CC BY
6УДК 517.938.5
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЙ ПОТОК ДВУМЕРНОГО ЭЛЛИПСОИДА В ПОЛЕ УПРУГОЙ СИЛЫ: ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕНИЙ
И. Ф. Кобцев1
Исследуется слоение Лиувилля системы, описывающей движение материальной точки по двумерному эллипсоиду в поле упругой силы. Основная цель — нахождение инвариантов Фоменко—Цишанга (изоэнергетических молекул) этой системы, для чего используется алгебраический метод М.П. Харламова.
Ключевые слова: интегрируемая гамильтонова система, эллипсоид, геодезический поток, потенциал, слоение Лиувилля, разделение переменных.
The Liouville foliation of system describing the motion of a material point on a 2-dimensio-nal ellipsoid in the field of elastic forse is considered. The main goal is to find Fomenko-Zieschang invariante (isoenergetic molecules) of the system. The algebraic method of M. P. Kharlamov is used to obtain the results.
Key words: integrable Hamiltonian system, ellipsoid, geodesic flow, potential, Liouville foliation, separation of variables.
1. Введение. К. Якоби fl] показал интегрируемость задачи о движении материальной точки по n-мерному эллипсоиду. Траекториями точки в этом случае являются геодезические. Более того, Якоби проинтегрировал более общую задачу, когда точка движется под действием упругой силы, модуль которой прямо пропорционален расстоянию от точки до центра эллипсоида, и получил интегральные уравнения траекторий [1]. В 1995 г. В. В. Козлов обобщил результат Якоби на потенциал с дополнительными слагаемыми, обратно пропорциональными квадратам расстояний до гиперплоскости симметрии эллипсоида [2].
В настоящей работе мы проведем топологический анализ задачи о движении частицы по двумерному эллипсоиду под действием упругой силы. Целью исследования является топологическая классификация движений с заданным уровнем энергии с точностью до лиувиллевой эквивалентности, т.е. послойного диффеоморфизма слоений Лиувилля. Результаты будут представлены в форме списка инвариантов лиувиллевой эквивалентности — изоэнергетических меченых молекул Фоменко-Цишанга. Необходимая для этого теория интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы построена в [3-6]. В дальнейшем для краткости будем называть такую постановку задачи возмущенным геодезическим потоком на эллипсоиде, подразумевая под возмущением потенциальную силу.
Стоит отметить, что с помощью инварианта Фоменко-Цишанга было установлено несколько интересных фактов. Так, А. В. Болотовым и А. Т. Фоменко доказана лиувиллева эквивалентность задачи о геодезическом потоке на эллипсоиде и случая Эйлера движения твердого тела [3], обнаружены новые эквивалентности между другими интегрируемыми задачами классической механики. С дальнейшими приложениями теории Фоменко-Цишанга можно ознакомиться, например, в [7].
Пусть ^ + \ + ^г = 1 — эллипсоид в I3, в > 5 > с > 0.
Теорема. Изоэнергетические молекулы возмущенного геодезического потока на эллипсоиде имеют вид, указанный в табл. 1. Здесь Е = ^(х2 + у2 + z2) + |(ж2 + у2 + z2) — полная механическая энергия материальной точки, к > 0.
Классический алгоритм исследования подобных задач подразумевает нахождение особых точек отображения момента. Для этой задачи прямые вычисления трудоемки и малоэффективны, поэтому мы будем пользоваться алгебраическим методом анализа, предложенным М.П. Харламовым в [8] и основанным на разделении фазовых переменных. Применение такого подхода значительно упрощает нахождение бифуркационной диаграммы и интегральных многообразий, что было неоднократно продемонстрировано в [9, 10].
Для использования алгебраического метода М. П. Харламова предполагается, что существуют переменные, в которых система принимает вид ^ = y/Vi(si), где s¿ — переменные разделения,
1 Кобцев Иван Фёдорович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: int396. kobtsevQmail .ru.
т — приведенное время, Vi(si) — многочлены с коэффициентами, зависящими от значений первых интегралов. Докажем, что при выполнении ряда условий многочлен можно заменить на дробно-рациональную функцию.
_Таблица 1
Номер молекулы Зона энергии Изоэиергети ческая молекула
1 тр ( кс кЪ\ Ь е \Т' т) А А
2 Ее , |(а + с-6))
3 Е е (|(а + с-6),
4
5 Е е (§(а. + 6 - с), +ос)
Утверждение 1. Пусть после разделения переменных систем,а приведена к виду
где V, ]У — многочлены, > 0, ¡, = 1,2. Тогда бифуркациям, интегральных многообразий
соответствуют нули дискриминанта многочлена V.
