CC BY
8Доказательство теоремы 2 полностью аналогично доказательству теоремы 1. Замечание. Следует отметить, что для небольших нечетных k (и k = 2 в случ ае в к) не удается получить оценку показателя квадратичной иррациональности чисел вида ак и вк, поскольку чпела K + M + m,\ ш K + M + Ш2 при так их k неотрицательны, поэтому нельзя применять лемму 2.3 из работы [1].
Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Ю. В. Нестеренко за постоянный интерес к работе.
Результаты статьи получены при частичной поддержке РФФИ (грант № 09-01-00743).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hata М. C2-saddle method and Beukers' integral // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. 352, N 10. 4557-4583.
2. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for log 2 // Acta Arithm. 2009. 139, N 2. 147-184.
3. Полянский А.А. О квадратичном показателе иррациональности ln 2 // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 25-30.
ln 2
5. Bashmakova M.G. Estimates for the exponent of irrationality for certain numbers // Moscow J. Comb, and Number Theory. 2011. 1, N 1. 67-78.
6. Polyanskii A. On the irrationality measure of certain numbers // Moscow J. Comb, and Number Theory. 2011. 1, N 4. 80-90.
Поступила в редакцию 28.11.2012
УДК 517.938.5 -
ЧИСЛО СВЯЗНЫХ КОМПОНЕНТ В ПРООБРАЗЕ РЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ МОМЕНТА ДЛЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА ЭЛЛИПСОИДА
С. С. Николаенко1
В статье рассматривается слоение Лиувилля геодезического потока эллипсоида общего положения. Основной целью является демонстрация разных подходов к подсчету числа связных компонент в прообразе регулярного значения отображения момента. При этом используется метод булевых функций М. П. Харламова, а также результат Н. Т. Зунга о представлении гиперболической особенности в виде почти прямого произведения 2-мерных атомов.
Ключевые слова: интегрируемая гамильтонова система, геодезический поток, эллипсоид, слоение Лиувилля, булева функция.
A Liouville foliation of the geodesic flow of a generic ellipsoid is considered in the paper. The main goal is the demonstration of various approaches to computation of the number of connected components in the preimage of a regular value of the moment map. This is done with the use of the Boolean functions method of M. P. Kharlamov and also N. T. Zung's result on the decomposition of a hyperbolic singularity to an almost direct product of 2-dimensional atoms.
Key words: integrable Hamiltonian system, geodesic flow, ellipsoid, Liouville foliation, Boolean function.
1. Введение. Рассмотрим в Rra+1 эллипсоид En = = 1}, 0 < a\ ^ ... ^ ara+i- Известно,
что его геодезический поток является интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой на T*En, т.е. допускает n функционально независимых (почти всюду) первых интегралов в инволюции. Первое доказательство этого факта принадлежит Якоби [1] и основывается на разделении переменных в эллиптических координатах. Другой подход представлен в [2]. Таким образом, на T*En определено слоение Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты совместных поверхностей уровня первых интегралов Fi,...,Fn. Топологию слоения Лиувилля удобно изучать при помощи отображения момента
Николаенко Станислав Сергеевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikostasQmail.ru.
: Т*Еп ^ Мп. Слои, не содержащие критических точек отображения момента, называются регулярными, остальные слои называются особыми. Регулярные слои являются п-мерными торами (торами Лиувилля) и заполняют множество полной меры на Т*Еп. Особые слои составляют множество меры нуль, и из-за их наличия слоение глобально нетривиально. В нерезонансном случае почти все слои являются замыканиями интегральных траекторий, а потому слоение не зависит от выбора интегралов.
Топология слоения Лиувилля геодезического потока эллипсоида изучалась во многих работах, в частности в [3] для п = 2, в [4, 5] для п = 3, в [6] для многомерного случая общего положения. В настоящей работе для случая общего положения (й1 < ... < ап+1), являющегося нерезонансным, рассматривается вопрос о количестве связных компонент (торов Лиувилля) в прообразе регулярного значения отображения момента. Это количество уже зависит от выбора первых интегралов и вычисляется для их конкретного набора, который будет предъявлен ниже. Рассматриваемый результат не является новым (см., например, [7]). Здесь мы демонстрируем два других способа его получения. Первый способ состоит в применении метода булевых функций М.П. Харламова [8] (алгебраический подход), по-видимому ранее не использовавшегося для решения данной задачи. Второй способ доказательства основывается на результатах работы [6], где отмечается возможность вычисления упомянутого количества торов с помощью полученного там представления некоторой седловой особенности (окрестности особого слоя) в виде почти прямого произведения 2-мерных "атомов". Однако полная реализация этого подхода (топологического) в [6] отсутствует.
