CC BY
40
УДК 531.38 ББК 22.161.6
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РАЗДЕЛЕНИЮ ПЕРЕМЕННЫХ В МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин
Представлены аналитические результаты, полученные с помощью систем символьных вычислений в задаче о движении твердого тела в двойном силовом поле. Интегрируемый по Лиувиллю случай найден А.Г. Рейманом и М.А. Семеновым-Тян-Шанским при условиях типа Ковалевской. Рассматриваются геометрические основания для нахождения разделения переменных. Введены две системы плоских криволинейных координат, в которых проекции интегральных многообразий критических подсистем выпрямляются. Вывод уравнений в разделенных переменных получен для двух критических подсистем в программе МаШетаИса 7.
Ключевые слова: интегрируемая система, динамика твердого тела, двойное силовое поле, разделение переменных.
Введение
Развитие новых алгебраических методов в исследовании явления интегрируемости обеспечило новую волну интереса к точным решениям в динамике. Для гамильтоновых систем много новых случаев коммутативной и некоммутативной интегрируемости было построено или обнаружено в последние годы. Достаточно упомянуть здесь монографии и обзоры [4-7; 22], в которых цитируется более тысячи работ. Большинство известных систем, интегрируемых по Лиувиллю, сводится к системам с двумя степенями свободы, о то есть фактически к системе двух уравнений с интегральным инвариантом (послед° ним множителем). Наиболее ярким примером неприводимой системы является обоб-2 щенный гиростат Ковалевской. Это — твердое тело с ротором, закрепленное в одной < точке и помещенное в два независимых поля с постоянной напряженностью (например, к в гравитационное и магнитное при наличии у самого тела постоянного магнитного мод мента). Этот случай открыт благодаря усилиям многих математиков. Отметим вклад £ О.И.Богоявленского [2;3;25], Х.М.Яхья [32; 33], Л.Н. Гаврилова [26], И.В.Комарова Ч [29]. Окончательный наиболее общий результат был получен А.Г. Рейманом и М.А.Се-меновым-Тян-Шанским [8; 31]. Однако, как выяснилось, никаких явных решений по-^ строить в общем случае не удается. На сегодня единственным способом исследования § этой системы оказался начатый в 2002 г. [18] цикл работ по обнаружению и изучению
с^з
Ч -
Оч
С^З
X * Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ и Администрации Волгоградской области © № 10-01-970001.
критических подсистем. В итоге это позволило построить для исходной задачи трехмерную бифуркационную диаграмму [13; 27] и приступить к трехмерной классификации критических точек с целью построения инвариантного описания фазовой топологии. С точки зрения явной интегрируемости критические подсистемы оказались по своей общности равными всей классической задаче Ковалевской и обнаружили все черты систем, в которых разделения переменных удается получить алгебраическим путем. В настоящей работе мы называем такие системы алгебраически разделимыми. Однако цель работы состоит в демонстрации геометрических методов построения разделения переменных вместе с преимуществами современных компьютерных систем символьных вычислений. Несмотря на наличие результатов по минимизации количества свободных параметров задачи, технические сложности настолько высоки, что практически выходят за рамки возможности счета «вручную».
Все представленные в настоящей работе выкладки выполнены в системе Mathe-matica 7 (Academic License # L3298-7174). При этом, конечно, ни одно сколь-нибудь серьезное вычисление не дается просто. Особенно аккуратно следует работать с радикалами и комплексными величинами. Каждый промежуточный результат необходимо анализировать, чтобы «подсказать» компьютеру дальнейшие подстановки или преобразования. Именно поэтому ниже подробно представлен каждый переход. В противном случае проверить предложенные расчеты было бы невозможно. В этом вопросе позиция авторов однозначна — любой результат, полученный аналитически, должен быть изложен в эффективно проверяемой форме.
Используемый термин «алгебраически разделимые системы» не является общепринятым. Широко используется понятие, для которого английским эквивалентом является «algebraic complete integrable system», где слово «алгебраический» относится к системе, а не к способу интегрирования. Такие системы связаны с якобианами и многообразиями Прима алгебраических кривых и возникают в механике при наличии представления Лакса и возможности явно указать связь фазовых переменных и координат на алгебраической кривой. Однако последняя возможность весьма редка и возникает лишь в том случае, когда род кривой невысок. Поэтому разделения переменных на алгебраических кривых крайне редко сопровождаются явными выражениями фазовых переменных через разделенные, что лишает права такие случаи называться решениями. Здесь предложен другой путь — идти от геометрии, искать такие проекции фазового пространства, при которых интегральные многообразия принимают наиболее простой вид. Если это удается (а общего способа это сделать не существует), то связь с исходными фазовыми переменными сохраняется изначально. Поясним постановку задачи. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на подмногообразии V вещественного арифметического пространства
относительно набора фазовых переменных х, допускающую разделение переменных вида
1. Геометрический подход к разделению переменных
1.1. Геометрия разделенных переменных
- = Х(х), хбР
(1.1)
(1.2)
Здесь Si — вспомогательные переменные (вектор, составленный из вспомогательных переменных, обозначим через s); функции Pj(s;f) — многочлены от одной переменной s (с коэффициентами, зависящими от набора произвольных постоянных f); т — «приведенное время», связано с реальным временем t зависимостью f = p(s) > 0. В основном такие разделения переменных имеют механическое происхождение, в связи с чем уравнения (1.2) имеют структуру интеграла энергии. При этом предполагается, что все фазовые переменные хj выражены через вспомогательные рациональными функциями от набора радикалов Ria = y/si — еа (еа G С) с коэффициентами, гладко зависящими от s. В совокупность чисел {еа}, зависящих, конечно, от постоянных f, включим и корни многочленов Pi. Как показывают классические примеры, именно корни Pi и исчерпывают обычно все множество {еа}.
Для системы (1.1) векторный параметр f является набором произвольных постоянных некоторой совокупности Т первых интегралов. Зависимости
x = x(s;f), seAcc(f) (1.3)
представляют собой (многозначные) параметрические уравнения интегрального многообразия J-"_1(f) С V. Здесь Acc(f) — область в пространстве вспомогательных переменных, которая заполняется траекториями системы (1.2) при заданном f. Ее традиционно называют [10; 15] термином «область возможности движения» (ОВД). В английских переводах предложен более короткий термин — достижимая область (accessible region), который вполне отражает суть дела и которым обусловлено обозначение области аргументов в (1.3).
Пусть (1.1) — гамильтонова вполне интегрируемая система с двумя степенями свободы, и
T-.V^K2 (1.4)
— ее интегральное отображение компактного характера. Две степени свободы выбраны для простоты изложения, а также потому, что в рассмотренных ниже примерах число степеней свободы не превосходит двух.
Определение 1. Множество IrnJ7 назовем допустимой областью (в пространстве констант первых интегралов). Соответственно, точка f G R2 называется допустимой, если интегральное многообразие = J7_1(f) ф 0.
Разделение переменных — это, вообще говоря, некоторое отображение
-■■'Р >К2, ,, (1-5)
фазового пространства на плоскость вспомогательных переменных (si, S2), которое переводит систему (1.1) в систему уравнений (1.2) с i = 1,2. Ясно, что при фиксированном f мы имеем вполне определенное отображение
"г^г (1-6)
Определение 2. Для заданного f назовем достижимой областью образ интегрального многообразия на плоскости вспомогательных переменных
Acc(f) = 7rf(Jf).
Ясно, что Асс(£) есть подмножество в
{(зЪ82):Рг(8г,{)>0,1=1,2}, (1.7)
причем это включение таково, что любая точка включается в Асс(£) только вместе со всей своей связной компонентой в множестве (1.7). Множество Асс(£) есть, следовательно, совокупность прямоугольников на плоскости (зь^г) (допускаются и «бесконечные» прямоугольники — полуполосы и даже квадранты). Тот факт, что достижимая область для всех постоянных интегрирования есть прямоугольник (в указанном обобщенном смысле), очевидно, является необходимым условием разделения переменных. Вероятно, вооружившись определенными предположениями о нетривиальности проекции вида (1.6) или о существенной зависимости уравнений границ достижимой области от параметров ¥ в терминах неравенства нулю некоторых якобианов, можно доказать и достаточность, но такая глобальная задача здесь не ставится. Нам необходимо понять, как можно построить разделение, и взять это понимание за основу при выборе направления поиска.
