О совпадении направляющих тензоров напряжении и деформаций в математической теории пластичности Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 209 1976

О СОВПАДЕНИИ НАПРАВЛЯЮЩИХ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Г. А. ДОЩИНСКИИ (Представлена научным семинаром кафедры сопротивления материалов)

Одной из исходных предпосылок математической теории пластичности является предположение о совпадении направляющих тензоров напряжений и деформаций [1],. [2].

,Ф.)=Ф.).

Нередко это условие представляется в виде двух отдельных положений: 1. Главные направления напряженного и деформированного состояния совпадают. 2. Максимальные касательные напряжения пропорциональны максимальным сдвигам. Однако обоснованию этих исходных положений уделяется мало внимания. В одних случаях они рассматриваются как необходимые исходные гипотезы, в других как следствие экспериментальных наблюдений.

В то же время можно показать, что эти положения находятся в прямой связи с известным минималистическим принципом, определяющим условия протекания естественных равновесных процессов, а именно, являются необходимыми условиями экстремума работы процесса упруго-пластической деформации. Ранее подобным образом уже рассматривался вопрос о совпадении главных напряжений и деформаций [4], являющийся частью общего решения, приводимого ниже.

Проведенное решение имеет непосредственное отношение к условиям простого нагружения, но в том же виде выполняется и в общем случае загружения, если в решении заменить главные деформации приращениями главных удлинений. Поэтому выводы приобретают общий характер, при условии сохранения изотропности материала.

Напряженное состояние в окрестности некоторой точки тела полностью определяется тремя ортогональными главными напряжениями: аь а2, аз. Для полностью изотропного тела, к тому же одинаково работающего на растяжение и сжатие направленность векторов аь а2, а3 относительно материальных частиц тела при решении отдельных вопросов может не иметь какого-либо значения. Совмещая напряжения <У\, а2, а3 с некоторой произвольной системой координат 1, 2, 3, введем вектор о% проекции которого на оси 1, 2, 3 равнялись бы скалярным значениям, соответствующим величине напряжений о\, а2, аз. Модуль такого вектора может дать представление о степени напряженности тела в данной точке, а его направленность в системе координат I, 2, 3 может характеризовать вид напряженного состояния. В частности, при

одинаковом отклонении а от осей 1, 2, 3 будем иметь дело с всесто-

»

I

\ fNTV,

ронним равномерным растяжением (гидростатическим давлением в отрицательном октанте осей 1, 2, 3). Косинусы углов между а и осями координат 1, 2, 3 обозначим соответственно; т]ь Ц2, Лз (рис. 1).

Деформированное состояние в рассматриваемой точке тела может быть охарактеризовано тремя главными удлинениями: в\, е2 е3. Аналогично предыдущему в пространство координат х, у, 2 введем вектор деформации е с проекциями на оси координат, соответствующими величинам еи е2, ег> и косинусами углов с осями л;, у, равными @ь ©2, ©з-Естественная исходная ненапряженность тела соответствует совмещению начал координатных систем 1, 2, 3 и х, уу г.

Рассматривая процесс деформации са связанными осями х9 у, г направлениями главных удлинений, можно в произвольный момент за некоторый промежуток времени представить бесконечно малые приращения главных удлинений в виде: <1е2 = с!(е • ©г) = с1е • @2 + с1©2 • е, с1.е! = (1(е-©1) =ёе-©1+д©1 -е, deз=d(e•0з) =de•@з+d©з•e. Выражая в общем виде связь между напряжениями и деформациями, можно предположить, что в этот момент времени направления главных напряжений не совпадают с направлениями главных удлинений. При этом напряжения: аь 02, аз образуют с осью X углы, косинусы которых соответственно равны: аь Рь 7-ь с осью У—а2, р2, у2 *> с осью ^—сс3, Рз, у3. Считая, что монотонный процесс деформации связан с монотонным изменением напряжений, выделяя элементарный кубик с-гранями, перпендикулярными главным направлениям деформации, выразим напряжения по его граням:

> Ох = Ог-а =о{цга% +Г|2-р \ +г|3* Т?) ,

оу = оуа |+сг2-р|+а3* = ст(г|Ж• р ; гН1з- Т?).

