CC BY
2
УДК 517.927.2
doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-6
О фредгольмовости системы интегральных уравнений в задаче о распространении электромагнитных волн в стержне, покрытом графеном
Ю. Г. Смирнов
Пензенский государственный университет, Пенза, Россия mmm@pnzgu.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Рассматривается задача о распространении электромагнитных волн в диэлектрическом стержне произвольного сечения, покрытом слоем графена, который считается бесконечно тонким. Основная задача при описании процесса распространения волн в волноведущей структуре - получение и анализ системы интегральных уравнений для определения постоянных распространения. Материалы и методы. Решаются уравнения Максвелла в частотной области. Условия сопряжения содержат проводимость графена. В данной статье пренебрегаем нелинейностью графена. Применен метод функций Грина. Результаты и выводы. Получена система интегральных уравнений для определения постоянных распространения. Доказаны теоремы о фредгольмовости системы и о дискретности спектра задачи.
Ключевые слова: графен, интегральное уравнение, дискретность спектра Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 2011-20087).
Для цитирования: Смирнов Ю. Г. О фредгольмовости системы интегральных уравнений в задаче о распространении электромагнитных волн в стержне, покрытом гра-феном // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 3. С. 74-86. doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-6
On the Fredholm property of integral equations system in the problem of electromagnetic waves propagation in a graphene-coated rod
Yu.G. Smirnov
Penza State University, Penza, Russia mmm@pnzgu.ru
Abstract. Background. The problem of electromagnetic waves propagation in a dielectric rod of arbitrary cross-section covered with a layer of graphene, which is considered infinitely thin, is considered. The main problem in describing the process of wave propagation in the waveguiding structure is to obtain and analyze the system of integral equations to determine propagation constants. Materials and methods. Maxwell's equations are solved in the frequency domain. The coupling conditions contain the conductivity of graphene. In this article, we neglect the nonlinearity of graphene. The method of Green's functions is applied. Results and conclusions. The system of integral equations for determining the propagation constants is obtained. The Fredholm property of the system and the discreteness of the spectrum of the problem are proved. Keywords: graphene, integral equation, discreteness of the spectrum Financing: the research was financed by the RSF (project No. 20-11-20087).
© Смирнов Ю. Г., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
For citation: Smimov Yu.G. On the Fredholm property of integral equations system in the problem of electromagnetic waves propagation in a graphene-coated rod. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(3):74-86. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-6
Введение
Появление новых материалов, таких как графен, приводит к необходимости рассмотрения краевых задач электродинамики нового типа, когда условия сопряжения на границе диэлектриков содержат бесконечно тонкий проводящий слой графена [1-4]. При этом требуется как теоретическое исследование свойств задачи, так и разработка численных методов для ее решения и проведение практически важных расчетов для конкретных структур.
В настоящей работе рассматривается открытая волноведущая структура - диэлектрический стержень произвольного поперечного сечения, покрытый слоем графена и расположенный в свободном пространстве. Целью статьи является изучение спектра собственных волн, которые могут существовать в структуре. Основным теоретическим результатом в таких задачах обычно является теорема о дискретности спектра задачи. Именно этот результат будет доказан для диэлектрического стержня, покрытого слоем гра-фена. Насколько известно автору, подобные результаты для этой задачи ранее не были получены.
Важно отметить, что помимо основного теоретического результата автором получена и изучена система интегральных уравнений, к которой сводится краевая задача. Эта система уже может решаться численно для конкретных волноведущих структур, например для круглого стержня.
Для сведения задачи к системе интегральных уравнений использовался метод функций Грина. Для простых областей (круг, кольцо, внешность круга) функции Грина известны, поэтому в частных случаях можно получить более глубокие результаты о спектре задачи.
Некоторые результаты о распространении поляризованных электромагнитных волн в диэлектрической пластине, покрытой графеном, имеются в [5-7].
1. Постановка задачи на собственные значения
Будем рассматривать математическую модель регулярной (вдоль оси Oz ), открытой волноведущей структуры, поперечное сечение которой плоскостью z = const образовано ограниченной областью Q с гладкой границей
Г. Пусть неограниченная область Q является дополнением в R к ^1. Пространство заполнено двумя однородными изотропными диэлектриками с относительной диэлектрической проницаемостью £ j в области Q j; Re £ j > 0,
Im £ j > 0, ц j = 1 (j = 1,2). Будем считать, что Г - бесконечно тонкий слой
графена, который лежит на проекции поверхности соприкосновения диэлектриков.