Заметим, что далеко не всегда разделение переменных имеет вид глобального отображения (1.5). Из классических интегрируемых задач динамики твердого тела разделение переменных в виде замены, не зависящей от постоянных интегрирования, известны, например, для случаев Эйлера (одна переменная, которую тоже можно назвать переменной разделения), Горячева — Чаплыгина (и обобщение на гиростат, данное Л.Н.Сретенским [9]), Клебша при нулевой постоянной площадей. Уже в случае Ковалевской [30] замена переменных строится путем, который существенно использует интегральные равенства. Однако, имея отображение (1.6) для всех можно хотя бы формально подставить ¥ = ^(х) и получить некоторое отображение вида (1.5). Здесь важно отметить, что практически во всех важнейших задачах разделение переменных не строится напрямую в виде (1.5). Как правило, вначале находится некоторое промежуточное отображение V —> фазового пространства на плоскость (для двух степеней свободы) некоторых вспомогательных переменных (назовем это картинной плоскостью, переменные обозначим £1,^2), после чего переменные разделения вводятся как функции от причем не всегда явные, а определенные, например, некоторым уравнением.
В чем состоит геометрическая сущность такого способа действий? При отображении фазового пространства V на картинную плоскость образ интегрального многообразия Т^ есть область, ограниченная некоторыми кривыми. Если эти кривые удается включить в двухпараметрическое семейство кривых на плоскости которое может быть взято за координатную сеть, то в такой сети образ интегрального многообразия будет прямоугольником, и, значит, в новых координатах будет выполнено необходимое условие разделения переменных и есть надежда такое разделение построить, получив вывод соответствующих дифференциальных уравнений. При этом неважно, получена ли такая криволинейная координатная сеть единым образом, то есть независимо от постоянных первых интегралов, или, как в случае Ковалевской, эта сеть крайне сложным образом зависит от констант интегрирования (сеть Жуковского).
Изучая проекции V на картинную плоскость или, в более общем случае, на некоторое картинное многообразие, учтем и то обстоятельство, что на V может не существовать единой системы локальных координат. Так, в задачах динамики твердого тела V = ТБО(3), где матричная группа естественным образом вложена в И9, и любая система трех локальных координат либо не покрывает V, либо имеет неустранимые особенности (как, например, углы Эйлера и их модификации). Таким образом, мы рассматриваем V как подмногообразие в некотором вещественном векторном пространстве
V достаточно большой размерности, заданное как поверхность уровня некоторого гладкого регулярного отображения Г пространства V в вещественное арифметическое пространство размерности dim У — dim Р. В динамике твердого тела компоненты такого отображения называют геометрическими интегралами (тождества с направляющими косинусами), а в теории уравнений Эйлера на алгебрах Ли эту роль выполняют функции Казимира.
Объединив J с Г, получим задание интегрального многообразия как поверхности уровня некоторого нового, расширенного, интегрального отображения
G :V ^ Z,
где V, Z — арифметические пространства:
^ = дъ=д~1{ъ), ъег.
Подходящим выбором глобальных систем координат можно представить V = X х Y, где X — картинная плоскость, и заменить проекцию на ^-плоскость проекцией на первый сомножитель
Рх : X х Y ->• X.
Эта конструкция легко обобщается на случай, когда X,Y,Z — произвольные гладкие многообразия. Так, например, в осесимметричных задачах динамики твердого тела роль многообразия X часто играет так называемая сфера Пуассона S2. При таком подходе имеем вместо Acc(f) такую же область
Acc(z) = Ъоарх\дж =Px(Q~1(z)).
Для построения подходящих сетей криволинейных координат на картинной плоскости нам необходимо исследовать границы достижимых областей, но не только топологические границы, а то, что в геометрии и теории волновых фронтов принято называть видимым контуром.
Определение 3 ([15]). Назовем обобщенной границей достижимой области Qz множество критических значений отображения
Рх\дя ■ Qz ->■ X.
Избежать зачастую невозможного построения явных решений уравнения Q = z при исследовании обобщенных границ позволяет следующий результат [15].
Предложение 1. Пусть v е V. Обозначим через L(v) ограничение оператора
Tvg : X xY—tZ
на подпространство Y. Образ точки v е <3Ъ принадлежит обобщенной границе достижимой области Acc(z) тогда и только тогда, когда rankL(v) < dim Z.
Естественно, что все приведенные рассуждения имеет смысл применять лишь в случае, когда dim£?z ^ dimX, что равносильно неравенству dim У ^ dim Z. В глобальных координатах на V, Z условие на ранги легко выписывается в терминах ранга соответствующей матрицы Якоби.
1.2. Интегрируемые задачи динамики твердого тела в двойном поле
Мы применим изложенные выше соображения к системе уравнений, описывающих вращение твердого тела вокруг неподвижной точки в линейном потенциальном поле
_du) , da df3 оч
I— = la; х ш + ri x a + r2 x p, —— = ax uj, — = p x ш. (1-oj
at at at
Здесь ш = (ш1,ш2,и}з), a = (a-i, a'2, Q'3), (3 = (pi, /32, /З3) — фазовые переменные. Постоянные векторы г!,г2 G R3 и диагональная матрица I служат физическими параметрами. Геометрические интегралы формируют соответствующее отображение Г : R9 —> R3 are а2,02,а-(3. Это — функции Казимира для скобок Пуассона на R9, которые превращают уравнения (1.8) в гамильтонову систему [25]. Если векторы интенсивности силовых полей а,(3 линейно независимы, то совместный уровень геометрических интегралов есть гладкое шестимерное многообразие V, снабженное симплектической структурой.
Положим I = diag{2, 2,1}, ri = (1, 0, 0), г2 = (0,1, 0). Тогда уравнения (1.8) описывают движение волчка Ковалевской в двойном силовом поле. Первый частный (то есть с ограничениями на фазовые переменные) случай интегрируемости найден в [2;3;25]. В особом случае Яхья [32] (с ограничением на силовые поля \а\ = \(3\,а ■ (3 = 0) система имеет группу симметрий и приводится к семейству интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Полная интегрируемость задачи в целом установлена в работах [8; 31]. Более детальное изложение для случая гиростата представлено в [24]. Определение 4. Пусть а.,/3 £ R3. Постоянные
р= \J а2 + /3>2 > 0, г = \J(а2 — 02)2 + 4(а • (З)2 (1.9)
назовем инвариантами пары (а,{3).
Очевидно, р ^ г и р = г тогда и только тогда, когда a х (3 = 0. Это — классический случай Ковалевской. При г = 0 имеем приводимый случай Яхья. Пусть в £ R. Обозначим
0= [ С?д ) , 0
Sill в cos t
0 0
0 1
(1.10)
Предложение 2 ([16]). Линейный изоморфизм R!
9
£)=6 (?)ёт' и'=ёи- (1Л1)
сохраняет уравнения (1.8). Его орбита в пространстве R6 = {(а.,/3)} состоит из всех пар, имеющих одни и те же инварианты. Любая такая орбита содержит ортогональную пару.
Отсюда следует, что без ограничения общности можно считать, что фазовое пространство неприводимой системы V С R9 задано уравнениями
а2 = а2, (32 = Ь2, а -/3 = 0 (а > Ъ > 0). (1.12)
Утверждение сохраняется и для случая гиростата в аналогичном силовом поле [12].
Интегрирование обобщенной системы Ковалевской в целом не выполнено. Алгебраическое разделение переменных получено в следующих случаях:
• подсистема с одной степенью свободы, состоящая из трех семейств критических траекторий в первой критической подсистеме с двумя степенями свободы (сама система открыта О.И.Богоявленским в основополагающих работах [2;3], интегрирование семейств критических траекторий выполнено в [19]);
• вторая критическая подсистема с двумя степенями свободы (найдена в [18], разделение переменных указано в [21; 28]);
• третья критическая подсистема с двумя степенями свободы (найдена в [16], разделение переменных (комплексное) указано в [17]).
