CC BY
30
ЧЕБЫШЕВСКИИ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 2.
УДК 514.85; 531.011
DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-383-402
О гипотезе Мищенко — Фоменко для обобщённого осциллятора и системы Кеплера
А. В. Цыганов
Цыганов Андрей Владимирович — доктор физико-математических наук, научный сотрудник, Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук (г. Москва). e-mail: andrey. tsiganov@gmail. com
Рассматриваются деформации задачи Кеплера и гармонического осциллятора, для которых дополнительные интегралы движения являются координатами приведённого дивизора, согласно теореме Римана — Роха. Для этого семейства некоммутативно интегрируемых систем обсуждается справедливость гипотезы Мищенко — Фоменко о существовании интегралов движения из единого функционального класса, в данном случае полиномиальных интегралов движения.
Ключевые слова: суперинтегрируемые системы, некоммутативно интегрируемые системы, гипотеза Мищенко — Фоменко.
Библиография: 34 названий. Для цитирования:
А. В. Цыганов. О гипотезе Мищенко — Фоменко для обобщённого осциллятора и системы Кеплера // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 2, с. 383-402.
Аннотация
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 2.
UDC 514.85; 531.011
DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-383-402
On the Mishchenko^Fomenko hypothesis for a generalized oscillator and Kepler system
A. V. Tsiganov
Tsiganov Andrey Vladimirovich — Doctor of Physics and Mathematics, Researcher, Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences (Moscow). e-mail: andrey. tsiganov@gmail. com
Abstract
Deformations of the Kepler problem and the harmonic oscillator are considered for which additional integrals of motion are the coordinates of the reduced divisor, according to the Riemann-Roch theorem. For this family of non-commutative integrable systems the validity of the Mishchenko-Fomenko hypothesis about the existence of integrals of motion from a single functional class, in this case polynomial integrals of motion, is discussed.
Keywords: superintegrable systems, noncommutative integrable systems, Mishchenko-Fomenko conjecture.
Bibliography: 34 titles. For citation:
A. V. Tsiganov, 2020, "On the Mishchenko-Fomenko hypothesis for a generalized oscillator and Kepler system" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 383-402.
Посвящается Анатолию Тимофеевичу Фоменко по случаю 75-летия
1. Введение
Согласно гипотезе Мищенко-Фоменко некоммутативная интегрируемость влечёт за собой интегрируемость по Лиувиллю, а соответствующие коммутирующие друг с другом интегралы движения принадлежат тому же функциональному классу, что и некоммутативные интегралы движения [2, 3, 4, 7, 10, 11, 12, 17, 18, 20].
В методе Якоби, переменные разделения в уравнениях Гамильтона-Якоби отождествляются с точками на алгебраических кривых и, тем самым, движение в фазовом пространстве заменяется на движение точек на алгебраических кривых [22, 24]. В этом случае интегралы движения естественным образом делятся на два семейства. Одна часть интегралов движения входит в разделённые уравнения, определяющие алгебраические кривые на проективной плоскости. Вторая часть интегралов движения является координатами фиксированных точек на этих кривых, вокруг которых и происходит движение.
Для построения интегралов движения на фазовом пространстве можно использовать теорему Нётер, которая формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Для построения интегралов движения, возникающих при изучении движения точек на алгебраических кривых, можно использовать теоремы Абеля и Римана-Роха, которые формулируют достаточные условия для существования таких фиксированных точек и отвечающих им законов сохранения [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33].
Одним из простейших примеров некоммутативных интегрируемых систем является гармонический осциллятор с двумя степенями свободы. В этом случае гамильтоновы уравнения движения
дН (д,р) . дН (д,р)
Qi = —ñ-, Pi
dpi dqi
где
нШ = pi +92 + ^ +92,
обладают полиномиальными интегралами движения
= 2 + № , F2(q,v) = Р192 - Р291, «(,,,) = * + «2 - - 92 ,
скобка Пуассона между которыми может быть задана с помощью бивектора Пуассона
0 F3 -F2
-F3 0 Fi
F2 —F\ 0
Таким образом линейное пространство интегралов движения ^ образует алгебру Ли относительно стандартной скобки Пуассона {д^, pj } = и {д^, qj } = {р%,р^ } = 0.
Вторым примером, обобщение которого мы будем рассматривать ниже, является система Кеплера. В этом случае гамильтониан равен
н (а, р) = + ^, !Ы! = + £ + д2,
Согласно теореме Нётер сохранение вектора углового момента и вектора Лапласа-Рунге-Ленца
■] = р х о, А = р х (а х р) — —-
|| ||
следует из инвариантности действия относительно вращений и инфинитезимальных вариаций обобщённых координат. Для движения на плоскости = 0 в качестве независимых интегралов движения можно выбрать ортогональную плоскости движения компоненту вектора углового момента Jз = р\Ц2 — Р2Ч1 и две компоненты А1 и А2 перенормированного вектора Лапласа
А= А
/ < 0 F3 - F2
п= ( -F3 0 F1
\ F2 - F1 0
V-H'
лежащие в плоскости движения. Полагая F\ = А\, F2 = А2 и F3 = J, мы можем задать скобку Пуассона между данными интегралами движения с помощью все того же бивектора Пуассона
(2)
Таким образом линейное пространство интегралов движения Fj по прежнему образует алгебру Ли относительно стандартной скобки Пуассона. Основное отличие системы Кеплера от гармонического осциллятора в том, что в этом случае интегралы движения F\,2 являются алгебраическими функциями на фазовом пространстве, которые однозначно определены только при отрицательных значениях энергии.
В данном обзоре мы обсудим обобщения этих двух гамильтоновых систем, которые были получены в работах [31, 32, 34] с помощью изогений эллиптических кривых. Напомним, что наиболее известными изогениями эллиптических кривых являются преобразования Ландена, Гаусса и Лежандра, которые широко используются при различных численных вычислениях.
2. Суперинтегрируемые системы в методе Якоби
В методе Якоби интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dqi dH dpi dH . dt dpC dt d qi' '"''
сводится к нахождению полного интеграла дифференциального уравнения в частных производных первого порядка
относительно функции S вида
S (и, а\,... ,ап) = ^2 Si (ui, ai,..., ап),
г=1
где г-тое слагаемое зависит только от г-той переменной щ и от п параметров а = (а\,..., ап). Здесь и = (и\,... ,ип) - переменные разделения, которые связаны каноническим преобразованием с исходными физическими переменными и/ = и/(д,р) и, поэтому, они также удовлетворяют уравнениям Гамильтона
йщ = дН_ = _ ш . = 1 п ^
сИ дрщ' сИ дщ' ' ' '
где рщ канонически сопряжённые импульсы
[щ,Ри!} = Ьгу , {щ,щ} = {рщ ,рщ } = 0 .
