CC BY
20
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Том 96, 1 ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1959 г.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Г. А. ДОЩИНСКИЙ
(Представлено научным семинаром кафедры сопротивления материалов)
Основой теории упруго-пластической деформации является ряд гипотез, который в наиболее общей форме, данной Ильюшиным А, А. [1], представляется следующими положениями.
1. Линейные инварианты тензоров напряжений и деформаций, пропорциональны
о = ке. (О
2. Направляющие тензоры напряжений и деформаций совпадают
(Ц.) = (Ц). (2)
3. Интенсивность напряжений есть определенная, не зависящая от вида напряженного состояния, функция интенсивности деформаций
= (3)'
Эти положения получили практически достаточное экспериментальное подтверждение. Наилучшее соответствие опыту указанных гипотез имеет место при наличии изотропии свойств материалов и соблюдении условий простого нагружения, т. е. нагружения, при котором все компоненты тензора напряжений возрастают пропорционально одному параметру а. Значительное развитие теории пластичности, в особенности в последнее время, позволило получить большое число практически важных решений.
Однако математическая теория пластичности, будучи построенной на чисто аналитических категориях, лишена наглядности. Это обстоятельство, в известной мере, затрудняет усовершенствование теории, требует от лиц, желающих изучить основы теории, специальной математической подготовки и приводит иногда к различным толкованиям основных понятий.
Ниже рассматривается возможность наглядного геометрического представления основных зависимостей, имеющих место в процессе упруго-пластической деформации (анализируется наиболее изученный случай нагружения—простое нагружение).
Приводимая интерпретация включает в себя обычный способ графического представления в пространстве напряжений условий проч-
27
ности и пластичности, дополненный некоторыми геометрическими соотношениями. При этом трудно осязаемые понятия—интенсивность напряжений и деформаций заменяются некоторыми новыми категориями. Последнее, однако, не приводит к существенному изменению соотношений, свойственных упруго-пластической деформации и отражаемых отмеченными исходными гипотезами теории. При изложении рассматривается более общий случай, свободный от гипотезы (1), т. е. предполагается возможность существования и остаточной объем-нон деформации.
Одной из исходных предпосылок теории упруго-пластической деформации является предположение о совпадении направлений главных напряжений и деформаций. Для геометрического отражения этого условия совместим системы ортогональных координат а3 и ех,
¿2> е-.ь обозначив соответственно оси-1,2,3. Не накладывая каких-либо условий на соотношения главных напряжений и деформаций, будем считать все оси равноправными. Ось симметрии пространства напряжений и деформаций х образует с осями координат 1, 2, 3 равные углы 'f
cos 9 — —7= . (4)
- f/3
Введем понятие средней деформации, как количественной меры деформации для общего случая. Предполагая при этом для пластичных материалов одинаковое сопротивление растяжению и сжатию, т. е. учитывая лишь абсолютные значения деформаций, будем исчислять средние значения как среднеквадратическое отклонение от исходного не деформированного состояния
п- 1
где п — число измерений.
Деформация в общем случае характеризуется тремя измерениями. Поведение материала при упруго-пластической деформации устанавливается на основе анализа его поведения в некотором исходном опыте. Так как в эквивалентных состояниях знаменатель может быть сокращен, то в дальнейшем будем именовать средней деформацией величину
е
ср
= Ve\+e\+el. - (5)
Аналогично примем в качестве меры напряженности среднее напряжение
°ср = ^^Г+^ГИГ (6)
Компоненты деформации при упруго-пластической деформации могут быть выражены через напряжения следующим образом:
е1 = ТГ^ГГ К - И С'О 0*2 + аз)], ¿>2 = —- ^ (>0 (з3 + 0^1
е.
д —
Е(к)
где Е(Х) и рь (X)—характеристики материала на данной стадии деформирования [2, 3, 4, 6].
Как было показано ранее [5], величина еср оказывается достаточно надежной общей мерой деформации, не зависящей от типа напряженного состояния. Условие эквивалентности состояний, полученное на основе этого критерия, выраженное в напряжениях (7), хорошо согласуется с опытными данными
Используя обычный способ пространственной интерпретации условий прочности и пластичности, можно показать, что эквивалентные состояния материала по напряжениям определяются точками, расположенными на поверхности эллипсоида вращения с продольной осью х
а* Ь2
где __ а = —--— : b=-l/2'
V \ — k(i) ' у 2+Äpo
k(l)
Поверхностью, определяющей эквивалентные состояния по деформации, будет поверхность полной полярной симметрии—сфера с радиусом
Л = ераст- VI +2и(л)2. (9)
Наличие полной симметрии определяющей поверхности является в данном случае отражением исходного в теории допущения о полной изотропии материала.