а2 = а1 - а |'+02* Р I +03*Тз =^о(у]1-а1+'Ц2-^з +Лз- Тз)-

По граням такого кубика будут и касательные напряжения. Но так как грани кубика перпендикулярны главным направлениям деформации и, следовательно, не перекашиваются, то прирашение работы деформации определится лишь выражением

dA = 0Х • ёех + 0У • de2 + ог • deз.

Работа деформации при изменении параметра нагружения X х

Л = ^о^.а? +Т12.р? +1,3.т»)(е'.01 + в;-е) +

О

где все входящие величины предполагаются монотонными функциями параметра нагружения X.

Так как косинусы входящих сюда угловых величин связаны между собой определенными соотношениями, то определение условий, при которых работа процесса деформации экстремальна, приводит к следующей задаче вариационного исчисления: Определить функции \]\(Я); и2(Я) ;...ип(Я), дающие экстремум интегралу

/ = 1>[Х; ^(Х); Ц2(к); ..... иа$)]<1К

причем искомые функции, кроме граничных условий и условий непрерывности, должны удовлетворять некоторым дополнительным требова-

киям относительно всего промежутка интегрирования. Если дополнительные . условия представляются системой т уравнений связей (т<п)

ФЛк и1 (х); ..... */„(*)],

то искомые функции (т. е. условия, дающие экстремум интегралу /), определяются системой уравнений

й

(1к

а л

ди1 (X)

где = Р + 2 М * Ф-1 = 1 т) и т уравнений связей. Уравнения связей в рассматриваемом случае представятся системой уравнений, определяющих взаимную ориентацию и ортогональность осей главных напряжений и деформаций.

+ + = 1 (*=*)

(¿, 1, 2, 3)

и соотношениями для косинусов углов т] и в. Вспомогательная функция Т7, принимает вид:

= +та2.рг +7]3-Т?)(^.в1 + 0,',*) + а +Ч2-Р1 + + ?1 («? + Р? + Т? - 1) + ?2 («1 + Р2 + Т^ - 1) + Тз («I + Р§ + Т! ~ 1) +

+ ?4(ага2 + р,.р2 + ТгТ2) + ?5(*2-аз + р2-Рз + Т2-Тз) + + <Рв (а1-а84-?1-Рз + Т1-Тз) + 97 +>25 + — 1)+ <?« (в+ 01 — 1), где <рг (X) — неопределенные функциональные множители Лагранжа. Условия, определяющие экстремум работы процесса деформации, представляются теперь следующей системой уравнений:

с1 (д Р \ д Р

1. — [ —г1 )--—1 = 2ат]1 (е'-в1 + 01 -е) + 2©/.^ + ©4-а2 + ?с.а3 = О

ак \ дъ\ ) оа{

ак V /

3" -^ = 2371зТ1(е'-в1 + е;-е) + 2ср1.Т1 + 94.72 + ?6.Тз=0

ак \сф / с^,

4. д1л =2с»}1а,(е'-в!!4-в^е) + 2?2-а2 + ?4-а1+?3.аз=0

(¿X \ ¿Я! / да2

л V ар2 /

6- 4- (г^ -^ =2^зТ2(е,-в2 + е2^) + 2Т2-Т2 + ?4-Т1 + ср5-Тз=0

¿А / <??2

7. =2ач1аз(е'-е3 + ез-г) + 2?з-«з + ?3-«а + Фв-«1-=0

а/. \ оа3 / ¿Ц

8. — =2<п],рз(е'.вз + в;.е) + 2<рз- Рз + ?5-Рг + = О

йк \ 1

9. — =2а71з>Тз(е'.вз + вз-е) + 2<РзТз + ?5-Т2 + ?б-Т1 = 0

Л ^з / <?Тз

4

сгх

й ¡д¥,

йк \dfi2

й /дГ,

дЪ

П. — (^Ч -^1 = ор?-(е/.01 + е;.в) + 02 .*?) +

12

+ ар| (е'-03 + 0 з-е) + 2ср7-т)2 = 0

12- ( ^ ) - ^ = + + + 02-0 йк \дг}з / <Зт,3

+ сТ2(е'-вз + вз-е) + 2?7-7]з = 0 .