Основная система уравнений в скалярной форме такова:
2й)1 = и2и-^ + /?з, 2о;2 = —и)\и)з — а'з, йз = а2-р1, ¿'1 = а'2^3 - а3ш2, Р1 = ¡32из -а-2 = а'з^1 - р2 = ~
¿'з = а\ш2 — а'2^1, /5з = Р1Ш2 — /Зг^ь
(1.13)
Ее первые интегралы в инволюции [2; 31]:
H = ul + ul + ^ul- (ai + /32), К = (ш{ -Ш22+ Q'i - /32)2 + (2илш2 + а2 + А)2,
1 2 1 2 (1Л4)
G = (oi\UJi + Q'2^2 + -û'3^3) + (P1UJ1 + (32UJ2 + -/Зз^з) +
" 1 "
+ u;3(7iu;i + у2ш2 + -73^3) - ®ib2 - f32a2.
Здесь 7,i — компоненты вектора а x (3. Обозначим соответствующие постоянные через h, к, д.
Для компактной записи уравнений критических подсистем используем комплексную замену переменных [16], обобщающую замену С.В.Ковалевской и подсказанную представлением Лакса [31]:
Xi = (Q'i - /32) + i(Q'2 + /3l), Х2 = (Q'i - /32) - Î(Q'2 + /3i), Vl = (Q'I + /32) + i(û'2 - /3l), У2 = (Q'I + /32) - i(û'2 - /3l),
-1 = û'3 + 1/З3, -2 = û'3 - 1/З3, W1 = UJi + i UJ2, W2 = UJi — i UJ2, «'3 = ^3,
(1.15)
где г = —1. Первые интегралы преобразуются к виду
н = + п\иь2 - + у2), К = (и>1 + Х1)(и% + х2),
С = ^(р2 - ,Г\.Г>)1С2 + ^(уХ^хУОх + Х122иь2)и^+
+ + У1«>2)(У2«>1 + ги2) - + Уг) + +
Здесь, в соответствии с (1.9), (1.12),
р2 = а2 + Ь2, г2 = а2 — Ь2. (1.17)
Уравнения (1.12) примут вид
-1 + Х1У2 = г2, + х2у\ = г2, (1.18)
+ У1У2 + = 2р2. (1-19) Первая критическая подсистема Л4 \ С Р задана соотношениями
ио\ +^1 = 0, и>2 + ^2 = 0.
На Мг
к = 0, (1.20)
а в качестве независимого интеграла в дополнение к Н принимается интеграл Богоявленского
Р = и'1П'2и'з + Z2U.il + ZlUl2. Вторая критическая подсистема М.2 С V определена уравнениями
х 1X2^1-3 — (x2ZlWl + XlZ2Ul2) = 0, —(и) \ + #1) — + х2) = 0. (1-21)
XI Х'2
На М.2 в качестве пары независимых интегралов принимается
М = [— («>2 + Х1) + —(и>2 + ^2)] , Ь = (ц>1ц>2 + + ZlZ2M).
0С\ СС 2 Л/Х1Х2
(1.22)
Постоянные общих интегралов (1.16) удовлетворяют соотношению
(р2к — 2д2)2 — г4 к = 0. (1.23)
Третья критическая подсистема Л^з С V задана уравнениями
иь2Х 1 + 11>1У2 + WзZl и'1Х2 + иь2Ц1 + 11^2 _ IV1 IV 2
. . о Г«'2~? «'1-2 / \
(«'2-1 + «'1-2)«'3 +--1---Ь ги1Ъи2{У1 + у2) + ,, 0/П
и'о^Р 1 — 1
«'3 -'
+ +
И'1 1И 2
+ Х^21и2 + ^2-1«'1 + («'1-2 - «2-1) (У1 - У2) = 0. Здесь в качестве независимых интегралов выступают функции
1 ( У2«1 + ^1«'2 + -1«'3 , ^2«! + У1«2 + -2«'3 ^
— ~~ 71 I )>
4 И'1 и>2
Т = ^[и>1(х2и>1 + У1«>2 + -2«'з) + «'г(У2«'1 + х 11112 + -1«>з)] + (1-25)
+ ХгХ2 + -1-2,
а постоянные интегралов (1.16) на многообразии {Б = в,Т = т} удовлетворяют уравнениям
л р2~т . / г2-2р2г + г4 , р4 - г4 , 1,2 ч п
+ ^ к =-¡¡2-+ т' ^= ^ 2 ~(1'26)
При стремлении Ъ к нулю критические подсистемы переходят в знаменитые классы Аппельрота особо замечательных движений волчка Ковалевской [1]. С точки зрения фазовой топологии интегрируемой гамильтоновой системы эти подсистемы формируют множество критических точек отображения момента, а уравнения (1.20), (1.23), (1.26) описывают бифуркационную диаграмму [16].
2. Две системы криволинейных координат
Рассматривая вопрос о решении задач механики, К.Якоби писал [23]: «Главная трудность при интегрировании дифференциальных уравнений состоит в введении удобных переменных, для разыскания которых нет никакого общего правила. Поэтому мы должны идти обратным путем и, найдя какую-нибудь замечательную подстановку, разыскивать задачи, в которых она может быть с успехом применена».
Следуя этому указанию, введем две системы криволинейных координат на плоскости, полезные для решения ряда новых задач.
Рассмотрим два положительных числа р > г > 0. Введем на плоскости (х, z) два однопараметрических семейства окружностей
За исключением точек самих координатных осей Ox, Oz эти семейства образуют сеть криволинейных координат (si,s2) на плоскости (x,z). На рисунке 1 показаны: а) кривые Si = const для Si ^ г; б) кривые s2 = const для некоторого интервала изменения, симметричного относительно нуля; в) совместная сеть (si, S2), масштаб искажен для наглядности.
2.1. Система 5i,52
X2 + Z2 + Г2 = 2si^r, X2 + Z2 — Г2 = 2.S2X.
(2.1)
(с)
Рис. 1. Координатная сеть (si,s2)
Для дифференциалов имеем
^2 _ ^2 _ ^->2 ^ _ j ^,2 ^
dsi =-—-dx H—dz, ds2 =-—;-cfcr H—dz. (2.2)
) Гр ¿1 Гр ) ry-Z ry>
«Л/ «Л/
Установим связь с конфигурационным пространством твердого тела (1.12) и найдем его образ на плоскости (si,s2).
Выберем параметры р,г в соответствии с (1.17). Введем переменные x, y,z так, что
;г2 = XÎX2, у2 = У1У2, = (2.3)
Тогда в силу (1.19) получим эллипсоид
+ у2 + 2л2 = 2 р2.
Определим si, s2 согласно (2.1). Из (1.19) выразим
угу2 = 2р2 - X2- 2z2 (2.4)
и представим (1.18) в виде
(~i + z2)2 = 2г2 - (xiy2 + x2yi) + 2л2, (~i - -2Ï2 = 2г2 - {хгу2 + Х2У1) - 2z2.
Условия (2.8) примут вид
">1 ^ <л ) °2
(2.5)
Исключая и произведение угу2 из (1.18), (1.19), (2.4), получим
г2(х±У2 + Х2У1) = г4 + 2р2х2 - (X2 + л2)2. (2.6)
Обозначим
ф±0г, z) = (X2 + л2 ± г2)2 - 2(р2 ± г2)х2. Из (2.5), (2.6) найдем выражения
r2(zl + Z2)2 = Ф+0г,л), Г2(л1-Л2)2 = Ф_(^,Л). (2.7)
Следовательно, область изменения х,z определяется неравенствами
(2.8)
В соответствии с (2.1) положим
х2 + z2 + г2 х2 + z2 — г2 51 =-2х-' 82 =-Ъ-• (2'9)
sj > a2, s22 < б2. (2.10)
Эта прямоугольная (в обобщенном смысле) область есть образ фазового пространства V при проекции (ш,а,/3) н> (сх.,/3) н> (з!,з2). Образ V на плоскости (х^) с соответствующей частью сети (31,32) показан на рисунке 2 для первого квадранта.
