Тонкая лиувиллева классификация интегрируемого случая Ковалевской-Яхьи Текст научной статьи по специальности «Математика»

6. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем. Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2003.

7. Пидкуйко С.И., Степин А.М. Полиноминальные интегралы гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1978. 239, № 1. 50-53.

Поступила в редакцию 11.09.2006

УДК 515.1+521

ТОНКАЯ ЛИУВИЛЛЕВА КЛАССИФИКАЦИЯ ИНТЕГРИРУЕМОГО СЛУЧАЯ

КОВАЛЕВСКОЙ—ЯХЬИ

П. В. Морозов

1. Постановка задачи. Случай интегрируемости Ковалевской—Яхьи является обобщением классического волчка Ковалевской на случай задачи о движении тяжелого гиростата. Приведем конкретный вид уравнений и первых интегралов этой системы.

Рассмотрим алгебру Ли е(3) группы Ли Е(3) движений трехмерного евклидова пространства. На линейном пространстве е(3)* определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций / и 9:

{/,9}(х) = х([йх/,йх9\),

где х € е(3)*, а [ , ] — коммутатор в алгебре Ли е(3).

В канонических координатах (в1,в2,вз,т ,Г2,Гз) на линейном пространстве е(3)* эта скобка записывается следующим образом: {si,sj} = е^иви, {тi,Sj} = е^итк, {т%,ту} = 0, где 1 < г,^,к < 3, е^и = \{г-т~к){к-г).

Пусть на е(3)* задана некоторая функция Гамильтона Н(в,т). Рассмотрим систему уравнений

Si = {в^Н},п = {П ,Н}. (1)

Функции /1 = т\ + т| + т2 и /2 = в1т1 + в2т2 + взтз лежат в ядре скобки Ли-Пуассона и поэтому являются первыми интегралами уравнений (1). Далее, если существует функционально независимая с гамильтонианом функция Е(в,т), такая, что {Н,Е} = 0, то на совместных четырехмерных поверхностях уровня функций /1 и /2

М4 = {/1 = т2 + т2 + т2 = 1, /2 = в!П + в2т2 + взтз = 9}

ограничение системы (1) задает интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы. Параметр 9 имеет физический смысл постоянной площадей. Симплектическая структура задается ограничением скобки Ли-Пуассона из объемлющего пространства е(3)*.

Рассмотрим следующее обобщение приведенного гамильтониана Ковалевской:

4 4 2

Как впервые указал Х. М. Яхья [1, 2], для него существует дополнительный интеграл четвертой степени

(2 2 \ 2 2 \

^ + +(^ + -2) -|(вз + 2Л)(в? + в|) + 2Лв1гз.

Здесь Л — величина постоянного гиростатического момента, направленного по условию вдоль оси динамической симметрии волчка. При Л = 0 получаем классический случай Ковалевской. Уравнения системы (1) в координатах записываются в виде

¿1 = -1(5з + 2А), П = ^Р-г2(53 + А),

¿2 = ^(5з + 2Л) + Г3, г2 = -^ + Г1(83 + Х), (2)

¿3 = -Г2, Н = ^ -

Итак, на всяком четырехмерном симплектическом многообразии Ы£ для заданного значения Л мы получаем интегрируемую гамильтонову систему с двумя степенями свободы, задаваемую парой (Н\,Р\). По теореме Лиувилля всякая неособая компактная совместная поверхность уровня интегралов является объединением некоторого числа двумерных торов.

Определение 1. Слоением Лиувилля, отвечающим интегрируемой системе, называется разбиение многообразия Ы4 на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов Н и ^.

Определение 2. Две интегрируемые гамильтоновы системы на Ы4 и Ы'4 называются лиувиллево эквивалентными, если существует диффеоморфизм Ф : Ы — Ы', переводящий лиувиллево слоение первой системы в лиувиллево слоение второй системы.

Аналогичным образом определяется лиувиллева эквивалентность на отдельных изоэнергетических поверхностях Q'h = {х € Ы4\Н(х) = К] системы.

Теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, построенная А. Т. Фоменко, А. В. Болсиновым и Х. Цишангом, дает полный инвариант лиувиллевых слоений на изоэнергетических поверхностях, называемый меченой молекулой или инвариантом Фоменко-Цишанга. Подробное изложение данной теории можно найти в [3].