Среднее напряжение оср и средняя деформация еср являются чисто количественными мерами напряженности и деформации. Для того, чтобы дать некоторую качественную характеристику напряженного и деформированного состояния,^введем понятие векторных величин результирующей деформации ер и результирующего напряжения ор, определяемых как геометрическая сумма главных деформаций или напряжений
е0 = 7х + е2 + е3 ; Тр = ^ + а2 +7,. (10)
Направленность компонентов главных деформаций и напряжений при учете их относительных значений обусловит определенную ориентацию векторов ер и ср в системе осей координат 1, 2, 3. Это, в свою очередь, позволит охарактеризовать качественную сторону напряженного и деформированного состояния. Так, например, совпадение ер с осью симметрии пространства х в положительном или отрицательном октанте будет указывать на то, что имеет место только объемная деформация—уплотнение или разуплотнение материала. Всякое отклонение
29
ер от оси х будет указывать на наличие сдвиговой деформации и характеризовать соотношение изменений объема и формоизменения. То же можно_^сказать и относительно вектора
Векторы ор и еру исходя из начала координат 1, 2, 3, не определяют напряжение и деформацию по какому-либо направлению, а понимаются здесь лишь как величины, разложение которых по осям 1, 2, 3 дае_т значения главных напряжений и деформаций Модули векторов ар и вр равны значениям среднего напряжения (5) и средней деформации (6;.
Направляющими косинусами этих векторов будут:
для з
р
для ер
/ сое а= —- , 008 0' = —, сое у' =
соз а" = ^, СОвР" = , СОБ -¡" =
еР ер
(П)
Между численными значениями зр и ер существует связь, которая может быть найдена из исходной диаграммы растяжения. Для установления связи с диаграммой растяжения, определяющей механические свойства материала, найдем значения средней деформации и среднего напряжения в эквивалентных состояниях. При этом будем исходить из обобщенной кривой течения
3прив — Ф(^прив) (12)
прав
+ — к (а) з2+°2ае-г i
еср
е„„,,« =
рассмотренной ранее [6] и находящейся в хорошем согласовании с опытом.
Для некоторого напряженного состояния, при котором
с1 — з,; а2 — т 3!; з:! — п , среднее напряжение
°р = I+ 31V 1 +тг + ПК (13)
Величина напряжения о1( эквивалентного растягивающему напряжению ■о в опыте на растяжение, может быть выражена из условия эквивалентности в напряжениях (7)
Vо\ + т1 о\ -+- п? — А ~Ь п 31 + тпз\) =
откуда
Зд - _________-______ ___,. (14)
у 1 -}- т2 + п? — к (л) (т + п + тп)
])Иначе говоря, имеют лишь геометрический смысл.
Растягивающее напряжение з> эквивалентное заданному значению зср. из выражений (13) и (14) определяется:
(15)
где ' Л = 1 /_____\+J*±j£_
]/ 1 -\-т2 + пг — k (X) (т + п. -f- т п)
А — коэффициент вида напряженного состояния (для простого нагру-жения при использовании условия несжимаемости Л —const). Величина еср, соответствующая значению аср из обобщенной диаграммы а—е, может быть найдена из выражений (12)
е-7Т$РШ>'' (16)
Таким образом можно сказать, что величины оср и еср (имея в виду <15), (16) и диаграмму растяжения а = £(Х).е, для любого
напряженного состояния связаны зависимостью
= в (X) (17)
А /1+2
где Е(Х)—секущий модуль диаграммы растяжения. При т = п~0 зависимость (17) обращается в диаграмму растяжения, позволяя по данным испытания материала на растяжение a (е), p. (X) = /2 (е) находить величину еср по заданному значению зср. Возможность разрешения подобной задачи (хотя бы путем последовательных приближений) следует из факта хорошего соответствия исходного уравнения (12) экспериментальным данным.
Выясним взаимное расположение векторов ор и ер в совмещенной системе координат оь а3 и еи еъ е3. Соотношение проекций ор и ер на оси координат будет в этом случае соответствовать зависимостям между компонентами напряженного и деформированного состояний, т. е. давать физические уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через два направления и точку их пересечения ух; zu имеет вид:
(х— хг) (cos Pi . cos у2 — cos . cos yJ + (у —Ух) (cos Yi - cos a2 — — cos Y^ - cos a,) (z — Zi) (cos . cos — cos a2. cos ft) = 0.