Решение 5(д, а) стационарного уравнения Гамильтона-Якоби (1) зависящее от п произвольных постоянных а = (а\,..., ап) и удовлетворяющее условию
с^ ( 9^ ^ ф 0
\duidaj) '
называется полным интегралом, нахождение которого позволяет найти решение исходных уравнений движения согласно теореме Якоби, см. детали в [23].
Теорема 1. Для любого полного интеграла уравнения (1) решения и/ = и/ (Ь,а,Р) и Риз = Риз а, уравнений Гамильтона (2), зависящие от, 2п произвольных постоянных сц и Рг, находятся, из уравнений
дБ дБ
& = _^ « Ри, = ^, з = 1,...,п. (3)
Первые уравнения в системе (3) дают решение задачи Лагранжа, т.е. определяют форму траекторий в конфигурационном пространстве. Вторые уравнения называют разделёнными уравнениями
дБ _ дБ/ (и^, а)
Рин = = ^ ,
] ОП/ ОП/
так как в них входит только одна пара переменных и/ и рии обычно их переписывают в более общем виде
Фj (и3 ,'Ри, ,а! ,...,ап) = 0 , э = 1,...,п.
Каждое из разделённых уравнений определяет кривую Xj плоскости и, тем самым, лагран-жево подмногообразие, отвечающее полному интегралу представимо в виде произведения алгебраических кривых Х\ х Х2 х ■ ■ ■ х Хп. В этом и заключается основная идея Якоби - вместо движения в фазовом пространстве изучается движение точек с абсцисса ми Xj = щ (Ъ) и ординатами у/ = ри. (¿) вдоль алгебраических кривых X/ с помощью различных методов алгебраической геометрии.
Если ограничится рассмотрением систем типа Штеккеля [22], когда все кривые X/ являются гиперэллиптическими кривыми, можно ввести переменные действие а/ = I/ (и,ри), разрешая разделённые уравнения относительно а/, и переменные угол
й = _ £ Г
/ д Фг(х,у)/ду
удовлетворяющие стандартным уравнениям движения
^ = 0 и йз = дН/д1з. (4)
Так как переменные угол являются суммой абелевых интегралов, то решение этих уравнений сводится к обращению Якоби отображения Абеля. Аналогичные переменные угол для систем типа Хитчина обсуждаются в работе [9].
2.1. Движение дивизоров на гиперэллиптической кривой
В частном случае, когда лагранжево подмногообразие, отвечающее интегралам движения Ij = aj, пред ставимо в виде симметризованного произведения одной алгебраической кривой X, движение точек Pj(t) порождает движение их формальной суммы, т.е. дивизора
D(t) = Pi(t) + P2(t) + ■■■ + Pn(t) . (5)
Напомним, что дивизором называют формальную конечную сумму точек на на алгебраической кривой X
D = ^ тгРг.
г=1
Дивизор называют эффективным или положительным, если mi > 0 для всех г. Если для всех г = j справедливо Pi = —Pj, то положительный дивизор называют полу-приведённым (semi-reduced). Если степень положительного дивизора ^ mi < д меньше или равна роду кривой X
D X
29+2
X : у2 + к(х)у + ¡(х) = 0 , ¡(х) =
г=0
представим в виде суммы
Б = Б' + , (6)
приведённого дивизора V степени д и некоторой линейной комбинации точек на бесконечности, которая зависит от рода кривой, от числа точек на бесконечности и степени дивизора.
Современные алгоритмы приведения полу-приведённых дивизоров описаны в [8]. Например, в алгоритме Кантора,
Input D = (U, V) Output D = (U1, V1) while deg( U) > д do U' ^ f-%-V 2, V' ^—h — V mod U' U ^ MakeMo nic(U'), V ^V 'mod U
return (U' = U,V' = V)
используются координаты Мамфорда дивизора D = (U(x), V(ж)) , где U(x) = Пi(x — Xi)mi, a полином V (x) степей и degV (x) < degU (x) такой, что V (xi) = yi [16]. При рассмотрении движения дивизоров, уравнение (6) примет вид
D(t) = D' (t)+Dx,
где D^ - некоторая константа, которая не зависит от времени. Так как эволюция и полу приведённого дивизора D(t) (5) степени п > д и приведённого дивизора D' степени д задаётся одними и теми же уравнениями (4), то мы можем выделить семейство систем для которых приведённый дивизор является неподвижным
D(t) =D' + D, D' = const.
Координаты неподвижных точек дивизора V = Рп+\ + ■ ■ ■ + Рп+д и будут искомыми дополнительными интегралами движения, которые коммутируют с гамильтонианом и не коммутируют с остальными интегралами движения.
Аналогичным образом, вместо дивизора (5) можно рассмотреть полу-приведённый дивизор с кратными точками
который приводится к неподвижному приведённому дивизору V = сопвЬ, если в уравнениях движения (2) провести не каноническое преобразование фазового пространства
переменных угол, задающих эволюцию (4) приведённого дивизора V, см. детали в работах
Теорема 2. Если уравнения движения интегрируемой системы приводятся к квадратурам, которые описывают движение полу-приведённого дивизора на гиперэллиптической кривой приводимого к постоянному дивизору, то данная, система является некоммутативно интегрируемой системой.
Для описанного выше множества некоммутативно интегрируемых систем гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива в классе алгебраических функций.
Доказательство. Согласно теореме Лиувилля для любой интегрируемой системы уравнения движения приводятся к квадратурам. Если эти квадратуры описывают динамику полуприведённого дивизора V, то согласно теореме Римана-Роха, существует единственный приведённый дивизор V отвечающий V Если приведённый дивизор V неподвижен, то его координаты являются интегралами движения, которые функционально независимы от интегралов движения, входящих в определение гиперэллиптической кривой, согласно теореме Абеля. Эта же теорема гарантирует, что координаты приведённого дивизора, то есть интегралы движения, будут алгебраическими функциями от координат полу-приведённого дивизора, то есть переменных на фазовом пространстве.