Напомним, что эллиптическими координатами на Еп называется набор (А1,...,Ап) решений уравнения а-~л = 1 со свойством Xj £ [aj,aj-^-l]. Эти координаты локально регулярны на Еа\2, где 2 = {3] : Аз_1 = аз = Аз} (в двумерном случае множество 2 состоит из омбилических точек). Декартовы координаты выражаются через эллиптические следующим образом (см. [1]):
_ , |Ащ(«т - А1 )(ат - А2) • • • (Ого ~ К) т
V Пг=т(ат - аг)
Логарифмированием, а затем дифференцированием находим выражение для компонент вектора скорости:
I 1 /атПп=1(ат — А) А] л ,
Хт = ±2\1 п. }а--аЛ ЕтГ^Г' т = 1,... + 1. (2)
Пг=т(ат - аг) з= Аз - а Метрика эллипсоида в эллиптических координатах имеет на Еп\2 следующий вид (см. [1])
з=1
П- Аз)
Как показано в [6], эллиптические координаты удобно рассматривать на п-мерном торе Тп = х ... х разветвленно накрывающем Еп. Это накрытие устроено таким образом, что множество точек ветвления отображается на 2, а каждая функция Аз-, поднятая на Тп, оказывается зависящей только от координаты на окружности $1 и имеет на ней две точки минимума и две точки максимума со значениями аз и аз+1 соответственно. Чтобы получить разделение переменных, введем, следуя [6], на каждой окружности б*1 периодическую координату 3 такую, что
¿Аз /(-1)зп+1. х Л1/2
3 к=1
dqj \ Аз 1 1 ' 3
Тогда в координатах дз метрика эллипсоида при мет вид = ^3=1 N3 , где
N(д) = (-1У+1 П(Ак - Аз).
к=з
Пусть рз = Nз (д)дз — импульсы, отвечающие координатам ^-.Обозначим накрытие Тп ^ Еп через р. Геодезический поток, поднятый естественным образом на Т*Кп, где Кп = Тп\р-1(2), имеет гамильтониан
Н = дг.^ • Этот вид гамильтониана позволяет рассматривать поток как штеккелеву систему (см.,
например, [9]) и получить первые интегралы из следующей системы уравнений:
п
^2 )Гк = I](Я],Рэ), з = (4)
к=1
где ] = Ак_1(я]), I](Я],р]) = (-1)п-]р?. (При этом Еп = И.)
Положим Вр (х) = Х]П=1 Гкхк-1. Тогда (4) переписывается в виде
Р3 = ±\/(~ 1)п~1ПР(\3), з = 1,...,п, (5)
что доставляет искомое разделение переменных.
2. Основная теорема. Пусть значения интегралов Гк фиксированы и задают непустое множество в Т*Кп. Тогда из условия вещественности р] следует, что многочлен Вр (х) имеет (п — 1) вещественных корней /1,...,/п_1, таких, что 1к € [Ак, Ак+1]. Эти корни вместе с гамильтонианом И можно взять в качестве новой системы первых интегралов, функции 1к корректно определены и являются гладкими на множестве Т*(Еп\2), которое содержит все регулярные слои слоения Лиувилля (см. [6]).
Теорема. Пусть на эллипсоиде Еп общего положения задан геодезический поток, интегрируемый (как показано выше) с помощью функций 11,..., 1п_1, И. Пусть прообраз точки (I0,..., 110_1, И0) при отображении момента (11,... ,1п-1,И) : Т*(Еп\^) ^ Мп состоит только из регулярных слоев (торов Лиувилля). Тогда их число равно где Ь = #{3 : ]_1 < а] < а]+1 < ]}. Полагаем 10 = —те, 1п =
Доказательство. Из неравенств ак ^ Ак ^ ак+1 и Ак ^ 1к ^ Ак+1 следует, что ак ^ 1к ^ ак+2) к = 1,...,п — 1. Как показано в [6], поверхность Г1о,но = {11 = 10,...,1п-1 = 1°_1,И = И0} состоит из (какого-то числа) регулярных слоев тогда и только тогда, когда И0 > 0 1к = а3 для любых к, в и I0 = I0 для любых к = г. Поэтому образ отображения момента содержит 2п-1 регулярных областей {1к € (аг, аг+1)} где г = к или к + 1. Точки, принадлежащие одной такой области, являются образами одного и того же числа торов Лиувилля.