Направляющие косинусы оси симметрии пространства и вектора результирующей деформации выражаются отношениями (4) и (11). Подставляя эти значения н учитывая, что точкой пересечения является начало координат, имеем:
epV3 epV$
После сокращений уравнение плоскости, проходящей через вектор* результирующей деформации и ось симметрии пространства, приобретает вид:
X (ег — е2) + у (е1 — еъ) + г (е2 — е{) = 0. (19)
Направляющие косинусы вектора результирующего напряжения и оси симметрии пространства напряжений даны отношениями (4) и (11). Точкой пересечения этих направлений также является начало координат. Поэтому на основе уравнения (18) получим:
X (Ь — о2) Чг У (а1 — сз) + г (б2 — 0Х) = 0. (20)
Из аналитических выражений, определяющих закон подобия девиато-ров (гипотеза 2), следуют соотношения:
с3 — а2 = 2 0(ег — е2), — а3 = 26 (е1 — о2 — —2 й(е2 —е{). Подставляя в уравнение (20) и сокращая на 2 С, получим: х (ег - е2) + у (ег — <?3) + 0 (е2 — ег) = 0
это означает, что плоскости: ось симметрии пространства напряжений — вектор результирующего напряжения и ось симметрии пространства деформаций—вектор результирующей деформации совпадают.
Таким же образом можно показать, что плоскости ось симметрии х—вектор результирующего напряжения и ось симметрии х— вектор результирующей упругой деформации гр (определяемый ниже) оказываются совпадающими.
Компоненты полной (упруго-пластической) деформации состоят из двух частей: упругой и остаточной, т. е. аналитически представляются в форме алгебраических сумм:
= £1 + ~ + гз; = + З3. (21)
Эта запись не предполагает каких-либо соотношений составляющих деформации, а отражает лишь факт существования упругой и остаточной деформации. Поэтому значение результирующей полной деформации может быть определено следующим образом:
еср = V (^Н)2 + + ¿2? + (е3 ¿з)Т=
___(22)
— V (£Т + £2 + г1) + (3? + + 31) 2(в] о, 32 02 - £353) .
Для „чисто упругой" деформации, при которой ни по одному из главных направлений не наблюдается остаточных изменений (й1 ^ о„ =
еср ~ ]/ е'( + г* + = 3ср.
Вектор £р с модулем вср будем называть вектором результирующей упругой деформации. Его направление определяется косинусами:
cos а* ; cos р* = — ; cos 7* = -* . (23)
гР еР ер
Направленную величину ор с модулем
<> "ч * / '> , ^ О <> <)
Ър^°ср = У01 +
аналогично назовем вектором результирующей пластической деформации. На основе теоремы о проекции равнодействующей, учитывая (21), приходим к выражению
ёр=Тр + Ър. (24)
Для больших деформаций, когда составляющими упругой деформации можно пренебречь, т. е. положить
= е2 = е3 = 0,
на основе (22) и (24) получим
ер = ор.
Аналогично для „чисто упругой" деформации ер = ер.
Исходя из (19) и (24) можно заключить, что геометрическим отражением закона пропорциональности касательных напряжений соответствующим сдвигам (или закона подобия девиаторов) является расположение векторов Ору еру sр, bp в одной плоскости, проходящей через ось симметрии пространства х.
Для установления взаимной ориентации векторов ор и ер достаточно теперь определить угол между ними. Уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей углы сс, [3, 7 с осями координат, имеет вид:
х у z
cos a cos $ cos 7
* Для вектора результирующей деформации
С | С-^
COS a" COS Р" COS '
для результирующего напряжения
cos a' cos ¡V cos Y Угол между двумя прямыми определяется соотношением
cos = cos о! . cos a" -f- cos p'. cos -f- cos 7'. cos 7". 3. Изв. ТПИ, т. 96, 1 33
Поэтому угол ф между векторами зр и ер может быть определен следующим образом:
а, ех -f а., е., 4- з., e-i cos ф = —LJ- ---—- ,
откуда
* = arc eos , + ^ + - gj* ft) (я (95)
В частности при сдвиге а^ и совпадают по направлению (6 = 0). Так как векторы ар и ер расположены в одной плоскости с осью симметрии пространства, то для угла ф может быть дано и другое выражение
Ф = Ф"-Ф', (26)
где ф' и отклонения векторов ор и ер от оси симметрии х.