Для полного описания этого множества некоммутативно интегрируемых систем можно использовать теорию Бриль-Нетера о классификации дивизоров на алгебраических кривых и выделении подмножеств специальных дивизоров, например дивизоров Вейерштрасса или дивизоров голономных дифференциалов. В данной работе мы ограничимся рассмотрением ряда примеров интегрируемых систем отвечающих полу-приведённым дивизорам и обсудим системы отвечающие дивизорам с простыми и кратными точками на гиперэллиптической кривой. В этом случае имеется возможность возможность уточнить функциональный класс интегралов движения, входящий в гипотезу Мищенко-Фоменко, до полиномиальных и рациональных функций.
Б^) = тгРг^) + т2?2^) + ■■■ + тпРп(Ь), тг е ,
отвечающее преобразованию
[31, 32, 34].
Пример 4. Эллиптические координаты, и/ в п-мерном евклидовом, пространстве Мп и
отвечающие им импульсы ри. определяются с помощью полиномов Якоби U и V
1 + £ ^ = ïïB-ï , и Ы = -иг)
Т г (7)
£ ^ = г/У е-' V(и,) = ПИ>3 - ег) • Ри,
i= I х е- Пг= 1 х ег
В эти уравнения входит, набор параметров е1 < е2 • • • < еп, которые задают, область определения эллиптических координат,
Ui < ei <U2 < G-2 < ••• <Un < &п.
Координатные поверхности геометрически представляют собой эллипсоид (и1 = const), од-нополостный гиперболоид гиперболоид (и2 = сonst), двухполостный гиперболоид (и,3 = сonst) и т.д., для которых параметры ег определяют эксцентриситеты этих поверхностей.
Полиномы Якоби U(х) и V(х) можно отождествить с координатами Мам,форда, [16]
n
п
D(t) = Е Р (f) , = {-г = Ui, уj = V (и, )) (8)
3=1
на некоторой гиперэллиптической кривой X рода д. В зависим,ост,и от, соотношения между
n
n < n =
3. полу-приведённым n > g,
так как согласно определению эллиптических координат, иг = иj и, поэтому Рг = —Pj для всех точек дивизора.
Рассмотрим движение полу-приведённого дивизора, D(t) (8) на, гиперэллиптической кривой X рода g = n — 1 вида,
X : Ф(х, у) = у2 — П(х — ег) • (ахп + hxn-1 + 12хп-2 + ••• + Щ) = 0 (9)
г=1
X : Ф(х, у) = у2 — П(х — ег) • ( Ьхп + ахп-1 + Ьхп-2 + ••• + In) = 0 , (10)
,2 „Л ! Т | т_ тп—2
г=1
отвечающее движению в фазовом, пространстве с гамильтонианом Н = Д. В этом случае И^) (8) является полу-приведённым, дивизором, степени п на, кривой рода, д = п — 1, который приводится к неподвижному дивизору И степени д
П з = дН/д Ц = 0, ]=2,...,п
и
легко интегрируется
1 _ Г xj 1 '
Qj = — - ^ —-- = cons t, j = 2,... ,п
2 i=iJ Vi
и содержат полный набор из g регулярных дифференциалов на гиперэллиптической кривой X рода, д. Те,м, самым, координаты, неподвижных точек дивизора, D = Рп+\ + ■ ■ ■ + Р2п-1 являются дополнительным,и, интегралами движения, которые коммутмруют, с гамильтонианом Н = 1\ и не коммутируют с остальными переменными действие 12,..., 1_.
Подставляя эллиптические координат,ы, и- и импульсы рщ в определение координат, дивизора, с кратным,и, т очкам и
U(х) = ^(х — u-)mi, V(и-) = ^(и- — ej) ■ р^ , (11)
Рщ
j) т. j=i
мы получим, полу-приведённый дивизор на гиперэллиптических кривых (9) и (10), который приводится, к постоянному приведённому дивизору D. Как и ранее, координаты неподвижных точек дивизора, D = Рп+\ + ■ ■ ■ + Р2П-1 являются дополнительными интегралами движения.
Следуя [19], мы будем называть некоммутативно интегрируемые системы, отвечающие гиперэллиптическим кривым, (9) и (10), системами типа гармонического осциллятора и системами типа Кеплера.
Пример 5. Подставим в определение эллиптических координат, (7) декартовы координаты qi, которые связаны с исходным,и декартовыми координатами соотношениями
Qi = , г = 1,... ,п — 1, q_ = ( q_ —
) / л/
и перейдем к пределу еп ^ ж. Замени в ^ на qi в полученном, выражении мы получим, определение параболических координат, щ в евклидовом пространстве Мп;
п-1 а2 Л(х) п
*- 2,>п + Е ^ = пг^ • Л (х) = П(*
i=l lli=l i i=l
Аналогичным образом, мы можем получить и второй полином Якоби V(х) такой, что
п— 1
V (щ) = П(щ - ^ •
i=1
Как и ранее, набор параметров е1 < е2 ■ ■ ■ < еп задаёт, область определения параболических координат,
и1 < е1 < и2 < е2 < ■ ■ ■ <ип
такую, что дивизор = (Л, V) является эффективным дивизором,. Для гиперэллиптических кривых X рода д = п — 1
X : Ф(х, у) = у2 — ип—?(х — а) ■ (а*п+1 + Р*п + Ьхп—1 + 12*п—2 + ■■■ + 1п) = 0 , X : Ф(х• у) = у2 — нп—?(х — а) ■ (ах'п+1 + Ьхп + /Зхп—1 + 12Хп—2 + ■■■ + 1п) = 0 • X : Ф(х, у) = у2 — П п—1(х — а) ■ (Ь хп+1 + ахп + [!хп—1 + Ьхп—2 + ■■■ + 1п) = 0
полу-приведённый дивизор И(¿) приводится к дивизору И' степени д, который неподвижен, согласно д уравнениям движения = 0 (4), которые содержат, в себе полный набор голо-
Подставляя параболические координаты щ и импульсы рщ в определение координат, дивизора, с кратным,и т очкам и (11), мы получим, полу-приведённый дивизор на одной из трёх гиперэллиптических кривых, который так же приводится к постоянному приведённом,у дивизору И', координаты которого являются дополнительными интегралами движения.
Таким, образом,, используя параболические координат,ы, мм получим, три семейства некоммутативно интегрируемых систем, для которых дополнительными интегралами движения будут координаты точек неподвижного дивизора, И'.
Все остальные системы криволинейных ортогональных координат в евклидовом пространстве так же могут быть построены из эллиптических координат и, поэтому, мы можем использовать теорему Римана-Роха для построения различных семейств некоммутативно интегрируемых систем, связанных с гиперэллиптическими кривыми рода д >= 1. Построение аналогичных систем на рациональных кривых обсуждается в работах [13, 30].