Задача о нормальных волнах волноведущей структуры состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла
в виде бегущей волны, т.е. с зависимостью е iYz от координаты z, вдоль которой структура регулярна [8, 9]:
rot E = iH,
rotH = -ieE, (x, y, z)e R3, (1)
E = (Ex (x,y)x + Ey (x,y)y + Ez (x,y)z),
H = (( (x,y)x + Hy (x,y)y + Hz (x,y)z)e,
причем должны быть удовлетворены следующие условия сопряжения для касательных составляющих полей на границе раздела сред:
[ HT]r=-c Ez |г, (2)
[ Hz ]г =cET|r, (3)
[ ET]r= 0, (4)
[ Ez ]г= 0, (5)
и условия на бесконечности, которые будут конкретизированы позднее.
Здесь n - орт внешней нормали к Qj, т - касательный орт, причем xXy = тхn (здесь и ниже X обозначает векторное произведение). Квадратные скобки [f ]г = f |г — f |г означают разность следов функций на Г в областях Q2 и Qj. Система уравнений Максвелла (1) записана в нормированном виде. Осуществлен переход к безразмерным величинам [8, 9]: коx ^ x,
k0y ^y , kgz ^ z , е0H ^ H, E ^E ; kg =£оЦоЮ2, где e0, Ц0 - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума (временной множитель
е~гШ всюду опущен).
Слой графена описывается условием сопряжения вида [nXH]г = аE^ , где проводимость а предполагается, вообще говоря, комплексной постоянной величиной. Заметим, что проводимость в инфракрасном и терагерцовом диапазонах частот может быть и нелинейной вида
а = а(1) +а(3)
2
E т г +
E I Pi - -
Ez |г |, но в настоящей статье этот случай не рас-
сматривается.
Задача о нормальных волнах является задачей на собственные значения для системы уравнений Максвелла относительно спектрального параметра у - нормированной постоянной распространения (затухания) волноведущей
структуры.
Запишем систему уравнений Максвелла (1) в координатном виде:
Н + * 1Ну = -гЕх, + * уЕу = Шх, -Н - Н = -1гЕу,
■ г dEz
дх
= -ieEz
dEy dEx
= iHz
(6)
выразим функции Ex , H ний системы (6), получим:
, E
xy
Эх Эу Эх ду
Ну через Ez и Hz из 1, 2, 4 и 5-го уравне-
E =-L
Ex к2
Y
dEz dHz
дх ду
" E = ± ( ^ к2
dEz dHz
у—^ + z
Л
ду дх
Hx = ¥
дEz дHz
ду
- + Y-
дх
Hу = к2
dEz дх
- + Y-
дHz
ду
; к2 = е-у2.
(7)
2 2
Это всегда возможно, если у ^е^, у ^£2 .
Из формул (7) следует, что поле нормальной волны в волноводе может быть представлено при помощи двух скалярных функций:
П(х,у) = ¡Е2 (х,у), ¥(х,у) = Ш2 (х,у).
Тем самым задача сводится к нахождению функций П и ¥ - продольных компонент электрического и магнитного полей.
Для продольных компонент поля П и ¥ из (1), (2)-(5) имеем следующую задачу на собственные значения: найти такие уе С, при которых существуют нетривиальные решения уравнений Гельмгольца
: 2Т
ДП + к2П = 0, (х,у)еП:=Ц Д¥ + к2 ¥ = 0, к2 = k2 =£ j-у2,
(8)
удовлетворяющие условиям сопряжения на Г:
[П]г = 0, Мг = i°
у дП__1_ Э¥
к?2 дт к?2 дп
Y
" 1 ЭП" " 1 д¥"
_ к?2 дт _ г _к2 дп _
к?2 дт
= 0,
+
к2 дп
= ionjj
(9)
и условиям на бесконечности:
_д_
дг
д ( П ^ ? (П ^ 'ik?2
¥
\ J
¥
\ J
= о(г_U2), Imк2 = 0,г :=д/х2 + у2
(10)
Условия на бесконечности (10) - это обычные условия излучения Зоммерфельда для двумерной задачи дифракции. Они поставлены в (10)
только для вещественных значений к2 . Мы рассматриваем задачу при произвольных комплексных у, поэтому решение при вещественных к2 будет аналитически продолжено по у в комплексную плоскость.
