CC BY
32
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 2.
УДК 514.7+514.8 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-244-265
Бифуркации интегрируемых механических систем с магнитным полем на поверхностях вращения1
Е. А. Кудрявцева, А. А. Ошемков
Е. А. Кудрявцева — доктор физико-математических наук, профессор, механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова e-mail: [email protected]
А. А. Ошемков — доктор физико-математических наук, профессор, механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: [email protected]
Аннотация
На поверхности, гомеоморфной 2-мерной сфере, изучается натуральная механическая система с магнитным полем, инвариантная относительно ¿^-действия. Для особых точек ранга 0 отображения момента получен критерий невырожденности, определен тип невырожденных особых точек (центр-центр и фокус-фокус), описаны бифуркации типичных вырожденных особых точек (интегрируемая гамильтонова бифуркация Хопфа двух типов). Для семейств особых окружностей ранга 1 отображения момента (состоящих из относительных положений равновесия системы) получено их параметрическое задание, доказан критерий невырожденности, определен тип невырожденных (эллиптические и гиперболические) и типичных вырожденных (параболические) особых окружностей. Получено параметрическое задание бифуркационной диаграммы отображения момента. Описаны геометрические свойства бифуркационной диаграммы и бифуркационного комплекса в случае, когда задающие систему функции находятся в общем положении. Определена топология неособых изоэнергетических 3-мерных многообразий, описана топология слоения Лиувилля на них с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности (в терминах атомов и молекул Фоменко). Описаны "расщепляющиеся" гиперболические особенности ранга 1, являющиеся топологически неустойчивыми бифуркациями слоения Лиувилля.
Ключевые слова: интегрируемая система, слоение Лиувилля, бифуркационная диаграмма, поверхность вращения, магнитное поле.
Библиография: 10 названий. Для цитирования:
Е. А. Кудрявцева, А. А. Ошемков. Бифуркации интегрируемых механических систем с магнитным полем на поверхностях вращения // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 2, с. 244-265.
1Работа выполнена при поддержке Российского Научного Фонда (проект 17-11-01303).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 2.
UDC 514.7+514.8 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-2-244-265
Bifurcations of integrable mechanical systems with magnetic field on surfaces of revolution
E. A. Kudrvavtseva, A. A. Oshemkov
E. A. Kudryavtseva — Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: [email protected]
A. A. Oshemkov — Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (Moscow). e-mail: [email protected]
Abstract
On a surface homeomorphic to 2-sphere, we study a natural mechanical system with a magnetic field that is invariant under the S^-action. For singular points of rank 0 of the momentum mapping, a criterion for non-degeneracy is obtained, the type of non-degenerate singular points (center-center and focus-focus) is determined, bifurcations of typical degenerate singular points are described (integrable Hamiltonian Hopf bifurcation of two types). For families of singular circles of rank 1 of the momentum mapping (consisting of relative equilibriums of the system) their parametric representation is obtained, nondegeneracy criterion is proved, the type of nondegenerate (elliptic and hyperbolic) and typical degenerate (parabolic) singular circles is determined. The parametric representation of the bifurcation diagram of the momentum mapping is obtained. Geometric properties of the bifurcation diagram and the bifurcation complex are described in the case when the functions defining the system are in general position. The topology of nonsingular isoenergy 3-dimensional manifolds is determined, the topology of the Liouville foliation on them is described up to the rough Liouville equivalence (in terms of Fomenko's atoms and molecules). The "splitting" hyperbolic singularities of rank 1 are described, which are topologically unstable bifurcations of the Liouville foliation.
Keywords: integrable system, Liouville foliation, bifurcation diagram, surface of revolution, magnetic field.
Bibliography: 10 titles. For citation:
E. A. Kudryavtseva, A. A. Oshemkov, 2020, "Bifurcations of integrable mechanical systems with magnetic field on surfaces of revolution" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 2, pp. 244-265.
Посвящается академику РАН Анатолию Тимофеевичу Фоменко в связи с его 75-летием
1. Введение
Натуральная механическая система с магнитным полем на римановом многообразии (М,д) — это гамильтонова система на Т*М, задаваемая функцией Гамильтона Н и симплек-тической структурой ш, где
Н = 19ijPiPj + V, ш = dpi Л dqi +
q — локальные координаты на М, р — сопряженные им импульсы, V = V(q) — гладкая функция на М (называемая потенциалом), дгз = дгз (q) — матрица, обратная к матрице метрики д, Р _ ГЛадкая (замкнутая) 2-форма на М (называемая магнитным полем), ж : Т*М ^ М — естественная проекция. Такая система описывает движение заряженной частицы в электромагнитном поле на римановом многообразии (М,д), где электрическое поле задается потенциалом У, а магнитное поле — 2-формой fi.
Пусть (М, д) является замкнутым двумерным многообразием вращения, т. е. метрика д инвариантна относительно эффективного гладкого S ^действия на М. Тогда М гомеоморф-но сфере, тору, проективной плоскости или бутылке Клейна. Далее в этой работе мы будем считать, что М гомеоморфно сфере.
Пусть N,S £ М — неподвижные точки S^действия (северный и южный полюсы). Тогда в некоторых ("сферических") координатах г, р на М \ {N, S} метрика имеет вид
ds2 = dr2 + f 2(r)dp2, (r,p) £ (0,L) x S1, (1)
где f : (0, L) ^ R — некоторая положительная функция, и индуцированное S^действие на Т *М имеет в ид (pr ,р^, г, р) ^ (pr ,pv, r,p + t), t £ S1 = R/2^Z.
Предположим, что потенциал и магнитное поле тоже S^инвариантны. Тогда на М\{N, 5} они имеют вид
V = U(г), fi = В(г)ш0 = В(r)f (r)dr Л dp = A(r)dr Л dp,
где wo = f (r)dr Л dp — ориентированная форма площади на М, a U (г), В (г), А(г) — гладкие функции на (0,L),
A(r) := j B(r)f (r)dr. В фазовых координатах pr,р^, г, р на Т*(М \ {N, S}) имеем V2 Р2
Н = у + F(r)~~ + U(г), ш = dpr Л dr + dpv Л dp + dA(r) Л dp, где F(г) = 1/f2(г).
Лемма 1. (а) [1, Предложение 4.6 (и)] Метрика (1) продолжается до римановой метрики класса, С^ на М тогда и только тогда, когда f (г) продолжает,ся до С^-функции на [0,L], удовлетворяющей уеловиям f(0) = f(L) = 0 f'(0) = 1 f(L) = —1, а также f (2k)(0) = f (2k)(L) = 0 для каждого целого k ^ 1.
(b) Функция U(г) на, цилиндре М \ {N,S} продолжается до С^-функции на, М тогда и только тогда, когда U (г) продолжается, до С ^-функции на, [0, L], удовлетворяющей условиям и(2k-1)(0) = и(2k-1\b) = 0 для каждого целого k ^ 1.
(c) 2-Форма dA(r) Л dp на, цилиндре М \ {N,S} продолжается до 2-формы fi класса, С^ на М тогда и только тогда, когда А(г) продолжается, до С ^-функции на, [0, L], удовлетворяющей условиям A(2k-1)(0)= A(2k-1)(L) = 0 для каждого целого k ^ 1.
(d) 2-Формa fi на М тонна тогда и только тогда, когда А(0) = A(L). Если А(0) = A(L), то 1-форма (A(r) — А(0))dp на, цилиндре М\{N, S} продолжается до 1-формы а (называемой магнитным потенциалом) класса, С^ на М, удовлетворяющей условию fi = da. □
Далее будем считать, что функции f (г), U(г), А(г) удовлетворяют условиям гладкости (а)-(с) из леммы 1. Индуцированное S^действие на Т*М является гамильтоновым, порожденным функцией
К := pv + А(г),
которая является гладкой на Т*М, будучи суммой двух гладких функций р^ и А(г). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что ш = dpr Л dr + dK Л dp, откуда ш(-, щ) = dK, т. е. sgrad К = щ.
В работе изучается топология слоения Лиувилля рассматриваемой интегрируемой системы. В §2 описаны особые точки ранга 0 отображения момента, получен критерий их невырожденности, определен тип невырожденных точек (предложение 1), описаны бифуркации типичных вырожденных точек (замечание 8). В §3 изучаются особые окружности ранга 1: получено их параметрическое задание, критерий невырожденности, определены типы невырожденных и типичных вырожденных особых окружностей, дано параметрическое задание бифуркационной диаграмм отображения момента (предложение 2 (А)), описаны геометрические свойства бифуркационной диаграммы и бифуркационного комплекса, когда функции F(г), U(г),А(г) находятся в общем положении (предложение 2 (В)). В §4 определена топология неособых изоэнергетических 3-мерных многообразий Q3 системы (предложение 3), описана топология слоения Лиувилля на них с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности (§4.1), доказано несуществование циклов в молекуле (предложение 4), обнаружены "расщепляющиеся" гиперболические особенности ранга 1, известные как топологически неустойчивые бифуркации слоения Лиувилля (замечание 11). В §5 вычислены метки Фоменко-Цишанга на некоторых ребрах молекулы, нужные для вычисления инварианта Фоменко-Цишанга (меченой молекулы) — полного инварианта лиувиллевой эквивалентности систем на Q3.
