CC BY
39
Вестник ДВО РАН. 2006. № 4
Е.В.ОБУХОВА, В.Е.РАГОЗИНА
О гиперболической теории массопереноса в двухкомпонентных несжимаемых смесях
В соответствии с моделью существенно нестационарной (гиперболической) диффузии примеси по потоку несжимаемой жидкости получено и проанализировано дифференциальное уравнение распространения фронта концентрации.
About hyperbolic theory of mass transfer in two-component mixtures. E.V.OBUKHOVA (Far Eastern State Technical University, Vladivostok), V.E.RAGOZINA (Institute for Automation and Control Processes, FEB RAS, Vladivostok).
According to the model of essentially non-stationary (hyperbolic) diffusion of impurity transfer on a stream of incompressible liquid the differential equation of attenuation of concentration front is received and analyzed.
В данной работе рассматривается процесс взаимопроникновения двух несжимаемых сред, обусловленный диффузией. Он моделируется на основании обобщения закона Фика, что определяет гиперболический характер уравнений задачи. В этом случае можно выделить передний фронт волны разрыва концентрации проникающей компоненты и определить его скорость. В статье приводятся решения двух краевых задач о переносе жидкой примеси стационарным потоком жидкости и о набухании упругого тела.
Интерес к гиперболической теории диффузии в смеси двух химически не реагирующих составляющих диктуется рядом обстоятельств. Во-первых, он связан с проблемой регистрации загрязняющей примеси, распространяющейся по основному потоку. По величине концентрации примеси и моменту ее регистрации при известном характере основного потока возможно сделать выводы как об интенсивности источника загрязнения, так и о его месте1. Во-вторых, именно существенная нестационарность процесса диффузии, которую возможно описать только в рамках гиперболической теории массопереноса, определяет разрушение гранул ионообменников в процессах сорбции-десорбции2. Известно, что данное разрушение является основной причиной, препятствующей широкому внедрению
ОБУХОВА Елена Владимировна (Большекаменский институт экономики и технологий, филиал Дальневосточного государственного технического университета, Большой Камень, Приморский край), РАГОЗИНА Виктория Евгеньевна - кандидат физико-математических наук (Институт автоматики и процессов управления ДВО РАН, Владивосток).
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 06-01-96020.
1 Буренин А.А., Обухова Е.В. Перенос несжимаемой жидкой примеси при учете ее диффузии в основной поток // Дальневост. мат. журн. 2003. Т. 4, № 1. С. 101-107.
2 Буренин А.А., Селеменев В.Ф., Шаруда В.А. Разрушение сферических гранул ионообменников при набухании // Теория и практика сорбционных процессов. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1982. Вып. 15. С. 1-12.
технологий очистки органических растворов в ионообменных установках. Указание основных причин, способствующих возникновению разрушающих внутренних усилий в материалах ионитов, является необходимым условием для исключения такого нежелательного явления, как разрушение гранул.
Закон диффузии Фика утверждает, что поток вещества пропорционален градиенту его концентрации. Данное положение хорошо согласуется с линейными законами неравновесной термодинамики о пропорциональности термодинамических сил термодинамическим потокам, поэтому классическая теория массопереноса основана на принятии закона Фика. Однако построенная на таком основании теория содержит в себе парадокс бесконечной скорости распространения вещества при диффузии. Заметим, что этот же эффект характерен и для теории теплопроводности, основанной на законе Фурье: тепло распространяется по теплопроводящему телу с бесконечно большой скоростью. Закон теплопроводности Фурье вполне аналогичен закону диффузии Фика, в нем также содержится требование о пропорциональности теплового потока градиенту температуры.
Но законы Фика и Фурье основаны только на опытных данных, то есть относятся к эмпирическим. Следовательно, для исключения указанного выше парадокса необходимо провести изменения в определяющем законе модели. В прямоугольной декартовой системе координат закон диффузии Фика записывается в виде: д. = -Яс,. (/ = 1,2,3), где д. -
компоненты диффузионного потока, с - концентрация вещества в смеси, индексом после запятой обозначена производная по соответствующей пространственной переменной, Я > 0 -коэффициент диффузии. Простейшим обобщением закона Фика, исключающим бесконечность скорости диффузии, будет уравнение
Чг = -Яс,, . (1)
Здесь добавляется еще одна переменная процесса - т. Отличие закона (1) от классического закона Фика связано с учетом очевидного факта: диффузионный поток не мгновенно устанавливается и не мгновенно исчезает при возникновении или исчезновении градиента концентрации. Новая константа т служит мерой релаксации диффузионного потока и поэтому носит название времени релаксации. Включение в (1) слагаемого с производной по времени позволяет описать процесс релаксации.