Способ 1. Метод булевых функций М.П. Харламова [8] предполагает разделение переменных в виде
системы уравнений ¿г = ^А^(Зг), где вг — переменные разделения, а У^вг) — многочлены одной переменной с коэффициентами, зависящими от набора Г значений первых интегралов. При этом исходные фазовые переменные должны выражаться рациональными функциями от радикалов вида \fsi~~ei с коэффициентами, гладко и однозначно зависящими от 8 (е\ — некоторые константы, зависящие от Г). Из условия вещественности фазовых переменных следует, что образ проекции п поверхности уровня интегралов на пространство переменных разделения (называемый областью возможности движения) является набором параллелепипедов. Дальнейший алгоритм сводится к изучению многозначного отображения п_1.
В данном случае разделение переменных в указанном виде мы не предъявляем, однако можно рассмотреть проекцию регулярной поверхности Г/о но на Мп(А). Образом этой проекции служит параллелепипед {А] € [а], а]+1] П [I]_1, I]], 3 = 1,...,п}.
Выразим теперь х, X через А. Из (3) и (5) неодим выражения А] (3 = 1,... ,п) через А:
Подставив (6) в (2), получим
п+1 п—1
хт = П \/Аг - ат ■ ^(А) П у/^з - ак П л/^Тк , (7)
ьт — ^^ у /ч «<т / J I ^^ V ] к ^ ^ V ]
г=1 ]=1 \ к=1 к=1
где Т](А) — однозначные функции от А.
Формулы (1) и (7) доставляют нужное выражение фазовых переменных х, х через многочлены от радикалов rj|c = л/А^- — а&, Rjk = л/А ^ — 1к с коэффициентами, однозначно зависящими от А. Радикалы Г]к, можно считать вещественными, вынеся мнимые единицы в коэффициент.
, ч , ч , / ч 10, если x ^ 0; ^
Пусть 6jfc = bsgn(rjk), = bsgn(Rjk), где bsgn(x) = < — булев знак. Ставя в со-
I 1, если x < 0,
ответствие каждому моному от rjfc,Rjfc в (1) и (7) сумму (по mod 2) отвечающих ему булевых знаков, получаем линейное над B = {0,1} отображение A : Bn(n—1)+n(n+1) ^ вга+1+га(га+1), зависящее от набора значений bjk, Bjk Компоненты Am,Amj этого отображения задаются следующим образом:
Am = b1m + b2m + • • • + bnm; (8)
Amj = (b1m + b2m + • • • + bnm) + (bj 1 + bj 2 + • • • + bj,n+1) + (Bj1 + Bj2 + • • • + ^jn—O, (9)
где m = 1, • • •, n + 1, j = 1, •••,«•
Разделим аргументы bjfc,Bjfc на две группы, отнеся к первой булевы знаки радикалов, не меняющих знак вдоль траекторий, содержащихся в поверхности Г/о #0, а ко второй — периодически меняющих знак вдоль этих траекторий. Теперь для каждого нефиктивного аргумента второй группы соответствующий
A
единичному виду, после чего исключить из матрицы этот столбец и строку, содержащую единицу. Если получившаяся в итоге матрица имеет ранг l, то число связных компонент в Г/о равно 21 [8].
Для удобства будем выполнять элементарные преобразования над выражениями (8), (9). Вычитая Am из Amj для всех m,j, получим отображение A, имеющее (2n + 1) независимых комп онент Am, Aj = (fyi + bj2 + ■ ■ ■ + bj:n+1) + {Bji + Bj2 + ... + Bj>n_i). Для каждого m один из радикалов л/\m-i ~ dm, Vx т — dm меняет знак вдоль траекторий из Tjo uo (первый при Im-1 > ат, второй при Im-1 < ат). Поэтому каждая компонента Am содержит аргумент из второй группы, а значит, исчезает после преобразований. Заметим, что замена Aj на Aj + Am не затрагивает переменных Bj^. А поскольку переменная Bjk встречается только в ком поненте Aj, то ран г l отображения, полученного в результате всех преобразований, равен числу компонент Aj, не зависящих от переменных второй группы. То есть I = : Ук л/Xj — Ik не меняет знак}. Но условие, что л/Xj — Ik не меняет знак для всех к, означает, что /j-1 < aj и aj+1 < j Отсюда l = #{j : /j—1 < aj < aj+1 < /j} = L, что и требовалось.