Рис. 2. Образ фазового пространства 2.2. Система ¿1, ¿2
Рассмотрим на плоскости (£,#) кривую 2-го порядка
^ + - = 1, (2.11) а т
где т,а не являются одновременно отрицательными. Пусть (£,#) — произвольная точка области
т£2 + ах2 > та. (2.12)
Тогда из этой точки можно провести ровно две касательных к кривой (2.11). Иначе говоря, система касательных к кривой (2.11) образует в области (2.12) сеть прямых такую, что через каждую точку проходит ровно две различные прямые этого семейства (рис. 3). Этот факт в геометрии, конечно, хорошо известен.
АЛ—х
Рис. 3. Сеть касательных к кривой второго порядка Для описания такой сети введем переменные ¿1,^2 как корни квадратного уравнения
+1^=0. (2.13)
т — х т — хг
Его дискриминант всегда положителен в области (2.12), и поэтому следующие выражения вещественны
+ /лх — /лх
4 =
где
/, I, (2.14)
9 * ^ 9
т — X т — X
ц = л/т£2 + ах2 — та € И. Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 13. 2010 57
Отметим связь двух введенных систем координат, которая будет полезна в дальнейшем. Пусть по-прежнему заданы параметры р,г,а,Ь (1.17). Положим в (2.11)
а = г2 - 2р2т + г4,
и пусть координаты введены на плоскости (51,52) так, что
* = (2.15)
51 - 51 - 52
По отношению к переменным (2.3) будем иметь
£ = x2 + z2-т. (2.16)
Тогда граничные прямые области (2.9)
51 = ±а, 52 = ±Ь (2.17)
окажутся и координатными линиями сети (¿1,^2):
¿1 = -т ± Г2, ¿2 = -Т Т Г2.
Соотношения для дифференциалов выпишем ниже для конкретной системы дифференциальных уравнений движения.
3. Пример геометрического разделения
Рассмотрим вторую критическую подсистему. Фиксируем константы первых интегралов (1.22):
М ///. Ь = £. (3.1)
Исключая из семи уравнений (1.21), (1.18), (1.19), (3.1) шесть величин — переменные и>1, и>2, и>3, г/1, г/2 и выражение + получим одно уравнение, содержащее переменные Х\,Х2 и произведение Z\Z2■
m(xix2 + Z1Z2) + \J r4m2 — r2m(xi + X2) + ^1^2 = £2- (3.2)
1 r /-п2
X\X2
Положим ^1+^2 = 2ж cos ф, получим
m(x2 + z2) + \Jr4m2 — 2r2mx cos ф + x2 ± £x = 0.
Согласно предложению 1 обобщенная граница проекции на плоскость (х, л) множества, заданного уравнением вида f(x,z,ф) = 0 при отсутствии ограничений на ф, определяется уравнением df /дф = 0, что в нашем случае сразу же дает sin0 = 0, и тогда на обобщенной границе
m{x2 + z2) + |г2т. ± ± £х = 0,
то есть
X2 + z2 ± г2 ± --х = 0.
т
Для любой комбинации знаков эти кривые на плоскости (х, z) служат координатными линиями криволинейной сети (31,32), заданной формулами (2.1). Поэтому в плоскости (31,32) все интегральные многообразия (3.1) представляются прямоугольниками (возможно, неограниченными). Покажем, что этот факт действительно приводит к разделению переменных. Запишем уравнения (1.13) для переменных (1.15):
х\ = + , х'2 = х2413 — z2412)
у[ = -угШз + Z24!1, У-2 = У2«'3 - ~1«>2, ,д дч
2^ = Х1Ч'2 - У2«'1, 24 = —Х2и'1 + У1«>2,
2Ц = -411(413 - А) - Ль 2«4 = - А) + 2гю'г = у2-уи
Здесь штрих означает дифференцирование по мнимому времени и. В силу этих уравнений
[^1^1(^2 + у2х 1)412 - х2г2(г1 + Угх^Шг].
(3.4)
Поэтому, учитывая (3.1), из (2.2) находим
Обозначим = у/г2т — Х\, К2 = у/г2т — х2. Тогда из (1.21) выразим
(3.6)
Уравнение (3.2) запишем в виде
т(х2 + z2) + Д1Д2 = ('х.
(3.7)
Из определения К\,К2 имеем
И2 + Щ = 2г2т, — (;Г1 + х2), ЩЩ = г4т2 — 2г2т,(х1 + х2) + х2. Поэтому из (3.7) получаем
Д1Д2 = £х - т(х2 + 22)
{[(.х — т(х2 + z2)]2 — ;г2} + г2 т.
2ч]2
(3.8)
Используя выражения х, х2 + л2 через в!, в2, найдем
г
(3.9)
Ф(вь з2) = 4т^2 - 2£(81 + з2) + —(С2 - 1),
т
Ф(з) = в) = 4те2 - 4£в + ±(£2 - 1).
(3.10)
Тогда из (3.9) имеем
+ = Л), Я1-Я2 = —^— Л). (3.11)
51 - 52 У 51 - 52 У
Здесь и далее знаки радикалов никак не оговариваются, за исключением общего правила: будучи единожды выбраны при первом определении через них каких-либо переменных, далее эти знаки сохраняют те же значения и в последующих формулах (согласованность). С учетом этого, из (2.7) найдем выражения с двумя новыми радикалами
2 г г,—: 2 г
+ ~2 =-\s\-a2, zi-z2 =-\s2-b2- (3.12)
Si - s2 v Si - s2
Подставляя (3.6), (3.10), (3.12) в (3.5) и возвращаясь к производной по времени t, получим систему уравнений, описывающую изменение во времени переменных si,s2:
в которой переменные разделены. Эта система интегрируется в эллиптических функциях.
Для обоснования того, что разделение переменных действительно дает полное аналитическое решение задачи, необходимо выразить через переменные разделения si,s2 все фазовые переменные. Величины z\,z2 однозначно определены из (3.12).
Переменные найдем из (3.8), (3.11) и определения (2.1). Из уравнений (1.18)
найдем у\,у2, a w\,w2 определятся из (3.6). Наконец, переменная w3 выразится из первого уравнения (1.21). В результате получаем зависимость от переменных разделения комплексных фазовых переменных:
2
XI = -—S2) + д/ф(в1>ф(в2)],
2(si — s2)2
у 2
Х2 = --
:№i,s2) - д/ф(в1>ф(в2)],
2(si — s2)'2 _
J2Sls2-p2)-2^(si-a2)(si-b2) - у/Ф(51)Ф(52) = 2(2sis2-p2) + 2^(sj - a2)(s[^W) Ш " Ф(51,52) + у/Ф(в!)Ф(в2)
= -^—(Jsl ~ a2 + Js2-b2), Sl s2 v
-2 = —^^s2-a2 - \Js22 — b2),
.Si — .So V V
W1 = r
Si - s2_
v/фЩ - V^(s7)
w2 = r
+ VWl)
^(Sl,S2) + Л/Ф(в1)Ф(в2) ' ws = -^—[^(s2-b2Msi) -
S1 — .So v v
Обозначим
= yjs\- a2, ^i = Ф(в1), S2 = =
Тогда
«1 = —-—^[(«152 - а2)Ф +
2(51 - 52)2
/52 = 0/ 1 ,2[(3132 - ь2)Ф + (3.13)
2(51 - 52)2
а'з =-¿>1, /5з =-52,
51 - 52 51 - 32
Ш1 = 9(8 _ ) ^ ~ 2т81)У2, = _ ^ ^ (I - 2?В52)(/?Ь
Шз = —-—- 51(/?2).
51 - 52
Задача аналитически решена.
4. Разделение переменных в гиперэллиптической системе 4.1. Геометрия проекций интегрального многообразия
Рассматривается динамическая система, определенная уравнениями (1.13) на инвариантном почти всюду четырехмерном многообразии Л^з, заданном в пространстве И9 пятью конечными уравнениями (1.18), (1.19), (1.24). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы почти всюду, за исключением множества точек меры нуль, в которых либо нарушается независимость уравнений (1.24), либо вырождается индуцированная симплектическая структура. Возможность разделения переменных была предсказана в [11], но потребовалось много усилий, чтобы получить с помощью САВ выражения хотя бы для комплексных переменных разделения [17]. Здесь на основе второй из введенных выше систем координат мы сразу получаем формулы в вещественной области.
