CC BY
69
УДК 539.3
Зоны предразрушения в квазихрупких материалах при ветвлении и изломе трещин
В.М. Корнев, В.Д. Кургузов
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Рассматриваются тела с регулярной структурой. Предлагается строить решение нелинейной задачи механики разрушения в два этапа, когда для исходной трещины, деформирующейся по смешанной моде, возможно ветвление или излом. Сначала отыскиваются углы излома или ветвления трещины, а затем определяются критические параметры разрушения для выбранных направлений. На этих этапах соответственно используются необходимый и достаточный критерии разрушения типа Нейбера-Новожилова. При отыскании критических параметров разрушения (длин зон предразрушения и нагрузки) используется модификация классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, когда зоны предразрушения занимают прямоугольники, расположенные вдоль отростков трещины. При построении простых выражений для критических параметров разрушения используются коэффициенты интенсивности напряжений для трещины с бесконечно малыми отростками и коэффициенты интенсивности напряжений для трещины с отростком, когда на отростке заданы нормальные и сдвигающие напряжения, моделирующие зону пластичности. Чтобы построить коэффициенты интенсивности напряжений для трещины с отростками, методом конечных элементов решена задача об одноосном растяжении пластины с трещиной, имеющей двоякосимметричное ответвление. Получены коэффициенты интенсивности напряжений для первой и второй мод в зависимости от угла ветвления.
Ключевые слова: квазихрупкое разрушение, ветвление и излом трещин, необходимый и достаточный критерий разрушения, критические параметры разрушения
Prefracture zones in quasibrittle materials at branching and kink of cracks
V.M. Kornev and V.D. Kurguzov
Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
The paper is concerned with solids of regular structure. An initial crack under mixed-mode deformation can experience branching and kink. In this case the nonlinear task of fracture mechanics is proposed to be solved in two stages. First we find branching and kink angles of the crack and then critical fracture parameters for chosen directions. At these stages use is made of the necessary and sufficient fracture criterion of a Neuber-Novozhilov type. Critical fracture parameters (lengths of prefracture and unload zones) are calculated using the modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model, when prefracture zones occupy rectangles along crack branches. Simple expressions for critical fracture parameters are derived using stress intensity factors for cracks with infinitesimal branches and those for cracks with a branch, for which normal and shear stresses simulating the plasticity zone are specified. Stress intensity factors for the branched crack are constructed due to the finite element solution of the task on uniaxial tension of the plate having a crack with a double-symmetric branch. Stress intensity factors are calculated for mode I and II cracks depending on the branching angle.
Keywords: quasibrittle fracture, crack branching and kink, necessary and sufficient fracture criterion, critical fracture parameters
1. Введение
Вопросы устойчивого роста острых трещин и их ветвления при некотором нагружении тела с прямолинейной острой трещиной представляют несомненный интерес. В окрестности вершины острой трещины, деформирующейся по смешанной моде, возникает слож-
ное поле напряжений. При определенных условиях может происходить затупление острых трещин из-за больших сдвиговых напряжений или деформаций. В работе [1] обнаружена возможность множественного ветвления трещин, что связывается с кратностью собственных значений при потере устойчивости системы. Подчерк-
© Корнев В.М., Кургузов В.Д., 2009
нем, что в этой работе нагружение соответствует первой моде разрушения. Получены соотношения, описывающие угол излома траектории трещины, когда известны кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора. Трещина может развиваться 1) перпендикулярно направлению максимального растяжения при отсутствии сдвигающих напряжений в окрестности ее вершины (гипотеза Эрдогана-Си), когда материал разрушается хрупко; 2) вдоль направления максимального сдвига при отсутствии нормальных напряжений в окрестности ее вершины, когда материал разрушается вязко (имеет место испускание дислокации); 3) вдоль некоторого направления, соответствующего обобщенному напряженному состоянию, когда материал разрушается квази-хрупко или квазивязко.
Рисунок 1 демонстрирует асимметричное формирование зон предразрушения в алюминиевой пластине с трещиной [2]. Такая картина наблюдается в тонких пластинах при полномасштабном пластическом течении в окрестности вершин трещин. Последующее распространение трещин происходит вдоль средней линии зоны шейкообразования.