- се' (т)1 а» + Ъ р» + т]3 т?) + 2?8- 0, = О

14- ^г(^)-^ = [<*(%«!+ + т2)]-

Л ^02

-ае'(тг1а| +7]2р1+%т1) + 2т8-ез = 0

15' -тг(^)-^ = 3)1 -

- ае' (т], «1 + т,2 р§ + т]3 • Т1) + 2?8 • 03 = О

+ + + 02-Ю +

17.

йк

й

йк

а

+ 0?1 ■■ «X1 + Ъ'■ п + Ъ■ Т1 )(е' ■ 03 + 03 • е) = о

йк \де' ) де

[а-01 (ъ а* + т,2 р'» + 7,3 т>) + а-02 (т,, а| +т,2 ^ + т,3 т|) +

+ а • 03 (т,, а§ + т,2 р| + 7]3 Т|)] - [а- (т,, а? + т,2 р» + т,3 +

+ а- 02 «1 + т,2 № + 7,3 Т|) + а- 03 (т,1 а\ + т,2 ^ + т,3 Т|)] = О

18. а?+р?+71 = 1 22. а2а3 + р2рз + т2тз=0

19. а* + р»+т» = 1 23. а1а3+р1рз + Т1Тз = 0

20. = 1 24. т,? + 7,2 + ^ = 1

21. а,«2 + Р,Р2+Т1Т2 = 0 25. 0?+01+ 01 = 1

Укажем основные моменты в решении данной системы уравнений. Исключая из (1ч-9) <рх, <р2, <р3, получим систему 6 уравнений вида:

?4 (а2 — + ?б(а3?1 — «1 Рз) = 2о(е'.01+ 01-е)(т,1 — т,2) ах ^ <?Ааг Ъ ~ Тг) + ?в (азТ1 — а1 Тз) = 2з (е'-0! + 01-е)(т,1 — 7,з) а, Т4 («1 — р! а2) + ?5(а3 Рг — а2 Рз) =2з (е'-©2 + ©2-<?)(тЧ1 ~ ^г) <*2?2 ср4(а1 — а2 + ср5 (а3 у2 — а2 у3) = 2а(е'-02 + 02-^(т,, — т,3) а2 Ъ

?5 (а2 Рз — «3 Рг) + <Рв (а1 Рз — «3 Р1) = 2а (е'. 03 + в'3-е)(тп - т,2) а3 р3

©5 (а2 Тз - «3 ъ) + ?о (°Ч Тз — «3 Тх) = 2а (ег • 03 + 0з ■ г)^ — 7/3) а3 Тз,

которые с помощью соотношений, существующих между косинусами углов при. преобразовании координат, могут быть упрощены до вида [3].

?4 Тз — <?« Т2 = 2аеI (т]2 — 7],) ах ^ <р4 Рз — ?5 = 2 а (ъ — т^) а2 Тз. ?4 Рз — ?б р2 = 2а (7]х — 7}3) с^ Т1 ср5 Т1 — ср6 Ъ = 2 а £?з — Т]2) а3 (З3

?4 Тз ~ ©5 Т1 = е2 Ы — ^2) а2 ?2 ?5 — ?6 = 2 (^3 ~ а3 Тз-Отсюда с помощью соотношений для косинусов углов [3] можно выразить значения множителей

94 = 2О<?2 04 а.> + т]2 ^ % + ^з у2)

= 2оез (ъ а2 Ч + ^2 Рз Рз + ^з Т2 Тз)

Фо = 2а^1 ^ а3 + т]2 р1 рз + 7]3 уз),

а также получить ряд уравнений типа

(а1 ~ 02)(в1 а, р, + 02 а2 р, + ез а3 р3),

или

— е2)(?}1 с-1 а2 + Т]2 р1 р2 + 7]3 Т2).

» » ?