Функции 5, Т, определенные согласно (1.25), образуют полную систему первых интегралов на В частности, система уравнений интегрального многообразия
{(еР6:Н(() = к,К(0 = к,С(0 = 9} с функциями (1.16) заменяется инвариантными соотношениями (1.24) и уравнениями
5 = 5, Т = т. (4.1)
В переменных (1.15) преобразуем систему (1.24), (4.1) к виду
(у2 + 2 + Х111>2 + = О,
+ (У1 + 2з)«>2 + Z2W■i = 0, ,4 „
^2~1«>1 + ^1~2«>2 + (т - .г \.г 2) <!':■, = 0,
28«>1«>2 — + ~1~2) + Г = 0.
Используя для записи функций и уравнений переменные (1.15) и рассматривая соответствующую динамику, как описываемую уравнениями (3.3), отметим, что несмотря
на комплексность переменных (1.15), их пространство девятимерно — пары = Щ, г/2 = уГ, = ЗГ комплексно сопряжены, гиз вещественно. Семь соотношений (4.2), (1.18), (1.19) определяют в нем интегральное многообразие Т3,т, которое в случае отсутствия на нем точек зависимости интегралов 5, Т будет состоять из двумерных торов с условно-периодическими траекториями.
Введем на плоскости (х^) первую систему криволинейных координат (2.9). Неравенства (2.8) дают (2.10). Это — обещанное ранее обоснование неравенств (2.9). На этом этапе использованы только геометрические интегралы, то есть найденная область есть образ всего фазового пространства V. Соответствующая область на плоскости (х^) показана на рисунке 2 для первого квадранта. Указана также и координатная сеть (51,52).
Положения равновесия исключим как конечное множество точек V. На остальных движениях и) ф 0 для почти всех моментов времени, и определитель трех первых уравнений (4.2) по иц (г = 1,2,3) тождественно равен нулю. Исключая из этого условия и произведение У1У2, с помощью (1.18), (1.19), (2.4), получим
2в[(г2Д^1 - тух) + (г2х2 - ту2)] = -Г2(х1У2 + х2у1) + о,
+ 2[2з2(т - х2) + р2(т + *2) - т(х2 + л2)].
С другой стороны, из (2.3), (2.4)
(г2х 1 — ту1)(г2Х2 — ту2) = глх2 + т(2р2 — X2 — 2 z2) — г2т(х1У2 + Х2У1). (4.4)
Обозначим
а = т2 — 2р2т + г4, \ \'Т 0. (4.5)
Из второго соотношения (1.26) следует тождество
и2\2 = с + 4 з2т. Введем комплексно сопряженные переменные
^1 = г2^1-гуь Р2 = Г2Х2-ТУ2 (4.6)
и обозначим для сокращения записи
£ = x2 + z2 -т. (4.7)
Исключая из (4.3), (4.4) выражение Х1У2 + Х2У1 с помощью (2.6), получим систему
+ ц,2) = С2 - 4з2(;г2 - т) - а, ¡1,1ц,2 = т£2 + ах2 - та. (4.8)
Эти два уравнения от четырех переменных определяют интегральное многообразие Т3,т в пространстве (х, z,¡tl,¡t2) (^2 = Ш)- Согласно предложению 1 на обобщенной границе его проекции на (х^) якобиан системы по переменным ¡11,112 равен нулю, или, с учетом (4.5),
(£ - 2,,- - 2*\)(< - 2,,- + 2*\)(< + 2,,- - 2^)(£ + 2,,- + 2,\! = 0.
Сравнивая (4.7) с (2.16), вспомним, что граничные прямые для области (2.10) при замене (2.9) являются касательными к кривой второго порядка
т£2 + ах2 -та = 0. (4.9)
Составим результант по £ любого из уравнений прямых на плоскости
£±2з;г±2зх = 0 (4.10)
и уравнения кривой (4.9). Получим 4в2(т ± Xх)2- Следовательно, все прямые (4.10),
ограничивающие вместе с прямыми (2.17) проекцию интегрального многообразия, представленную в переменных также касаются кривой (4.9), а именно, при х = ^рт/х-
\ «2
>
ч \м
Рис. 4. Пример достижимой области (а = 1; Ъ = 0,4; т = 1,2; з = —0,6)
Система неравенств (2.8), (4.11) задает на плоскости (х^) достижимую область Асс(з,т). Изобразим эту область на плоскости переменных (51,52). Выберем А1 = \J2sni + а и Л2 = \Jlsn2 + с комплексно сопряженными. Тогда система (4.8) запишется в виде
(А1 + Л2)2 = £+(*, z), (А1 - А2)2 = z),
где
Условия ее разрешимости
Выразим
(х, z) = (х2 + z2 -т± 2 8х) ~ V.
л) ^ 0, с) < 0.
где
X2 + Л2 - Т = [51 + 52 - -¡(^1 - 52)]^,
£+(*, z) = х2А+А_, = Х2М+М_,
А±(5Ь в2) = 51 + 52 - - ± 25,
т + 2вх
М±(81,82) = 51 + 52 --(^1 - 52) ± 25.
Из (4.11), (4.12) имеем
Л+(51, 52)А-(51, 52) ^ О, М+(5Ь 52)М_(5Ь 52) < 0.
(4.11)
(4.12)
(4.13)
Рассмотрим параллелограмм, образованный прямыми Л± = 0, М± = 0. Решения системы неравенств (4.13) заполняют две полуполосы, примыкающие к его сторонам, лежащим на прямых Л± = 0. Кроме того, решения неравенств (2.10) образуют две горизонтальные полуполосы, примыкающие к сторонам 52 = ±6 прямоугольника с вершинами 51 = ±а, 52 = ±6. Пересечение указанных множеств и дает достижимую область по переменным 51,52. Пример такой области приведен на рисунке 4. И в этих переменных все граничные прямые являются касательными к кривой 2-го порядка — образу кривой (4.9) после замены (2.15).
Из представленной геометрии проекций интегральных многообразий на плоскости (зь^г) следует вывод о возможности разделения переменных при использовании второй системы криволинейных координат, определенной равенствами (2.14), в котором все остальные обозначения имеют определенный здесь смысл.
4.2. Параметрические уравнения для фазовых переменных
На двумерном интегральном многообразии (4.1) фазовые переменные (1.15) могут быть выражены через две вспомогательные переменные. На первом этапе в качестве таких переменных удобно выбрать С учетом принятых обозначений из уравнений (4.8) получим
Gui - 2st) + (ß2 - 2st) = - 2s(x2 + X2), (ßi - 2sr)(ß2 - 2st) = 4s2x2x2.
Отсюда где обозначено
ßi = 2 ST + — (л/ф1
8s
'2) , ß2 = 2 ST + — (л/ф1 -
8s
(4.14)
чм.г.а = е - + х)\ а = е - - х)2-
Считая величины /л известными функциями от рассмотрим два уравнения (4.6), определение у2 = уху2 и уравнение
//1У2 2/г 2.- • г) •
вытекающее из (2.4). Из полученной таким образом системы четырех уравнений с учетом (4.14) находим
Xi =
Х2 =
Vi = 2s
У2 = 2 s
2s 4r4(x2 - т) + r( \/W~i + \/Щ) г2 Ш2Т + {yfth - y/W2)2
„4 (,'2
2s Ar (х -т)+ т( Л/Ф1 - у/Ф2)2 г* 1б52Г+(у/Ф1+ л/Щ2 ' 4[2т£ - т(х2 - т) + а] - (у/ф1 -
(4.15)
16s2T+ ( v/ФТ- л/Щ)2 4[2r^ - т(х2 - т) + а] - (у/¥Т + 16s2T+ (л/фТ+ V^)2
(4.16)
где
Ф1(лг,0 = (£ + т + г ) — 2(р + г )х , Ф2(х,0 = (£ + г - г2)2 - 2(р2 - г2)х2 (4.17)
— многочлены, полученные из Ф± при замене л на £ согласно (4.7). В дальнейшем эта замена подразумевается. Из (2.5) сразу же находим
2Г у V 2г
'Ф1-Л/Ф2). (4.18)
В результате получены выражения для конфигурационной группы переменных. Знаки радикалов в формулах (4.15), (4.16), (4.18) произвольны, но согласованы.