Ветвление и излом траектории острых трещин может происходить, например, в случае выхода вершины плоской трещины на плоскую границу раздела монокристаллов. Эта граница раздела (например малоугловая граница) в структурированном материале рассматривается как некоторое тонкое твердое тело регулярного строения с заданными свойствами. Если тонкое твердое тело имеет пониженные характеристики прочности по сравнению с идеальными монокристаллами, то предпочтительное распространение трещины совпадает с границей раздела монокристаллов [1]. В работе [3] получены соотношения для угла излома траектории трещины при обобщенном напряженном состоянии, когда известна кривая теоретической прочности изотропного материала типа Кулона-Мора. Для квазихруп-ких материалов предпочтительное направление развития трещины почти совпадает с перпендикуляром к
Рис. 1. Асимметричное формирование зон предразрушения в алюминиевой пластине с трещиной [2]
направлению максимальных растягивающих напряжений.
2. Описание характеристик квазихрупкого материала со структурой при однократном нагружении
Рассмотрим внутреннюю прямолинейную острую трещину в структурно-неоднородном материале на втором структурном уровне (зернистый материал). В изотропном упругом материале внутренняя трещина моделируется двусторонним разрезом длиной 2/. Пусть на бесконечности заданы нормальные ато и касательные тто напряжения, т.е. трещина деформируется по смешанной моде (нормальный отрыв + сдвиг). При выходе трещины на границу двух зерен возможно ветвление трещины или излом ее траектории как следствие несим-метрии прочностных свойств материала относительно плоскости трещины. Введем полярную систему координат Or0 с полюсом O в правой вершине трещины, направив полярную ось вдоль оси трещины. Обозначим через ±0* углы ветвления (излома) трещины. При 0* = 0 трещина распространяется устойчиво, оставаясь прямолинейной; при 0* Ф 0 имеет место излом траектории трещины; при ±0* Ф 0 трещина ветвится, меняя свое направление, причем при ±0* = П 2 происходит затупление трещины при ее раскрытии [1]. По характеру поведения при разрушении материалы можно разделить на хрупкие (0* = 0) и вязкие (0* = ±тс/2), но возможно и квазихрупкое (0* ^ ±0, ±0* Ф 0) или квазивязкое (0* ^ ~±п/2, 0* <п/2) поведение.
При постепенном нагружении образца напряжениями ато и тто, приложенными на бесконечности, в окрестности вершины трещины реализуется сложное напряженное состояние. Будем рассматривать пропорциональное нагружение, когда т^/ато = c = const. Выбор того или иного пути ветвления и излома траектории трещины определяется прочностными характеристиками материала. На рис. 2 приведены кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для двух изотропных материалов. Кривая 1 описывает поведение квазивяз-кого материала, а кривая 2 — квазихрупкого материала. Пропорциональный путь нагружения (т/а = c = const) показан лучом 3, направление которого определяется углом ф на плоскости а-т, где а и т — нормальные и сдвигающие напряжения. Таким образом, кривые 1, 2 в полярной системе координат могут быть записаны в виде: f = f (ф) (i = 1, 2); для изотропного материала имеем: f (ф) = f (-ф) из-за выполнения условий симметрии [3]. Теоретические (идеальные) прочности материалов на растяжение обозначены ат1, ат2 для кривых 1, 2 соответственно (f (П2) = TTi). Теоретические (идеальные) прочности материалов на сдвиг обозначены тт1, тт2 для кривых 1, 2 соответственно (f (П2) =
3
А\
/\
О а* стт1 ат2 а
Рис. 2. Кривые теоретической прочности типа Кулона-Мора для двух изотропных материалов: 1 — квазивязкий материал, 2 — квази-хрупкий материал, 3 — пропорциональный путь нагружения
= тт). Через а*, т* обозначены критические значения напряжений на заданном пути деформирования. Ниже величины со звездочкой означают критическое состояние.
Относительные оценки теоретических прочностей на растяжение ат и сдвиг тт в предельных случаях таковы: 1) для материалов, склонных к раскалыванию (хрупкий и квазихрупкий материалы), имеем ат ~ тт (кривая 2); 2) для материалов, слабо сопротивляющихся испусканию дислокаций (квазивязкий материал), имеем а т >>т т (кривая 1).