Доказательство. Как отмечено в [4], бифуркациям интегральных многообразий соответствуют особые точки алгебраической кривой (если подкоренная функция — многочлен). Если же подкоренная функция рациональна, то следует искать особые точки рациональной кривой V2 = в
пространстве М2(зь г^) хМ2(52, г^). Зададим кривую в виде поверхности уровня функции г^) = ]У(,3{)у2 — У(вг) = 0, тогда в особых точках выполнено grad Е = {Ш'^в^2 — У^г), 2Ш(,3{)у{) = 0. В силу предположения И7^) > 0 получаем VI = 0, что влечет У(вг) = 0, У'(,3{) = 0, т.е. равенство нулю дискриминанта многочлена V. Утверждение доказано.
Замечание 1. Аналогичное утверждение можно доказать, если многочлен Ш знакочередующийся и может обращаться в нуль при ^ <Е [Л^, В^]. При этом на рациональной кривой дополнительно возникнут новые особые точки — нули ТУ, что может привести к появлению некомпактных областей возможности движения и некомпактных бифуркаций. Такой случай мы здесь не будем рассматривать.
Перейдем непосредственно к анализу поставленной задачи. Не ограничивая общности, положим к > 0 (для отрицательного к доказательство почти полностью повторяется).
2. Интегралы и разделяющее множество. Как показано в [2], задача о возмущенном геодезическом потоке на эллипсоиде вполне интегрируема, причем интегралы найдены в явном виде с использованием избыточных координат:
Е = + у2 + г2) + ^{х2 + у2 + г2) — интеграл энергии,
(х2 у2 х2 \ (х2 у2 ¿2 \
—7? + -\—--ЬЧ—I---к) — дополнительный интеграл.
а2 ог с1) \ а о с )
Перейдем к разделяющимся переменным, что позволит избавиться от избыточных координат.
В качестве переменных разделения возьмем эллиптические координаты Якоби. Напомним, что
2 2 2
эллиптическими координатами на эллипсоиде + 2L. £_ = \ называется пара (Ai, А2) решений 2 2 2
уравнения ^^ + + = 1, при этом Ai € [—b, —с], А2 € [—а, —Ъ]. Декартовы координаты выражаются через эллиптические следующим образом:
2 _ а(а + Ai)(a + A2) 2 _ Ъ{Ъ + Ai)(ft + Л2) 2 _ с(с + Ai)(c + А2) Ж ~ (а — 6)(а — с) ,У ~ (Ъ-а)(Ъ-с) ' * ~ (а-Ь)(а-с) ' U
Так как эллиптические координаты нерегулярны при Ai = А2 = —Ъ (в омбилических точках эллипсоида), то в этих точках вычисления следует проводить в декартовых координатах.
В эллиптических координатах полная энергия исследуемой системы имеет вид (см., например,
[1]):
2(g + Ai)(6 + Ai)(c + Ai) 2 , 2(а + A2)(ft + Л2)(с + Л2) ,.2 , к,, , , , , , м Е =-Ai(AI-A2)-^ +-AI(A2-AI)-to + ^i + W + ^a + b),
где /XI, ¡j,2 — сопряженные импульсы.
Для удобства вычислений возьмем в качестве первого интеграла выражение Н = Е — -|(а + 6). Применяя общий принцип разделения переменных, находим дополнительный интеграл в виде
2(а + \\)(Ъ + Ai)(c + Ai) 2 ,
Р =-—-Цх + -Ai - n\\.
Отметим, что аналогичное выражение относительно А2, /х2, а именно
2(а + А2)(6 + А2)(С + А2) 2 , к,2 --+ 2 Л2 -
также является интегралом задачи, причем равным F. С учетом Ai = тЩ- выводим уравнения движения точки
= ± 4 У(\к) Ai — А2 у Afc
где
1 / к 2
П*) = уД " ^ " !) (й + + *)(с + ^ Я = К Р =
В силу определения, данного в [4], и утверждения 1 заключаем, что разделяющее множество задачи состоит из значений (/г, /), при которых многочлен V имеет кратный корень. Оно включает в себя четыре кривые, задаваемые уравнениями / = / = Щ^+Ыъ, / = Щ^+сН, / = Обозначим
также через
. 1ъ-л/Ь? + 2 ¡к к + л/К2 + 2 ¡к е =-к-' Я =-к-
корни трехчлена ^г2 — Иг — /.