Для нахождения переменных иц, отвечающих за компоненты угловой скорости, воспользуемся выражениями (1.16) для общих интегралов К,Н и соотношениями (1.26), определяющими их постоянные через з,т. С учетом обозначений (4.5) можем записать
К = («>2 + а?! + яг) = X2,
1 2 1 / ч р2 ~ Т
Н = + и>1«>2 - - (г/1 + У2) = 5 + 9 •
Из (4.19), (1.25) получаем систему
х2и>'2 + хг = -¿К2 + 4з2(;\:2 + ^2)]>
откуда
Здесь
И'1
«'1«'2 = 7Г'
'©^л/ёл
= (е - 2^)2 - ©2^,е) = (?+2^)2 - и-\2.
Подставляя (4.21), (4.16) в (4.20), находим
1
11> о
■(Р- х/Ф^ФЖФ
2 ,
где
(4.19)
(4.20)
(4.21)
(4.22)
(4.23)
Р = 4з2(х2 - х2Шт - р2)х2 - т2 + г4] + 8з2[(т - 2\ - )./•- + тХ2]£~ - 2[(т - р2- 2з2)х2 + т(р2 - 2з2) - г4]£2 - 2т£3 - £4.
Обозначим
д = (С + т + 2з2- р2)2 - 43 V - (р2 - 2з2)2 + г4.
Имеем тождество Р2 — Ф1Ф2Ф1Ф2 = 4;г2(т£2 + ах2 — та)(З2. Поэтому с учетом второго уравнения (4.8) из (4.23) получим
и>3 = —^(у/К ~ у/Ъ), (4.24)
где
Р\ = Р + 2х/лС}, Р'2 = Р — 2 х/л8, //2 = //1//'2-При этом, как следует из (4.8),
2 у- 2 , 2
= + спг — та.
(4.25)
(4.26)
Таким образом, соотношения (4.15), (4.16), (4.18), (4.21), (4.24) дают искомые зависимости всех переменных (1.15) от двух переменных х, принятых в качестве промежуточных.
4.3. Замена переменных
Введем на плоскости (#,£) локальные координаты 1\,12 в соответствии с (2.14). Дискриминант соответствующего уравнения (2.13) теперь совпадает с введенной величиной ¡л2 в (4.25) и неотрицателен, поэтому переменные 1\,12 вещественны. Разрешая (4.26), (2.14) относительно получим
y/í(Ui + U2) с = tjt2 + (T-UiU2 t = V^(t2Ui - hu2) (4 27)
J h + h ' s u + h ' u + h
где для сокращения записи обозначено
[Д = -а, и2 = - а. (4.28)
Сразу же отметим, что знаки этих радикалов произвольны, различные их сочетания обеспечивают все возможные тройки значений в (4.27), удовлетворяющие систе-
ме (4.26), (2.14) при заданных значениях 1\,12. Далее знаки вводимых радикалов уже не оговариваем в соответствии со сделанным ранее замечанием о согласованности с первоначальным выбором.
Отметим непосредственно проверяемые соотношения
хц = ТС (4 29)
(¿i¿2 + с + UiU2ХМ2 + а ~ U1U2)
(h + t2y
hh + o-U^ = (U\ + U2f hh-a-U.IJ, (h-t2)2 '
(4.30)
(4.31)
позволяющие значительно упростить некоторые из последующих выкладок.
Вывод явных зависимостей фазовых переменных от t\,t2 начнем с выражения переменных ¿íi,¿¿2> определяющих знаменатели в (4.15), (4.16). Положим ф = 16з2т+Ф1 + Ф2. Согласно (4.14) имеем
Vi = 2\/Ф1Ф2), »2 = + 2\/Ф1Ф2)•
8s 8s
Из определения переменных следует тождество г/2 — A4>i4>2 = 64s2//2, и можно записать
2^/ф1Ф2 = yjф + Ssiiyjф - &sfi.
Поэтому
H'l = + ~ Vi' ~ 8S/í)2, /í2 = 77—(Vi' + + W' - 8S//:)2.
los los
В подстановке (4.27) находим
4ДУ2^2 4Д2У#2
где
(/?! = \/2ву/т + [7Ь (/?2 = V'2sy/r + i/2, V'i = V'2si/r — Ui, ф2 = л/2 s у/т — U2.
Заметим, что последние обозначения являются промежуточными, знаки этих радикалов на окончательные выражения фазовых переменных не влияют, а существенным является новое обозначение алгебраического значения корня
R = ^ hh + (J + ихи2. (4.32)
Теперь выражения для примут вид
-У'1 Ф2)'2 Я2(<рт + 4'М2 ,, ооч
ЧЬ + Ь)* ' ^ = НкПзУ2 ('33)
Полученные формулы перепишем и в более развернутой форме, не использующей «двойных корней»:
П2{4з2т + 172 - У1У2) Д2(452г + 11\и2 + У1У2) ,, , ,,
=-Н^У2-' А/2 =-Н^У2-• (4-34)
Здесь введены обозначения алгебраических радикалов
Vi = ^ 1,-V - tl V2 = \ 1,-4-' - t2. (4.35)
Найдем переменные Х\,Х2. В дополнение к (4.28), (4.32), (4.35) обозначим Ml = \JtX + Г + Г2, М2 = ф,2 + Т + г2,
iVi = v/ii + Г - г2, iV2 = ^¡7+
Для многочленов (4.17) имеем
т — г2.
(4.36)
WHlfMl 2 B^NfN!
1 (ii+i2)2' 2 (ii+i2)2' 1 j
Пусть X = 4:Гл(х2 — т) + т(Ф1 + Ф2). Используя (4.37) и тождество (4.30), находим
v2 А 2ж ж 16r2r4(i! -¿2)2Д4
X - 4т Ф1Ф2 = -г^-гг-•
(tl +t2)4
Следовательно, 1Ф2 = \/ХгХ2, где
Xi = X + л/X2 - 4т2 Ф^
4тЯ2Ж2М2
Х2 = X - \/ X2 - 4т2Ф:Ф
(ii+i2)2 \т1!2 Mj 2
2
(tl+i2)2 '
и для числителей в выражениях (4.15) получим
4rV - г) + Т(Л/ФГ± л/Ü)2 = \{y/Xi± VX2)2.
Поэтому из (4.14), (4.15), (4.33) будем иметь
2st (M2Ni + MxN2 \ 2 2st f M2Ni - MXN2 4 2
X1 = —Г -—-- > x2
r2 V <Pl<P2+4>l4>2 ) r2 V 4>\4>2 - Ф1Ф2
или в развернутой форме
2st (h + t)(t2 + r) - r4 + M1N1M2N2
(4.38)
xi
^2
r2 4s2r + [/1[/2 + F1F2
2st (h + r)(t2 + r) - r4 - M1N1M2N2
(4.39)
r2 4s2r + UiU2 ~ ViV2
Выражения переменных г/1, г/2 через ¿1,^2 можно получить из (4.16), но в данном случае удобнее воспользоваться определением (4.6) переменных ¡л 1,^2 и записать
туф2 = г2хф2 ~ И2, тг/2^1 = Г2Х2Ц1 - р2.
Отсюда в подстановке (4.34), (4.39), (4.27) сразу же получаем
т(г 1 + Ь2 - 2р2 + 2т) - ихи2 + Л/, Л , Л/_> А_>
VI =
У2 = 2в
АзЧ + и^ + УгУ, т(г 1 + Ь2 - 2р2 + 2т) -иги2- .\/|.\|.\/2Л2
(4.40)
4 з2т + гУхС/а — ^2
Выражения для zl1z2 находим из (4.17), (4.18):
П А/, А/,, • Л,Л2 Я А/, А/, Л|Л2 "-1 = ^---' = --ТТ+-• (4-41)
у2г 11 + 1'2 у 2 г ¿1 + ь2
Выразим переменные, связанные с компонентами угловой скорости. Вначале найдем выражение для «>3. Используя тождество (4.30), представим полиномы Р, <5 в виде
{Ь+Ь)2 ¿1 + ¿2
где
р = -(*? - г4)^2 - г4) + т[(2з2 - + (2^2 - ^ - р2{1\ + а2) + + + ¿2 - 4в2 + 2р2)] + 2т2(2з2 - р2){и + ¿2) +
+ т3(^+^2 + 4в2-2р2) + т4, С} = 1ф2 + (2з2 - + г2) + г4 + + ¿2 + 4в2 - 2р2) + г2.
