CC BY
8
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1970 г.
Том 157
О ГЛАВНЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОМАЦИЙ
Г. А. дощинскии
(Представлена научным семинаром кафедры сопротивления материалов)
Одним из положений теории малых упруго-пластических деформаций является предположение о совпадении главных осей тензоров напряжений и деформаций. Это положение различно трактуется в учебной и научной литературе. В одних случаях оно рассматривается как необходимая исходная гипотеза, в других — как приближенное следствие экспериментальных наблюдений; чаще всего это положение приводится вообще без каких-либо обоснований. В то же время можно показать, что совпадение главных направлений для напряжений и деформаций (в частности, для условий простого нагружения изотропного тела) является проявлением известной физической закономерности, определяющей условия естественного протекания равновесного процесса, а именно, что совпадение главных напряжений и деформаций является необходимым условием минимума работы процесса упруго-пластической деформации.
Как известно из теории деформаций, деформированное состояние элемента может быть определено тремя взаимно ортогональными главными компонентами деформации: ей ^2, е3. Точно также напряженное состояние определяется тремя главными напряжениями: ои <?2, аз.
Соотношения между напряжениями в различных площадках, а также соотношения между компонентами деформации в различных направлениях не зависят от свойства материалов, а всецело определяются статикой или геометрией.
Для некоторого состояния тела, претерпевающего деформацию и характеризуемого значением параметра нагружения Я, выделим элементарный кубик с гранями, перпендикулярными главным направлениям деформации в этом состоянии. Совместим направление <1е\ с осью х, йе2 — с осью у, йег — с осью 2. Допустим, что в этот произвольно взятый момент направления главных напряжений не совпадают с главными направлениями деформации и повернутые оси ои <?з образуют с осью л; углы, косинусы которых соответственно равны: аь Рь Т1; с осью У— «2, р2, Т2; с осью г — а3, рз, Тз (рис. 1). Тогда по граням указанного кубика можно показать напряжения:
= ага2 + \ + ад.??, ау =аГа! + +<?З-72,
Кроме того, по граням будут и касательные напряжения, но так как грани кубика перпендикулярны главным направлениям деформации на данной стадии и, следовательно, не перекашиваются, то приращение работы деформации определится лишь выражением
йА = ъх*йех + о у • +
Работа деформации при изменении параметра нагружения от 0 до X
х
А = / [ога\ + + азТ?] е\ + + + е2 +
о
(а1 *аз *4"а2'Рз ~Ьаз'7з)^з]
где все входящие величины предполагаются монотонно изменяющимися с изменением параметра нагружения X.
Косинусы углов, определяющих взаимную ориентацию осей главных напряжений и деформаций, будут связаны между собой определенными соотношениями. Поэтому приходим к следующей задаче вариационного исчисления — определить функции:
«t(X), «2 (X), .... Un(k), обращающие в минимум интеграл
/ = Jf[X; а2{Ц Un(X)]dkt
причем искомые функции, кроме граничных условий и условий непрерывности, должны удовлетворять некоторым дополнительным требованиям относительно всего промежутка интегрирования. Если дополнительные условия представляются системой т уравнений связей (т<п)
<t>i [X; (X); и2 (к); ..... ип (X)] =0, i = 1 - /я),
то искомые функции (то есть условия, дающие минимум интегралу /) определяются системой уравнений
. ди1
Л±— = 0, (г = 1 я),
дщ (X)
где
Л = ^ + 2 «рЛ^-Ф,, (1 = 1+т)
и т уравнений связей.
Уравнения связей в данном случае представляются системой уравнений, определяющих направленность и ортогональность осей главных напряжений:
а? + Р? + Т?=1 (' = *) (Л Л =1,2,3).
«г«* + РгР* + ТГгТ*=0 Вспомогательная функция в развернутой форме имеет вид
+ (ага? + + +Р? +7? - 1) +
+ с5(а2-а3 + + ТгТз) + ®с (агяз + 'Рз + ТгТз)>
где ср. (X) — неопределенные функциональные множители Лагранжа.