3. Регулярные интегральные поверхности. Допустимая область на плоскости (/г, /) определяется условием: существует точка (А1, А2), где 0, У(А2) ^ 0. В зависимости от относительного расположения корней многочлена V (зависящих от параметров ¡г, /) выделяются четыре области возможного движения, представленные в табл. 2. Соответствующие регулярные области для случая а + с > 26 показаны на рис. 1, а (закрашенные области на графике — образ отображения момента), а области возможного движения на эллипсоиде — на рис. 2.
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма задачи (а) и участки разделяющего множества (б)
Т а б л и ц а 2
Код области Корни минимального многочлена Область изменения (Ах, Л2)
1+ —а < — Ь < £ < 1] < —с К, ??] X [-а, -Ъ]
П+ —а<—Ь<£<—с< 1] К, -с] х [-а, -Ъ]
ш+ —а < £ < — Ь < 1] < —с [-6, х [-а, £]
1У+ —а<£<—Ь<—с< 1] [-6, -с] х [-а, £]
Установим число прообразов внутренних точек областей возможности движения. Для этого исследуем количество решений уравнений Н = /г, Е = / в фиксированной точке (А1, А2) эллипсоида относительно ¿¿1, ¿¿2. Согласно (1) имеем А1 € [—Ь, —с], А2 € [—а,, —&]; заметим также, что при допустимых расположениях корней г/ выражение |А\ — Н\\ — / неположительно, а коэффициент при неотрицателен. Следовательно, при Е ^ Щ уравнение Е = / имеет два решения относительно ¿¿1, отличающиеся знаком,
или одно нулевое, если А1 = £ или А1 = г).
Рассуждая аналогично и используя тот факт, что в уравнении II = /г коэффициенты при и 1^2 неотрицательны, находим количество решений ¿¿2. Окончательный ответ: если точка лежит на границе области возможного движения (при данных значениях интегралов), то в нее проектируются две допустимые скорости точки интегрального многообразия, во внутреннюю точку проектируются четыре допустимые скорости. Следовательно, в области интегральное многообразно состоит из четырех торов, в областях 11+, 111+ И 1У+ из двух торов.
4. Критические движения. Описание критических движений будет вы-Рис. 2. Области на эллипсоиде, в которых может полнено, если рассмотреть равенство /• =
двигаться точка у на каЖдОМ указанном на рис. 1, б участ-
ке разделяющих) множества и найти эллиптические координаты, задающие траекторию. Так, например, для участка рд разделяющих) множества имеем
ка2
2(а + А2)(5 + А2)(с + А2) 2 к 2 --+ 2 Л2 ~ /гЛ2
+ а /г.
Отсюда находим А2 = —а, что соответствует сечению эллипсоида + ^т = 1. А поскольку полная механическая энергия точки на этом участке не превосходит то движение будет осуществляться по двум дугам этого сечения.
Похожим образом исследуются остальные участки разделяющих) множества. Приведем описание всех критических движений:
участок рд: Е € , движение но двум дугам сечения А2 = —а,;
участок дг\ Е ^ Щ, движение но сечению А2 = —а, точка совершает полный оборот;
участок ри: движение но двум дугам сечения А1 = —6;
участок ит: движение но сечению А1 = —с, точка совершает полный оборот; участок ш>: движение но сечениям А1 = точка совершает полный оборот; участок и в: движения в области —Ъ ^ А1 ^ критические окружности {—Ъ ^ \\ ^ П {у = 0} участок 81У. движения в области ^ ^ Х\ ^ —с; критические окружности ^ А1 ^ —с} Р| {г = 0} участок ,вд: движения в области г) ^ А2 ^ —6; критические окружности [г] ^ А2 ^ —Ь} Р| {г = 0} участок движения но всему эллипсоиду; критические окружности {у = 0}. Прообразом окружности на эллипсоиде являются две окружности в СЦ3, отличающиеся направлением движения; прообразом дуги на эллипсоиде является одна окружность в С}3, так как в концах дуги имеется одна допустимая скорость (нулевая), а во внутренних точках дуги две допустимые скорости. Следовательно, прообраз точек участка ш> бифуркационной диаграммы четыре критические окружности, прообраз точек участков рд, дг, ри, ит две критические окружности, а прообраз точек остальных участков 3-атомы, каждый с двумя критическими окружностями.
5. Грубые молекулы. Число торов Лиувилля внутри каждой камеры известно. Чтобы построить грубую молекулу, осталось определить топологический тин бифуркаций, отвечающих участкам разделяющих) множества. Для этого снова воспользуемся понятием допустимой скорости.