Будем искать решение задачи в пространствах Соболева П, ¥е Н1 (Ц), П, ¥е и/ос (^2). Равенство нулю в уравнениях (8), (9) понимается в смысле распределений [10].
В условиях сопряжения на Г имеем
П А е Н 1 1Г
1/2
(Г), У
ЭП,
дп
Эу 1
дп
е Н
-1/2
11Г дП 1
е Н1/2 (Г);
Эт
Эу1
Эт
е Н
-1/2
где П и У - сужение Пи У на П .
2. Фредгольмовость системы интегральных уравнений
Рассмотрим теперь краевую задачу (1)-(5). Пусть пара П и У - решение этой задачи. Выразим значения П и У внутри Пу через значения,
которые эти функции или их нормальные производные принимают на границе ЭП 1.
Пусть О1 (х,у,х0,уо), Оу (х,у, х0,уо) - функции Грина
.У
соответ-
ственно первой и второй краевой задач для уравнений Гельмгольца (1) с коэффициентами к^ в области П^ ; 7 = 1, 2. В данной работе не будут рассматриваться вопросы существования и построения функций Грина. Эти вопросы рассмотрены, например, в [11]. Примеры важных частных случаев, когда области есть круг и внешность круга, имеются в [12]. Отметим, что функции
Грина 0П (х, у, хо, Уо), 0у(х, у, хо, Уо) будут иметь точки ветвления у+ = . Необходимо выполнить разрезы комплексной плоскости, соединяющие эти две точки, для однозначности определения функций Грина и аналитического продолжения. Кроме того, функции Грина имеют полюсы как
функции 1с 1 [11]. Обозначим область аналитичности функций Грина
П у
О^ (у), 01 (у) (за вычетом разрезов и полюсов) через В.
Если П1 и У1 - значения П и У в области П ^, то по второй формуле Грина с учетом краевых условий (2) будем иметь следующие интегральные представления:
Э
У
(ху) = (-1) |(y, ^уо)
Г дп
У 1 (хо,уо )о; (х,у)е П1; (11)
Г
П (х, у ) = (-1)+1 {дП" О^ (х, у, хо, уо)) (хо, уо )) й1о; (х, у )еП, . (12) Г о Г
Учитывая теоремы о предельных значениях потенциалов на границе Г, с помощью (11), (12) получим систему интегральных уравнений на Г.
Введем новые неизвестные функции и натуральный параметр 'о параметризации кривой Г с некоторыми (гладкими) функциями:
хо = х(^), уо = у ('о), (х'(к ))2 + (у'(*о ))2 = 1, ^1о = Ло (о < (о < 2п)
Ф(^):=П j (x0, у0^г
X(t0):
= у дП j(xo, у0)
дт
1 j(xo, у0)
к~2 г j
дп
(13)
(14)
Такое определение корректно в силу (10). При этом учитываются условия (1) и (4) в (10).
Перепишем представления (11), (12) в виде
¥
:(х,у) = (-!)){GJ (х,у,х0,у0 )L(((t0 )-к]x(t0))), (х,у)еПj; (15)
( ) ( j rdG"(x,y,x0,ур)
(х,у) = (-1) J-ЭП0-
п
Преобразуем формулу (15) к виду
^ ¥
,-11 гО^
¥ 3......
Г
ф('0 )dl0,(х,у)eQj . (16)
( ) ( j rdG7(x, ^ x0, у0 )
(х,у)=(-1) J-эГ^-
Уф(^0 )dl0 +
+
(-1)+1 JGJ(y,xo,у0)гк2х(ь)dlo, (x,у)eQj .
(17)
Здесь учтено, что при так введенной параметризации Г имеем
Ф 'Ы = дтП 3(x0, У0)| Г.
Условия (2) и (3) в (10) запишутся в виде
[¥]Г= /ох,
Y
_L
к2 дт
+
к2 дп
= /Сф .