Случай натуральных механических систем без магнитного поля был изучен в [2], а системы на эллипсоиде вращения с точным магнитным полем — в [3] (случай нулевой постоянной площадей).
2. Особые точки ранга 0 отображения момента
Отображение (Н, К) : Т*М ^ R2 называется отображением момента.
Будем считать, что северный и южный полюсы N, S на М задаются значениями г = 0 и г = L соответственно.
Предложение 1. Точка, (р0, q0) € Т*М является особой точкой ранга 0 отображения момента тогда и только тогда, когда она совпадает с точкой (0,N) или (0,S), где N,S € М северный и южный полюсы. Особая точка (0,N) (соответственно (0, S)) невырождена тогда и только тогда, когда 4U"(0) + А"(0)2 = 0 (соответственно 4U "(L) + A"(L)2 = 0). Если эта, точка, невырождена,, то она, имеет тип центр-центр или фокус-фокус в зависим,ост,и от, того положительно или отрицательно выражение 4U"(0) + А"(0)2 (соответственно 4U''(L) + A"(L)2).
Доказательство. Шаг 1. Докажем, что система на Т*М имеет ровно две особые точки ранга 0: точку (р, q) = (0, N) и точку (р, q) = (0, S).
Особые точки ранга 0 — это фазовые точки (ро,Яо) € Т*М, в которых оба векторных поля sgrad Н и sgrad К равны нулю, т.е. такие точки являются положениями равновесия для обеих гамильтоновых систем, заданных этими полями. Положения равновесия системы v = sgrad К — это неподвижные точки S^действия па Т*М.
Если точка qo не является полюсом, то в симплектических координатах рг, К, г, р дифференциал функции К в фазовой точке (po, go) имеет в ид dK = (0,1, 0, 0) = 0, т. е. такая фазовая точка не является неподвижной для 51-действия.
Пусть теперь точка до является полюсом, соответствующим г = 0, т. е. до = N. Фиксируем произвольный импульс ро £ Т*0 М в этой точке. Так как потенциалы и (г) и А(г) являются гладкими функциями на поверхности вращения М, то в малой окрестности точки (ро, N) £ Т*М над полюсом, где г = 0, имеем
и (г) = Со + у г2 + о(г2), А(г) = а0 + у г2 + o(r2), г ^ 0.
(2)
Рассмотрим в этой окрестности локальные координаты Рх,Ру, х, у, где х = г cos р,у = г sin р — координаты па М в окрестности полюса N, а рх,ру — сопряженные им импульсы. В этих коордипатж симплектическая структура в точке (p0,N) (над полюсом) задается матрицей
П =
0 0 10
0 0 ^ ). Поэтому в окрестности точки (ро ,N) (над полюсом) гамильтониан Н и
0 -1 -а1 0 /
интеграл К принимают вид
Н
Тогда
рХ + р2
У ^ + У /2 2\ т^ ^ + У /2 2\
+ С0 + ci—---+ о(х + у ), К = хру — урх + а0 + ai—---+ о(х + у ).
2
2
гШ = рхйрх + ру йру + с\(хёх + уйу) + 0(х2 + у2),
= —ydpх + хйру + ру ¿х — pхdy + а1 (хйх + уд,у) + 0(ж2 + у2). В частности, в любой точке вида (ро,№) (над полюсом) имеем
гШ = рхйрх + Ру дфу, ёК = Ру йх — Рх4у.
(3)
(4)
Поэтому равенство йК = 0 в точке (ро, N) равносильно системе равенств рх = ру = 0, т. е. равенству ро = 0.
Случай полюса 5 рассматривается анадогично. Получаем, что неподвижные точки 51-действия на Т*М — это в точности точки (0, N) и (0, 5). В обеих этих точках = 0 (в силу
0
0
точки (0, N) (для точки (0,5) все аналогично). Используя (3), вычисляем матрицы вторых дифференциалов в точке (0, Ж):
d2H =
Затем вычисляем матрицы гамильтоновых операторов Ан = Q 1d Н и Ак = Q 1d К. Так
0 ai -10
как Q-1 = ( -а1 0 0 —1 I, получаем
1 0 0 0 0 0 0 —1
0 1 0 0 , d2K = 0 0 1 0
0 0 С1 0 0 1 a1 0
0 0 0 dj V—1 0 0 a1 J
0 0 0
1 0 0
Ан =
0
-а1
1 0
а1 0 0 1
-а о \ о -С1 00 00
Ак =
0 —1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 —1
0 0 1 0
Ясно, что эти матрицы линейно независимы. Поэтому тип особой точки определяется собственными значениями матрицы
/ 0
\АН + р.Ак =
а1Х — р. —с1Х 0 \
—a1X + у 0 0 —c1 X
X 0 0
0 X p. 0
2
Квадраты собственных значений равны 1 (—¡2 — 2с^А2 — (а2А — л)2 ± (2ц — а2А)А^/а2 + 4с2).
Если а\ = 0, то из случая с нулевым магнитным полем [2] получаем, что при с\ = 0 особая точка ранга 0 вырождена, при с\ > 0 невырождена и имеет тип центр-центр, а при с\ < 0 невырождена и имеет тип фокус-фокус.
Если с\ = 0 и а\ = 0, то при А = 0 и л £ {0, а\А, ^2>*А} собственные значения равны ±1 (ах А — л), ±1 ¡л, а значит, особая точка ранга 0 невырождена и имеет тип центр-центр.
Если а2 + 4с 1 > 0 и а\С\ = 0, то при А = 1 и л = 0 собственные значения равны ±г (а\ ± \[а\+~4с\)/2, а значит, особая точка ранга 0 невырождена и имеет тип центр-центр.
Если а2 + 4с1 < 0 и а1 = 0, то при А = 1 и л = 0 собственные значения равны ±( га\ ±\/—а2 — 4с\)/2, а значит, особая точка ранга 0 невырождена и имеет тип фокус-фокус.
В оставшемся случае (с\ = — а2/4 < 0) положим А = 1 и л = а\/2. Тогда все собственные значения оператора ААн + ¡Ак равны 0. Но поскольку сам этот оператор отличен от нуля, то он не диагонализуем над полем С (т. е. не является полупростым и его жорданова форма
0
Заметим, что а\ = А'(0) ш с\ = и"(0). Таким образом, тип невырожденной особой точки ранга 0 (в толю се N определяется знаком числа 4с1 + а2 = 417 ''(0) + А'(0)2. □
Замечание 8. Изучим более подробно случай, когда точка ранга 0 вырождена (с\ = = —а"2/4). Будем считать, что функции Р (г), и (г), А(г) гладко зависят от параметра А £ М,
\ I а1
причем, А = с\ + .
Так как функции ¡(г) и А(г) удовлетворяют условиям из леммы 1 (а)-(с), то они продолжаются до 2 Ь-периодических С ^-функций на всей прям ой, где ¡(г) нечетная, а, А(г) четная. Далее под ¡(г) и А(г) будем понимать тлкие 2Ь-периодические функции.
Проведем рассуждение для точки (0, N) ранга, 0 (для, точки (0, Б) рассуждение аналогично). Представим функцию А(г) в виде А(г) = а0 + г2 А (г). Ясно, что функция А (т) является гладкой и четной в малой окрест,ност,и точки г = 0 на М. Нелинейная, замена локальных координат,
Рх = Рх — А (г)у, ру = ру + А (г)х является регулярной и приводит симплектическую структуру к каноническому виду:
А ( )
ш = йрх Лйх + йру Лйу +--йх Лdy = йрх Лйх + йру Л йу.