В следующем разделе мы обсудим алгебру полученных выше интегралов движения и их форму в простейшем случае п = 2 для того, чтобы обсудить применимость гипотезы Мищенко-Фоменко к данным некоммутативно интегрируемым системам.
3. Задача Кеплера и её обобщения
Следуя [32, 34] рассмотрим сначала задачу двух центров, так как именно при рассмотрении этой задачи впервые появились и эллиптические координаты, и соответствующие эллиптические кривые [5]. Детальное описание редукции исходной задачи в трёхмерном пространстве к задаче на плоскости орбиты может быть найдено в учебнике Лагранжа [14].
координаты у,1,2 имеют вид
г + г' = 2и1, г — г' = 2и2 .
Выбирая декартову систему координат так, что центры располагаются в точках с координатами —к и к на ОХ-оси получим стандартные выражения
„ и1 и2 „ „ У(и( — ц2)(ц2 —и2) т
Я1 =-, и д2 =-. (1]
к к
и1,2
торые имеют смысл только на интервале
и2 < к < и1 ,
Соответствующие импульсы ри12 находятся из соотношений
и1и2(ри1и1 — Ри2 и2) — к2(рщи2 — Ри2и{)
1 =
Р2 =
к(и2 — и2) '
_ _ (2)
(РщУд — Ри2и2)Уи1 — к2 л/к2 — и2 к(и2 — и2)
Рассмотрим теперь задачу Кеплера, в которой отсутствует один из центров притяжения, а функция Гамильтона и соответствующий интеграл движения равны
— —(Г2 _ Т*'2)
2Н = Ь = р2 + р2 + -, 12 = -^ — (к2 + д%)р\ — 2дтрт — чЫ . (3)
Эти функции в терминах эллиптических координат имеют вид
_ (uj — к2)p2Ui (и2 — к2)p2U2 + а * i 2 2 + 2 2 +
щ -и2 и2 — и\ ui + u2
(4)
_ u2(u2 — к2) Puj u2(u2 — k2)p2U2 ащи2 12 2 2 + 2 2 +
щ — щ щ — Щ Щ + и2
Следуя Эйлеру и Лагранжу, подставляя решения этих уравнений относительно ри1 и ри2 в уравнения движения
(ил _ (и1 — к2)ри1 (1и,2 _ (и2 — к2)ри2
сИ ' и\ — и2 ' & ' и2 — и\ '
получим дифференциальные уравнения
(ил а
у/(и2 — к2)( hu'2 — aui + h) и1 — u2
du2 dt
(5)
■\Z(u2 — к2)( hu'2 — аи,2 + h) и1 — u2
Интегрирование суммы данных уравнений приводит к стандартной сумме абелевых интегралов
f dui [ du2
/ 2 2 = + ~Т= 2 2 _ const (6)
J д/(ui — к2)(Iiui — аи1 + I2) J д/(и2 — к2)( 11и2 — аи2 + 12)
в которую входит голоморфные дифференциалы на эллиптической кривой X, определяемой уравнением
X : Ф(х, у) _ у2 — f(x) _ 0, f(x) _ hх4 — ах3 + (h — Ьк2)х2 + к2ах — hn2 (7)
в которое входят значения интегралов движения h,2 [14].
Аналогичным образом, умножая уравнения (5) на иI2, мы получим вторую сумму абелевых интегралов
f _uidui_ + f_u22du2_ _ 4t ^
J д/(ui — n2)(hu2 — аи1 + I2) J д/(u2 — n2)(hu'2 — аи2 + I2)
Тем самым, решение исходных уравнений движения на фазовом пространстве сведены к квадратурам.
3.1. Движение на проективной плоскости
Абелевы интегралы (6-8) описывают не только движение в задаче Кеплера, но и движение дивизоров на эллиптической кривой. Действительно, введем две точки Pi,2 (t) на крив ой X с координатами
х1 _ui, yi _ (ui — к2)ри1 and х2 _ u2 , У2 _ (u2 — к2)ри2 .
Сумма точек Pi,2 является иолу-приведённым дивизором на эллиптической кривой X, который приводится к приведённому дивизору, состоящему из одной точки
Pi(t) + P2(t) _ P3 + D(9)
В нашем случае, складывая две точки Р\}2^) на эллиптической кривой мы получим третью точку Р3, которая неподвижна, согласно уравнению (6). В области определения эллиптических координат
и2 < к < и1 ^ Х1=Х2 ^ (хз, уз) = (ж, ж) ,
и, поэтому, абсцисса хз и ордината уз неподвижной точки Рз являются однозначно определёнными конечными функциями.
Рз
сечение эллиптической кривой Х
Х : Ф(х, у) = у2 — /(х) = 0, /(х) = а4х4 + азхз + а2х2 + а1х + ао (10) и параболы У
У : у = V(х), V(х) = /а4х2 + Ь^_х + Ьо . Входящие в уравнение параболы коэффициенты находятся из уравнений
У1 = /их! + Ь1х1 + Ьо апё у2 = /а^х2^ + Ь^2 + Ьо , т.е. парабола определяется с помощью интерполяции по Лагранжу
V(х) = /04х2 + Ьх + Ьо = /а4(х1 — х)(х2 — х) + (х — х)у1 + (х — ^Ш . (11)
х1 — х2 х2 — х1
Подставляя у = V (х) в уравнение эллиптической кривой ](х) — у2 = 0 мы получим полином Абеля
ф = }(х) — V2 (х)
= ( аз — 2 Ь 1/а4)хз + (а2 — 2 Ь0/а4 — Ь2 )х2 + (а1 — 2 Ь0Ь1)х + а0 — Ь0
= ( аз — 2 Ь 1/а4)(х — х1)(х — х2)(х — хз) Рз
2 Ьо/Ц + Ь\ — а2 хз = —х1 —х2--гт—^--(12)
2 01у/а4 — аз
и её ординату
Уз = —V(хз) = —/чх2з — Ьхз — Ьо , (13)
1 о х1 , х2 1 , 2
Для задачи Кеплера
а4 = Ь, аз = —а, а2 = (12 — к211), а1 = к2а, ао = —к212 ,
Рз
(2 \ i /- 2 2 2 2 2 1 2 2
К (рп.1 и1)-и1и2(ри1 «1+Ри2 и2)) \\/11(и\—и'2) —к (Ри1 —Ри2)+Ри1 —Ри2 — а(и1—и2) +и1и2)
хз — ^ ^
' ' ^[к2(ри1 — Ри2)—Ри1 и2+Ри2 «2) + 2к2(Р«1 — Рип ) — 2Ри11 +
(и1—и2){ 2^11(к2(ри1 —Ри2)—Ри1 и2+Ри2 и2) + 2к2(р11 —р12) — 2р11 и2 + 2р22 «2 —о=(«1 —«2 ))
з
Уз = —УГг{иг — хз)(и2 — хз) — (хз — ^ — ^ — (хз — ^ — ^ ,
и1 — и2 и2 — и1
1 хз з
ются алгебраическими функциями от переменных и1,2 и ри12.