(18) (19)
Тогда, подставляя (16) и (17) в (18) и (19), получаем интегральные уравнения:
(
Г (
YJ -
dG1 ( y, x0, у0)
дтп
dG2 (У,x0,у0 )
+
дтп
Л
ф( ■t0) dl0 + J (к12 G1P (х, у, x0, у 0)
+
+hGi (x,y,xo,у0)г)х(0)dl0 + г'°Х(0 = 0(x,у)г;
(20)
Y2 ЭТ J-
дт J >
1 dG1 (x,y,у0)
дтп
1 dG2 (У,x0,у0 )
+ -
к22
дтп
Л
ф(t0 )dl0 +
г
г
+У{(С(У,Уо)г+ О2 (х>У,Уо)гЫ'оМо +
- [
дп
е1 у, хр, уо)
дпо
+
£2 у,хо,Уо)
+
Г 2 к2
дп
о
г
Ф('о )ло + 'ОФ(0 = о, (х,У)ег . (21)
При выводе уравнений (2о) и (21) учитывались известные результаты о предельных значениях потенциалов двойного и простого слоя, в частности то, что нормальная производная потенциала двойного слоя имеет равные следы (в смысле распределений) с разных сторон Г, а также что касательная производная потенциала простого слоя также имеет равные следы (в смысле распределений) с разных сторон Г [13].
Запишем уравнения (2о) и (21) в операторном виде:
У^Ф + У^Ф + к2 ¿1% + % ¿2% + /ох = о, (22)
2 /2
^ 7]Ф + Х^ Т2Ф + У4х + у^х + 42 Я1Ф + 4| Н2Ф + /Оф = о, (23) к1 к2 к1 к2
где операторы определяются следующими формулами:
Ф(о)dk), (x,У)еГ =
ГдО7 (x, У, xо, Уо)
^ Ф :=
дто
г
ЬX := | О7 (x, У, xо, Уо) г X ('о )dlо, У)еГ,
д г3°7(x,y,xо,Уо)
дто
Ф(о )dlо, (x, У )ег,
д г3°7 (x,^xо,Уо)
НФ :=дп
дп
о
Ф(о )dl0, (x, У )ег,
г
то есть рассматриваются следы на г интегралов, стоящих в правых частях.
т],
г, то нетрудно показать, что интегральные
Так как функции Грина ОП, О У имеют логарифмическую особенность
1 , _1
вида —1п . —-
2п ^ - Xо)2 + (У - Уо)2 операторы Ь^ имеют логарифмическую особенность ядра, операторы являются сингулярными, а операторы , Hj - гиперсингулярными.
г
Будем рассматривать эти операторы в пространствах:
Ь3 : Н "1/2 (Г) ^ Н1/2 (Г), Б3 : Н1/2 (Г) ^ Н1/2 (Г),
Т3 : Н1/2 (Г) ^ Н "1/2 (Г), Н3 : Н1/2 (Г) ^ Н"1/2 (Г).
Все перечисленные операторы в указанных пространствах являются ограниченными. Для операторов Ь^, Н3 это доказано в [13]. Для оператора
имеем ф = -Ьуф'. Так как оператор дифференцирования действует
непрерывно в Н 1/2(Г) ^ Н _1/2(Г), а оператор Ь}-: Н _1/2(Г) ^ Н 1/2(Г)
1/2 1/2
ограничен, то получаем, что 8 ,■: Н (Г) ^ Н (Г) тоже ограничен. Отсюда
следует ограниченность для оператора Т; =— 8 - в указанных пространствах.
7 дт
Пусть J: Н 1/2(Г) ^ Н _1/2(Г) - оператор вложения Н 1/2(Г)
—1/2
в Н (Г), который, очевидно, является компактным [14]. Будем искать ре-
1/2
шение системы уравнений (22), (23) в пространствах фе Н (Г), %е Н_1/2(Г). Тогда систему (22), (23) можно переписать в форме
J + yS )ф + (к2 JL1 + к?2 JL2 )х + iax = 0:
(24)
( 2 Y
к2
2 + W ^2
Л ( ф+
i! к1
к2
2 H1 + 72 H2
ф + icJ ф + J (yL1 +yL2)x = 0. (25)
Т 1/2 —1/2
Образуем вектор (ф, х) е Н (Г) X Н (Г) и запишем систему (24),
(25) в блочном операторном виде:
_Г К11 А21 + К21
K12 + id Л K
22
(фЛ (0Л
(26)
2 2
где Кц = YJSl + YJS2 , К12 = к12Л1 + ^Л2, ^ =\Т Т2 +-£гН1 +!§-Н2,
к1 к2 к1 к2
К21 = Ш, К22 = J(YЬl + YЬ2).