С учетом обозначений (4.35), (4.36) для функций (4.25) получим
4ц2 9 9 9 4ц2
2 т/2
Тогда из (4.24), используя тождество (4.29), найдем
_ 111-112 .\/2.У2Г| - М^Уа _ 1 .\/2.У,Л I - М^Уа
и'3 ^ Я -12 у/Ш и1 + и2 ■ { ■ }
Для получения выражений переменных и>1, и>2 заметим, что формально в слагаемых числителя в выражении (4.42) можно расставить знаки как угодно, поскольку в формулах для Хг,уг^г фигурирует лишь произведение ¥[¥2. Выбрав запись в виде (4.42) и желая применить формулы (4.21), мы должны указать правила, определяющие знаки радикалов л/©2 так, чтобы получить все их комбинации, удовлетворяющие вме-
сте с (4.42) системе трех линейных по иц уравнений в составе уравнений (4.2). При этом, поскольку в силу однородности системы ее определитель должен равняться нулю (уравнение (4.3)), можно ограничиться проверкой двух из этих уравнений, например,
(г/2 + 2з)гУ1 + хги^ + ZlW■i = О,
х2и^\ + (г/х + 2в)ги2 + ~2«>з = 0.
(4.43)
Из (4.38) запишем
v/2sr ,\/2.\'| + ,\/|.\2
\f2sr М2Ых - ,\/|.\2
Г (/?1(/?2 + Ф1Ф2 Г (р 1(/?2 - Ф1Ф2
Здесь формальные знаки выражений выбраны так, чтобы выполнялось необходимое условие у/Щ_у/Щ = х, где величина х определена согласно (4.27). Для многочленов вьв2 уравнения (4.22) и (4.27) дают
(¿1+^)2©1 = -2 Д2^'2
2'
поэтому, ВВОДЯ £1,2 (¿1 + Ь2)
Тогда
±1, запишем /0[=\£1 уДА
IV1
и'2 =
(¿1 +*2)л/©2 = 1-2 V
гД ~ £1^2)^1 + ~ ^2У'2)У2
вуДР (¿1 + /2Н.\/|.\2 - .\/,.\-|) гД (е2</?| - - ("1^1 - £2ф\)У2
'1^2-
Выберем е2 И'1 =
±
•;/, • /,).;.\/|.\2 ■ .ил',)
—£1. Получим выражения
гД У - У2 гД
и'2 = т-
У + У2
V + ¿2) М2ЛГ1 - М^ ' + ¿2) М2ЛГ1 +
не удовлетворяющие (4.43) ни при каком выборе знаков. Для £1 = £2 вариантов е = ±1 с (4.42), (4.43) оказывается совместным только один
гЦау, + ВД)Д
IV1
2 + /2Н.\/2.\', - М^з)'
г(С/1У2 -
= £ ИЗ двух (4.44)
25^(^1 + /2)';.\/2.\-| + М^а)'
Для завершения построения алгебраических выражений заметим, что пока еще присутствует «двойной корень» Д, который на самом деле можно извлечь. Вводя обозначение х = у/а и не задаваясь здесь вопросом о вещественности этого числа, обозначим
КI = Я, К2 = \Jt.2 + х
¿1 = \Jt\~ ¿2 = ф'2~ X
Тогда
Д
= + Д^), их = К\ЬЪ и2 = К2Ь2.
Итак, формулы (4.39)-(4.42) и (4.44) в алгебраической форме определяют значения комплексных координат (1.15) для заданных 1\,12 с точностью до выбора знаков следующих радикалов
у/^р, Ки К2, Ьи Ь2, У, У2, Мь М2, N2,
значения которых могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми, а пары К\,К2 и Ьх,Ь2 могут быть даже комплексно сопряженными. Области изменения вспомогательных переменных определяются требованием вещественности переменных и = 1,2,3) в (1.15).
4.4. Уравнения движения и вещественная форма решения
Для вывода дифференциальных уравнений, которым подчинены предполагаемые переменные разделения используем переменные 31,32 в качестве промежуточных.
Из (2.9), (4.7) имеем
£ + т + г2 £ + т - г2
Si
S2
2* 2* Их производные в силу системы (3.3) получим из (3.4):
С другой стороны, запишем
с1в 1 двг сИ 1 <9в1 сИ2 <И д1\ <И дЬ2 <й
В подстановке (4.27) из (4.45) найдем
dsi dh ds2 dh
ht2 - а + UxU2 М2 ' 2v^(ii - t2)2 Ux ' ht2 - a+ U1U2N2
Из (4.47), (4.48) находим
dt\ ~dt ' dt2 ~dt '
^{h-h)2 fV
ds2 ~dt
ds\ db2 ds2 dh
ds2 dt\ ds2 dt2 dh dt dt.2 dt '
hh - a + UXU2 M2 2v^(ii " h)2 U2 ' ht2 - a+ UXU2 N2 2^(t,l-t2)2 U2'
(M2— - N2 — ) r2{t\t2 — с + U\U2) 1 dt 1 dth
v ; - i Л / ,7 —г^ А '
2^2 дг2^1
г2(ЬЬ2 - a + UXU2)K" 2 dt 2 dt
(4.45)
(4.46)
(4.47)
(4.48)
(4.49)
Выразим через tl,t2 значения (4.46), используя (4.39), (4.41), (4.44). Получим
сЬг _ . (М2 + а + / У 21 .\/2( .У,Л 2 - М2Ы1У1)
<1Ь 2^/Тзт(и1-и2)2(и-Ъ2)
¿£а _ . (Ш + <т + иММгМ^М^гУ, - М^Уг) <1Ь 2^/Тзт(и1-и2)2(и-Ъ2)
Подставляя эти выражения в (4.49), учтем отмеченное ранее соотношение (4.31). После очевидных преобразований приходим к системе уравнений типа Ковалевской
/ ч dt. 1
/ \ dto
1
2зт
(4s2;\2 — i2)(i2 — (j)[r4 — (t\ + t)2]
Наличие явных алгебраических выражений через переменные разделения всех исходных фазовых переменных доказывает тот факт, что эти уравнения действительно представляют собой разделение переменных и аналитически задача решена.
Обращая замену (1.15), из формул (4.39), (4.40), (4.41) найдем выражения для вещественных конфигурационных переменных ск^Д,- (у = 1,2,3):
_ (Л - г2[/1[/2)(4в2г + Ц^Л) - (г + г2;.\/|.У|.\/2.УЛП2 011 ~ 4г2з т(и\ + и2)2
_ . (Л - г'Ц^УгУ, - (4з2т + [/1[/2)(г + / ~Л/, .У, .\/2.\2
4 г2вг([/1 + [/2)2
/,' .\/,.\/2
а-з =
Гд/2 ¿1 + ¿2' rm
_ _.(В + г'и^УгУ, - (4 s2t + [/if/2)(r - г2).\/, .V, ,\/2Л2 Pi — 1-
4r2s t(Ui + U2)'2 (В + r2[/i[/2)(4s2r + LW2) - (r - r2)M1N1M2N2V1y
(Ч . Я AW
Рз = -i-
4r2s T{JJ\ + f/2)2
Гд/2 ¿1 + ¿2
Здесь для сокращения записи введены обозначения
Л = [(¿1 + г + г2)(¿2 + т + г2) - 2(р2 + г2)г2]т, Б = [(¿1 + г - г2)(¿2 + Г - г2) + 2(р2 - г2)г2]т.
Для угловых скоростей (] = 1,2,3) из (1.15), (4.42), (4.44) найдем:
К М2 N1 и г \2 + .\/, N.2 и2 У
и 1
4rs \fs~r t2 — t\
IR .\/2.V,/ 2\ , • .\/|.\2Г,\2 = -^-' (4'51)
_U1-U2 M2N2y - MiN1V2
_ +2 72 •
у Ist t\ ~ Ц
Полученные явные выражения фазовых переменных через переменные ii,i2 вместе с разделенными дифференциальными уравнениями дают полное аналитическое решение для третьей критической подсистемы.