Эта замена приводит, 2ц-периодический первый интеграл, К := К — а0 к виду
К = К — ао = хру УРх + А(г) —ао = хру — урх + А(г) — ао — г2 А (г) = хру — урх,
а, функцию Гамильтона Н, с учетом соотношений рг = (хрх + уру)/г, р^ = хру — урх и р22 + р%/г2 = рх + ру, к виду
Н = | + Р (г)[-2 + 7 (г) = | + §2 +Р (г) | + 7 (г) = 'Ц^ + Р (г)(хр У2У рх) + 7 (г) =
(рх + А1 (г)у)2 + (ру — А (г)х)2 + р (г)(К — Г2А (г))2 + и (г) =: Р2Х +'Р1 + у^ 2)
Здесь Р (г) = + Р (г), т.е. ¡(г) = ^^^ = ^^ =, откуда функция Р (г) гладкая и четная в малой окрест,ност,и точки г = 0, семейство функций
ик(р) := и(р!/2)+Р\(Р1 /2)у — (1 + РР(Р1 /2))А!(,о1 /2)к + (1 + РР(,о1 /2)) ^^Р
с параметром к € М является гладким в окрестноети тонки р = 0. Имеем
Н:= Н - ий(0) = + и'й(0)г2 + -Ц(0)г4 + о(г4), (5)
где
К2 1
ик(0) = со - А1(0)К + ^(0)^ = и(0) - -Л"(0)К - 6////(0)т^2,
¿0(0) = - + = 1( Г ''(0) + 4 А' '(0)^ = ^,
и '///(0) 1 / 1 \
^0'(0) = + ^1(0)АХ(0)2 + А1(0)А'{(0) = -(и////(0) - ////(0)А"(0)2 + -А"(0),4"//(0)).
12 ^ / ^ , ^ , т V / , V / V / -
Предположим, что при А = 0 и К = 0 в ряде Тейлора, (5) функции Н коэффициент при г4
а2
отличен от нуля, т. е. и^|л=о(0) = 0 Тогда, при прохождении параметра А := с1 + через 0 происходит "интегрируемая гамильтонова бифуркация Хопфа": при А < 0 точка ранга 0 имеет тип фокус-фокус, при А = 0 она вырождается, а при А > 0 имеет тип центр-центр. Если при А = 0 на совместном множестве уровня {Н = и(0),К = А(0)} нет других особых точек отображения момента, то при переходе параметра А через 0 (т.е. при прохождении с1 через значение -а\/4) бифуркационная диаграмма в окрестности точки ( и(0), А(0)) преобразуется как на рис. 1, в зависим,ост,и от, знака р = sgnf/0/1 л=о(0) = ±1. Такая би-
1
параметрического семейства интегрируемых систем [4].
3. Особые точки ранга 1 и бифуркационная диаграмма отображения момента
Множество критических значений отображения момента называется бифуркационной диаграммой этого отображения. Рассмотрим слоение Лиувилля на Т*М, ассоциированное с данной интегрируемой системой, слоями которого являются интегральные подмножества (т.е. связные компоненты совместных множеств уровня функций Н и К). База слоения Лиувилля называется бифуркационным комплексом. Этот комплекс был введен А.Т. Фоменко (клеточный комплекс К из [6, §5]). В работе [5] аналогичный объект был назван разверткой образа отображения момента;; он является (разветвленным) накрытием обра,за отображения, момента Р(М) [5]. Как отметил В.И. Арнольд, было бы интересно изучить особенности этого комплекса К. [6].
В данном разделе мы покажем, что (при условии
р/ (г)2 + а' (г)2
>0
грамма состоит из пар дуг 7+ и 7" таких, что каждая дуга 7^ (для г] = ±1) параметризуется в
виде (К}( г), кг(г)), где параметр г на дуге 7} пробегает подмножество I7} С (0, V) следующего вида. Подмножество р — это максимальный по включению промежуток на интервале (0, V), заданный неравенством И (г) ^ 0 а подмножес тво 1} С Ь получается из выкидыванием всех "экваторов" (т.е. таких точек г/ € (0, V), что Р/(г/) = 0), в которых т]А'(г) > 0:
^ := 1% \{г€ (0, V) | ^(г) = 0, г}А'(г) > 0}, ц € {±1}.
Здесь
И(г) = (А'(г)Р(г))2 - 2Р/(г)и/(г), (6)
(аМ + , ^(.Г)=0. ге
7( \ т + лШ) • р/м = 0,
К„ М = и (г) + (г) - Л(Г))2 ^ = * (г) - Г (г)и' "■> - <** (ГЬЖВК № (,). р)
Заметим, что к?(г) ^ те и к(г.?') когда г стремится к экватору г,- и ^А'(г,-) > 0. Эти же свойства верны и для функций К± ( г) ввиду (7). Функцию
^ (г) := и (г) + ^ (г)(к -^(г))2 (8)
назовем эффективным потенциалом, где к € М — параметр.
Определение 1. Будем говорить, что функции Р(г),и(г),А(г) находятся в общем положении, если
(О (4 и//( г) + А!/(г)2)2 + (2и////(г) -2////(г)А"(г)2 + (г)А"//(г))2 > 0 в каждом, полюсе г € {0, V}
0
ложение 1 и замечание 1), (и) функция И (г) на интервале (0, V) имеет только просты е нули
(ш) все критические точки функций Р (г),и (г), А(г) на, каждом, пром,еж утке и попарно различны, и отличны от концов Г2%_1, ^2г этого промежутка.
Если дополнительно
(И и'к(г)2 + и'к(г)2 + Щ(г)2 > 0 м и'к(г)2 + Щ(г)2 + И(г)2 > 0, см,. (8) и (6),
то будем говорить, что функции Р(г), и(г),А(г) находятся в общем положении в сильном смысле.
Предложение 2. Пусть Р/(г)2 + А'(г)2 > 0 на (0, V). Тогда:
1
момента) образуют 1-пащметрическое семейство окружностей О7} С Т*(М \ {Ы, 5}), имеющих в координат,ах (рг, К, г, <р) вид
о:} := {(0, к}(г),г,<р) 1<р €в1}, г€ 1г, V = ±1,
где
1г := 1\{г € (0, V) | ^(г) = 0, г]А'(г) > 0},
I С (0, V) подмножество, задаваемое неравенством И (г) ^ 0, см. (6), (7).
Значение отображения момента (Н,К) : Т*М ^ М2 на окружности О? равно
7г(г) := (К?(г), к}(г)),
см. (7). В частности, бифуркационная диаграмма отображения момента состоит из двух течек ( U(0), A(0)) м (U(L), A(L)) и кривых 7V = 7v(г), г Е Iv, г] = ±1.
Окружность О? удовлетворяет соотношению U'k ^r)(f) = 0; она невырождена тогда и только тогда, когда U£ (Г)(г) = 0, см. (8). Если окружность невырождена, то она имеет эллиптический или гиперболический тип в зависим,ост,и от, знака, sgnUц(Г)(г) = +1 или —1. Если окружность вырождена, и ^r)(f) = 0 и D(r) = 0; то она имеет параболический тип [7, Definition 2.1]. "
(В) Пусть функции F(г), U(г), A(r) находятся, в общем положении (определение 1). Тогда, подмножество I С (0, L) состоит из конечного числа, попарно непересекающихся отрезков h = [Т2г-\, T2i], 1 ^ г ^ N, и, возможно, непересекающихся с ними "граничных" полуинтервалов 1о = (0, Го] и In+1 = [T2N+1, L) или интервала 10 = 1\ = (0, L) при N = 0. Здесь "граничный" полуинтервал 10 с концом, в пол юсе г = 0 (соответстве нно In+1 с концом, в полюсе г = L) присутствует тогда и только тогда, когда отвечающее этому полюсу число
0
центр-центр. Каждая, дуга, 7? = 7?I\r2i-1,r2i] бифуркационной диаграммы обладает, следующими свойствами:
(a) при стремлении параметра г к экватору fj (т.е. к критической точке функции F(г)) в случа,е r]A'(fj) > 0 дуга уходит, на, бесконечность обеими координатами так, что kv (г) sgn(F'(r)) ^ "цж и hv (г) ~ F 2 ^ kv (г)2 щи г ^ fj (ср. [3, Corollary 3 (2)]),
(b) гладкость функций hv(г) и kv(г) может нарушаться только в точках ri и точках fj из (а), причем в м алой окрест, ноет и любой точки ri (т. е. общего конца, дуг из 7+ и 7-) эти функции гладко зависят от параметра ti = rjл/lr — Гг1 и имеют ненулевые производные по этому параметру в этой точке,
(c) для, любого г Е (r2i-1, r2i) вектор скорости дуги 7?(г) имеет вид
U'' (г)
(h? (r),k'v (г)) = —V (r)(kv (Г) —A(r)), 1);
в частности, вырожденность окружности О? при таком г равносильна равенству нулю вектора скорости дуги (т.е. тому, что г является критической точкой функции kv(г)), а параболичность окружности О^ равносильна тому, что г является морсовской критической точкой функции kv(г); если выполнено условие (iv) определения 1, то отношение h?(r)/k'v(г) = F(r)(kv(г) — A(r)), т.е. котангенс угла наклона касательной к дуге, имеет постоянный знак на любом интервале, в котором U'(r) = 0 или r]A'(г) > 0; а при переходе параметра г через любую морсовскую критическую точку гi потенциала, U(г) такую, что г]A'(ri) < 0 это отношение меняет знак (т.е. дуга касается прямой {h = U(fi)} в точке ( U(fi),A(fi)) и малая окрестность этой точки в дуге лежит по одну сторону от, касательной),
(d) окружность О^о состоит из положений равновесия системы (а, пот,ом,у содержащее ее изоэнергетическое 3-мерное многообразие является особым) тогда и только тогда, когда г° является критической точкой потенциала U(г) и r]A'(г°) < 0; это условие равносильно тому, что (hv(г°),kv(r°)) = (U(r°),A(r°)), а при выполнении условия (iv) определения 1 также тому, что дуга (hv(r),kv(г)) касается прямой {h = hv(г°)} во внутренней точке (h?(r°),kv(г°)) промежутка ,
(e) дуга, 7? имеет невырожденную точку возврата (т.е. точку возврата типа "полукубическая парабола") при прохождении параметра г Е (r2i-1, r2i) через любую морсовскую критическую точку функции kv(г),
F( ), U( ), A( )
деление 1), то все критические точки функции kv(г) на интервале (r2i-1, r2i) являются мор-совскими, kv(г) имеет лишь конечное число критических точек и любая поддуга в 7+ U7-, не
содержащая точек из (е) и (а) (т. е. точек возврата и точек "ухода дуги па бесконечность"), является графиком Г^ = {(К,(к), к)} некоторой морсовской функции Л, = Кг(к); любая окружность О?, где г € I7} и к}(г) = 0, невырождена и имеет постоянный тип (эллиптический или гиперболический); проекция такой эллиптической (соответственно гиперболической) под-дуги на ось Ок строго убывает (соответственно возрастает) относительно ориентации
возврата г = г° дуги 7} вы,пол, не но г е\\(к) < г ^(к), где г ец (к) и г ъур(к) _ морсовские функции на полуинтервале (к}( г°), к}(г°) + е) или (к}( г°) - е,к}(г°)) (в зависим,ост,и от, знака,
-г] sgnU'k/(Г°)(г°) = +1 или -1)> задающие эллиптическую и гиперболическую поддуги, имею-
= °
точки (К°, к°) € 7} в бифуркационном комплексе с множеством {К > К°, к = к°} связно.