В активном процессе простого нагружения для любого хара: лера деформации (упругой или пластической) условия, определяющие минимум работы деформации, приьедутся к следующей системе уравнений:
1. — ——---— = 2з{-зл-е\ + + ср4-а2 + <рс-а3 —0.
ад \ <7Я1 / о^
а дРл - + 2<р! • р| + <р.гр2 + 9в.р, » о.
йк \ д$х )
с1 ( д Р \ 0 '
3- ^Г 2зз" VI-е! +2?,+ Т4-Т8 + ®в-Тз = 0.
а?Х \ у <5у!
а / а/-, \ ар
¿X \ ¿>5с2 У сЬ
4. — -—Г---Г- = 2-1 -а2-(?2 + 2®2,а2 -Ь ?4-а1 + ®5а3 =0.
5. — (-^Л - = 2а„ ■ р, • 62 + 2®, • р, + • р, + ®0 • р8 = 0.
^ \ <эр2 у др2 _ ^
ёХ \ 342 } <?Т2
с1 [ дР \ дР '
7. — —~ )----1- - + + ср5-а2 + - 0.
аХ \ <?а3 /
ЯР.
= 2^2 . & . + 2. Рз + ?6 • р2 + ?в • = 0.
3
а ( дРЛ д/7,
й?Х \ ¿Рз / . ^Рз
9- — = 2<з3-73.ез+ 2ср3-7з +<р5-72 + <р0-Т1 = 0.
Ю. а? + Р? + Т? =1. 13. «1-«2 + Р,-Р2 + Т1-Т2 = 0.
11. а?+р»+Т^ = 1. 14. а2-а3 + р2-Рз + Т2-Тз=0.
12. а§+Р2+т1 = 1- 15. а1-а8 + Р1-?8 + Т1-7з = 0.
Укажем основные этапы решения. Исключая из уравнений (1-^9) получим систему:
Р2
2?!
Ъ
2ъ
_ Р1
2Р3
= в\ (а0 — о,), 2а, 2р1у и '
которая с помощью соотношений 10-к15 может быть упрощена:
I г
<РгТз ~ Тб'Тг = 2а1-р1.^1(а1 — а2) ср4-р3 — <р6.р1 = 2а3• Та'^ (а1 — аз)> ?4*Рз ~ <Рб*?2 =2а1.7Г^(а3 — сг) ср5-Т1 — <рб-Т2=-2а8'Рз'^з(в2 — <Р4-Тз — <Рб'Т1 в2аа-Р2.^(о2 — — Тб'Рз 3 2а3'Т|^з(б1 " аз)-
Из этой системы уравнений можно выразить значения: <р5, <рв, (р4 = —2<?1 (а1.а1.аа + о8-р1-Р2 + о3-т1-Т2)»
?5 = — 2еъ(<з1.а2.а9 + с2'р2*рз + 0з'Т2'Тз)>
ср6 = — 2ез(<У1-а3-а1 + а2-Рз'р1 + аз' Тз* Т1)» а последовательное исключение <р4, ср5, <р6 приводит к уравнениям типа.
(агага2 + Рг + °з'Т1* Тг)(«1 ~£2) =0,
(е[ •. ^ + <?2 • а2. р2 + е3 • а3. р3)(а1 — о2) = 0.
Оставляя в стороне частные решения ох а2 = а3 и =
не соответствующие общему случаю а, ф а2 ф а3) находим:
?4 = 0, ?5 =0, ср6 — 0.
Подставляя значения ср4, ср5, <р6 в уравнения (1н-9), получим:
I ' '
+ 91) =0» а2(°1-^2 + 92) =0' «з(аг^з + ?з) =0. + - О, Р3 + <р2) = 0, Рз + ?з) = 0. 71 + Т1) =0, Ъ(аз^2+ ?2) = 0, Тз (аз + ?з) =0.
Добавляя сюда систему уравнений связей (10-:-15) и решая совместно, для общего случая а1фа2фа3 находим:
аг = 1, а2 = 0, а3 = 0.
01=0, Р2= 1, р3 = 0.
Т1 = Ъ =0' Тз = 1-
Полученное решение указывает на то, что совпадение главных направлены напряжений и деформаций является необходимым условием минимума работы процесса деформации.
