CC BY
32
Г. Б. Лаврова
МОДЕЛЬ ПОВЕДЕНИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО АНИЗОТРОПНО УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ МАТЕРИАЛА
Предлагается модель описания поведения изотропного материала, приобретающего анизотропные свойства в процессе пластического деформирования. Эта модель - вариант теории течения анизотропно упрочняющихся материалов с первоначальным условием пластичности Треска. Показано, что принцип макродетерминизма приводит к ограничениям на выбор сингулярной поверхности нагружения и параметров истории. Проведено сравнение поведения материла, определяемого этой моделью, с экспериментальными данными при сложном нагружении.
В качестве начальной поверхности нагружения выберем поверхность текучести Треска
шах
а,-а.
= к О* Л- (1)
Изменения этой поверхности в процессе нагружения будут определяться следующим образом. Собственные значения тензора напряжений заменим на собственные значения тензора активных напряжений Кадашевича-Новожилова [3] 5^ = а у - , а константу к - на функцию
материала £(д), аргумент этой функции # - параметр упрочнения, а сама функциональная зависимость определяется с помощью экспериментальных данных. Способ определения этой функции будет предложен в дальнейшем.
В результате этих изменений уравнение поверхности нагружения примет вид
тах|5, - 5,| = Щ) (/ *у). (2)
Предположим, что приращения компонент тензора деформаций можно представить как сумму приращений компонент тензора упругих деформаций и приращений компонент тензора пластических деформаций (1е^ - с1е~ + с1е^ , а приращения компонент тензора упругих деформаций связаны с приращениями компонент тензора напряжений законом Гука. Из ассоциированного закона течения следует соосность тензоров 5^. и с1е? .
Будем считать, что приращение параметра упрочнения линейная однородная функция приращений компонент тензора пластических деформаций
йя = А9(а^,д)(к^. (3)
В силу симметрии поверхности (2) в пространстве главных активных напряжений достаточно рассмотреть эволюцию в процессе нагружения её части, попадающей в область 5, > £2 > £3 этого пространства. Поверхность (2) в рассматриваемой области кусочно-линейна, поэтому возникает необходимость различать её грани и ребра.
Уравнение грани поверхности (2), принадлежащей области £, > 52 > Б}, имеет вид
5,-$3 = *. (4)
На этой грани соотношения ассоциированного закона течения дают возможность получить следующие формулы для приращений компонент тензора пластических деформаций:
йе* =сЛ|/(/,./. -и, иу ) (5)
(здесь 1пт1,п1 - направляющие косинусы собственных осей тензоров 5^. и ).
Тогда приращение параметра упрочнения на грани (4) можно вычислить следующим образом:
с1д = В(к |/; В=^ Щ ~ п1п1) •
(6)
Формулы для компонент тензора напряжений имеют вид
ац = (51 - + п,п]) + ЯД - кп>п, + <7< • (7)
Система уравнений (5), (6), (7) определяет поведение среды при напряженном состоянии,
соответствующем грани поверхности нагружения. Функции 5,,52,т1,характеризуют
такое поведение среды.
86
Связь приращений этих функций с приращениями компонент тензора напряжений играет роль определяющих соотношений на рассматриваемой грани
с1<з (I I- —п п )
сЬм =--------——------—--------, (15, = с1с,.шт, - с1\1)Ве!’т1т1;
^ 2д + Щ'+еЦЦ-п,',,))’ 2 ’ ' ' Т ' ' '
с18х = - (ЬцВе~п,п] + к’Вс1\ц ;
Ш, = ащ + Ъпх; (1т1 = -а/, + си,; с1щ = -Ы{ - стя,;
^ (йОу -еЬуВеЦУщ (^. -(ЬуеЦУъ _ (</ау -<Д|/Де^/уи,
Аг + 53-52 ’ Л ’ С 52-53
(здесь Л:' -производная &(^) по параметру q.
Ребра поверхности нагружения (2), принадлежащие области Б, > Б2 > 53,получаются при выполнении условий Б2 = 53 или = &,.
При 52 = 53 уравнение ребра имеет вид
ГЯ,-^ =*;
1 (8)
[5,-52=А:.