О
ОК
на: соответствующая морсовская функция К( к) имеет локальные экстремумы в точности в точках к}(ге) из (с).
Доказательство. Докажем (А). Предположим, что ранг отображения момента в точке (р°, я°) € Т*М равен 1.
°€ М
(р°, N) ^^ад полюсом) пропорциональность ковекторов дН и дК равносильна системе равенств р° = р° = 0, т. е. равенству р° = 0. Значит, точка (р°, N) (над полюсом) является особой точкой отображения момента (ранга 0 или 1) тогда и только тогда, когда р° = 0. Но по предложению 1 в точке (0, N ранг отображения момента равен 0, а потому не может быть равен 1.
Шаг 2. В симплектических координатах (р, д) = (рг, К, г, р>) выполнено дК = (0,1, 0, 0) и
Н = | + ик (г), (9)
где !!к(1") — эффективный потенциал (8). Имеем
дН = (рг, ^(г)(К - А(г)), и'к(г), 0). (10)
Но равенство ранга единице в точке (р°, д°) = (р°, к°, г°,<р°) равносильно пропорциональности ковекторов дК и дН в этой точке, т. е. равносильно системе
р°° = 0, ик° (г °),
где штрихом обозначена частная производная по г. Получаем (р°, д°) = (0,к°, г°,р°), где (к°, г°) является решением уравнения
ик° (г°) = 0.
Запишем это уравнение:
р*(г°)(к° -А(г°))2 - р(г°)(к° - А(г°))А>(г°) + у(г°) = 0. (п)
С учетом формулы (10) ковектор дН в нашей точке (0,к°, г°,<р°) ранга 1 имеет вид
дН = (0, ^(г°)(к° - А(г°)), 0,0) = ^(г°)(к° - А(г°))дК. (12)
Шаг 3. Обозначим
К := Н(р°, д°) = 1!к° (г°).
Тогда образом нашей точки ранга 1 при отображении момента (Н, К) : Т*М ^ R2 является точка (h°,k°). Очевидно,
h° = F(г°)(k° — A(r+U(г°) ^ U(г°). (13)
Найдем явные выражения для точки (h°,k°) через г°. Уравнение (11) переписывается в виде
:= k° — A( °)
2
F' (г — A (г °)F (r°)z + U' (г °) = 0. (14)
Рассмотрим два случая.
F ( °) = 0 ° A ( °) = 0
/л w ' и'(го)
(14) находим решение z = A'(ro)F(ro) > откуда
k = A(r°) + ■ = U(r°) + F(,{k° — f Г°})2.
F ( °) = 0 D( °)
Разрешимость уравнения эквивалентна неравенству D(r°) ^ 0 (т.е. го Е I), а решение имеет
A'(ro)F (ro)+vJD(ro) „ „
вид z = -f' (ro) -> гДе V = ±1- сразу дает требуемое описание семейства точек
1
2
k° = A(r °)+ z, h° = U (г °)+F (r°)=£,
получаем требуемое параметрическое представление дуг бифуркационной диаграммы в (А),
С (0, L)
Шаг 4- Пусть окружность О = {(0, k°, r°)} х S1 состоит из относительных положений равновесия, т. е. г° является критической точкой эффективного потенциала Uko (г). По доказанному О = О^а для некоторого знака ^ = Изучим условие невырожденности окружности О.
Из формулы (9) для Н следует, что О невырождена тогда и только тогда, когда U£o (г°) = 0, °
функции Uko (г). В первом случае имеем U£o (г°) > 0 и окружность О является эллиптической, а во втором — U£o (г°) < 0 и окружность О является гиперболической.
Предположим, что О вырождена, т.е. U£o (г°) = 0. Предположим также, что U'^o (г°) = 0 и D(г°) = 0 (а значит, D(г°) > 0 по шагу 3). Рассмотрим семейство функций Uk(г) с параметром
k Е ( ° — , k° + ) ( k, )
ство решений уравнения Uk (г) = 0, и множество критических значений (Uk (f),k) (локальная бифуркационная диаграмма). С учетом неравенств U£o(т°) = 0 и
я
— U'ko (г °) = F' (г °)(k° — A(r °)) — F (г °)A (r°)= г] y/D(r °) = 0 (15)
ok
получаем, что окружность О является параболической [7, Definition 2.1]. Поэтому соответствующее 1-параметрическое семейство окружностей Or является гладким в малой окрестности окружности О = 0?o и разбивается ею на семейство эллиптических окружностей, отвечающих значениям параметра г по одну сторону от г°, и семейство гиперболических окружностей, отвечающих значениям параметра г по другую сторону от г°, и локальная бифур-
= °
в силу результатов теории особенностей существует локальная регулярная замена координат г ^ к = к(r,k), k ^ к = k(k) со свойствами к(r°,k°) = 0 и k(k°) = 0, приводящая
наше семейство функций к нормальной форме Uj(г) = к3 + fk + a(f), где a(f) — некоторая гладкая функция с а(0) = Uj° (т°) (см. [8] или [7, Proposition 2.4, Lemma 2.5]). Пусть f —У v = r(г,к), к — к = к(к) — обратная замена. Тогда уравнение Uj(г) = 0 переписывается в виде 3 г2 + к = 0, и локальная бифуркационная диаграмма задается параметрически в виде (-2 г3 + а(-3 г2),к(-3 г2)),
полукубической параболой с вершиной (острием = каспом) в точке ( Ujo(г°),к°).
Шаг 5. Докажем (В). Пусть функции F (г), U (г), А(г) находятся в общем положении (определение 1). Конечность числа отрезков /¿в I С (0,L) следует из разложения
D(r) = (А (г) F (г))2 - 2F ' (r)U' (г) =
= (4 U''(0) + А'(0)2)^ + 2 (u""(0) - f'''(0)А"(0)2 + \а'(0)А"''(0)) + 0(г2)
3 2
при т —у 0 и аналогичного разложения при г — Ь. Действительно, первые два коэффициента в этом разложении не могут одновременно обращаться в ноль в силу условия общности положения, а значит функция И (г) отделена от нуля на каждом конце интервала (0,Ь).
Интересно отметить, что указанные два коэффициента совпадают (с точностью до положительных множителей) с первыми двумя коэффициентами в ряде Тейлора (5) первого интеграла Н в соответствующей точке ранга 0. В частности, если первый коэффициент отличен
0
Если же первый коэффициент равен нулю, а второй отличен от нуля, то знак второго коэффициента отвечает за тип бифуркации Хопфа для любого 1-параметрического семейства систем, задаваемого функциями Р\(г), П\(г), А\ (г) такими, что Ро(г) = Р (г), ио(г) = и (г), А0(г) = А(г) и А = и'1 (г°) + \А^(г°)2 при г° = ^и г° = Ь (см. замечание 8).