Способ 2. В [6] показано, что поверхность {/1 = a2,•••, /n-1 = an,H = h} является особым слоем, малая инвариантная окрестность которого, пересеченная с изоэнергетической поверхностью {H = h}, послойно диффеоморфна "почти прямому произведению"
((... ((С 2 X ... х С2)/41У) .. X S1. (10)
n_ 1
Здесь C2 — седловой "атом", представляющий собой 2-мерную расслоенную окрестность двух пересекающихся окружностей (см. [10-12]). Этот атом удобно смоделировать как окрестность особого слоя {g = 0} функции Морса g = x2 — y2 на сфе ре x2 + y2 + z2 = 1, задаваемую неравен ством — е ^ g ^ ей расслоенную на линии уровня функции g. Граница атома C2 состоит из четырех окружностей. Граничную окружность будем называть 0-окружностью (1-окружностью), если на ней g < 0 (g > 0). На атоме C2, стоящем на i-м месте в (10), 0-окружности задаются условием /г е [ai,ai+1], 1-окружности — условием /г е [ai+1,ai+2]. Слоение на прямом произведении C2 х ••• х C2 является прямым произведением слоений на сомножителях. Инволюции сохраняют слоение и определяются следующим образом. Несложно видеть, что на C2 существуют ровно две коммутирующие инволюции по, Пъ сохраняющие слоение и меняющие местами вершины атома. При этом по переставляет 0-окружности, а 1-окружности переводит в себя, пъ наоборот, переставляет 1-окружности, а 0-окружности переводит в себя. Инволюция z2^ действует толь ко на i-й и (i + 1)-Й компонентах: (yl,•••,yn—1) ^ (У1, •••, Уг—1, no(yi), П1(Уг+1), Уг+2, •••, Уп—1)- Ясно, что инволюции Z«h Zj) коммутируют при i = j. Поэтому факторизация в (10) определена корректно. Таким образом, "почти прямое произведение" (10) задает (2n — 1)-мерную поверхность с краем. Диффеоморфизм, переводящий (10) в окрестность особого слоя {/1 = a2, •••, /п—1 = an}, переводит компоненты края поверхности
(10) в торы Лиувилля. Поэтому число торов Лиувилля в прообразе точки (/°, • • • , 1, H0) равно числу
/го
граничные окружности i-ro атома C2.
Перепишем (10) в виде ((( • • • ((C2 х C2)/z2^) • • • ) х C2)/z2n 2)) х S1 и посмотрим, как меняется число связных компонент после каждой факторизации. Изначально для одного атома C2 имеем 2 окружности
(О-окружности, если I0, < аг, и 1-окружности, если I0, > аг). Для произведения C2 х C2 будем иметь 4 компоненты (прямые произведения двух пар окружностей). Ясно, что если хотя бы в одной из пар окружности
меняются местами инволюцией то после факторизации останутся две связные компоненты. Если же каждая окружность переходит в себя, то останутся все четыре компоненты. Последнее имеет место при аг < Ii < I2 < Аналогично после i-й факторизации число связных компонент увеличивается вдвое, если аг+\ < Ii < Ii+\ < aj+2) и не меняется в противном случае. В итore получаем 2L связных компонент, где L' = 1 + #{i : а,, < Ii-1 < Ii < а^}. Легко понять, что L' = #{j : Ij-1 < (ij < (ij+1 < Ij} = L, поскольку каждый интервал (аj,aj+1) содержит 0, 1 или 2 числа Ii, которых всего на единицу меньше, чем интервалов.
Теорема доказана. □
Замечание 1. Результат теоремы можно было вывести и непосредственно из работы [6], без использования представления (10). Для этого нужно было подсчитать число связных компонент для геодезического потока на проколотом торе Kn, затем проследить, как оно уменьшится при проекции обратно на эллипсоид. Но почти то же самое, только в других терминах было проделано при доказательстве теоремы вторым способом.
Замечание 2. Число связных компонент оказалось степенью двойки, что характерно для систем,
______г п-1~1 ]
допускающих разделение переменных. Отметим, это число не меньше 2 и не больше 21 2 J.
Замечание 3. Топологию слоения Лиувилля удобно изучать с помощью понятия бифуркационного комплекса, введенного А.Т. Фоменко в [13, 14]. Бифуркационным комплексом называется топологическое пространство, точками которого являются слои слоения Лиувилля. Иными словами, это база слоения Лиувилля с естественной фактортопологней. В невырожденном (боттовском) случае бифуркационный комплекс имеет структуру стратифицированного многообразия. Точками стратов максимальной размерности являются торы Лиувилля либо регулярные подмножества особых слоев, стратов меньшей размерности — критические подмножества особых слоев. Каждая регулярная область в образе отображения момента накрывается областями в стратах максимальной размерности, причем кратность этого накрытия, очевидно, совпадает с числом торов Лиувилля в прообразе точек данной области. Во многих случаях знания этого числа, а также типа бифуркаций, соответствующих особым слоям, достаточно для построения бифуркационного комплекса. В частности, это относится к геодезическому потоку 2-мерного эллипсоида общего положения. В более высоких размерностях для полного восстановления структуры бифуркационного комплекса необходима дополнительная информация о склейках стратов.