На этом ребре с помощью ассоциированного закона течения можно получить следующие формулы для приращений компонент тензора пластических деформаций
<ЬЦ = ЛуМ+ . (9)
Для приращения параметра упрочнения на ребре (8) имеем:
(1д = ВхйV)/! + В2с1ц!2 , (10)
где
в\ = М1Ь~п1П;); (11)
В2 = ^{111]-щт]). (12)
Компоненты тензора напряжений на ребре (8) выражаются через собственные значения тензора активных напряжений и направляющие косинусы его главных осей следующим образом:
= 515У - к(Ьу - У,-) + ЯеЦ. (13)
Система уравнений (9), (10), (13) определяет поведение среды при напряженном состоянии, соответствующем ребру (17) поверхности нагружения. Функции 1|/,,1|/2,5'|,/1,щ,ц характеризуют такое поведение среды. Связь приращений этих функций с приращениями компонент тензора напряжений на рассматриваемом ребре задается формулами
, сЬМ^-щпЛ
<Л|/, =---------^--------------; (14)
2д + В1(к' + еГ(111;-цп]) V '
<*?(/,/ -7и( /и )
#2=-----------------———------------------------------------; (15)
2д + В2(к' + е* (/,/; - щт]))
с181 =^ау8и+2к'(В1с1ц11 + ВД/2)); (16)
д _ - е'(Уч/1 + В2с1\\12))11т]
& ’
^ _ (аЦ. - еДЗД/, + Я2<Д|/2))/,и; ^ _
»- ~к • О»)
При 5, = Б2 уравнение ребра имеет вид
Г 5, - 53 = к ;
[52-53 =к.
(19)
На этом ребре с помощью ассоциированного закона течения можно получить следующие формулы для приращений компонент тензора пластических деформаций:
ЖЦ = -цп;) + Жу2(т1т] -л,лу). (20)
Приращение параметра упрочнения на ребре (19) можно вычислить следующим образом:
с= В3с1\\), + В4с/\\>2, (21)
где
Въ = 4Д1]~п^У> (22)
В4 = Ау(тщ - щп}). (23)
Компоненты тензора напряжений на ребре (19) выражаются через собственные значения тензора активных напряжений и направляющие косинусы его главных осей следующим образом:
о У = + к(ду - п1п]) + це>. (24)
Система уравнений (20), (21), (24) определяет поведение среды при напряженном состоянии, соответствующем ребру (19) поверхности нагружения. Функции ,^.,/7; ха-
рактеризуют такое поведение среды.
Связь приращений этих функций с приращениями компонент тензора напряжений на рассматриваемом ребре можно получить из соотношений (14)-(18), если в них подставить В3 вместо 5 В4 вместо В2 ; в (16) 51, заменить на 53, к на - к ; в (15) и (17) - ( на щ , т1 на п:; в (17) - а на с.
При напряженных состояниях, соответствующих ребрам поверхности нагружения, можно считать, что поворот собственных осей тензора активных напряжений происходит следующим образом: на ребре (8) поворот вектора /( определяется соотношениями (17) и (18), а векторы щ и щ поворачиваются вместе с ним как жесткое целое. Аналогичным образом на ребре (20) определяется поворот вектора и,, а векторы Щ и поворачиваются вместе с ним как жесткое целое.
Уравнения, определяющие поведение среды, для напряженных состояний, которые не принадлежат области 51, > ^ > 53, можно получить из приведенных выше круговой перестановкой индексов 1, 2, 3 у собственных значений тензора активных напряжений и соответствующей перестановкой собственных векторов (, п\, щ этого же тензора.
Для того чтобы завершить построение определяющих соотношений, необходимо конкретизировать определяющие приращения параметра истории свертки В,В1,В2,В3,В4 в формулах (6), (11), (12),(22) и (23).
В общем виде эти свертки могут быть определены с помощью принципа макродетерминизма [1] следующим образом.
Пусть ребро поверхности нагружения задано как пересечение граней
'/т(сту,е^д)=0;
/(2)(сгу,е<;,д)= 0.
Ассоциированный закон течения на этом ребре имеет вид
д /-(1) д г(2)
й«е;=лИ1^_+Л|/2-^—
Условия непрерывности изменения поверхности нагружения, тот факт, что точка нагружения принадлежит ребру (25), и ассоциированный закон течения (26) позволяют получить следующую связь между приращениями компонент тензора напряжений, параметрами (1\\), и а?\|/2, определяющими приращения компонент тензора пластических деформаций:
д /'"л
-------<1(7 и +
1
д /(2>Л
—-—с1сг,, + да,, 9
д /(1) д /(1) л А' дд \
д /(2) д /(2) л *£ 9
йц/х
\
\/
д /(,) , д /(2)
~2---------"I" (1у/ 2 -----------
дац д сг , ,
. д /(1) . д /(2) ацг1 —— + ау/2------------------------------
= 0;
дац
= 0.
(27)
Рассмотрим два пути нагружения в пространстве напряжений, выходящих из ребра (25)
а/<*>
поверхности нагружения. Один из них такой, что вдоль него
<Лаи = 0,
д./
(2)
-с/оу - а(0 > 0, т.е. он соответствует грани /^2\оу,еу ,д) = 0. Вдоль другого пути
до,,
дГт 0/(2)
——(1а и = £(/) > 0,а с!о, — а(/) > 0. Пусть е(?) принимает сколь угодно малые пода,,. ; доу 7
ложительные значения. Согласно принципу макродетерминизма сколь угодно близким путям нагружения должны соответствовать сколь угодно близкие пути деформирования. Таким образом, если б(/) —» 0, то (к|/,, полученное при решении системы (27), тоже должно стремиться к нулю, а Й?у2 должно быть положительньш. Для того чтобы выполнялись эти условия, необходимо иметь
5/(2) 5/(2)
+ — Ау
V де*
дд
д/
(I)
у
доу
= 0.