Осталось доказать свойства (а)-(£) из (В).
(а) Опишем поведение бифуркационных дуг, называемое "уходом на бесконечность". Пусть Р'(г°) = 0 (т. е. г° — экватор) и г]А'(г°) > 0. Покажем, что НГ] (г) и кц(г) стремятся к беско-— ° А( ) и( )
— ° А ( °) > 0 — °
А (г) F (г) + = А (r)F (r^l + - 2 А )
= А (г) F (г)
2
F'(r)U'(г) U F'(r)U'(г) у - (А(r)F(г))2 - 8 ЦА'(r)F( г))2) +
Отсюда
= 2А (r)F ( ^ - ЕШ^- 1 (F' (r)U' (r))2 +
( ' ) ( ' ) А (г) F (г) 8 (А (r)F (г))3 + "
А (г) F (г) U'(r) 1 F' (r)U' (г)2 + Z F' (г) А (г) F (г) 8 (А (r)F (г))3 + "" 1 '
Р ( )
— °
(Ь) Изучим вопрос гладкости функций Ьц( г) и кц(г) в точке г° € I1. Ввиду гладкости
А( ) и( )
от параметра г при г = г°.
Если Р'(г°) = 0 (т. е. г° не является экватором) и И(г°) > 0, то из явных формул (7) для функций Ьц(г) и кц(г) получаем их гладкость в точке г°.
Если Р'(г°) = 0, то по условию г]А(г^) < 0. Поэтому при г ^ г° числитель в г принимает
вид
А (т)Р (г) + Ч^ШУ) = А (г)Р (Г^1 1 - 2 А )
= А (г)Р (г) Отсюда
Р'(г)Ц'(г) и Р'(г)Ц'(г) (А (г)Р (г))2 + 8\Щг)РЩ2} +
\2
Р' (г)Ц' (г) 1 (Р' (г)Ц' (г))2 А(г)Р(г) + 8 (А(г)Р(г))3 +
и' (г) 1 Р' (г)Ц' (г)2 + г А(г)Р(г) + 8 (А(г)Р(г))3 + "" 1 ;
Р ( )
°
Пусть теперь И(г °) = 0. Рассмотр им г° = Г21-\ — левый конец от резка ^ = [г 2г-\, Т2г\- Из условия общности положения (п. (ш) определения 1) имеем Р'(г°)А(г°)И'(г°) = 0. Рассмотрим в малой окрестности точки г° замену параметра г ^ й = И(г). Так как V(г°) = 0, то эта замена регулярна. Обозначим обратную замену через й ^ г = Я(й). Положим г£ := Я(е2), где £ > 0 мало. Введем пара метр 8 € (—£, е) на объединении двух дуг
Ъ— :=1+[г°, г£) ^Т-[г°, ге), полагая 8 = гЦл/Л(г) на дуге т%[г°, г£), г] = Получаем параметризацию дуги Т2%-\ =
= (Н(8 ),~к(8)):
(и о Я(в2) + 1 (к(в) — А о Я(82))2Р о Я(82), А о Я(в2) + (А О Я(82)Р о Я(82) + 8)Р' О я(82)-1).
Эта параметризация гладкая, так как функция Я(й) гладкая. Осталось проверить регулярность этой параметризации при 8 = 0. Вектор скорости дуги Т21—1 по параметру 8 при 5 = 0 равен
Р ( ° )2 Р ( ° )
Обе координаты этого вектора конечны и ненулевые ввиду Р'(г°)А(г°) = 0.
(с) Вычислим отношение Н'Г)(г)/к^(г), т. е. котангенс угла наклона касательной к дуге т^ и исследуем вопрос о возможности изменения его знака. Предположим, что функция к^(г) является гладкой в окрестности точки г° € Тогда Н^(г) = иц(Г)(г) — тоже гладкая функция, будучи композицией гладких функций. С учетом (12) получаем требуемую формулу
К (г)=к'п (г)Р (г)(кп (г) —А(г)).
Осталось изучить вопрос: при переходе параметра г через какое значение г° € 111 может измениться знак разности к^(г) — А(г), которая выше обозначена через г (см. шаг 3).
Согласно (Ь), можно считать, что И (г °) > 0 (т. е. г° = Гг) и либ о Р' (г°) = 0 либ о Р' (г°) = 0 и г] А (г з) < 0. В силу (Ь), г гладко зависит от г в точке г°.
Если А(г°) = 0, то из условия общности положения (п. (ш) определения 1) имеем Р'(г°)и'(г°) = 0. Из явной формулы для г получаем, что т]Р'(г°)х\г=го > 0 и г^и'(г°)х\г=го < 0.
Если А(г°) = 0 и Р'(г°) = 0, то г]А(г°) < 0 и (в силу условия общности положения) и'(г°) = 0 Так как применима формула (17), то по ней получаем, что г]и'(г°)г\г=го < 0.
Если А (г °)Р' (г°) = 0 и г]А (г°) > 0, то из явной формулы для г получаем, что г]Р'(г°)г\г=го > 0.
Пусть теперь А1 (г°)Р'(г°) = 0 и г]А'(г°) < 0. Из явной формулы для г получаем, что в случае и'(г°) = 0 выполнено г=г° = 0, а в случае и'(г°) = 0 выполнено г]и'(г°)г|г=г° < 0. и ( °) = 0 и ( °) = 0 °
и( ) = °
йг
йг
и ( °)
Аг=Г° = 0, — = ли оЛ = 0, (18)
А ( °) Р( °)
«о
а потому число г меняет знак при прохождении г через г
(с1) Изучим критические точки функции Гамильтона. В силу (12) точка (0,к°, г°,р) является критической для функции Гамильтона (т. е. в ней йН = 0) тогда и только тогда, когда к° = А(г°). Последнее равносильно тому, что г=г° = 0 (здесь г как в шаге 3). Из доказа-
= 0 = ° и ( °) = 0
А ( ° ) < 0
(е) Изучим точки возврата бифуркационной дуги. Пусть г° € (г21-1, Т21) — морсовская критическая точка функции кц(г). Ввиду условия общности положения Р'(го)и'(г°) = 0. Отсюда и из доказательства пункта (с) получаем, что г = 0 при г = г°. Значит, ввиду соотношения И]( г) = к](г)Р(г)х из (с) и морсовости точки г° получаем, что она является морсовской критической точкой и для Ьц(г), т.е. для обеих функций кц(г) и Ьц(г). Поэтому эта точка является "острием", или точкой возврата дуги. Невырожденность точки возврата следует из шага 4 и параболичности окружности О^о (действительно: в силу (с) и равенства кц(г°) = 0
имеем и'к (г°)(г°) = 0, откуда ик(г°)(г°) = 0 в силу условия общности положения).
°
промежутка I!.
Если к'ц(г°) = 0, то в малой окрестности точки г° фупкция кц(г) имеет постоянный знак,
что и означает строгую монотонность проекции поддуги па ось Ок.
Пусть к'ц(г°) = 0, т. е. г° — критическая точка функции кц(г). Покажем, что она является
морсовской (отсюда с учетом (е) будет следовать, что она является невырожденной точкой вози" (г)
врата дуги п/гц(г)). В сипу (с) имеем к(г) = Отсюда, с учетом равенства к(г°) = 0,
и''' (г)
получаем и'/ , аЛг°) = 0 и к!1 (г°) = —тп Последнее выражение отлично от нуля ввиду
кщ(г ^ ч \/0(г)
условия общности положения. Значит, Щ(г°) = что и означает морсовость точки г°.
Исследуем подробнее первый случай — когда к'ц(г°) = 0. По доказанному дуга (г) = = (Ьц(г), кц(г)) в малой окрестности точки г = г° является графиком некоторой функции Ь(к). Покажем, что функция Ь(к) морсовская. Пусть к° = кц (г°) — критическая точка функции Ь( к), т.е. Ь'(к°) = 0. С учетом (с) имеем Ь'(кц( г)) = Р(г)(кц(г) — А(г)), ^тауда к° — А(г°) = 0, т.е. г=г° = № (с) получаем, что А'(г°)Р'(г°) = 0 "ЦА(г°) < ^ и'(г°) = 0;
^ 7 и'' (у> ° )
в силу (18) имеем Ь (к°) = Р (г°) ^ | г=г ° = А'((г°)) = 0, откуд а к° — морсовская критическая точка функции Ь(к). Покажем теперь, что если поддуга эллиптическая (соответственно ги-
в направлении роста локального параметра г]г (ясно, что локальный параметр ^г индуцирует однозначную ориентацию на и ). Пусть для определенности г]к'ц(г°) < 0 (соответственно
и'' (г)
> 0). Так как к'ц (г) = —г] , то в некоторой окрестности точки г° выполнено и'к (Г)(г) = 0
и ик (Г)(г) > 0 (соответственно < 0). Значит, точка г° является невырожденной точкой локального минимума (соответственно максимума) эффективного потенциала и^(г°)(г). Поэтому соответствующая окружность О^о, состоящая из точек ранга 1, является невырожденной и имеет эллиптический (соответственно гиперболический) тип.