В работе [5] Эйлер доказал, что для уравнений Абеля, отвечающих сложению простых точек на эллиптических кривых (9), существует полиномиальный интеграл
С _ 2аНх2 + азхз + а,2 — 2^ЙУз _ ^ — — Ри2_
(ui и2)
_ — (Vi42 — (qi — к)'Р2)2 ,
который в задаче Кеплера совпадает с квадратом компоненты вектора углового момента. Опираясь на результаты Эйлера можно сказать, что гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива для некоммутативно интегрируемых систем связанных со сложением простых точек на эллиптической кривой.
С
ствия относительно вращений орбитальной плоскости вокруг центра притяжения. Алгебраи-
х3 3
их геометрическое описание тривиально - это координаты неподвижного приведённого диви-
X
3.2. Нарушение симметрии
В данном разделе мы рассмотрим не канонические преобразования фазового пространства, которые нарушают симметрии действия относительно вращений орбитальной плоскости, но сохраняют неподвижные точки на эллиптической кривой на проективной плоскости [13, 26, 27, 28, 29, 30, 31].
Преобразование импульсов
Рт ^ ^ and pU2 ^ ^, (14)
1 т 2 п
где тип рациональные числа, сохраняет симметрию потенциала относительно вращений и нарушает симметрию кинетической части исходных интегралов движения (3), которые в данном случае примут вид
2Н _ h _ 4—4 (Щ2 + (Щ2 +
и2 — щУ т ) и2 — щ\ п J u2 +u2
(15)
_ и2(и2 — к2) /Puj_\2 + и\(и2 — к2) /Ри2\2 + auiu2 и2 —и2 \ т) ui —и2 V п J u2 + u2'
В декартовых координатах соответствующая функция Гамильтона (15) имеет вид
(т2 + п2)(р i + р2) (т2 — п2 )((к2 — Ч2 + Q2)(P2 — Р2) + 4(l i42PiP2) а
4т2п2 4т2п2гг' 2г
Как и для исходной задачи Кеплера, уравнения движения приводятся к квадратурам. Например, квадратура (6) после не канонического преобразования импульсов (14) примет вид
rnf^^ dui +п [ dV'2 . _ co^t. (16)
J у(ui — к2)(Ьщ — aui + I2) J у (u2 — к2)(hu'2 — аи2 + I2)
Подставляя рациональные числа т _ тl/т2 и п _ п1/п2 в это выражение, мы получим сумму эллиптических интегралов с целочисленными коэффициентами
/dui ¡' du2
, 2 = + п]^т2 I 2 _ _ co^t,
y(ui — к2)(Iiui — aui + I2) J y(u2 — к2)(Iiu2 — аи2 + I2)
которая отвечает сложению кратных точек на эллиптической кривой
Для краткости мы предположим, что тип положительные целые числа. В этом случае сумма эллиптических интегралов (16) отвечает приведению полу-приведённого дивизора,
т п
[ т]Р1(1) + \п]Р2(1) =Рз + . (17)
Здесь [ к]Р обозначает скалярное умножение точки на эллиптической кривой на целое число к € Ъ, аффинные координаты этой точки [к]Р = [к](х, у) мы будем обозначать ([к]х, [к]у),
Рз хз
з
Рз
хз = —[т]х1 — [п]х2 — 2^//Д ^—— , Уз = —/йх'з — Ьхз — Ьо . (18)
2 о 1у/а4 — аз
1,о
[т]у1 = /а4 • ([ т]х1)2 + Ь1 • [т]х1 + Ьо апё [п]у2 = /а4 • ([п]х2)2 + Ь • [п]х2 + Ьо .
[ т] Р1 [ п] Р2
тических кривых можно использовать стандартные алгоритмы [15, 21].
Рз
Эйлера "
Стп = 2а^хз + а-зх-з + а2 — 2/а4уз =
= (^Ахг - ) —а^[т]х1 + [п]х2)2 — аз{[т]х1 + [п]х2) .
Данные интегралы движения кратных точек на эллиптической кривой порождают первые интегралы обобщённой задачи Кеплера с полиномиальными интегралами движения (15), если отождествить аффинные координаты на проективной плоскости с координатами на фазовом пространстве:
х1 = и1, у1 = (и\ — к2)^^ апё х2 = и2 , у2 = (и2 — к2) (20)
При т = п интеград Эйлера Стп (19) равен квадрату компоненты углового момента, сожра-
т = п
интегралы движения хз, уз (18) и Стп (19) будут алгебраическими функциями на фазовом пространстве. Явные выражения для некоторых из этих интегралов могут быть найдены в [31, 32].
Нам не удалось найти полиномиальную комбинацию этих интегралов движения, в отличии от случая сложения простых точек на эллиптической кривой. Тем самым, нам не удалось доказать справедливость гипотезы Мищенко-Фоменко в классе полиномиальных функций для обобщения задачи Кеплера , связанной со сложением кратных точек на эллиптической кривой. Однако, в классе рациональных функций данная гипотеза справедлива.
Согласно [34], функции Д, Д (15) и хз, уз (18) на фазовом пространстве Т*М2 описывают реализации следующей алгебры первых интегралов
{Ь, Д} = 0 , {11, хз} = 0 , {11, уз} = 0,
{12, хз} = Фу(хз, Уз) , {¡2, Уз} = —&х(хз, Уз), {хз, Уз} = к2 —х2з
т п
Фу(х, у) _ 9^^ У) _2у and Фх(х, у) _ 9Ф<f, ^ _ —(4Ьх3 — 3ах2 + 2( 12 — к 12)х + ак2)
9 U 9 х
являются производными функции Ф(х, у), которая задаёт эллиптическую кривую X (7), а {.,.} обозначают стандартные скобки Пуассона
{ui,U2} _0 , {'pUj ,pU2} _0 , {u,i,pUj} _ Sij . (22)
т _ п
жения приводится к линейной скобке Пуассона с бивектором (2).