(28)
Повторяя аналогичные рассуждения для второй из образующих ребро граней, получим
/ - Л
д/т д/т
+ — Ац
V де'
дд
д/
(2)
доу
= 0.
(29)
Для ребра (8) поверхности (2) соотношения (28) и (29) приобретают вид
д + (к' + еЦ (1,1; - п,п1 Ж, (1,1, -т,т,) = 0; д + (к'' + е>(1,1; -т,т]))Ав,(/,/, -п$п,) = 0.
С их помощью можно получить вид сверток Вх и В2 :
Я
Вх=-----------
1 7,'
в2 = -
к' + еЦ(1,1; - т,т]) к'+ еЦ(1,1; - п,п,)
С помощью аналогичной процедуры можно получить свертки Въ и В4 для ребра (19)
Я . О _ Ч
въ =
;В4 = -
к' + еЦ(т1т] -п,п}У 4 к' + еЦ(1,1 1 -п1п])
Параметр истории д при переходе с грани поверхности нагружения на ребро должен из-
меняться непрерывно. Это условие позволяет получить следующий вид для свертки В:
—!--------- , + .
В=-1
52-Бз
к'+ е*(1,1; -т,т.) к' + е?(т,т} -п,П;).
Функция материала к(д) может быть определена по данным эксперимента на чистое растяжение или на чистый сдвиг.
Рассмотрим процедуру определения к(д) по данным эксперимента на чистое растяжение. Пусть отлична от нуля только компонента аи тензора напряжений. Тогда, исключив упругие составляющие компонент тензора деформаций, из диаграммы чистого растяжения можно получить зависимость стп = /(е^) . В процессе чистого растяжения точка нагружения принадлежит ребру (8), соотношения (10) и (13) приобретают вид
Исключая из этих зависимостей ехх , получим функцию материала к(д), её вид зависит от
аппроксимации начальной кривой аи = /). В данной работе были использованы экспоненциальная, логарифмическая, степенная и линейная функции аппроксимации, их выбор продиктован свойствами кривой чистого растяжения. Эти аппроксимирующие функции и соответствующие им функции к(д) представлены ниже:
В этих формулах а,Р,у -функции коэффициентов аппроксимирующей функции /
По предлагаемой теории был проведен численный эксперимент по следующим программам нагружения цилиндрических полых образцов осевой растягивающей силой и внутренним давлением: 1) пропорциональное нагружение; 2) нагружение образца осевой растягивающей силой за предел текучести до фиксированного значения, затем резкий излом траектории нагружения в пространстве главных напряжений на прямую догружения; 3)нагружение образца двухосным растяжением ст, = 2а<? до того же значения осевого напряжения, что и в случае 2), затем резкий излом с выходом на второй участок траектории, на котором параметр догружения принимал те же значения, что и в случае 2). Эта программа полностью повторяла программу натурных испытаний, проведенных на образцах из стали 12ХНЗА [2]. Для определения функции материала к(д) были использованы степенная и логарифмическая аппроксимации /(ехх). Различие результатов численных экспериментов для этих двух видов функции к(д) оказалось незначительным. Максимальное расхождение результатов численного и натурного эксперимента не превышало 12%. На рисунке представлен характерный результат численного ( сплошная кривая ) и натурного ( точки) экспериментов, проведенных по третьей программе. Здесь использованы следующие обозначения: а, — интенсивность касательных напряжений; 8( — интенсивность сдвиговых деформаций; Т — максимальное касательное напряжение; о'2 = Т и а, где — параметр Лоде. Верхняя кривая соответствует пропорциональному нагружению.
Решениями этой системы уравнений будут следующие зависимости к(ех1) и д(е(’[) :
* = /Ю-з /К);
<7 = 2 /К)-
/« ) = Ае{[ + В + Сех р(Вехр, ), к(д) = а1п(я - 2А) + Ря + у;
/(ер) = АЩе{х +1) + В, к(д) = А\пд +1.5 д + р;
/(еи)= Ае\\ + В’ Я- 2 А, к = -2 А тах е[ (/ = 1,2,3).
Є,,%
О
6
Экспериментальные (точки) и расчетные (сплошная линия) данные неупругого деформирования стали 12ХНЗА
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Клюшников В.Д. О законах пластичности для материалов с упрочнением // ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 59-63.
2. Жигалкин В.М., Усова О.М., Шемякин Е.И. Простое и сложное нагружение стали в условиях нормальных и низких температур // Физика прочности и пластичности : Сб.науч.тр. Л.: Наука, 1986. С. 129-141.
3. Кадашевш Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные напряжения // ПММ. 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 78-89.