Для пропорционального пути нагружения рассмотрим
а -8 - диаграммы деформирования материалов, где ин-
~ 2 2 1/2 тенсивность напряжений а = (а +т )1 , а интенсив-
~ 2 2 1/2
ность деформаций 8 = (8 + у у . Диаграммы деформирования а -8 могут быть получены, например, в экспериментах на совместное растяжение и кручение тонкостенных трубчатых образцов [4]. На рис. 3 приведена простейшая аппроксимация диаграммы а -8
*
деформирования квазихрупкого материала. Здесь а — критические значения напряжений; 8 0 — предельные деформации в зоне упругого деформирования; 8 —
80 8* 8
Рис. 3. Диаграмма а -е деформирования квазихрупкого материала (1) и ее аппроксимация (2)
деформации, соответствующие началу процесса разрушения.
3. Углы ветвления трещины (необходимый критерий разрушения)
Предположим, что исходная макротрещина является острой, а ее правая вершина находится на границе двух зерен. При этом материал является изотропным.
Рассмотрим силовой дискретно-интегральный критерий разрушения типа Нейбера-Новожилова [5, 6] подрастания трещин по выбранным направлениям ±0, определяемым углами ветвления:
(а0 (0)) = — /0 ае (r,0)dr = а*,
Г0 °ъ (D
(т,0 (0)> = — /0 тЛ (r ,0)dr = т*.
r0 0
Здесь Or0 — полярная система координат, когда начало отсчета совпадает с вершиной реальной трещины; а0 (г,0) и тr0 (r,0) — нормальные и касательные напряжения, имеющие интегрируемую особенность; (а0 (0)), (тг0 (0)) — осредненные нормальные и касательные напряжения на выбранных направлениях ±0*; обозначения а* = f ^)cos ф, т* = f ^)sin ф используются для напряжений критических состояний (рис. 2); r0 — характерный линейный размер структуры материала (диаметр зерна). Подчеркнем, что левые части первого и второго соотношений (1) суть функции угла 0, а правые части тех же соотношений суть функции угла ф. Для трещин, нагружаемых по моде I, соотношение между этими углами было установлено ранее: ф = 0/ 2 [1].
При ^а0 (0)) < а*, ^тг0 (0)) < т* трещина не продвигается. Когда осредненные напряжения ^а0(0)), (тг0 (0)^ совпадают с напряжениями критических состояний а*, т*, т.е. ^а0 (0)^ = а* и ^тг0 (0)^ = т*, выполняется критерий (1) на выбранных направлениях ±0* и начинается: 1) формирование единственной зоны предразрушения на продолжении трещины, если 0* = 0, 2) формирование двух зон предразрушения при ветвлении внутренней трещины длиной 2/, если 0* Ф 0. Первый случай соответствует хрупкому и квазихрупкому разрушению, когда 0* = 0. Второй случай соответствует квазивязкому разрушению, когда 0* ~ п/ 2.
Необходимый критерий (1) позволяет записать длину острой внутренней трещины в виде [3]:
2/ =_________f2 (ф) cos2 ф________________________ (2)
r0 ато cos3 (0/2) - 3тто sin(0/ 2) cos2 (0/ 2)
Соотношение (2) содержит функцию /(ф), характеризующую поведение материала на плоскости а-т (см. рис. 2). Вид функции /(ф) зависит от типа изучаемого материала. Для хрупких и квазихрупких материалов характер зависимости /(ф) от вида напряженного со-
стояния определяется теоретическими прочностями на растяжение и сдвиг [1, 3] (см. кривую 2 на рис. 2), когда ат2 ~ тт2. Связь между углами ф и 0 имеет вид [3]:
К §ш(0/2) ^(0/2) + Кп (1 - 3 sm(0/2))
^ф = -
(3)
К1 тоб2(0/ 2) - 3КП бш(0/ 2)^(0/ 2) -п < 0 < п,
где К1 > 0, Кп Ф 0 суть коэффициенты интенсивности напряжений острой внутренней трещины при обобщенном напряженном состоянии.
Используя (2), (3), углы ветвления ±0* можно определить из следующего соотношения [1]:
I (0*) = тіп I (0).
Это соотношение описывает как простое, так и кратное ветвление трещин. Например, для трехкратного ветвления имеем: /1(0*) = /2(-0*) = 13(03) при 0* Ф 0,
03 = 0. Подобное поведение системы было обнаружено в экспериментах [2]: для левой вершины трещины на рис. 1 имеем ±0* Ф 0, а для правой вершины трещины — 0* = 0. Реализация того или иного направления при распространении трещин в конкретных экспериментах [2] зависит от незначительных возмущений в структуре материала в окрестности вершины трещины.