Оставляя в стороне частные решения а1 = 02 = (Тз ие^=е2=е3} не соответствующие рассматриваемому общему случаю 0\ф 02Ф 03

/ * г "

Фе2 Фе3, получим ф4=ф5 —ф6 = 0. Подстановка значений ф5, фб упрощает уравнения (1ч-9) до вида

(а1 ех + = о СС2 (аг е-2 4- <?а) = 0 а3 (а1 ег + срз) = О

р! + ?.) = О р2 (а2 е'2 + Ъ) = О р3 (о2 ез + ?з) = О

Т1 (аз^1 + ©1) = о Тг(аз^2 + ©2) = 0 Тз(аз<?з+ Тз) = О

Добавляя систему уравнений (18-^23) и решая совместно для условий / ' » о'1=?^а2^аз = получим:

а1=1 «2 = 0 аз = 0

р1 = 0 р2=1 Рз = 0

Т 1 = 0 - 72 = 0 тз= 1-

Подобные значения косинусов углов, определяющих взаимную ориентацию осей главных направлений напряжений и деформаций, соответствуют совпадению этих осей.

Следовательно, совпадение главных направлений напряжений и деформаций является одним из необходимых условий, обеспечивающих экстремум работы процесса деформации.

Подставляя значение косинусов аь Рь... уз в уравнения (1017), существенно упростим последние до вида:

10. ое'в1 + <зев[ + 2<ргЪ = О

11. ое' в2 + ае 02 + 2<р7 • т]2 = О

12. ое' 03 + оев'з + 2 ср7• = О

13. ег\х аг-}-7]1 ае + 2<р8-©! = О

14. е^а' + трое + 2 ср8-в2 = О

15. еуз а7 + 7]зае + 2 ср8. ©з = о

16. е' (ъ в, + ъ в2 + Г(3в3) + е (ъ е, + Т,2 е2 + % вз) = о

17. а' (71! 0! + ъ в, + -/¡3 в3) + а (т1; в, + -4 в2 + 7,3 в3) = О Умножая 10—12, 16 на з, а 13—15, 17 на е получим:

10. = а1 13. а,'--^*,

о2 <?2

П. = — — 32 14.

а2

12. £з — аз 15.

о е-

Откуда при использовании параметров Лоде ^ и V, равенство которых соответствует подобию девиаторов, следует:

г г г

2е2 — е\ — ег 2а3 — а, — <з3

V/?' — -■- = --- = \Х3

JV =

01 — ¿3

Г ' г

2 а2 — Cj — оз 2в<

oj — а3 ^з

г » »

Для простогонагружения Oi —а, -Я; а2=о 2 -Я; 0з=сг;Д, или простого деформирования ei = ei -Х=е2; = е2

приходим к подобию девиаторов напряжений и деформаций (соответственно пропорциональности между сдвигами и касательными напряжениями).

Следовательно, подобие девиаторов является необходимым условием, обеспечивающим экстремум работы процесса деформации. Уравнения 16, 17 приводят к тривиальным условиям

е — const; 0 = const.

В проведенном решении направления главных удлинений были связаны с используемой системой координат: X, У, Z, что соответствует условиям простого нагружения — деформирования. Нетрудно представить, что решение сохранит силу и в общем случае нагружения при совмещении мгновенных направлений главных скоростей (направлений главных приращений деформаций) с подвижной системой координат; Хк У, Z. В общем случае необходимые условия экстремума работы процесса деформации определятся подобием девиаторов напряжений и приращений деформаций (скоростей деформаций — как это принимается теорией течения). Для изотропного упругого тела рассмотренные условия определяют максимум прироста потенциала. Учет анизотропии связан с наложением дополнительных условий.

ЛИТЕРАТУРА

1. А. А. Ильюшин. Пластичность. Гостехиздат, 1948.

2. В. В. Соколовский. Теория пластичности. ГИТТЛ, 1950.

3. Справочное руководство rio машиностроению. Т. 1. (Математика). Под ред. Майзсль В. М., 1937.

4. Г. А. Дощи некий. О главных направлениях напряжений и деформаций. Изв. ТПИ, т. 157, 1970.