Исследуем теперь второй случай — когда кц (г°) = 0. Покажем, что в малой окрестности
=
точки возврата г° дуг и ^ (г) выполне но Ь ец(к) < Ьъур(к). Из описания д уги (г) в окрестности точки возврата (см. конец шага 4) следует, что при к < 0 эффективный потенциал ик(к)(г)
имеет две критические точки, близкие к г°: невырожденную точку гяе8(к) локального минимума и невырожденную точку гтах(к) локального максимума, причем локальный минимум меньше локального максимума: и^ц(гке8(к)) < ик^к)(гтах(к)). Так как точке (к, г) невырожденного локального минимума (соответственно максимума) эффективного потенциала отвечает эллиптическая (соответственно гиперболическая) окружность {(0, к, г)|х5' в координатах (рг, К, г, р) на Т*(М \ {И, Б}), то
Ье11(к(к)) = ик(к)(тев(к)) < ик(к)(^тах(к)) = ЬЬур(к(к)).
Осталось показать, что пересечение малой регулярной окрестности точки (Ь(к°), к°) в бифуркационном комплексе с множеством {Ь > Ь(к°), к = к°} связно. Пусть (Ь(к°),к°) =Ц(г°). Для любого уровня энергии Ь ^ !1к(г°) обозначим через Ьг°компоненту связности окружности {(0, к, г°)| х Б1 в множестве {Н = Ь,К = к| (здесь окружность задана в координатах (рг,К,г,<р)н&Т*(М\{М,Б})). Пусть е> 0. Тогда И := к(Ьг°Мк°)+£) Э к(Ьг°Мк°)>к°) =: Д,,
где к : Т*М — М — проекция. Но подмножества Ие и к({Н = Ь(к°) + е,К = к°|\ Ьг° н(к°)+е к°) =: имеют пустое пересечение. Из условия общности положения следует, что эффективный потенциал 11к° (г) имеет лишь морсовские критические точки и вырожденные критические точки типа рождение-уничтожение. Отсюда следует, что существуют ео > 0 и малая окрестность и подмножества Ио в М такие, что для любого е € (0, во) выполнено Ие С и пи = 0, а потому {Н = Ь(к°) + е,К = к°| П к-1(и) = Ьг° цк°)+£ к°, а значит связно. □
4. Топология неособых изоэнергетических многообразий. Несуществование циклов в молекуле. Описание атомов и молекулы Фоменко (грубого инварианта лиувиллевой эквивалентности)
Пусть О3 — изоэнергетическое 3-мерное многообразие с уровнем энергии Ь°, т.е. О3 = = {(Р, О) € Т*М | Н(р, д) = Ь°}. Назовем его неособым, если йН(р, д) = (0, 0, 0, 0) для любой точки (р, д) € О3.
Замечание 9. Согласно критерию неособости изоэнергетического многообразия О3 ([2]), О3 является неособым тогда и только тогда, когда Ь° = и(0) Ь° = и(Ь) и Ь° = и(г(), где
и' (ге) = 0 (т. е. ге — критическая точка функции и (г)). Другими словам,и, уровень энергии Ь°
0
ранга 1, состоящих из положений равновесия (описанных в предложении 2 (В) (<!)). Если
Р( ), и( ), А( )
О3 Ь = Ь°
точки ( и(0),А(0)) и (и(Ь),А(Ь)) и не касается дуг бифуркационной диаграммы.
О3
О3
=
точек на, поверхности вращения=сфере, где потенциал не превосходит, данного уровня энергии):
(а) если проекция совпадает со всей, сферой (т. е. уровень энергии больше, чем максимум потенциала на сфере), то О3 = МР3;
(Ь) если проекция является несвязным объединением, п кусков (колец и дисков) на сфере, то Q3 состоит из п связных компонент О3 — прообразов соответствующих кусков сферы (колец и дисков, где число дисков равно 0,1 или 2, а число колец любое):
ного уровня энергии, а на границе кольца совпадает), то О3 = Б1 х Б2,
ного уровня энергии, а на границе диска, совпадает,), то О3 = Б3. □
Пусть О3 — неособое изоэнергетическое 3-мерное многообразие с уровнем энергии Н° (см. замечание 9).
Замечание 10. Согласно критерию боттовости периодического интеграла Кнатуральной механической системы на, поверхност,и вращения в терминах эффективного потенциала ¡2], инт,егра,л, К \^з является функцией Ботта с 1-мерными критическими подмногообразиями тогда и только тогда, когда в любой точке (0,к°, г°,р°), лежащей на, критической окружности в О3, имеем и£о (г°) = 0. Если функции Р(г), и(г),А(г) находятся, в общем положении в сильном, смысле (определение 1), то условие боттовости К \дз эквивалент,но следующему: прямая Н = Н° не проходит через точки возврата бифуркационной диаграммы.
Предположим, что К\^з — функция Ботта (см. замечание 10). Напомним определение молекулы Фоменко для функции К\дз. Это — грубый инвариант лиувиллевой эквивалентности интегрируемой системы на О3.
Определение 2. Пусть Ш — граф Кронрода-Риба функции К\^з. Он получается из О3 стягиванием в точку каждой связной компоненты в О3 П {К = к°}. £-Атомом функции, заданной на, I-мерном компактном многообразии, называется регулярная окрестность связной компоненты критического множества уровня этой функции с точностью до послойного гомеоморфизма. Молекулой Фоменко функции Ботта К\дз называется граф Ш, каждой вершине которого сопоставлен соответствующий 3-атом с указанием соответствующей биекции между множеством граничных торов 3-атома и множеством всех ребер графа Ш, инцидентных данной вершине.
Хорошо известно, что молекула Фоменко является инвариантом лиувиллевой эквивалентности системы на О3. Этот инвариант неполный. Его иногда называют грубым, чтобы отличать от полного инварианта лиувиллевой эквивалентности системы на О3 — меченой молекулы Фоменко-Цишанга функции К \дз.
Предложение 4. У графа Кронрода-Риба, (т.е. у молекулы Фоменко) функции К\^з нет циклов, где О3 — любое неособое изоэнергетическое 3-многообразие.
Доказательство. Если бы у молекулы был цикл, то он бы реализовал нетривиальный элемент 1-когомологий О3 (над кольцом 2 или К). Но 1-когомологии О3 нетривиальны только в случае (Ь1) предложения 3. В этом случае на О3 есть глобальное сечение гамильтонова в ^действия: это сечение задается уравнением р = 0 (р — неособая координата на О3, так как в случае (Ь1) полюса сферы не участвуют в О3). Но дополнительный интеграл К \^з на О3 те зависит от р, т. е. от "опускается" на сферу Б2, поэтому его граф Кронрода-Риба не имеет циклов (будучи графом Кронрода-Риба функции, заданной на сфере Б2, а у сферы 1-когомологии тривиальны). Этот граф Кронрода-Риба и есть молекула Ш. □
4.1. Построение молекулы Фоменко для неособого изоэнергетического многообразия
Опишем алгоритм построения молекулы Фоменко для функции К в терминах плоской кривой дИг — границы "области возможности движения" Иг. Будем предполагать, что точки (Ь°, А(0)) и (Ь°,А(Ь)) не принадлежат бифуркационной диаграмме (это выполнено для Ь°
Шаг 1: описание областей возможности движения. Рассмотрим подмножество плоскости М х (0, Ь) с координатами к, г, заданное неравенством !1к(г) . Ь°, где !1к(г) — эффективный потенциал. Обозначим его через И и назовем областью возможности движения для уровня энергии Ь°. Неравенс тво и к (г) . Ь° переписывается в виде
и(,,) . ь°, А(,) у 2< к < АМ + ^2 - и«
Р (г)
Поэтому
1 Г, Ь° -и \Л° -и (г)
И = < (к, г) € М х (0, Ь)
и (-) < А(г) -,/2^ .к <А(г)^2 Ь^-М) .
Заметим, что И — это замкнутое подмножество полосы М х (0, Ь) с гладкой (в силу неособости О3
дБ = | (к, г) € М х (0, Ь) и (г) . Ь°, к = А(г) ± ^^^ | .