Таким образом, необходимый критерий (1) описывает начало формирования единственной зоны предраз-рушения в хрупком материале или двух зон предразру-шения в квазивязком материале и позволяет определить углы 0* ветвления внутренней трещины. Необходимый критерий (1) не может описать длины зон предразруше-ния.
Для необходимого критерия соответствующие осред-ненные напряжения не превосходят теоретических прочностей на разрыв или сдвиг. При выполнении необходимого критерия ближайшая к вершине структура материала находится в критическом состоянии. Однако после исчерпания несущей способности ближайшей к вершине структуры возможно дополнительное догружение тела с трещиной за счет закритического деформирования этой структуры и докритического деформирования следующей структуры, когда в окрестности вершины трещины отсутствуют повреждения. При выполнении достаточного критерия имеет место катастрофическое разрушение исходной системы.
4. Достаточный критерий разрушения при обобщенном напряженном состоянии
Для описания напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины воспользуемся моделью Леонова-Панасюка-Дагдейла [7, 8]. Введем декартову прямоугольную систему координат Оху с началом в вершине трещины, ось Ох направим вдоль оси трещины. Если в континуальной модели воспользоваться представлениями решений для напряжений на
продолжении острой трещины у = 0 через коэффициенты интенсивности напряжений KI, Кп, то с точностью до величин высшего порядка малости в окрестности вершины трещины для линейной задачи можно записать:
Тху (х> 0):
КI
72ПХ
.. Кд
■\j2nx
(4)
где а^, т^ — характерные напряжения, заданные на бесконечности либо на контуре ограниченного тела; К , Кп — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений. Суммарные коэффициенты интенсивности напряжений можно представить в виде:
К = к~ +Кд, к~> 0, Кд < 0,
Кп = Кп~+ Кпд, Кп~> 0, Ки< 0. (5)
Здесь К~, Кп^ — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые напряжениями а^, т^; Ки, Км — коэффициенты интенсивности напряжений, порождаемые напряжениями а*, т*, действующими в окрестности вершины фиктивной трещины в зоне пред-разрушения.
В классической модели Леонова-Панасюка-Дагдей-ла исходная внутренняя прямолинейная трещина длиной 2/0 заменяется фиктивной трещиной-разрезом длиной 21 = 2/0 + 2Д, где Д — длина нагруженного участка или длина зоны предразрушения, две зоны предразру-шения расположены на продолжении исходной трещины. Схема силового нагружения правой вершины фиктивной трещины в обобщенной модели Леонова-Пана-сюка-Дагдейла представлена на рис. 4, а (трещина распространяется прямолинейно) и на рис. 4, б (излом траектории трещины). Далее рассматривается случай квазихрупкого разрушения, когда Д//0 << 1. В классической модели в зоне предразрушения действуют только нормальные напряжения а , сдвигающие напряжения т^ и т отсутствуют. Напряжения а , т совпадают с напряжениями критических состояний (см. рис. 2). Суммарный коэффициент интенсивности напряжений К не может быть отрицательным, так как при К < 0 берега трещины налагаются друг на друга, что физически нереально.
Для описания процесса разрушения в зоне предраз-рушения ветвящейся трещины воспользуемся достаточным критерием разрушения [9, 10]. Поместим начало декартовой прямоугольной системы координат Оху в правую вершину отростка трещины, а ось Ох направим вдоль отростка (рис. 4, б), отросток трещины расположен под углом 0* к плоскости основной трещины. Таким образом, всю длину отростка занимает зона пред-разрушения. Введем обозначения: Д — длина зоны предразрушения и а — поперечник этой зоны.
0
Рис. 4. Схема силового нагружения правой вершины фиктивной трещины в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла
Достаточный дискретно-интегральный критерий квазихрупкого разрушения для острой трещины имеет вид:
—/а у (х, ОИх = а*,
г0 0
1 Г0
— /тху (х, 0)йх = т*, х > 0;
Г0 0
* , К + 1 2 у(-Д ) = —— КI
и
* . АЧ К + 1
2и (-Д) =------------К
(6)
(7)
= 2м , -Д < х < 0.