Рассмотрим сплошную среду, представляющую собой смесь двух химически не реагирующих между собой составляющих. Обозначим через р1, с1, v(1■>, д.(1) плотность, концентрацию и координаты векторов скорости и диффузионного потока первой компоненты соответственно, а через р2, с2, V®, д.(2) - аналогичные характеристики второй компоненты. Каждую из составляющих смеси считаем несжимаемой. В качестве следствия закона сохранения массы следует записать (р, р20 - плотности отдельно взятых составляющих смеси в свободном состоянии):
/ т гол \
р1 р 2 ,
-------+-----------= 1;
р10 р 20
РУ(1) + Р 2V;(2)
р10 р20
■ ]=°;
рУ1(1) + р 2 V;(2) р1 + р 2
(1) р / (1) \ р1 Л р 2 (2)
; = Ч; =р1 ( -); с1 = с =------------------------------------; с2 = 1 -с =-.
У ' р1 + р 2 р1 + р 2
Соотношения (1) и (2) составляют замкнутую систему уравнений, моделирующую процесс взаимной диффузии двух несжимаемых, химически не реагирующих составляющих смеси. Заметим, что в данную систему не включаются уравнения движения, как следствия закона сохранения импульса, и уравнение баланса внутренней энергии, как следствие зако-
на сохранения энергии. Эти уравнения могут понадобиться, если потребуется определить дополнительные параметры процесса. Так, для определения напряжений в деформируемом при набухании материале необходимым окажется закон сохранения импульса, а для вычисления повышений температуры в процессе взаимной диффузии потребуется привлечь закон сохранения энергии.
Когда в теории массообмена используется закон Фика, тогда появление источника примеси в некоторой точке пространства в некоторый момент времени означает, что во всем пространстве, начиная с момента включения источника примеси, ее концентрация становится отличной от нуля. При использовании (1) вместе с (2) включение источника приведет к тому, что концентрация примеси будет отличной от нуля в любой последующий момент времени г только в конечной замкнутой части пространства.
Движущаяся по среде поверхность Х(г), отделяющая данную область пространства, оказывается поверхностью разрывов концентрации - следствия (1), (2). То есть перед Х(г) примесь отсутствует (с = 0), а сразу за Х(г) концентрация примеси конечна и отлична от нуля. Скорость О данной поверхности определяется постоянными задачи
О =
Я
тр 20
(3)
Когда сплошная среда, в которую диффундирует примесь, движется (к примеру, основной поток неспокойного водоема), то скорость продвижения переднего фронта примеси оказывается еще и зависимой от скорости такого движения:
О =
«і V і +
4Я тР 20
+(«V )2
(4)
Если ввести понятие интенсивности разрыва ц = с~ - с+ = —[с], где с+ и с- - концентрации примеси непосредственно перед Х(г) и сразу за поверхностью разрывов, то согласно (1), (2) и (4) можно получить закономерность изменения данной характеристики процесса диффузии со временем. В случае плоского фронта распространяющейся примеси получаем
П = со ехр
- — Ґ 2т
(5)
Если фронт является сферой, что выполняется в случае точечного источника, то его интенсивность зависит от времени г и расстояния г по формуле
П = с о ехр
_1_ 1
2т г
Я
тр 20
(6)
Из (5) и (6) следует, что интенсивность разрыва концентрации проникающей примеси на ее переднем фронте достаточно быстро уменьшается. Исключением является случай сходящегося к центру фронта, когда интенсивность разрыва за счет увеличения кривизны фронтальной поверхности Х(г), уменьшаясь, все же не стремится к нулю. Именно данная особенность является причиной возникновения больших растягивающих напряжений в центре сферических зерен ионообменников, разрушающих их. Известный технологический прием, связанный с приведением ионитов в рабочее состояние, когда их обрабатывают парами воды, связан с уменьшением первоначального разрыва концентрации с0. Тогда в центре зерна интенсивность разрыва п не достигает своего предельного значения, способного вызвать разрушающие напряжения.