В настоящей работе при помощи метода круговых молекул [4] вычислены все инварианты Фоменко-Цишанга системы Ковалевской-Яхьи при д = 0 (теорема 3). Всего обнаружено 10 неизоморфных типов слоений. Также получено описание всех круговых молекул (теоремы 1, 2) и дана классификация невырожденных положений равновесия системы (теорема 1).

2. Бифуркационные диаграммы, семейства торов и их перестройки. Изложим результаты работы [5], которые потребуются нам в дальнейшем, а также введем некоторые необходимые понятия и обозначения.

Рис. 1. Бифуркационные диаграммы случая Ковалевской-Яхьи при д = 0

Рассмотрим отображение момента 5, которое определяется следующим образом:

5 : Ы4 - М2(М), 5 : x - (¥(x),H(x)).

Образ критических точек при отображении момента называется бифуркационной диаграммой. Для системы Ковалевской-Яхьи в [5] найден явный вид кривых бифуркационной диаграммы при всех значениях параметров. В рассматриваемом нами случае д = 0 следует различать пять типов диаграмм (рис. 1):

a) Л = 0,

b) 0 < Л2 < 1,

c)

d)

А<Л2<2'

Л2 > 2.

1 <Л2 <

Зл/З'

Гладкие дуги бифуркационных диаграмм обозначены малыми греческими буквами с индексами. В их прообразах лежат боттовские (т.е. общего положения) перестройки торов Лиувилля, которые описываются 3-атомами [3]. Типы 3-атомов, соответствующих кривым, следующие:

A: а1,а2,а4,а5,а6,ад,а1о,an,ai2; B : вг, в2,вз,вв;

2A: а3,а7,а8; 2B : в4;

A* : 81,82; C2 : 7-

Регулярные точки отображения момента на R2 (f, h) являются образами некоторого количества несвязных торов Лиувилля. Их число для каждой области также найдено в [5]. Эти торы естественным образом разбиваются на семейства. К одному семейству будем относить торы, которые испытывают одинаковые бифуркации на границах области регулярности. Семейства торов Лиувилля мы обозначили римскими цифрами I—VII (табл. 1).

Таблица 1

Семейство I II III IV V VI VII

Число торов 1 2 1 1 1 1 2

Интересующие нас изоэнергетические поверхности ^^ лежат в прообразах сечений бифуркационных диаграмм горизонтальными прямыми A, ..., 3 Установлено, что они имеют следующие топологические типы: А, В, С, F — тип §3; D, Е, G — тип МР3; Н — тип (81 х §2)Ц(§1 х §2); I, 3 — тип 81 х §2.

Несложно заметить, что представленной информации достаточно для того, чтобы найти так называемые грубые инварианты слоений Лиувилля на этих поверхностях, т.е. базу слоения — граф с указанными типами перестроек торов. После этого для получения инвариантов Фоменко-Цишанга нам остается найти числовые метки этих молекул.

3. Классификация невырожденных положений равновесия. Точки Ы, N, Р, Q, К, Ь и х^ на рис. 1 являются особыми точками бифуркационной диаграммы. Они образованы точками пересечения, касания и возврата гладких кривых.

Рассмотрим произвольную особую точку. Опишем вокруг нее малую окружность. В ее прообразе имеется некоторое трехмерное многообразие, оснащенное слоением Лиувилля. Инвариант Фоменко-Цишанга этого слоения называют круговой молекулой данной особенности.

В прообразах точек Ы, N, Р, Q, К, Ь бифуркационной диаграммы лежат точки, в которых ранг отображения момента падает до нуля. Это так называемые точки положения равновесия динамической системы. Их невырожденность понимается в смысле картановости подалгебры, натянутой на операторы Ан = 0--1(12Н и Ар = ^-1(2¥ в алгебре Ли вр(4, М). Для проверки невырожденности необходимо убедиться, что подалгебра двумерна и что среди ее элементов есть оператор с попарно различными собственными значениями. В зависимости от того, какие это собственные значения, точка положения равновесия будет относиться к одному из четырех типов: центр-центр, седло-центр, седло-седло или фокус-фокус.

Отметим, что операторы Ан и Ар совпадают с линеаризациями векторных полей sgradH и sgrad¥ соответственно, что дает удобный способ их вычисления.

Слоения Лиувилля вблизи особых слоев, содержащих невырожденные положения равновесия, полностью изучены. В частности, доказано, что окрестности таких слоев представимы в виде почти прямого произведения 2-атомов [3].