Автор приносит благодарность А. Т. Фоменко за постановку задачи и полезные обсуждения, а также А. В. Болсинову и Е. А. Кудрявцевой за ценные замечания по содержанию работы.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-0Ю0748-а), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-1410.2012.1), программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (грант № 14.740.11.0794) и гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Якоби К. Лекции по динамике / Пер. с нем. М.; Л.: Гл. ред. общетехн. лит-ры, 1936.
2. Мозер Дж. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1981. 36, № 5. 109-151.
3. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Траекторная классификация геодезических потоков двумерных эллипсоидов. Задача Якоби траекторно эквивалентна интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела // Функц. анализ и его прил. 1995. 29, № 3. 1-15.
4. Bolsinov А. V., Davison С.М., Dullin H.R. Geodesies on the ellipsoid and monodromy // J. Geom. Phys. 2007. 57, N 12. 2437-2454.
5. Davison C.M., Dullin H.R. Geodesic flow on three dimensional ellipsoids with equal semi-axes // Regular and Chaotic Dynamics. 2007. 12, N 2. 172-197.
6. Nguyen Tien Zung. Singularities of integrable geodesic flows on multidimensional torus and sphere // J. Geom. Phys. 1996. 18, N 2. 147-162.
7. Audin M. Courbes algebriques et systemes integrables: geodesiques des quadriques // Expos. Math. 1994.12. 193-226.
8. Харламов М.П. Топологический анализ и булевы функции. Методы и приложения к классическим системам // Нелинейная динамика. 2010. 6, № 4. 769-805.
9. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. М.:ВИНИТИ, 1985. 5-304.
10. Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 10711075.
11. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1 (265). 145-173.
12. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.
13. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22. № 4. 38-51.
14. Fomenko А. Т. The theory of invariants of multidimensional integrable Hamiltonian systems (with arbitrary many-degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom // Topological classification of integrable systems. Adv. Sov. Math. Vol. 6. Amer. Math. Soc., 1991. 1-36.
Поступила в редакцию 20.06.2012
УДК 004.93+004.85
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОГНОЗА ДЛЯ ДВУХФАЗНОЙ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ "СТРУКТУРА-СВОЙСТВО"
Е. И. Прохоров1
Работа посвящена методам поиска количественных соотношений "структура-свойство" для прогнозирования активности химических соединений. Предложена двухфазная схема решения задачи "структура-свойство". Доказана оценка качества прогнозирования с помощью двухфазной схемы. В частности, доказано улучшение качества прогноза при использовании нетривиальных правил отказа от прогноза. Также приводятся результаты практических испытаний предложенного метода решения указанной задачи, подтверждающие эффективность описанного подхода.
Ключевые слова: прогнозирование свойств химических соединений, машинное обучение, распознавание образов, классификация, задача "структура-свойство".
The paper is focused on methods of searching for quantitative structure property relationships for predicting the activity of chemical compounds. A two-phase scheme is proposed for solving the "structure-property" problem. An estimation of the quality of prediction with the use of a two-phase scheme is obtained. In particular, it is proved that the prediction quality-is improved when using non-trivial rejection rules. Results of practical tests of the proposed method for solving the "structure-property" problem are presented, which confirm the efficiency of this approach.
Key words: prediction of the properties of chemical compounds, machine learning, pattern recognition, classification, "structure-property" problem.
Данная работа посвящена актуальной задаче приложения математической теории распознавания образов в химии — задаче "структура-свойство", которая является задачей поиска зависимостей между структурами органических соединений и их физико-химическими свойствами (QSFR) и биологической активностью (QSAR). Для решения этой задачи как задачи распознавания образов в общем случае могут быть применены различные методы машинного обучения [1, 2]. Ключевым отличием задачи "структура-свойство" от классических задач классификации является ее ориентированность на предсказание активности новых, неизученных соединений. В связи с этим автором предложено использование ограничений допустимости для распознающих моделей [3, 4]. Такой подход можно рассматривать как классификацию с отказами [5] или как частный случай применения смесей экспертов для классификации [6].
Пусть обучающая выборка LS состоит из N химических соединений x^ i = ^„^N, каждому из
—1
—1
выборки, обозначим y = (y1,y2, •••, yw) Уг G {—1,1}-
1 Прохоров Евгений Игоревич — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eugeny.prokhorovQgmail.com.