Операторы Кц,К12,К21,К22 являются компактными. Из (26) следует,
что если оператор А21 фредгольмов, то и весь блочный оператор (26) также
фредгольмов.
Прямой проверкой нетрудно убедиться, что
ln-
1
д д 1
ln
1
. (27)
д д 1 _
дп дп0 У1(х — Х0)2 + (у — У0)2 дт дт0 х — Х0)2 + (у — У0)2
Отсюда, имея в виду логарифмическую особенность функций Грина П ¥
03 ,03 , находим, что оператор А21 представляется как сумма оператора
- о* 4 г
1ln 1
dn ГЭпо п V(* -*о)2 + (У -Уо)2
ф(оН, (х,У)еГ, (28)
Г
и компактного оператора. Про гиперсингулярный оператор
1/2 —1/2
Но : Н (Г) ^ Н (Г) известно [13], что он является равномерно эллипти-
1/2 -1/2
ческим, т.е. существует компактный оператор ^о : Н (Г) ^ Н (Г) такой, что выполняется неравенство Гординга
2
Re(( Но + ф)^ с0 | Н| Н 1/2(Г)
для некоторого Сд > 0, где скобки ^ означают соотношение антидвойственности на паре пространств Н1/2 (Г) и Н 1/2 (Г).
Подействуем на второе уравнение системы (26) обратимым оператором
_1 _1/2 1/2
(Но + Ко) : Н (Г) ^ Н (Г), получим эквивалентную систему
уравнений
( К11 К12 + Ю1V (0 ^
~ 12 У = (29)
^ I + К21 К22 ^ X) { 0)
с компактными операторами К21, К22 . Отметим, что оператор Нд и, следовательно, операторы Кд и (Нд + Кд) 1 не зависят от у, поэтому проведенные преобразования не влияют на спектральные свойства задачи.
Из перечисленных свойств операторов из (29) получаем следующее утверждение.
Теорема 1. При с^О оператор А системы (26) является фредгольмо-вым с нулевым индексом.
3. Дискретность спектра оператор-функции
Рассмотрим оператор-функцию А = А(у) в области В. Из теоремы 1
заключаем, что эта оператор-функция фредгольмова в рассматриваемых пространствах. Из аналитичности функций Грина в области В получаем, что А(у) голоморфна в области В .
Для применения теоремы о спектре фредгольмовой голоморфной оператор-функции [15] надо найти такое значение Уо е В , при котором краевая задача (8)-(10) (и, соответственно, система (26)) имеет только тривиальное решение, т.е. резольвентное множество оператор-функции А(у) не пусто.
Пусть Уо = 0 (такой выбор объясняется только соображениями простоты исследования этого случая). При у = 0 краевая задача (8)-(10) распадается на две независимые задачи для П и у, которые получаются формальной подстановкой у = 0 в (8)-(10) (мы не будем их здесь приводить в силу очевидности формулировок). Умножая уравнения Гельмгольца в этих краевых
задачах на функции П и у, соответственно, и применяя формулу Грина и условия сопряжения, получим два соотношения:
J |Vn|2dxdy - Jе|П|2dxdy -iaJ|П|2dl = 0, (30)
Q Q Г
2 2 2 J£-1 |V¥| dxdy - Jdxdy -io-1 J|[¥]Г| dl = 0. (31)
Q Q Г
т-r f . № / № t r\ * ^ ъ / . ^ // .
Пусть £ j = £ j + i£ j , C = C + iO , £ j > 0 , £ j > 0 , О > 0 , О > 0 , c*0; j = 1,2 . Докажем следующее утверждение.
Лемма 1. Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) £i' > 0;
2) £2" >0;
3) о' > 0 .
Тогда краевая задача (8)-(10) при у = 0 имеет только тривиальное решение.
Доказательство. Выделим мнимую часть в соотношениях (30) и (31), получим
2 2 - J £*|П| dxdy-o'J| П| dl = 0, (32)
Q Г
2 2 - J £"|£р2 |V¥| dxdy -c'|c|-2 J| [¥]Г| dl = 0. (33)
Q Г
1. Пусть £1" > 0 . Тогда из (32) находим, что П = 0 в Q1. Отсюда и из первого условия сопряжения в (9) получаем однородную задачу Дирихле в Q2 для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £2 и условиями Зоммерфельда на бесконечности, которая, как известно [16], имеет только тривиальное решение.