Направленность вектора ер в пространстве деформаций позволяет установить связь этой характеристики деформации с изменением объема. Если пренебречь малыми величинами высшего порядка, то величина относительного изменения объема, как известно, определится алгебраической суммой деформаций
& = +е2 + е:). (27)
Проекции главных компонентов деформации на ось симметрии пространства соответственно выражаются:
€ С
пр(х) е1 = ех, cos ? —■= ; rip{x) е, = е2. cos ? = ;
пр(х) ея = . cos ® = .
уз
На основании теоремы о проекции равнодействующей следует, что изменение объема пропорционально величине проекции вектора результирующей деформации на ось симметрии пространства
- ¿>,4- е, 4- <?.J О
пр{*) еР--7V" = —Пг = еР ' cos * •
у 3 у 3
Неизменность объема при деформации характеризуется скольжением конца вектора ер по плоскости, перпендикулярной оси х. Если пренебречь изменением объема, эта плоскость будет проходить через начало координат.
Аналогично можно определить упругое изменение объема через проекцию результирующей упругой деформации на ось х
£1 -г £2 И" £:¡ ®уяр , *
Пр[х) гр — —-- _ = = . COS ф*.
]/3 1/3
Отклонение ер от оси симметрии пространства
ф" = arc cos —^-г-^r- (28) еР у 3
.для вектора результирующей упругой деформации
Й
* у по
Ф* — агс соб - - -
£р
1/3
¿Проекция результирующего напряжения <зр на ось х
пр{х) Ср =--—-= К 3 . 30 = 3 .р
отклонение этого вектора от оси симметрии пространства
Ф' = агссоз . (29
Следовательно, закономерности объемной деформации могут быть охарактеризованы изменением соотношений проекций результирующего 'напряжения ори результирующей деформации ер на ось симметрии пространства
р = К (/.) ' в, пр(Х) Зр — 3 Л"(-а) . пр(х)ер .
Таким образом, все элементы и соотношения, необходимые для описания процесса упруго-пластической деформации, приобретают наглядную геометрическую форму. На этой основе возможно и моделирование. Упруго-пластическая деформация при любом напряженном состоянии протекает так, что поведение материала может быть уяснено из нижеследующей геометрической картины.
В простейшем опыте (растяжение) определяются характеристики механических свойств данного материала при деформации в виде исходных диаграмм
Напряженность при любом напряженном состоянии характеризуется вектором ар . Если задано напряженное состояние, все компоненты которого возрастают пропорционально одному параметру, то в системе координат сь о2, о3 направление вектора зр остается неизменным, а величина его меняется пропорционально параметру нагружения л. Каждому значению ор соответствует определенное по величине значение ер соответственно свойствам материала на данной стадии. В системе совмещенных координат а2, а;!), (ег, е->, ел) векторы ор Ух^ер исходят из общего начала координат. В процессе нагружения Ср отклоняется от ар на угол ф, оставаясь в одной плоскости, проходящей через ор и ось, равнонаклоненную к осям координат. Проекции вектора ер на оси координат определяют значения главных компонентов деформации, а на ось симметрии пространства —величину объемной деформации. Проекции составляющих вектора ер~гр + Ър на оси координат дают значения упругих и остаточных частей компонентов деформации (фиг. 1).
В эквивалентных состояниях при различном силовом воздействии векторы ер касаются поверхности общей сферы (9), а эллипсоида (8). Фиг. 2 показывает ряд последовательных стадий деформации').
Примечание. Следует отметить, что данная работа, как и ранее [6], предполагает следующее подразделение.
1. Простое нагружение — нагружение, при котором компоненты напряженного состояния меняются пропорционально одному параметру. Изменение компонентов, деформации при этом определяется свойствами реального материала.
2. Простое деформирование—деформирование с изменением компонентов деформации пропорционально одному параметру. Изменение напряжений определяется свойствами реального материала.
Для объемно недеформируемого материала (в пренебрежении изменением объема, при упруго-пластической деформации), а также в пределах упругости простое нагружение соответствует и простой деформации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ильюшин А. А. Пластичность, Гостехиздат, 1948.
2. Работ нов Ю. Н. Сопротивление материалов, Изд. МГУ, 1950.
3. Р ж а н и ц ы н А. Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов, М., 1954.
4. Жуков А. М. О коэффициенте Пуассона в пластической области. Изв. АН СССР, ОТ И, № 12, 1954.
5. Д о щ и н с к и й Г. А. Теория предельного упругого состояния. Изв. Томскою политехи, ин-та, т. 85, 1957.
6. Дощи не кий Г. А. К теории упруго-пластической деформации. Изв. Томского полигехн. ин-та, т. 85, 1957.
7. Майзель В. М. Справочное руководство по машиностроению, т. 1. (математика), ДНТВУ, 19 57.