Здесь ау (х, 0) и тху (х, 0) — нормальные и касательные напряжения на продолжении отростка трещины, имеющие интегрируемую особенность; г0 — интервал осреднения; 2у = 2у(х) и 2и = 2и(х) — раскрытие отростка трещины и смещение берегов отростка трещины соответственно; 2у* и 2и — критическое раскрытие отростка трещины и критическое смещение берегов отростка трещины соответственно; К = 3 - 4у для плоской деформации, к = (3 -у)/(1 + у) для плоского напряженного состояния, где V — коэффициент Пуассона; G — модуль сдвига; К1 и Кп — суммарные коэффициенты интенсивности напряжений в обобщенной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла.
Длина зоны предразрушения Д определяется при решении задачи о разрушении (6), (7), а поперечник этой зоны а отыскивается из решения упругопластической задачи [11]. На рис. 5 заштрихована пластическая зона в окрестности правой вершины трещины, диаметр пластической зоны равен а. Приравниваем площадь пластической зоны площади прямоугольника со сторонами а и Д, показанного на рис. 5. Таким образом, пластическая зона в окрестности вершины трещины аппроксимируется прямоугольной зоной предразруше-
ния с поперечником а и длиной Д. Критические параметры 2 V* и 2и* находятся из соотношений
2и* = а* (8*-80), 2м* = а*( у*-у 0), (8)
~ I 2 2 ~* I * 2 * 2
где 80 = у 80 + у0, 8 = у (8 ) + (у ) определяются по
диаграмме а -8 (рис. 3).
Система из первых соотношений критерия (6), (7)
эквивалентна системе из вторых соотношений критерия
(6), (7), если имеет место пропорциональное нагружение, а тензоры напряжений и деформаций соосны [9, 10]. В отличие от классических критериев разрушения [7, 8, 12], в критерии (6), (7) используются ограничения:
К > 0, Кп Ф 0, (9)
а поперечник зоны предразрушения отождествляется с диаметром зоны пластичности в вершине реальной трещины. Ниже ограничения (9) используются при получении критических параметров разрушения.
Поясним, как работает достаточный критерий (6),
(7) на отростке трещины. Напомним, что угол 0* уже был определен из необходимого критерия. Пусть задана острая внутренняя трещина длиной 2/0, перед вершиной которой материал находится в исходном состоянии, тогда зона предразрушения отсутствует и ее длина Д = = 0. При пропорциональном нагружении тто/ато = с =
Рис. 5. Аппроксимация пластической зоны в окрестности вершины трещины зоной предразрушения
= const не происходит подрастания трещины до нагрузок а! < а!, где а! — критические напряжения для острых трещин, полученные по необходимому критерию разрушения (1). Когда нагрузка превышает критические напряжения для необходимого критерия а! > а! , происходит страгивание трещины и начинается неупругое деформирование материала зоны предразрушения, причем Д = Д(а!). Пока рассматривается простейший случай, когда зона предразрушения расположена на продолжении трещины, а потому длина модельной трещины вычисляется следующим образом: 2/ = 2/0 + 2Д. Соотношения (6) контролируют условия страгивания вершины модельной трещины. Одновременно с возникновением зоны предразрушения формируются силовые связи в окрестности вершины модельной трещины согласно обобщенной модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла (рис. 4). Из-за действующих силовых связей в вершине трещины имеет место устойчивый рост трещины 2/0 < 2/ < 21* до определенного уровня нагружения а!, где а! — критические напряжения для острых трещин, полученные по достаточному критерию разрушения (6), (7), причем а^ > а! ; 2/* = 2/0 + 2Д* — критическая длина модельной внутренней трещины; Д* = = Д(а!) — критическая длина зоны предразрушения. Соотношения (7) контролируют условия разрушения силовых связей, действующих в зоне предразрушения и расположенных перед вершиной реальной трещины.
Когда длина зоны предразрушения Д совпадает с критиКУ КУ А * КУ КУ
ческой величиной Д , устойчивый рост трещины сменяется неустойчивым.