4. Гармонический осциллятор и его обобщения
Начнём с рассмотрения функции Гамильтона и первого интеграла, который, как и ранее, является квадратом компоненты углового момента, для гармонического осциллятора на плоскости
2Н _ Д _ р2г + р2, — а2(д2 + дЦ), Д _ (р{ — а2д2г)к2 — (р^ + Р2д\)2 ,
Поставляя в эти функции выражения для координат (1) и импульсов (2) через эллиптические координаты на плоскости, мы получим
т _ (и1 K2)p2Uí К2)Р12 + о(к2 и2 11 _ -2-2--'--2-2--^ а (к — U\ — и2)
и2(и2 — к2)р1,1 и1(и2— к2)Ри2 , 2 2 2
12 _--2-2---2-2--га или2 .
и22 — и22 и22 — и22 2 2
Используя эти выражения и скобки Пуассона (22) перепишем уравнения движения
(и\ _ н} _ (и2 — к2)ри1 (и2 _ , н} _ (и2 — к2)Ри2
а ' и2 — и2 ' (М ' и2 — и2 '
в виде
( и2 ( ( и2 (
(23)
pui и\ и2 pU2 и\ и2
Исключая время, мы получим дифференциальное уравнение:
(1и\ с1и2
+ 7 о о\ 0 •
(и2 — к2) pUl (и2 — K2)p.
U2
Подставляя решения уравнений (23) относительно ри12 в это уравнение и интегрируя, мы получим квадратуру определяющую форму траекторий [14]:
[ dui [ du2
+ / —/ ~ . ~ = =соп st
3 лДи[—к2^а2:й[Т(Т1—~а2к2^^[Т12^] у/(и2 — к2)(а2и2, + (Д — а2к2)и2 + Д)
Используя подстановку Эйлера и2 _ Хг: приведем это уравнение к сумме эллиптических интегралов на эллиптической кривой X
X : Ф(х, у) _ у2 — /(х)_0 , /(х)_а2х4 + (Д — 2а2к2)х3 + (а2к4 — !хк2 + 12)х2 — к212Х. (24)
С точки зрения Якоби это стандартное приведение уравнений движения к квадратурам означает, что мы переходим от рассмотрения движения на фазовом пространстве Т*М2 к рассмотрению движения точек Р\,2(Ь) вдоль эллиптической кривой X. При этом уравнения Гамильтона заменяются на уравнение (9)
Рх(1) + Р2(Ъ) =Рз .
Для осциллятора аффинные координаты подвижных точек Р\,2(Ь) выражаются через эллиптические координаты следующим образом
XI =и\, У1 = (и2! - К2)и1ри1 и Х2 =и2 , У2 = (и^ - К2)П2Ри2 . При этом абсцисса неподвижной точки Хз (12) равна
(у(и1-к2)и2ри1 -(и^-к2)и1 ри2 +аи1ы2(и1-и2})
Хз = -
(и^-и22)[(к2-и1)р21 -(к2-'и2,)р22 +2а(т(к2-и^)ри1 -и2(к2-у^)ри2 )+а2(к2-и!-и:2)(и1 -и2,)) '
з
найдена в [31]. Комбинация рациональных первых интегралов Хз,уз , предложенная в общем случае Эйлером, является полиномиальным интегралом движения
С = 2а^хз + азХз + а2 - 2^а4уз = -(р 10_2 + Р2И1)2 - к211 + а2к4 ,
существование которого связано с симметриями конфигурационного пространства.
Аналогичным образом можно доказать существование полиномиальный не коммутативных интегралов для п-мерного осциллятора, задачи Кеплера и ряда других систем, связанных с динамикой полу-приведённых дивизоров состоящих из простых точек на гиперэллиптических кривых. Это позволяет нам предположить справедливость следующего Предложения.
Предложение 1. Для некоммутативно интегрируемых систем, связанных со сложением простых точек на гиперэллиптической кривой и голоморфными дифференциалами, гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива в классе полиномиальных интегралов движения.
Для всех известных нам примеров данное Предложение справедливо, но общего доказательства у нас нет.
Рассмотрим теперь случай сложения кратных точек. Не каноническое преобразование (14), нарушающее инвариантность действия относительно вращений, порождает следующие интегралы движения
и2 - К (Ри1 и2 - к<2 (Ри2 Л2,^/^ „,2 „,2\
11 = + иР^ + а2(к2-и2-и2)
и2 - Щ ^ т / и2 - и2 V п )
(25)
и2(и21 - к2) (Ри1 \2 + и2(и22 - к2) (Рп2 \ 2 + о,2и2
12 = -2-2— - +--2-2— - + а Щи2 ,
и22 - и12 т и12 - и22 п 1 2
В декартовых координатах на плоскости соответствующая функция Гамильтона Н = 2Д имеет вид
ТТ (т2 + п2)(р2 + Р2) (т2 -п2)((к2 - с12 + ч1)(Р21 - рЬ+Ц тРт) а2( о2 + о2)
Н = -:-ТТ-1--+
4т2п2 4т2п2гг' 2
где г, г' и к входят в определение эллиптических координат на плоскости. Соответствующие уравнения Гамильтона приводятся к квадратурам, которые эквивалентны уравнению (17)
[ т]Р1(1) + [п]Р2(1)=Рз + ,
описывающему движение кратных точек на эллиптической кривой X. Для обобщённого гармонического осциллятора функцией Гамильтона (25) координаты неподвижной точки хз, уз (18) и аналог интеграла Эйлера Стп (19) будут рациональными функциями на фазовом пространстве при т = п. Несколько частных явных выражений для этих рациональных функций могут быть найдены в [31, 32].
В отличии от случая сложения простых точек на эллиптической кривой нам не удалось найти полиномиальную комбинацию полиномиальных 1\,2 и рациональный интегралов движения хз, уз, которая являлась foi дополнительным к 1)1, 2 интегралом движения. Тем самым, нам не удалось доказать справедливость гипотезы Мищенко-Фоменко для обобщения гармонического осциллятора, связанного со сложением кратных точек на эллиптической кривой. Полученные для обобщённого осциллятора и задачи Кеплера результаты можно сформулировать в виде следующего Предложения.