Утверждение 2. Особый уровень интегралов, соответствующий участку диаграммы гомеоморфен особому слою 3-атома С2.
Доказательство. Рассмотрим расслоение области на "гиперболические кольца", задаваемые уравнениями А2 = <,\ В каждой точке такого кольца, за исключением лежащих в плоскости у = 0, имеются четыре допустимые скорости, а в указанных точках две (рис. 3,а). Очевидно, что окружность с таким набором векторов скорости гомеоморф-на двум экземплярам особого слоя плоского атома С2. При этом гиперболическими кольцами будет покрыта вся поверхность эллипсоида, за
исклю чением отрезков
/ъ /1 и [/2
Рис. 3. Область возможного движения, отвечающая участку я! разделяющего множества (а): пунктиром обозначено одно из гиперболических колец, сплошной линией критическая траектория, стрелками допустимые скорости: круговая молекула в положениях неустойчивого равновесия (б): числа на ребрах молекулы /'-метки
/2 • В прообразе омбилических точек /¿, лежит окружность допустимых скоростей, а в прообразе
каждой точки интервалов /¿^ две допустимые скорости. Соединяя две окружности (соответствующие омбилическим точкам) двумя отрезками, снова получаем особый слой плоского атома С2. Следовательно, особый слой на этом уровне интеграла гомеоморфен особому слою 3-атома С2.
Утверждение 3. Особый уровень интегралов, соответствующий участку диаграммы ия, го-меоморфеи особому слою двух 3-атомов В.
Доказательство. Рассмотрим расслоение области на софокуеные гиперболы. В точках этих гипербол, лежащих на отрезке [/1, /2], а также в точках на границе области имеются две допустимые скорости; в остальных точках этой гиперболы четыре, что дает два экземпляра особого слоя плоского атома В (здесь применяем те же рассуждения, что и в доказательстве утверждения 2). Прообраз каждого фокуса гомеоморфен окружности, а прообраз отрезка от фокуса до границы области есть отрезок, склеенный с окружностью в двух точках. Легко видеть, что такое множество гомеоморфно "восьмерке". Следовательно, полный прообраз каждой из двух связных компонент критического уровня интегралов есть "восьмерка", умноженная на окружность, т.е. особый слой 3-атома В.
Точно так же выполняется исследование всех остальных перестроек торов Лиувилля. В результате получаем следующий список бифуркаций: участок st атом С2; участок sq атом С2; участок sv два атома В; участок us два атома В.
Зная топологический тин интегральных многообразий и их бифуркации, строим изоэнергети-ческую грубую молекулу. При разных значениях h молекулы будут отличаться. Перестройки интегральных поверхностей: h € (-■§((?, + &), -§(а +с)): 2S*1 - 2Т2 - 2S*1; h € (—|(а, + с), -kb): 2S1 - 2Т2 - 3-атомС2 -2Т2 -2S1; h € {-kb, -|(6 + с)): 4S*1 - 2 3-атомаВ - 2Т2 - 3-атомС2 -2S1; h € (-§(& +с), -fcc): 4S*1 - 2 3-атома В - 2Т2 - 3-атомС2 -2S1; h € (-fcc, +00): 2S*1 - 2Т2 - 3-атом С2 - 2Т2 - 251. Непосредственно из этого описания находятся грубые молекулы.
6. Числовые метки г, е, п. Описание перестроек торов Лиувилля в изоэнергетичееком многообразии определяет его тонолох'ию с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности. Слоение Лиувилля будет полностью описано, если установить, как склеиваются граничные торы атомов. Для этого на двух склеиваемых граничных торах выбираются допустимые базисы (А, ¡л), (А', ¡л'), матрица перехода между которыми задает склейку двух торов в один слой слоения Лиувилля. Эта
матрица склейки целочисленная и имеет вид
Правила выбора базисных циклов на торах Лиувилля и вычисления меток но матрицам склейки описаны в [3].
В исследуемой задаче проекции торов Лиувилля на эллипсоид имеют простой вид, поэтому циклы на граничных торах атомов также можно указывать явно. Для случая h € (—|(a, + b), —|(а + с)) базисные циклы изображены на рис. 4.
Так же вычисляются остальные изо-энергетические молекулы (табл. 1). Теорема доказана.