5. Получение критических параметров разрушения
5.1. Прямолинейное распространение трещины (0* = 0)
Получим соотношения, связывающие критические
* * *
параметры Kj, Kn и Д для острой трещины, распространяющейся прямолинейно (0* = 0) в квазихрупком материале. Для критических значений K*, K* и Д* соотношения (6), (7) превращаются в равенства. Для коэффициента интенсивности напряжений K* и дли*
ны зоны предразрушения Д используются первые соотношения из (6), (7), а для коэффициента интенсивности напряжений K* и длины зоны предразрушения Д* — вторые соотношения из (6), (7). После соответствующих преобразований получаем:
Ча-а!), K* =.&т*-т!), (10)
(
А* = 8п
к + l K *
(
А* = 8п
к + l K*
(11)
Для суммарных коэффициентов интенсивности напряжений К1, Кп, порождаемых напряжениями а^,
т^, действующими на бесконечности, и напряжениями а , т , действующими на отрезке [-Д; 0], справедливо представление [13]:
KI = а®л/Л/ - а*л/Л7 Kn = т® Vn - т*л/п
1 2 • L А
l-—arcsinl l - — п | /
і 2 . (. А
l-—arcsinl l-—
n I /
(12)
Первые и вторые соотношения в (10)-(12) эквивалентны, если имеет место пропорциональное нагружение, а тензоры напряжений и деформаций соосны. Таким образом, получены две нелинейные системы уравнений (10), (11) относительно К*, Д* или К*|, Д*.
Получим оценки для длины зоны предразрушения Д. Соотношения (12) могут быть существенно упрощены, когда длина нагруженного участка много меньше полудлины трещины, т.е. Д//0 << 1. Так как
7J~2 У~Г’
то первое соотношение (12), записанное для критических параметров, преобразуется к виду:
К* = а*^4лС - а*т/л/*2^2. Д-, (13)
п V /
где /* = /0 +Д*. Из первого соотношения (11) и (13) после соответствующих преобразований получаем квадратное уравнение для безразмерного параметра у/Д!:
arcsinl l -
А
7*
п v G
= 0.
2л/2 ст* V /* к+1 /* ст
Пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим простое выражение для меньшего корня квадратного уравнения:
1^_ _ ^л/2 V G
т ~
(14)
к+1 /* а!
Если ограничение Д *//* << 1 не выполняется, из соотношений (11), (12) получается трансцендентное уравнение для определения Д*//*. Особые трудности при решении этого уравнения отсутствуют, если оно имеет положительный корень меньше единицы.
Критический коэффициент интенсивности напряжений К* острой внутренней трещины (13) представим в виде:
( _ гг * ПЛ
Ki = а®
Jn/
(ІЗ)
Примем во внимание первое соотношение из (10) и уравнение (15), тогда кривая разрушения по достаточному критерию для острой внутренней трещины запишется в виде:
( I---V I—а-1
*
а„
а
(1б)
Таким образом, при пропорциональном нагружении и соосности тензоров напряжений и деформаций получена система двух нелинейных уравнений (14) и (16)
А * *
относительно критических параметров Д и а*, описывающая формирование зоны предразрушения и кривую разрушения для сложного напряженного состояния. Очевидно, в силу эквивалентности первых и вторых соотношений в (10), (11), что для второй моды разрушения целесообразно пользоваться эквивалентной системой двух нелинейных уравнений
|ДГ~ 242 и* в
\ /* ~к + 1 /* т* ’
1 * *
-г1 (17)
*
т
1 + ,
2/*
Сопоставим критические нагрузки, полученные по необходимым и достаточным критериям для одних и тех же длин трещин. Из необходимого критерия (1) имеем:
K0
-а® )•
Учитывая, что согласно (12) K = а®^/тс/0, получаем:
У®
*
а
Для одних и тех же длин трещин /0 = / находим:
Отсюда видно, что критические нагрузки, полученные по необходимым и достаточным критериям, могут существенно отличаться. На рис. 6 схематически показаны устойчивый (кривая 1) и неустойчивый (кривая 2) участки роста трещин, а также кривая разрушения, полученная по необходимому критерию [14] (кривая 3). На устойчивом участке образовавшиеся новые системы воспринимают увеличивающуюся нагрузку, так как
а* > а**, в результате происходит подрастание трещи-
0 *
ны, поскольку / < / .