Предложение 2. Для некоммутативно интегрируемых систем, связанных со сложением кратных точек на гиперэллиптической кривой и голоморфными дифференциалами, гипотеза Мищенко-Фоменко справедлива в классе рациональных функций.
Для всех известных нам примеров данное Предложение справедливо, но, как и ранее, общего доказательства у нас нет.
Согласно [34] функции 1\, 12 (25) и хз, уз (18) на фазовом пространстве Т*R2 реализуют представления следующей алгебры первых интегралов
{h, h} = 0, {h,x3} = 0 , {h, уз} =0 ,
(26)
{12,хз} = 2Фу (хз, Уз), {h, Уз} = -2ФХ (хз, уз), {хз, Уз} = 2хз(к2 - хз),
т п
Фу(х, у) = 2у, —Фх(х, у) = 4а2хз + 3(h - 2а2к2)х2 + 2(а2к4 - к2h + Ь)х - к2h
являются производными от функции Ф(х, у) на проективной плоскости, которая определяет эллиптическую кривую X (24), а {.,.} обозначают стандартные скобки Пуассона (22). При т = п
приводится к линейной скобке Пуассона с бивектором (1).
5. Заключение
В данной работы обсуждается справедливость гипотезы Мищенко-Фоменко о существовании интегралов движения из единого функционального класса для некоммутативно интегрируемых систем. Для динамических систем, уравнения движения которых приводятся к абелевым квадратурам, а существование дополнительных интегралов движения связано с приведением полу-приведённого дивизора к неподвижному дивизору на эллиптической или
X
X
номиальными функциями;
• интегралами движения, задающие координаты неподвижного приведённого дивизора, являются алгебраическими или рациональными функциями.
Используя результаты Эйлера, можно доказать, что для полу-привёденных дивизоров, состо-
X
динат неподвижного дивизора и, тем самым, доказать справедливость гипотезы Мищенко-Фоменко.
Для полу-привёденных дивизоров, состоящих из кратных точек на кривой X, нам не удалось найти комбинацию координат неподвижного дивизора которая была бы полиномом на исходном фазовом пространстве, даже в простейшем случае. Тем самым, нам пока не удалось доказать справедливость гипотезы Мищенко-Фоменко для некоммутативно интегрируемых систем связанных со сложением кратных точек на эллиптической кривой.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-7130012).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Abel N. H., Mémoire sure une propriété générale d'une classe très éntendue de fonctions transcendantes, Oeuvres complètes, Tome I, Grondahl Son, Christiania (1881), pages 145-211.
2. Bogoyavlenskij O., Extended integrability and bi-Hamiltonian system,s, // Commun. Math. Phvs., 1998, v.196, pp.19-51.
3. Болсинов А. В., Полные инволют,иены,e наборы полиномов в пуассоновых алгеб- pax: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу.-2005.-Вып. 26.-е. 87-109.
4. Bolsinov A.V., Jovanovic В., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows // Annals of Global Analysis and Geometry.-2003.-Vol. 23, p.305-322.
5. Euler L., Problème un corps étant attiré en raison réciproque quarrée des distances vers deux points fixes donnés, trouver les cas ou la courbe décrite par ce corps sera algébrique, Mémoires de l'academie des sciences de Berlin v.16, pp. 228-249, (1767).
6. Euler L., Institutionum calculi integralis, v.l, Acta Petropolitana, (1761).
7. Jovanovic, В., Noncommutative integrability and action-angle variables in contact geometry // J. Svmplectic Geom.-2012., v.10, no. 4, pp.535-561.
8. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography, ed. H. Cohen and G. Frev, Chapman and Hall/CRC, 2006.
9. Hurtubise J.C., Kjiri M., Separating coordinates for the generalized Hitch,in system,s and the classical r-matrices // Commun. Math. Phvs., 2000, v.210, pp.521- 540.
10. Fassó F., Ratiu T., Compatibility of symplectic structures adapted to noncommutatively integrable systems //J. Geom. Phvs., 1998, v.27, pp.199-220.
11. Fassó F., Superintegrable Hamiltonian system,s : geometry and applications / / Acta Appl. Math. 205, v.87,pp.93-121.
12. Fiorani E., Sardanashvilv G., Noncommutative integrability on noncompact invariant manifolds // J. Phvs. A: Math, and Gen., 2006, v.39. n.45, pp. 14035-14042.,
13. Grigoriev Yu. A., Tsiganov A.V., On superintegrable system,s separable in Cartesian coordinates // Phvs. Lett. A, v. 382(32), pp.2092-2096, (2018).
14. Lagrange J.L., Mécanique analytique, v.2, (1789), Œuvres complètes, tome 12.
15. Lang S., Elliptic Curves: Diophantine Analysis, Springer-Verlag, A Series of Comprehensive Studies in Math, v. 231,(1978).
16. Mumford D., Tata Lectures on Theta II, Birkhauser, 1984.
17. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли // Изв. АН СССР. Сер. матем.-1978.-т. 42, № 2.-е. 396-415.
18. Мищенко А. С., Фоменко А. Т., Обобщённый метод Лиувилля интегрирования гам,ил,ь-тоновых систем, // Функц. анализ и его прил.-1978.-т. 12, № 2.- с. 46-56.
19. Onofri Е., Pauri, \!.. Search for periodic hamiltonian flows: A generalized Вertrand's theorem // J. Math. Phvs., 1978, v. 19( 9), pp. 1850-1858.
20. Садэтов С. Т. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко // Докл. РАН, 2004, т. 397, № 6.-е. 751-754.
21. Silverman J.H., The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag New York, 2009.
22. Stackel P., Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung Mittelst Separation der Variabeln, Habilitationsschrift, Halle, 26pp., 1891.
23. Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений.-М.: Факториал, 1995.
24. Tsiganov А. V., The Stackel systems and algebraic curves //J. Math. Phvs., 1999, v.40, pp.279298.
25. Tsiganov A.V., The Drach superintegrable systems //J. Phvs. A: Math. Gen., 2000, v.33, n.41, pp.7407-7422.
26. Tsiganov A.V., On maximally superintegrable system,s // Reg. Chaot. Dvn., 2008, v.13(3), pp.178-190.
27. Tsiganov A.V., Addition theorems and the Drach superintegrable system,s //J. Phvs. A: Math. Theor., 2008, v. 41, 335204.
28. Tsiganov A.V., Leonard Euler: addition theorems and superintegrable system,s // Reg. Chaot. Dvn., 2009, v.14(3), pp.389-406.