Далее, из (33) находим, что V¥ = 0 в Q1, следовательно, ¥ = С в Q1, где C = const. Отсюда и из четвертого условия сопряжения в (9) получаем однородную задачу Неймана в Q2 для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £2 и условиями Зоммерфельда на бесконечности, которая, как известно [16], также имеет только тривиальное решение.
Таким образом, в случае 1 лемма доказана.
2. Пусть £2" > 0 . Тогда из (32) находим, что П = 0 в Q2 . Отсюда и из первого и третьего условий сопряжения в (9) получаем однородную переопределенную задачу в Q1 с краевыми условиями Дирихле и Неймана одновременно для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £1, которая имеет только тривиальное решение (что нетрудно проверить, применяя интегральное представление решения через фундаментальное решение уравнения Гельм-гольца и граничные значения функции и ее нормальной производной [16]).
Далее, из (33) находим, что = 0 в ^2, следовательно у = C в ^2, где C = const. Отсюда и из второго и четвертого условий сопряжения в (9) получаем однородную переопределенную задачу в ^ с краевыми условиями Дирихле и Неймана одновременно для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £, которая имеет только тривиальное решение.
Таким образом, в случае 2 лемма доказана.
3. Пусть а' > 0 . Тогда из (32) находим, что П = 0 на Г. Отсюда и из первого условия сопряжения в (9) получаем однородную задачу Дирихле в ^2 для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £2 и условиями Зоммерфельда на бесконечности, которая имеет только тривиальное решение. Из того, что П = 0 на Г, и из первого и третьего условий сопряжения в (9) получаем однородную переопределенную задачу в ^ с краевыми условиями Дирихле и Неймана одновременно для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £ , которая имеет только тривиальное решение.
Далее, из (33) находим, что [у]г = 0, поэтому из второго условия со-
пряжения в (9) заключаем, что -
дп
= 0 . Отсюда получаем однородную за-
Г
дачу Неймана в ^2 для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £2 и условиями Зоммерфельда на бесконечности, которая имеет только тривиальное решение. Из второго и четвертого условий сопряжения в (9) получаем однородную переопределенную задачу в с краевыми условиями Дирихле и Неймана одновременно для уравнения Гельмгольца с коэффициентом £1, которая имеет только тривиальное решение.
Таким образом, в случае 3 лемма также доказана.
Докажем следующий основной результат.
Теорема 2. Пусть выполнено хотя бы одно из условий:
1) £/> 0;
2) £ 2*> 0;
3) с' > 0 .
Тогда оператор-функция А(у) имеет дискретный спектр в В, т.е. спектр оператор-функции А(у) представляет собой изолированное множество характеристических чисел конечной алгебраической кратности с возможными точками накопления на границе области В .
Доказательство. В силу условий теоремы по лемме 1 заключаем, что точка Уо = 0 принадлежит резольвентному множеству оператор-функции А(у), следовательно резольвентное множество не пусто. Тогда по теореме 1, учитывая голоморфность оператор-функции А(у) в В, применяя теорему о спектре голоморфной фредгольмовой оператор-функции [15], получаем утверждение теоремы.
П У
Заметим, что при уе В функции Грина Gj , Gj существуют. Отметим также, что теорема 2 не утверждает существование характеристических чисел. 84
Заключение
В статье рассмотрена задача на собственные значения о распространении электромагнитных волн в диэлектрическом стержне произвольного поперечного сечения, покрытом графеном. Методом функций Грина задача сведена к системе интегральных уравнений на поверхности диэлектрика. Доказана фредгольмовость системы интегральных уравнений в пространствах Соболева. Изучена оператор-функция, отвечающая системе интегральных уравнений. Доказана дискретность спектра оператор-функции при некоторых достаточных условиях.
Список литературы
1. Geim A. K., Novoselov K. S. The rise of graphene // Nature Materials. 2007. Vol. 6. 183-191.
2. Hanson G. W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene // Journal of Applied Physics. 2008. Vol. 103. P. 064302.
3. Falkovsky L. A. Optical properties of graphene // Journal of Physics: Conference Series. 2008. Vol. 129. P. 012004.
4. Mikhailov S. A. Quantum theory of the third-order nonlinear electrodynamic effects of graphene // Physical Review B. 2016. Vol. 93. P. 085403.