Вернемся к случаю Ковалевской-Яхьи.

Теорема 1. В случае Ковалевской-Яхъи при д = 0 и некритических значениях А2 ^ |0,1,

точки бифуркационной диаграммы Ы, N, Р, Q, Я и Ь соответствуют невырожденным положениям, равновесия. Их типы и представления в виде почти прямого (п/п) произведения указаны в табл. 2. Круговые молекулы этих особенностей приведены на рис. 2. Других критических точек у гамильтониана нет.

Доказательство. Условие \м4(х) =0 ^ sgradИ(х) = 0 есть условие обнуления правой части уравнений (2). Находя таким образом координаты критических точек гамильтониана, подстановкой убеждаемся, что в них sgradF(х) = 0. В табл. 3 указаны координаты всех точек положения равновесия системы.

Для проверки невырожденности найденных точек положений равновесия и определения их типов необходимо рассмотреть линеаризацию векторного потока (2) на е(3)*. Дифференцируя правые части уравнений, получаем матрицу оператора ЛН. Далее точки Ы, N, Р, Q, Я и Ь исследуются поочередно. Выбирая (в2, вз,Г2, гз) в качестве локальных координат в окрестности Ы, рассматриваем касательное пространство Тм = ТмЫ£ и вычис-

/00 0 Л2 + 2\

ляем Лн = Л6Н\тм: 2ЛЯ = ' 00 2 0

Таблица 2

Точка Тип П/п произведение

М центр-центр А х А

К центр-центр 2(А х А)

Я седло-центр Ах В

ь седло-центр 2(А х В)

N седло-седло (В х С2)/Ъ2

Р седло-седло ВхВ

02 0 \10 0

0 0

/

Собственные значения данного оператора ±2г, ±(л/Л2 + 2)г являются попарно различными при Л2 ф 2 и чисто мнимыми, значит, исследуемая точка положения равновесия невырождена и имеет тип центр-центр. Остается убедиться в линейной независимости операторов Лн\м4 и Лр\м4.

Далее аналогичные рассуждения необходимо провести для остальных точек положения равновесия.

После этого, зная бифуркационную диаграмму и типы 3-атомов, из таблиц малой сложности [2] находим представления в виде почти прямого произведения и круговые молекулы. Теорема доказана.

Таблица 3

Точка Условия существования Количество точек Координаты

М Л е М 1 (0,0,-Л, 1,0,0)

Л е М 1 (0,0,-Л,-1,0,0)

к \2 ^ 8 А > НТз 2 (х,0,у, Л—,0, *—V у у/х2+у2 Л^х2+у-2 у где —у(у + 2Л)3 = 4, у2 £ (0,^), х = ±Л/-2у(у + X)

ь А<Л2<2 2 ( ' л/^+у21 ' л/х2+У2)' где —у(у + 2Л)3 = 4 , у2 е Л2), х = ±^-2у(у + X)

4. Круговые молекулы вырожденных одномерных орбит. Точки возрата и касания (г = 1,..., 7) бифуркационной диаграммы представляют другой распространенный класс особенностей. В некоторой их окрестности гамильтонов поток V = sgradH = 0, но в критическая окружность теряет свойство боттовости [3]. Возьмем это за определение вырожденных одномерных орбит. Полной классификации указанных особенностей на сегодняшний день не существует, однако некоторые их общие свойства позволят нам полностью описать круговые слоения для исследуемой системы.

В предположении, что все объекты вещественно-аналитические, верно

Предложение 1 [6]. На ребрах, соединяющих два седловых атома круговой молекулы вырожденной одномерной орбиты, метки г равны ж. На ребрах, соединяющих атом Л о седловым, метки г конечны. Все метки е равны +1.

Теорема 2. Круговые молекулы особых точек (г = 1,..., 7), а также топологические типы соответствующих круговых многообразий приведены на рис. 2.

Доказательство. Найдем топологические типы круговых многообразий вырожденных одномерных орбит.