Пусть Иг — связная компонента И, отвечающая компоненте О
Лемма 2. Обозначим О3 := О3 ПТ*(М\{И,Б }), О2 := О3 П{р = 0} О1 := О2 П{рг = 0} Тогда
• в координатах (рг,К,г,р) на Т*(М \ {М,Б}) выполнено 01 = {0} х (дИ) х {0} О2 — гладкая, двумерная ориентируемая поверхность рода, 0 в М3 х {0} симметричная относительно плоскости {0} х М2 х {0}' Б1 -действие на (О3 совпадает со сдвигами вдоль координаты, р;
• К|д3 = К|д2 °Р, где Р : О3 — О2 _ проекция, являющаяся Б1 -расслоением;
• критические точки функции К|^2 содержатся в плоской кривой, 01 (состоящей из
Ок2
рии) и совпадают с критическими точками функции К
• боттовость функции К|^3 равносильна морсовости функции К|^2 на поверхности О2, а также морсовости функции Кна окружности 01.
Доказательство. Из формул (9) и (8) па Т*(М \ {И, Б}) получаем, что
О3 = {(Рг, к, г) € М2 х (0, Ь) 2+ (к - А(г))2 = 2| х Б1.
Отсюда следуют первые два утверждения леммы.
Докажем третье утверждение. Проекция связной компоненты О3 := О3 П О3 па конфигурационное многообразие (сферу) является кольцом вида I х Б\ где I — либо отрезок
[Го, Г\] С (0, L), либо полуинтервал (0, Г\] или [го, L), либо интервал (0,L). В силу неособости Q3 имеем U'(п) = 0. Отсюда следует, что градиент функции
G(Pr, k, г) := 2 j(-)+(k - А(г)? - 2h--U(l
отличен от нуля в любой точке поверхности Q2 = G-1(0), а потому является вектором нормали к этой поверхности в этой точке. С другой стороны, точка поверхности Q2 = G-1 (0) является критической точкой функции К |д2 тогда и только тогда, когда в этой точке dK = XdG для некоторого Л & R (множителя Лагранжа). Значит, они задаются системой уравнений G = 0,
=0 i^r = 0 (т. е. критические точки "функции высоты" КIq2 совпадают с теми точками, вектор нормали в которых параллелен оси Ок). Первые два из этих уравнений означают, что точка принадлежит кривой Q1, а третье — что в этой точке вектор нормали к плоской кривой Q1 С {0} х R2 х {0} парадлелен оси Ок, т. е. что эта точка является критической точкой К| qi на этой плоской кривой.
Докажем четвертое утверждение. Из второго утверждения получаем, что боттовость функции К Iq3 равносильна боттовости функции К Iq2. Из третьего утверждения следует, что боттовость "функции высоты" к := КIq2 равносильна ее морсовости, а также морсовости функции КIqx. Здесь мы использовали, что в любой критической точке функции К|qi выполнено 22
&jr~dr = 0 > 0 и (в силу теоремы о неявной функции)
dG дк dG _ dG д2к d2G _ dk д(рг, г) д(pr, г) ' дк д(рг, г)2 д(рг, г)2
Лемма доказана. □
Обозначим Q1 := Q1 П Q3, т. е. это связная компонента Ql, I = 1, 2, 3, отвечающая компоненте Q3.
Шаг 2: описание графа W Кронрода-Риба для функции К |дэ.
Заметим, что функция Морса К|q2 является функцией высоты на гладкой (необязательно компактной) поверхности Q2 С R3(pr ,k, г). Пусть W — граф Кронрода-Риба функции К |д2-Его можно получить из Di стягиванием в точку каждой связной компоненты в DiП{к = к°}, а потому он имеет вложение в плоскость j : W ^ R2(k, г) такое, что К = k ojo pw и для любых точек a,b & W со свойством k oj(a) = k oj(b)n roj(a) < roj(b) выполнено г(рщ(а)) < г(р^(Ь)), где pw : Q2 ^ W проекция.
Рассмотрим более подробно 3 случая, определяемые типом связной компоненты Q3 мно-Q3
Случай 1: Q3 — связная компонента Q3 типа (Ь1). Тогда функция К |q2 задана на компактной поверхности Q2 С R3(pr, k, г). При этом связные компоненты линий уровня Q2 n{k = k°} находятся во взаимно-однозначном соответствии с отрезками (возможно вырождающимися в точку) вида {0} х {k°} х х {0}, на которые распадается подмножество Di П {k = k°}, где 1к° С (0, L) и каждая компонента линии уровня имеет непустое пересечение с соответствующим отрезком. Последнее условие однозначно определяет указанное соответствие.
Случай 2: Q3 — связная компонента Q3 типа (Ь2). Пусть для определенности N & n(Q3). Функция К 1ф задана на некомпактной поверхности Q2 С R3(pr, k, г). При этом связные компоненты линий уровня Q2 П {k = k°} находятся во взаимно-однозначном соответствии с промежутками вида {0} х {k°} х 1к° х {0}, на которые распадается подмножество Di П {k = k°}, где 1к° С (0, L) — либо отрезок [г0, Г]\, либо полуинтервал (0, Г]\.
Все связные компоненты линий уровня Q2 П {k = k°} являются компактными кроме одной компоненты (гомеоморфной R) — отвечающей полупитервалу {0} х {А(0)} х (0, Г1] х {0} из подмножества Di П {k = А(0)}.
Случай 3: О3 имеет тип (а). В частности, О3 и И связны, и индекс г можно опустить. Пусть Ш — граф Кронрода-Рпба функции К |^2. Его построение полностью аналогично построению в случае 2. При этом все кроме одной (см. ниже) связные компоненты линий уровня О2 П {к = к°} находятся во взаимно-однозначном соответствии с промежутками {0} х {к°} х 1к° х {0}, на которые распадается подмножество И П {к = к°}, где промежуток 1к° С (0,Ь) — это либо отрезок [го, п], либо полуинтервал (0, Г\\ ми [го, 1),
(0, Ь) (0, Ь)
{0} х {А(0)} х (0, Ь) х {0} С И (откуда А(0) = А(Ь)). В последнем случае линия уровня О2 П {к = к°} состоит из двух связных компонент, и указанное соответствие сопоставляет интервал {0} х {А(0)} х (0, Ь) х {0} обеим этим компонентам. На множествах остальных компонент линий уровня и остальных промежутков указанное соответствие взаимно-однозначно.
Все связные компоненты линий уровня О2 П {к = к°} являются компактными — кроме
М
вида: либо двум полуинтервалам {0} х {А(0)} х (0, п] х {0} и {0} х {А(Ь)} х [ го, Ь) х {0}, либо одному интервалу {0} х {А(0)} х (0,Ь) х {0}.
Шаг 3: описание 3-атомов для функции К|дз. 3-Атомы функции К|^з получаются из 2-атомов функции К|^2 взятием прямого произведения на окружность. Опишем 2-атомы функции К |^2-
Согласно шагу 2, 2-атомы находятся во взаимно-однозначном соответствии с отрезками {0} х {к°} х 1к° х {0}, где 1к° = [?"о, пЬ являющимися связными компонентами подмножеств Иг П {к = к°}, содержащими точку касания прямой {0} х {к°} х М х {0} и кривой О1 = {0} х (дИг) х {0}. Действительно: 1к° не является ни полуинтервалом, ни интервалом, так как к° = А(0) и к° = А(Ь) в силу предположения (см. начало §4.1).
Обозначим через г* < ••• < г** содержащиеся в инт ервале (го, г{) г-координаты точек касания прямой {0} х {к°} х М х {0} и крив ой ОI, а через щ € {0,1} индекс Морса критической точки ье = (0, к°, г**, 0) функции Морса К 1 . I .п.
Лемма 3. Седловой 2-атом морсовской функции высоты К|^2, отвечающий отрезку {0} х {к°} х [г0, п\ х {0} обладает, следующим,и свойствами:
• критический уровень 2-атома — это связная компонента линии уровня О2 П {к = к°} отвечающая отрезку {0} х {к°} х [г0, г1\ х {0}. Это — граф в плоскости Мх {к°} хМ х {0} вида С>*0*< ■ ■ ■ >*0*0>, симметричный относительно указанного отрезка, с вершинами У1,..., V* на этом отрезке (упорядоченными по возрастанию г);
• вектор единичной, внешней нормали к поверхност,и О2 (соответственно к кривой, 01 = {0} х (дИг) х {0}^ в критической, точке ье равен (1 - 2%) -щ:, 1 . I . п;
• каждая, окружность {0} х {к°} х {г**} х Б1 состоит из относительных положений равновесия системы, и на, ней (1 - 2щ) > 0, т.е. ориентация этой, окружности фазовым потоком системы совпадает с ориентацией, задаваемой гамильтоновым Б1-действием, порожденным функцией К, в случае щ = 0 и противоположна ей в случае щ = 11 . I .п. □
Ориентированный 2-атом с указанными свойствами однозначно определяется последовательностью индексов Морса (щ,..., цп) € {0,1}**. Обозначим этот 2-атом через Уп1''"''™.