Замечание 2. При к —>■ 0+ уменьшаются и исчезают все камеры, кроме / /1 и IV-\-, при этом остается лишь одна молекула 5 (см. табл. 1). Полученная система, как и следовало ожидать, моделирует геодезический поток на эллипсоиде (а также случай Эйлера с нулевой константой площадей [3]). Такая же картина наблюдается и при к —>■ 0—, что подтверждает правильность проделанных вычислений.
Замечание 3. Все обнаруженные в задаче грубые молекулы и некоторые меченые молекулы встречались ранее в интегрируемых случаях динамики твердого тела. Так, меченые молекулы 1, 2 и 5 (табл. 1) соответствуют изоэнергетическим молекулам случая Эйлера с ненулевой константой площадей; случай Клебша с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности моделируется обнаруженными молекулами, за исключением А А с бесконечной г-меткой; молекулы 3, 4 грубо лнувиллево эквивалентны одному из случаев динамики четырехмерного твердого тела [3].
Замечание 4. Рассмотрим положения неустойчивого равновесия 0, 0) при к > 0. Непо-
средственно проверяется, что на бифуркационной диаграмме им соответствует точка ранга 0, следовательно, определена круговая молекула этой невырожденной особенности (рис. 3,6). Проведя такие же вычисления, как и при подсчете изоэнергетических молекул, получаем круговую молекулу особенности типа седло седло с двумя особыми точками. Эта особенность была предсказана теоретически в [2|. То же имеет место при к < 0 в положениях неустой чивого равновесия (0, 0,
а б
Рис. 4. Примеры выбора базисных циклов: а на граничных торах атомов участка дг, камера б на граничных торах атома Со участка st, камера 1У+: в на граничных торах атома Со участка st, камера 11+: г на граничных торах атомов участка ит, камера 11+
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи, А. А. Ошемкову и С. С. Никол аенко за ценные обсуждения и комментарии.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №17-11-01303).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Якоби К. Лекции по динамике / Пер. с нем. М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит-ры, 1936.
2. Козлов В.В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде // Прикл. матем. и мехап. 1995. 59, вып. 1. 3-9.
3. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
4. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075 (Fomenko А. Т. Morse theory of integrable Hamiltonian systems // Soviet Math. Dokl. 1986. 33, N 2. 502-506).
5. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307 (Fomenko А. Т. The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability // Math. USSR Izvestiya. 1987. 29, N 3. 629-658).
6. Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике // Докл. АН СССР. 1987. 294, № 2. 283-287 (Fomenko А. Т., Zieschang Н. On the topology of the three-dimensional manifolds arising in Hamiltonian mechanics // Soviet Math. Dokl. 1987. 35, N 2. 520-534).
7. Кудрявцева E.A., Фоменко А. Т. Любая конечная группа является группой симметрий некоторой карты ("атома'-бифуркации) // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. 67, № 3. 21-29 (Fomenko А.Т., Kudryavtseva Е.А. Each finite group is a symmetry group of some map ("atom"-bifurcation) // Moscow Univ. Math. Bull. 2013. 68, N 3. 148-155).
8. Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динамика. 2010. 6, № 4. 769-805.
9. Николаенко С. С. Топологическая классификация интегрируемого случая Горячева в динамике твердого тела // Матем. сб. 2015. 207, № 1. 123-150.
10. Fomenko А. Т., Nikolaenko S.S. The Chaplygin case in dynamics of a rigid body in fluid is orbitally equivalent to the Euler case in rigid body dynamics and to the Jacobi problem about geodesies on the ellipsoid //J. Geom. and Phys. 2015. 87. 115-133.
Поступила в редакцию 27.09.2017
УДК 515.162
ВЫСОТНЫЕ ЧАСТИЧНО СИММЕТРИЧНЫЕ АТОМЫ
В. А. Трифонова1
Получена частичная классификация высотных атомов с транзитивной на кольцах одного цвета группой симметрий. Предъявлено 9 бесконечных серий и 19 особых случаев.
Ключевые слова: атом, симметрии атомов, высотный атом.
We present a partial classification of vertical atoms whose symmetry groups act transitively on the rings of the atoms. A total of 9 infinite series and 19 special cases are described.
Key words: atom, symmetries of atoms, vertical atom.
1. Введение. Понятие атома, появившееся в задачах качественного анализа и классификации динамических систем, находит применение в самых разных разделах современной комбинаторики и маломерной топологии, теории узлов [1-4]. Понятие атома для целей гамильтоновой и симплек-тической геометрии и топологии было введено А. Т. Фоменко [3] и использовалось для лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем в работе [4].
1 Трифонова Виктория Александровна — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: trifonovaviktoriya2012Qyandex.ru.