4 1

Рис. 3. Определение типа кругового многообразия вырожденной одномерной орбиты

Рассмотрим точку Z3. Заметим, что в действительности ей отвечают две несвязные особенности, которые спроецированы в одну точку бифуркационной диаграммы отображением момента. Этим объясняется наличие для нее двух круговых. Рассмотрим особенность, отвечающую молекуле A—A*—A. Ее бифуркационная диаграмма изображена на рис. 3. Выполним деформацию контура ABC0D0 в ABC\D\. При этом топологический тип многообразия в прообразе контура не изменится: прообраз отрезка CD определяется в M4 уравнением H = const, а из теоремы 1 нам известно, что критических точек H в окрестности Z3 нет. Остальные звенья контура испытывают гладкую изотопию, не встречая точек бифуркаций. Контур ABC0D0 определяет круговую молекулу неособой точки бифуркационной диаграммы — 3-атома A. Такие круговые многообразия полностью описаны в [3]. Приведем их топологические типы для основных 3-атомов: A — тип S1 х S2, B — тип S1 х (S2 + 2g), C2 — тип S1 х (S2+3g), регулярная точка — тип T3, A* — тип H3 (расслоение Зейферта со слоем типа окружность и базой T2 с двумя особыми точками типа (2,1)). Таким образом, круговое многообразие рассмотренной особенности точки Z3, лежащее в прообразе контура ABC1D1, топологически есть S1 х S2. Остальные точки Zi рассматриваются аналогично.

С учетом предложения 1 нам уже известны все метки молекул Zi, кроме меток r на ребрах, ведущих в атомы A.

Рис. 4. Допустимые системы координат 3-атомов

Рассмотрим ребро круговой молекулы точки Х1, соединяющее бифуркации в1 и а2. Из круговой молекулы точки Р имеем г(в1 —вз) = 0, а из точки Q имеем г(вз—®2) = то. Следовательно, по правилу сложения меток [3] г(в1—®2) = 0. Аналогичные рассуждения позволяют вычислить недостающие метки молекул точек х1, х5 и хб.

Точка Х7 наблюдается только при Л = 0 и относится к классическому случаю Ковалевской. Ее круговая молекула указана в [4].

Недостающие метки молекул точек Х2, Х3 и Х4 вычисляются применением формулы Топалова к их круговым многообразиям. Формула Топалова [3, 7] устанавливает связь между метками молекулы и топологией несущего многообразия. Теорема доказана.

5. Построение допустимых систем координат. На рис. 4 указаны допустимые системы координат [3] всех 3-атомов случая Ковалевской-Яхьи при д = 0. Однозначно определенный цикл бифуркации * обозначается через Л*.

Допустимые системы координат атомов в2, 7, ¿1 и ¿2 получаем из представления (В х Сг)/^ особенности точки N при помощи процедуры, описанной в [4, 6, 8]. Аналогичное рассмотрение особенности В х В точки Р дает ответ для 3-атомов в1, вз, в4, вб и вб. Допустимые системы координат атомов А выбираются исходя из круговых молекул точек х^.

6. Определение взаимного положения базисных циклов. Определим взаимное положения циклов Л* на каждом из семейств торов. Так как допустимые системы координат атомов нам известны, это позволит нам вычислить матрицы склеек молекул А, ..., Я, а по ним — метки этих молекул.

Для этого проанализируем информацию о круговых молекулах и допустимых системах координат. Как известно [3], метка г на ребре определяет беззнаковый индекс пересечения первых базисных циклов бифуркаций, соединяемых этим ребром: если г = то, циклы гомологичны; г = 0 соответствует индексу пересечения 1, г = 1/2 — индексу 2. С другой стороны, допустимые базисы, относящиеся к положительным и отрицательным (по направлению роста ¥) границам атомов, должны иметь разную ориентацию.

Рассматривая поочередно семейства 1-УП, каждый раз убеждаемся, что перечисленные условия определяют взаимное положение циклов Л* однозначно. Результат изображен на рис. 5 в виде векторов на целочисленной решетке тора.

Рис. 5. Взаимное расположение базисных циклов на торах семейств: а — семейство I, Ь — семейство II, с — семейство III, ( — семейство IV, е — семейство V, ] — семейство VI, д — семейство VII

Сформулируем итоговый результат в виде теоремы.

Теорема 3. Полный список инвариантов Фоменко-Цишанга для случая интегрируемости Ковалевской-Яхьи при д = 0 приведен на рис. 6. В зависимости от значений гиростатического параметра Л и уровня энергии обнаруживается 10 неэквивалентных слоений Лиувилля.