5. Hajian H., Rukhlenko I. D., Leung P. T., Caglayan H., Ozbay E. Guided plasmon modes of a graphene-coated Kerr slab // Plasmonics. 2016. Vol. 11. P. 735-741.
6. Smirnov Y.; Tikhov S. The Nonlinear Eigenvalue Problem of Electromagnetic Wave Propagation in a Dielectric Layer Covered with Graphene // Photonics. 2023. Vol. 10. P. 523.
7. Смирнов Ю. Г., Тихов С. В., Гусарова Е. В. О распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, покрытом графеном // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 3. С. 11-18.
8. Смирнов Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики. Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. 268 с.
9. Shestopalov Y., Smirnov Y., Smolkin E. Optical Waveguide Theory. Mathematical Models, Spectral Theory and Numerical Analysis. Springer, 2022. 260 p. (Springer Series in Optical Sciences. Vol. 237).
10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1981. 512 с.
11. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М. : Мир, 1977. 504 с.
12. Chernokozhin E. V., Shestopalov Yu. V., Smirnov Yu. G. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics. Utrecht, the Netherlands : VSPublisher, 2000. 117 p.
13. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1988. Vol. 19, № 3. Р. 613-626.
14. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М. : Мир, 1980. 664 с.
15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М. : Наука, 1965. 448 с.
16. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М. : Мир, 1987. 311 с.
References
1. Geim A.K., Novoselov K.S. The rise of graphene. Nature Materials. 2007;6:183-191.
2. Hanson G.W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene. Journal of Applied Physics. 2008;103:064302.
3. Falkovsky L.A. Optical properties of graphene. Journal of Physics: Conference Series. 2008;129:012004.
4. Mikhailov S.A. Quantum theory of the third-order nonlinear electrodynamic effects of graphene. Physical Review B. 2016;93:085403.
5. Hajian H., Rukhlenko I.D., Leung P.T., Caglayan H., Ozbay E. Guided plasmon modes of a graphene-coated Kerr slab. Plasmonics. 2016;11:735-741.
6. Smirnov Y., Tikhov S. The Nonlinear Eigenvalue Problem of Electromagnetic Wave Propagation in a Dielectric Layer Covered with Graphene. Photonics. 2023;10:523.
7. Smirnov Yu.G., Tikhov S.V., Gusarova E.V. On the propagation of electromagnetic waves in a dielectric layer coated with graphene. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(3):11-18. (In Russ.)
8. Smirnov Yu.G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki = Mathematical methods for studying problems of electrodynamics. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009:268. (In Russ.)
9. Shestopalov Y., Smirnov Y., Smolkin E. Optical Waveguide Theory. Mathematical Models, Spectral Theory and Numerical Analysis. Springer, 2022:260. (Springer Series in Optical Sciences. Vol. 237).
10. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki = Equations of mathematical physics. Moscow: Nauka, 1981:512. (In Russ.)
11. Mizokhata S. Teoriya uravneniy s chastnymi proizvodnymi = Theory of partial differential equations. Moscow: Mir, 1977:504. (In Russ.)
12. Chernokozhin E.V., Shestopalov Yu.V., Smirnov Yu.G. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics. Utrecht, the Netherlands: VSPublisher, 2000:117.
13. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1988;19(3):613-626.
14. Tribel' Kh. Teoriya interpolyatsii, funktsional'nye prostranstva, differentsial'nye operatory = Interpolation theory, function spaces, differential operators. Moscow: Mir, 1980:664. (In Russ.)
15. Gokhberg I.Ts., Kreyn M.G. Vvedenie v teoriyu lineynykh nesamosopryazhennykh operatorov v gil'bertovom prostranstve = Introduction to the theory of linear non-self-adjoint operators in a Hilbert space. Moscow: Nauka, 1965:448. (In Russ.)
16. Kolton D., Kress R. Metody integral'nykh uravneniy v teorii rasseyaniya = Methods of integral equations in scattering theory. Moscow: Mir, 1987:311. (In Russ.)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 15.05.2023
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 26.06.2023 Принята к публикации / Accepted 10.07.2023
Информация об авторах / Information about the authors
Юрий Геннадьевич Смирнов
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Yuriy G. Smirnov
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