5.2. Излом и ветвление трещины (0* Ф 0)
Для трещины с ответвлениями, распространяющейся в квазихрупком материале, в справочной литературе отсутствуют аналитические решения для коэффициентов интенсивности напряжений типа (12), поэтому возникает необходимость в применении численных методов. В данном случае асимптотика поля напряжений в окрестности вершины отростка имеет вид:
a y (х, °) =
тХу (х,0):
KI
л/2ях
Kii
л/2ях
+ а,
(18)
+ т,
Рис. 6. Устойчивый (1) и неустойчивый (2) участки роста трещин, а также кривая разрушения (3), полученная по необходимому критерию
(19)
где
а = а! cos2 0* - тте sin(20*) + к,
т = а! sin 0* cos 0* + тте cos(20*) + к.
Здесь многоточием обозначены сингулярные слагаемые, обусловленные изломом трещины, с показателем сингулярности 0 <а<1/2.
В общем случае коэффициенты интенсивности
* *
напряжений Kj и Кп зависят от а!, т!, а , т , /0, Д,
* * * т л*
0 . Здесь а , т , /0, 0 — константы; ате, тте, Д — переменные параметры, поэтому можно записать: Kj = = Kj(а, Д), Кп = Кп(т, Д). Для критических значений из первых соотношений (6), (7) и (18) имеем:
2- K J(G, Д' ),
(20)
к+1 к * (а*, д *)
Зависимость К1 = К1 (а , Д ) в данном случае неявная, поэтому для решения системы уравнений (20) предлагается следующая итерационная процедура:
2
a ,
І+1
а+1=8п
K (а і , Ді ),
к+1 к ка ]+1, Д:) ^
где i — номер итерации. Из вторых соотношений (6),
(7) получается система уравнений, эквивалентная (20).
На каждой итерации при фиксированных значениях а*, Д коэффициенты интенсивности напряжений К1 = = Кт(а, Д) и Кп = Кп(т, Д) можно найти методом конечных элементов из решения задачи о растяжении пластины, ослабленной трещиной с двоякосимметричными ответвлениями под углами ±0* Ф 0.
При малых углах 0 показатель сингулярности в (19) а ~ 0. Если, кроме того, отросток достаточно длинный, т.е. вершина отростка расположена далеко от места излома, то сингулярные слагаемые в (19) можно отбро-
Трещина
Рис. 7. Схема нагружения пластины с трещиной (а), фрагмент сетки в окрестности вершины отростка (б)
ситъ и, учитывая пропорциональность нагружения (т/ а = = с = const), записать:
а =а (cos 0 - c srn(20 )),
т* = а! (sin 0 * cos 0 * + c cos(20*)), откуда легко находится критическая нагрузка а . В противном случае (зарождающийся отросток, угол ветвле-
*
ния 0 не мал) для нахождения критической нагрузки а необходимо организовать дополнительный итерационный процесс для выделения сингулярных слагаемых в (19).
Рассмотрим конкретный пример пластины, схема нагружения которой показана на рис. 7, а (ср. с рис. 1). Размеры пластины 400x200 мм, l0 = 100 мм, А = 1 мм; характеристики материала: модуль Юнга E=2 • 105 Н/мм2, коэффициент Пуассона V = 0.3, предел текучести а T = = 225 Н/мм2. На внешнем контуре пластины заданы равномерно распределенные напряжения ате = 25 Н/мм2, на отростках действуют нормальные сжимающие и касательные равномерно распределенные напряжения * * а = 225 Н/мм2, т = 30 Н/мм2. В силу наличия двух плоскостей симметрии расчетная область представляет правую верхнюю четверть пластины. Углы ветвления 0* = 15°, 30°, 45°. Расчетная область разбивалась на 23 000 восьмиузловых четырехугольных и треугольных элементов, причем производилось сгущение сетки в окрестности вершины отростка с коэффициентом 100: 1. На рис. 7, б показан фрагмент сетки в окрестности вершины отростка.
Результаты расчетов приведены в табл. 1. Для получения коэффициентов интенсивности напряжений Kj и Kjj использовался ./-интеграл Райса [11], который в
Таблица 1
0* KI Kii
15° 415.71 57.042
30° 387.94 161.03
45° 305.33 258.77
приближении плоского напряженного состояния связан
2 2
с К1 и Кп зависимостью EJ = К1 + Кп. Контурный интеграл преобразовывался в интеграл по площади и интегрирование производилось по ближайшим к вершине отростка элементам. Разделение на I и II моды осуществлялось методом Делоренци [15]. Решение той же задачи, но при свободном от напряжений контуре трещины, сравнивалось с решением, полученным для бесконечной плоскости в случае одноосного растяжения методом сингулярных интегральных уравнений [13, стр. 68]. Было получено различие решений по К1 — 14 %, по Кп — 10 %, что можно считать приемлемым результатом, если учесть, что сравниваются решения для конечной и бесконечной областей. Результаты можно улучшить, если использовать более мелкое разбиение.