А г = 0 A £ = 1 А в г = 0 е=1 /Л г = 0 ^^ с — 1 /** v/ л-i я Г п=1 е = ]

С г = 0 г = 0 . о е=1 у А Í в )-Í В Г у' \ ш ^ f ^ 'N. п=1 п = 2 ^ч. е=1 е=1 D tí = -1 г = 0 т-=0 . А-—ÍA*Í45—1 г — 0 N. I«*' i С*2 L д е = 1 г лДХг^Й г = о"\ А л \л/е=-1 е=яХ п='-]

Е 7J(> г = о А /f=о т=о^А е=1 е = 1 F г= оо «-i /В—~—л г = 0 X г = ° л-: в : 71= 1 \ л т- = оо \ л Е= I Л

G г = 0 е=1 е=-1у\ В I _ _ л А г = о / 4--г г , л-; в i п = 0 г=в — 4 » * 'V н г = оо Е = 1 -Л Г = 0 // Г=°° А-Í В 1 4 - -' Г — ОС п— 1 г = А

I г = 0 г=0 e=-i5 Í——л г = 0 / г = 0 е = 1 /-ч/ » = 0 в~1 л ; в ; '^ч. 71 = 0 г = 0 71 = — 1 X, , ;=° 15 — 4 , , ' g5= 1 J г = оо е = 1 г = 0 ^^ л 6=1 В^ Г = ОО ^ Л е = 1

Рис. 6. Изоэнергетические молекулы случая Ковалевской-Яхьи при g = 0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yehia H.M. New integrable cases in dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Com. 1986. 13, N 3. 169-172.

2. Яхья Х.М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1987. № 4. 88-90.

3. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия. Топология. Классификация. Ижевск: Изд-во Удмурт. ун-та, 1999.

4. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.

5. Харламов М.П., Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. 2, № 2. 25-40.

6. Морозов П.В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа // Матем. сб. 2004. 195, № 3. 69-114.

7. Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела // Матем. сб. 1996. 187, № 3. 143-160.

8. Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша // Матем. сб. 2002. 193, № 10. 113-138.

Поступила в редакцию 12.10.2006

УДК 517.955.8

О ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ ТОНКОГО НЕОДНОРОДНОГО СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА

КЕЛЬВИНА-ФОИГХТА

А. А. Егорова

В работе строится полное асимптотическое разложение трехмерной задачи теории линейной вяз-коупругости, определенной в области, представляющей собой тонкий неоднородный стержень (диаметр сечения стержня и характерный размер неоднородности — малые параметры одного порядка). Подобные вопросы для задачи теории упругости рассмотрены в [1, 2]. Цель настоящей работы состоит в выводе усредненных уравнений продольных, крутильных и поперечных колебаний стержня (для функций, зависящих только от одного пространственного переменного). Показывается, что эти уравнения содержат интегральные члены типа свертки.

Рассматривается система уравнений движения неоднородной линейной вязкоупругой среды

/ x \ д2u д ( i x \ du \ д ( / x \ d^u \

L-us (;) w + ш; (<* ü wj + Ü шг,)s(1)

где x Е U£ = R х ߣ, ße = {x\x/e E ß}, ß — двумерная ограниченная область с кусочно-гладкой границей, с граничным условием

du ( ди д2 u \

- . {^х/е) — + AUx/e)^ j |We = 0, (2)

с условием Т-периодичности u(t, x) по xi и начальными условиями

u\i=o = 0 , ui\i=o = 0. (3)

По повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3. В (1)—(3) вектор u(t,x) трехмерный; Т — число порядка 1; е = Т/n, n — натуральное число; (ni,n2, Пз) — внешняя нормаль к дß; Am(£) —

матрицы порядка 3 х 3 с элементами almjkl(£), i = 0,1, удовлетворяющими условиям

a%mj(i) = a%km\i) = ajm(i), i = 0, 1;

для каждого г = 0,1 существует число Кг > 0, такое, что для любой симметричной матрицы вкт выполнено неравенство а^^в^ет ^ ат1(0, р(0 суть 1-периодические по £1 функции, бесконечно дифференцируемые всюду вне совокупности £ гладких непересекающихся поверхностей £; £ П д@ = 0; ат(£), р Е Свплоть до £, а на £ коэффициенты терпят разрыв I рода. На поверхности разрыва коэффициентов системы (1) заданы естественные условия сопряжения

[u] = 0,

где (п!,п^,пЗз) — вектор нормали к поверхности разрыва.