Шаг 4: описание молекулы Фоменко для функции К|дз. Молекула функции К|дз получается, если в каждую вершину графа Ш, описанного на шаге 2, поместить соответствующий
3-атом, описанный на шаге 3. □
Ь°
статочно большой, то в молекуле Фоменко боттовской функции К|дз возникают, только
атомы, Vn''"' и Vn''''' (отличающиеся друг от, друга, знаком функции), как и в случае нулевого магнитного поля [2].
(b) В молекуле Фоменко боттовской функции Н 1{к=к°} возникают, только атомы и Vn''"'1, как и в случае нулевого магнитного поля ¡2].
(c) Предположим, что молекула Фоменко функции КIq3 содержит, 3-атом Vn = Vn1'''''71" сложности п ^ 2. Каждая, особая окружность этого 3-атома является гиперболической окружностью ранга 1 и включена в 1-параметрическое семейство т,а,ких окружностей. Образ каждого такого семейства при отображении момента является дугой бифуркационной
п
ражении момента, причем котангенс угла наклона каждой дуги в этой точке вычисляется по формулам, из предложения 2 (В) (с) и (7). Если хотя бы у двух дуг наклоны различны (что выполнено в случае "общего положения"), то при варьировании уровня энергии 3-атом Vn на Q\° "расщепляется" на несколько 3-атомов Vni,..., Vnk на общей сложности п1 + ■ ■ ■ + Пк = п. В этом случае назовем особы,й слой 3-атома Vn расщепляющейся гиперболической особенностью ранга 1. В терминологии [9], [10, Definition 3.3] такому 3-атому
Vn
ском многообразии Q^ (это значит, что для любой 4-мерной окрестности U особого слоя 3-атома, слоения Лиувилля на Q^ nU и Q\° П U имеют разную топологию при h ^ h°).
5. Вычисление некоторых меток Фоменко^Цишанга в молекуле Фоменко
Изучим топологию слоения Лиувилля на неособом изоэнергетическом многообразии Q3, когда функция Кявляется боттовской (см. замечания 9 и 10).
Согласно лемме 3, любой седловой 3-атом функции К|^з имеет специальный вид УЩ1 ''"'11п: причем ориентации его критических окружностей фазовым потоком системы согласованы между собой только в случае = ■ ■ ■ = Но в теореме Фоменко-Цишанга [10, теорема 4.1], описывающей топологию слоения Лиувилля на Q3, предполагается, что все критические окружности ориентированы фазовым потоком системы и что эти ориентации согласованы на каждом седловом атоме (т. е. порождены некоторым гамильтоновым Б ^действием в 4-мерной окрестности атома, сохраняющим функции Н и К, см. [10, §3.5 перед определением 3.4, §3.3 перед предложением 3.8]). Значит, если хотя бы один седловой атом функции К|^з отличен от атомов УЩ''"'0 и Уп''"'1, то теорема Фоменко-Цишанга не применима. Мы обойдем эту трудность следующим образом.
Зададим ориентации всех критических окружностей функции К|^з с помощью гамильто-нова Б1 —действия, порожденного функцией К (а не фазовым потоком системы, ср. [10, §3.5 перед определением 3.4]). Тогда ориентации критических окружностей станут согласованы на каждом атоме, и поэтому можно описать топологию слоения Лиувилля на Q3 с указанными ориентациями критических окружностей в терминах соответствующего инварианта Фоменко-Цишанга [10, теорема 4.1] — меченой молекулы функции К|^з.
Предложение 5. Пусть Q3 — неособое изоэнергетическое многообразие (см. замечание 9). Тогда, гамильтоново Б1-действие, порожденное дополнительным первым, интегралом К, является свободным на а пот,ом,у определяет, структуру локально-тривиального Б1-расслоения, на Q3. Это Б1 -^сслоение согласовано со слоением Лиувилля на Q3. Если функция, К|^з боттовская (см. замечание 10), то метки Фоменко Цишанга на ребрах с концам,и в седловых атомах соответствующей молекулы Фоменко имеют следующий вид: все метки г равны бесконечности, а все метки е равны +1.
Доказательство. Рассмотрим гамильтоново Б^-действие на Т*М, порожденное дополни-
К
симметрии. Так как у гамильтонова Б ^действия на Т*М неподвижных точек ровно две, а именно точки (р, д) = (0,И) и (р, д) = (0, Б) причем они являются точками ранга 0 отображения момента (см. доказательство предложения 1, шаг 1), то на любом неособом изоэнерге-тическом многообразии О3 это Б ^действие свободно.
На каждом граничном торе каждого седлового атома определим цикл А — траекторию указанного Б1-действия. Дополним его до базиса группы 1-мерных гомологий тора любым циклом р. Рассмотрим любое ребро молекулы, концы которого являются седловыми атомами. Тогда в матрице склейки, отвечающей этому ребру, первая строка равна (а, @) = (1, 0), откуда находим все метки: г = ^ = те, е = sgnа = +1 □
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. — М.: Мир, 1981.
2. Кантонистова Е.О. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем на поверхностях вращения в потенциальном поле // Матем. сб. 2016. Т. 207, №3. С. 47-92.
3. Kozlov I., Oshemkov A. Integrable systems with linear periodic integral for the Lie algebra e(3) // Lobachevskii J. Math. 2017. V. 38, №6. P. 1014-1026.
4. Van der Meer J.-C. The Hamiltonian Hopf bifurcation (Volume 1160 of Lecture Notes in Mathematics). — Berlin: Springer-Verlag, 1985.
5. Efstathiou K., Giacobbe A. The topology associated with cusp singular points // Nonlinearitv. 2012. V. 25. P. 3409-3422.
6. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Ли-увиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22, №4. С. 38-51.
7. Bolsinov A., Guglielmi L., Kudrvavtseva Е. Symplectic invariants for parabolic orbits and cusp singularities of integrable systems // Philos. Trans. A Math. Phvs. Eng. Sci. V. 376. 20170424.
8. Kudrvavtseva E. A., Lakshtanov E.L. Classification of singularities and bifurcations of critical points of even functions // Topological Methods in the Theory of Integrable Systems / eds. Bolsinov A. V., Fomenko А. Т., Oshemkov A. A. — Cambridge: Cambridge Scientific Publishers, 2006 - P. 173-214.
9. Болсинов А. В., Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности // УМН. 1990. Т. 45, №2(272). С. 49—77.
10. Болсинов А. В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999.
REFERENCES
1. Besse, A.L. 1988, Manifolds all of whose Geodesies are Closed, Springer, Berlin.
2. Kantonistova, E.O. 2016, "Topological classification of integrable Hamiltonian systems in a potential field on surfaces of revolution", Sb. Math., vol. 207, no. 3, pp. 358-399.
3. Kozlov, I. к Oshemkov, А. 2017, "Integrable systems with linear periodic integral for the Lie
(3)
4. Van der Meer, J.-C. 1985, The Hamiltonian Hopf bifurcation, Springer-Verlag, Berlin.
5. Efstathiou, К. к Giacobbe, A. 2012, "The topology associated with cusp singular points", Nonlinearity, vol. 25, pp. 3409-3422.
6. Fomenko, A.T. 1988, "Topological invariants of Liouville integrable Hamiltonian systems", Funct. Anal. Appl., vol. 22, no. 4, pp. 286-296.
7. Bolsinov, A., Guglielmi, L. к Kudrvavtseva E. 2018, "Svmplectic invariants for parabolic orbits and cusp singularities of integrable systems", Philos. Trans. A Math. Phys. Eng. Set., vol. 376. 20170424.
8. Kudrvavtseva, E. А. к Lakshtanov, E. L. 2006, "Classification of singularities and bifurcations of critical points of even functions", in Bolsinov, A.V., Fomenko, А. Т., and Oshemkov, A. A. (Eds.), Topological Methods in the Theory of Integrable Systems, Cambridge Scientific Publishers, Cambridge, pp. 173-214.
9. Bolsinov, A. V., Matveev, S. V., к Fomenko, A.T. 1990, "Topological classification of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. List of systems of small complexity", Russian Math. Surveys, vol. 45, no. 2, pp. 59-94.
10. Bolsinov, A.V. к Fomenko, A.T. 2004, Integrable Hamiltonian systems: geometry, topology, classification, Chapman к Hall / CRC, Boca Raton, London, N.Y., Washington.
Получено 1.12.2019 г.
Принято в печать 11.03.2020 г.