29. Tsiganov A.V., On the superintegrable Richelot systems //J. Phvs. A: Math. Theor., 2010, v. 43, 055201.
30. Tsiganov A.V., Transformation of the Stackel matrices preserving superintegrability // J. Math. Phvs., 2019, v. 60, 042701.
31. Tsiganov A.V., Elliptic curve arithmetic and superintegrable system,s // Phvs. Scripta, 2019, v.94, 085207.
32. А. В. Цыганов, О суперинтегрируемых системах с алгебраическими и, рациональным,и, интегралами движения // ТМФ, 2019, т.199, стр. 218-234.
33. Tsiganov A.V., Discretization and superintegrability all rolled into one // arXiv:1902.03884, 2019.
34. Tsiganov A.V., The Kepler problem: polynomial algebra of non-polynomial first integrals // Regul. Chaotic Dvn., 2019, v.24, pp.353-369.
REFERENCES
1. Abel N. H., Mémoire sure une propriété générale d'une classe très éntendue de fonctions transcendantes, Oeuvres complètes, Tome I, Grondahl Son, Christiania (1881), pages 145-211.
2. Bogovavlenskij O., Extended integrability and bi-Hamiltonian system,s, // Commun. Math. Phvs., 1998, v.196, pp.19-51.
3. Bolsinov A. V., Complete commutative families of polynomials in Poisson-Lie algebras: A proof of the Mischenko-Fomenko conjecture //In book: Tensor and Vector Analysis, 2005, Vol. 26, pp. 87-109.
4. Bolsinov A.V., Jovanovic В., Noncommutative integrability, moment map and geodesic flows // Annals of Global Analysis and Geometrv.-2003.-Vol. 23, p.305-322.
5. Euler L., Problème un corps étant attiré en raison réciproque quarrée des distances vers deux points fixes donnés, trouver les cas ou la courbe décrite par ce corps sera algébrique, Mémoires de l'academie des sciences de Berlin v.16, pp. 228-249, (1767).
6. Euler L., Institutionum calculi integralis, v.l, Acta Petropolitana, (1761).
7. Jovanovic, В., Noncommutative integrability and action-angle variables in contact geometry // J. Svmplectic Geom.-2012., v.10, no. 4, pp.535-561.
8. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography, ed. H. Cohen and G. Frev, Chapman and Hall/CRC, 2006.
9. Hurtubise J.C., Kjiri M., Separating coordinates for the generalized Hitchin system,s and the classical r-matrices // Commun. Math. Phvs., 2000, v.210, pp.521- 540.
10. Fassó F., Ratiu T., Compatibility of symplectic structures adapted to noncommutatively integrable systems //J. Geom. Phvs., 1998, v.27, pp.199-220.
11. Fassó F., Superintegrable Hamiltonian system,s : geometry and applications / / Acta Appl. Math. 205, v.87,pp.93-121.
12. Fiorani E., Sardanashvilv G., Noncommutative integrability on noncompact invariant manifolds // J. Phvs. A: Math, and Gen., 2006, v.39. n.45, pp. 14035-14042.,
13. Grigoriev Yu. A., Tsiganov A.V., On superintegrable system,s separable in Cartesian coordinates // Phvs. Lett. A, v. 382(32), pp.2092-2096, (2018).
14. Lagrange J.L., Mécanique analytique, v.2, (1789), Œuvres complètes, tome 12.
15. Lang S., Elliptic Curves: Diophantine Analysis, Springer-Verlag, A Series of Comprehensive Studies in Math, v. 231,(1978).
16. Mumford D., Tata Lectures on Thêta II, Birkhauser, 1984.
17. Mishchenko A. S., Fomenko А. T., Euler equations on finite-dimensional Lie groups // Math. USSR-Izv.-1978.-v. 12, n.2, pp. 371-389.
18. Mishchenko A. S., Fomenko А. T., Generalized Liouville method of integration of Hamiltonian system,sOôoômëHHbiv, мет,од Лиувилля интегрирования // Funct. Anal. Appl., -1978.-v. 12, п. 2, pp. 46-56.
19. Onofri Е., Pauri, \!.. Search for periodic hamiltonian flows: A generalized Вertrand's theorem // J. Math. Phvs., 1978, v. 19( 9), pp. 1850-1858.
20. Sadetov S. Т., A proof of the Mishchenko-Fomenko conjecture // Dokl. Akad. Nauk, 2004, v. 397, n. 6, pp.751-754.
21. Silverman J.H., The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag New York, 2009.
22. Stáckel P., Uber die Integration der Hamilton-Jacobischen Differential Gleichung Mittelst Separation der Variabeln, Habilitationsschrift, Halle, 26pp., 1891.
23. Trofimov V. V., Fomenko A. T. Algebra and Geometry of the Integrable Hamiltonian Differential Equations. -M.:Factorial, 1995.
24. Tsiganov A. V., The Stáckel systems and algebraic curves //J. Math. Phvs., 1999, v.40, pp.279298.
25. Tsiganov A.V., The Drach superintegrable systems //J. Phvs. A: Math. Gen., 2000, v.33, n.41, pp.7407-7422.
26. Tsiganov A.V., On maximally superintegrable system,s // Reg. Chaot. Dvn., 2008, v.13(3), pp.178-190.
27. Tsiganov A.V., Addition theorems and the Drach superintegrable system,s //J. Phvs. A: Math. Theor., 2008, v. 41, 335204.
28. Tsiganov A.V., Leonard Euler: addition theorems and superintegrable system,s // Reg. Chaot. Dvn., 2009, v.14(3), pp.389-406.
29. Tsiganov A.V., On the superintegrable Richelot systems //J. Phvs. A: Math. Theor., 2010, v. 43, 055201.
30. Tsiganov A.V., Transformation of the Stáckel matrices preserving superintegrability //J. Math. Phvs., 2019, v. 60, 042701.
31. Tsiganov A.V., Elliptic curve arithmetic and superintegrable system,s // Phvs. Scripta, 2019, v.94, 085207.
32. Tsiganov A. V., Superintegrable system,s with algebraic and rational integrals of motion // Theoret. and Math. Phvs., 2019, v.199, n. 2, pp. 659-674.
33. Tsiganov A.V., Discretization and superintegrability all rolled into one // arXiv:1902.03884, 2019.
34. Tsiganov A.V., The Kepler problem: polynomial algebra of non-polynomial first integrals // Regul. Chaotic Dvn., 2019, v.24, pp.353-369.
Получено 25.11.2019 г. Принято в печать 11.03.2020 г.
