Е '') = 0(2я'') + 0(2т+я''/2).

Так как каждая функция /-"Дж') в разложении (3) имеет вид (2), то есть существуют функции д1',..., д^', принадлежащие С', набор булевых констант «1,..., ау и набор индексов т < г1 ^ г2 ^ ... ^ гу ^ д такие, что

/5- ",®(ж 0 = ^р^Г/ , ... , ж® ^ , д1', . . . ; др)1

то /а '',®(ж ') может быть реализована с использованием схемы Ту следующим образом:

1) переменные М1,..., иу ' заменяются переменными ж"1,..., ж® ^ соответственно:

2) выходы 61,..., 6у отождествляются с теми входами схемы Е '', где реализуются функции д1',..., д'' соответственно.

Осуществим указанную операцию для каждой функции / '',®(ж'). При этом будем использовать одну схему Е '' и 2п_т отдельные схемы Ту. Входные полюса, в которых реализуются функции / '',®(ж'), отождествим с соответствующими выхо-

Е

через Е$. Отметим, что

И'а.сЛЕ/) < д—-р2п~т + О (2« + 2п~т + 2я" + 2т+8"/2) . Выберем параметры т, в ', в '' и р0 следующим образом:

т = п] — 8, в' = [1оё п] — 4, в'' = 2|"(п — 2^ п)/2],

Ро

2т + хгт(5,-С2(А»

а значение р выберем в соответствии с условием (1). Начиная с некоторого и, и ^ но, для выбранных значений будут выполнены условия леммы 4. Таким образом, доказана верхняя оценка для функции Шеннона (и).

4. Нижняя мощностная оценка функции Шеннона W\(и)

Лемма 6. Количество неизоморфных (1,1)-0КС Е, Е € U\, от переменных x1,... ,xn таких, что Wx,u (Е) < W, не больше, чем, nW (c3W/ log W )(X-1)W/X г сз = c3(A,w).

Доказательство. Пусть схема Е го рассматриваемого класса содержит t

Е

достаточно выбрать ее остовное наддерево D [2, гл. 2, § 1], пометить дуги D буквами переменных, выбрать t вершин D и присоединить листья D к выбранным вершинам. Обозначим через р количество вершин в Е, тогда р ^ W/A — wt. Отметим, что Е содержит не более Ар ребер, поэтому количество способов выбрать наддерево D те превосходит 4Xp [1]. Пусть v - внутренняя вер шина D, тогда количество различных способов пометить буквами дуги, исходящие из v, не превосходит (2и)х. Выбрать t вершин дерева D те более, чем 2Xp+1 разными способами. Дерево D содержит не больше Ар — р + 1 листьев, которые можно прп-

t

CpnXptXp-p+1, с4 = с4(А), на число неизоморфных ОКС рассматриваемого класса на р вершинах, из которых t имеют полустепень захода больше 1. С учетом того, что р ^ W/А — wt, 0 ^ t ^ W/(wA), и неравенства

Для доказательства нижней оценки функции Шеннона W\tU (п) воспользуемся мощностным неравенством, вытекающим из леммы 6,

и тем фактом, что log W\,u (и) < и — log и + O(1).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 09-01-00817-а).

A.E. Shiganov. On Complexity of Oriented Contact. Circuits with Limited Out-degree.

The paper studies the implementation of Boolean functions in the class of oriented contact circuits with some restriction on the weight and number of adjacent contacts. Circuits under consideration are those in which out-degree of every vertex is not more than A. The weight of vertex is defined as A if its in-degree is one and A(1 + w), where w > 0, otherwise. Weight of the circuit is sum of weights of its vertices. Weight of Boolean function f is defined as minimal weight of circuit implementing f. Shannon function is maximal weight of Boolean

function on n input variables. For this function in case when A > 1 and for any w > 0 we obtain so-called high-accuracy asymptotic bound:

получаем утверждение леммы.

□

Summary

/

Л — 2 \

—— logn±0(l) \

l + -

n

The results shows how introduction of restrictions on the out-degree of circuit's vertices influences asymptotic behaviour of Shannon function and term logn/n in its

asymptotic expansion. Note that value of ш influences only от constant in the term O( 1).

Key words: Boolean function, oriented contact circuit., complexity. Shannon function, high-accuracy asymptotic bound

Литература

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986. 384 с.

2. Ло-жкин С. А. Основы кибернетики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. 256 с.

3. Лупаиоо О.Б. О синтезе контактных схем // Докл. АН СССР. 1958. Т. 119, Л' 1. С. 23 26.

n

Проблемы кибернетики. М.: Физматгиз, 1960. Вып. 3. С. 5 21.

5. Ложкин С.А. О синтезе ориентированных контактных схем // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика. 1995. Л' 2. С. 36 42.

6. Lozhkin S.A., Shiganov А.Е. High accuracy asymptotic bounds on the BDD size and weight of the hardest functions // Fundamenta Informaticae. to appear.

7. Коршунов А.Д. Об асимптотических оценках сложности контактных схем заданной степени // Дискр. анализ: Сб. тр. Нп-та математики СО АН СССР. 1965. Вып. 5. С. 35 63.

8. Ложкин С.А. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Матем. вопр. кибернетики. М.: Наука, 1996. Вып. 6. С. 189 214.

Поступила в редакцию 02.03.09

Шиганов Александр Евгеньевич аспирант факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. E-mail: df-dxemail.ru