Заключение
В работе представлены результаты, относящиеся к построению аналитических решений для обобщенного волчка Ковалевской. Вопросы качественного и топологического анализа возникающих интегрируемых подсистем связаны с исследованием многозначных зависимостей (3.13) и (4.50), (4.51). Формально они являются обращением накрытий фазовым пространством плоскости вспомогательных переменных кратности 2п, где п — количество радикалов произвольного знака. Недавно были разработаны новые методы исследования фазовой топологии алгебраически разделимых систем [20], основанные на вычислении некоторых инвариантов Ж2-линейных отображений булевых пространств.
До настоящего времени первая критическая подсистема (случай Богоявленского) так и не проинтегрирована, несмотря на наличие различных форм представлений Лак-са [25;31].
Для задачи о движении гиростата Ковалевской в двойном поле никаких аналитических решений не найдено, за исключением особых периодических решений и их бифуркаций, изученных в [14], притом что все критические подсистемы аналитически описаны в [12].
Случай Ковалевской в динамике твердого тела порождает все больше задач, несмотря на всю свою 120-летнюю историю.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Аппельрот, Г. Г. Не вполне симметричные тяжелые гироскопы [Текст] / Г. Г. Ап-пельрот // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. - М. ; Л. : Изд-во АН СССР, 1940. - С. 61-156.
2. Богоявленский, О. И. Два интегрируемых случая динамики твердого тела в силовом поле [Текст] / О. И. Богоявленский // Докл. АН СССР. - 1984. - Т. 275, № 6. -С. 1359-1363.
3. Богоявленский, О. И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики [Текст] / О. И. Богоявленский // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1984. - Т. 48, № 5. - С. 883-938.
4. Борисов, А. В. Динамика твердого тела [Текст] / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. — М. ; Ижевск : Изд-во РСЭ, 2001. - 384 с.
5. Борисов, А. В. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос [Текст] / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. — М. ; Ижевск : Изд-во 1?СО, 2005. — 575 с.
6. Борисов, А. В. Современные методы теории интегрируемых систем [Текст] / А. В. Борисов, И. С. Мамаев. - М. ; Ижевск : Изд-во ИКИ, 2003. - 296 с.
7. Рейман, А. Г. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход [Текст] / А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский. — М. ; Ижевск : Изд-во ИКИ, 2003. — 352 с.
8. Рейман, А. Г. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений [Текст] / А. Г. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский // Функцион. анализ и его приложения. — 1988. — Т. 22, № 2. — С. 87-88.
9. Сретенский, Л. Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиростата [Текст] / Л. Н. Сретенский // Докл. АН СССР. - Т. 149, № 2. - 1963. -С. 292-294.
10. Татаринов, Я. В. К исследованию фазовой топологии компактных конфигураций с симметриями [Текст] / Я. В. Татаринов // Вестн. МГУ. Сер. мат. мех. — 1973. — Т. 5. - С. 70-77.
11. Харламов, М. П. Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота [Текст] / М. П. Харламов // Механика твердого тела — 2005. — № 35. — С. 38-48.
12. Харламов, M. П. Критические подсистемы гиростата Ковалевской в двух постоянных полях [Текст] / М. П. Харламов // Нелинейная динамика. — 2007. — Т. 3, № 3. - С. 331-348.
13. Харламов, М. П. Области существования критических движений обобщенного волчка Ковалевской и бифуркационные диаграммы [Текст] / М. П. Харламов // Механика твердого тела. — 2006. — № 36. — С. 13-22.
14. Харламов, М. П. Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном поле [Текст] / М. П. Харламов // Механика твердого тела. — 2007. — № 37. — С. 85-96.
15. Харламов, М. П. К исследованию областей возможности движения в механических системах [Текст] / М. П. Харламов // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 267, № 3. -С. 571-573.
16. Харламов, М. П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле [Текст] / М. П. Харламов // Механика твердого тела. — 2004. — № 34. — С. 47-58.
17. Харламов, М. П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: область существования движений и разделение переменных [Текст] / М. П. Харламов // Нелинейная динамика. - 2006. - Т. 2, № 4. - С. 453-472.
18. Харламов, М. П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле [Текст] / М. П. Харламов // Механика твердого тела. — 2002. — № 32. — С. 32-38.
19. Харламов, М. П. Особые периодические решения обобщенного случая Делоне [Текст] / М. П. Харламов // Механика твердого тела. — 2006. — № 36. — С. 23-33.
20. Харламов М. П. Топологический анализ и булевы функции. I. Методы и приложения к классическим системам [Текст] / М. П. Харламов // Нелинейная динамика. — (В печати.)
21. Харламов, М. П. Явное интегрирование одной задачи о движении обобщенного волчка Ковалевской [Текст] / М. П. Харламов, А. Ю. Савушкин // Докл. РАН. — 2005. - Т. 401, № 3. - С. 321-323.
22. Цыганов, А. В. Интегрируемые системы в методе разделения переменных [Текст] / А. В. Цыганов. - М. ; Ижевск : Изд-во RCD, 2005. - 384 с.
23. Якоби, К. Лекции по динамике [Текст] / К. Якоби. — M. ; JI. : ОНТИ, 1936. — 272 с.
24. Bobenko, A. I. The Kowalewski top 99 years later: a Lax pair, generalizations and explicit solutions [Text] / A. I. Bobenko, A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky // Commun. Math. Phys. - 1989. - V. 122. - № 2. - P. 321-354.
25. Bogoyavlensky, О. I. Euler equations on finite-dimension Lie algebras arising in physical problems [Text] / О. I. Bogoyavlensky // Commun. Math. Phys. — 1984. — V. 95. — P. 307-315.
26. Gavrilov, L. N. On the geometry of Gorjatchev-Tchaplygin top [Text] / L. N. Gavrilov // C.R. Acad. Bulg. Sci. - 1987. - V. 40. - P. 33-36.
27. Kharlamov, M. P. Bifurcation diagrams of the Kowalevski top in two constant fields [Text] / M. P. Kharlamov // Regular and Chaotic Dynamics. - 2005. - V. 10. -№ 4. - P. 381-398.
28. Kharlamov, M. P. Explicit integration of one problem of motion of the generalized Kowalevski top [Text] / M. P. Kharlamov, A. Y. Savushkin // Mechanics Research Communications. - 2005. - № 32. - P. 547-552.
29. Komarov, I. V. A generalization of the Kovalevskaya top [Text] / I. V. Komarov // Phys. Letters. - 1987. - V. 123, № 1. - P. 14-15.
30. Kowalevski, S. Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe [Text] / S. Kowalevski // Acta Mathematica. - 1889. - V. 2. - P. 177-232.
31. Reyman, A. G. Lax representation with a spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations [Text] / A. G. Reyman, M. A. Semenov-Tian-Shansky // Lett. Math. Phys. - 1987. - V. 14. - № 1. - P. 55-61.
32. Yehia, H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies [Text] / H. Yehia // Mech. Res. Commun. - 1986. - V. 13, № 3. - P. 169-172.
33. Yehia, H. On certain integrable motions of a rigid body acted upon by gravity and magnetic fields [Text] / H. Yehia // Int. J. of Non-Linear Mech. - 2001. - V. 36, № 7. - P. 1173-1175.
GEOMETRICAL APPROACH TO THE SEPARATION OF VARIABLES
IN MECHANICAL SYSTEMS
M.P. Kharlamov, A.Yu. Savushkin
The article presents the analytical results received with the help of computer aided symbolic calculations in the problem of motion of the rigid body in two constant fields. The Liouville integrability of this system under certain condition of the Kowalevski type was established by A.G. Reyman and M.A. Semenov-Tian-Shansky. We consider the geometrical basis for obtaining a separation of variables. Two systems of local planar coordinates are introduced in which the projections of integral manifolds of the critical subsystems become rectangular. The separated equations are obtained for two subsystems with the help of Mathematica 7.
Key words: integrable system, rigid body dynamics, double force field, separation of variables.