6. Заключение
В работе получены критические параметры разрушения (длины зон предразрушения и нагрузки) для ветвящихся трещин в квазихрупких материалах с использованием модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, когда зоны предразрушения занимают прямоугольники, расположенные вдоль отростков трещины. Поперечник каждой зоны предразрушения определяется из решения простейшей задачи теории пластичности около вершины трещины. При формулировке критериев разрушения использовались простейшие аппроксимации диаграмм деформирования реальных материалов. Предлагаемая модификация модели Леонова-Панасюка-Дагдейла позволяет оценить критическое раскрытие трещины и критическое смещение берегов трещины на отростках. При построении простых выражений для критических параметров разрушения используются коэффициенты интенсивности напряжений для трещины, распространяющейся прямолинейно, и коэффициенты интенсивности напряжений для трещины ветвления с отростками, когда на отростке заданы нормальные и сдвигающие напряжения, модели-
рующие зону пластичности. Чтобы построить коэффициенты интенсивности напряжений для трещины с отростками, методом конечных элементов решена задача об одноосном растяжении пластины с трещиной, имеющей двоякосимметричное ответвление. Предложена итерационная процедура, позволяющая численно получить критические значения коэффициентов интенсивности напряжений по смешанной моде в зависимости от угла ветвления трещины. Эта процедура реализуется как для коротких отростков, когда всю длину отростка занимает зона предразрушения, так и для длинных отростков, когда длина отростка существенно превосходит длину зоны предразрушения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00163) и программы Президиума РАН (проект 11.16).
Литература
1. Корнее В.М. Ветвление и излом траекторий трещин отрыва в поликристаллах // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 5. - С. 37-46.
2. Broberg K.B. On crack paths // Eng. Fract. Mech. - 1987. - V. 28. -No. 5-6. - P. 663-679.
3. Корнее В.М. Разрушение хрупких и вязких кристаллов при обобщенном напряженном состоянии. Силовые и деформационные критерии разрушения // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 4. -С. 31-42.
4. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. -342 с.
5. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.-Л.: Гостехтеоретиздат,
1947. - 204 с.
6. Новожилов В.В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // ПММ. - 1969. - Т. 33. - Вып. 2. - С. 212-222.
7. Леонов М.Я., Панасюк В.В. Развитие мельчайших трещин в твердом теле // Прикл. механика. - 1959. - Т. 5. - № 4. - С. 391—401.
8. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.
Solids. - 1960. - V.8. - No. 2. - P. 100-104.
9. Корнев В.М., Кургузов ВД. Многопараметрический достаточный критерий квазихрупкой прочности для сложного напряженного состояния // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 5. - С. 43-52.
10. Kornev V.M., Kurguzov VD. Multiparametric sufficient criterion of quasi-brittle fracture for complicated stress state // Eng. Fract. Mech. -2008. - V. 75. - No. 5. - P. 1099-1113.
11. Райс Дж. Математические методы в механике разрушений // Разрушение. Т. 2. - М.: Мир, 1975. - С. 204-335.
12. Баренблатт Г.И Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. - 1961. - № 4. -С. 3-56.
13. СаврукМ.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами // Механика разрушения и прочность материалов. Т. 2. - Киев: Наукова думка, 1988. - 620 c.
14. Kornev V.M., Kurguzov VD. A discrete-integral strength criterion for complicated stress states // Fatig. Fract. Eng. Mater. Struct. - 1999. -V. 22. - No. 11. - P. 989-995.
15. DeLorenzi H.G. On the energy release rate and the J-integral for 3D crack configurations // Int. J. Fract. - 1982. - V. 19. - No. 3. - P. 183193.
Поступила в редакцию 16.05.2008 г., после переработки 18.02.2009 г.
Сведения об авторах
Корнев Владимир Михайлович, д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник ИГИЛ СО РАН, kornev@hydro.nsc.ru Кургузов Владимир Дмитриевич, д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник ИГИЛ СО РАН, kurguzov@hydro.nsc.ru
