О РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ СЛОЕ, ПОКРЫТОМ ГРАФЕНОМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.927.4, 517.957, 517.958 doi:10.21685/2072-3040-2022-3-2

О распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, покрытом графеном

Ю. Г. Смирнов1, С. В. Тихов2, Е. В. Гусарова3

1,2,3Пензенский государственный университет, Пенза, Россия mmm@pnzgu.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Рассматривается задача о распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, покрытом с одной стороны слоем гра-фена, который считается бесконечно тонким. Основная задача при описании процесса распространения волн в волноведущей структуре - получение дисперсионного уравнения для постоянных распространения. Материалы и методы. Решаются уравнения Максвелла в частотной области. Условия сопряжения содержат проводимость графена. В данной статье пренебрегаем нелинейностью графена. Результаты и выводы. Получено дисперсионное уравнение для ТЕ-волн в структуре. Приведены результаты расчетов постоянных распространения в зависимости от параметров задачи.

Ключевые слова: графен, дисперсионное уравнение, комплексные волны Финансирование: Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 20-11-20087).

Для цитирования: Смирнов Ю. Г., Тихов С. В., Гусарова Е. В. О распространении электромагнитных волн в диэлектрическом слое, покрытом графеном // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 3. С. 11-18. doi:10.21685/2072-3040-2022-3-2

On the propagation of electromagnetic waves in a dielectric layer coated with graphene

Yu.G. Smirnov1, S.V. Tikhov2, E.V. Gusarova3

1,2'3Penza State University, Penza, Russia mmm@pnzgu.ru

Abstract. Background. The problem of propagation of electromagnetic waves in a dielectric layer coated on one side with a layer of graphene, which is considered to be infinitely thin, is considered. The main task in describing the process of wave propagation in a waveguide structure is to obtain a dispersion equation for the propagation constants. Materials and methods. Maxwell's equations are solved in the frequency domain. The conjugation conditions contain the conductivity of graphene. In this work, we neglect the nonlinearity of graphene. Results and conclusions. A dispersion equation for TE waves in the structure is obtained. The results of calculations of propagation constants depending on the parameters of the problem are presented.

Keywords: graphene, dispersion equation, complex waves

Acknowledgements: the research was financed by the RSF (project No. 20-11-20087) № 20-11-20087).

For citation: Smirnov Yu.G., Tikhov S.V., Gusarova E.V. On the propagation of electromagnetic waves in a dielectric layer coated with graphene. Izvestiya vysshikh uchebnykh

© Смирнов Ю. Г., Тихов С. В., Гусарова Е. В., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(3):11-18. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-3-2

Введение

Исследованию электромагнитных свойств структур, содержащих слои графена, посвящено большое число работ. Многие свойства таких структур изучены достаточно полно, имеется и значительное количество их приложений на практике (см., например, [1-6]).

В настоящей статье рассматривается задача о распространении ТЕ-волны в диэлектрическом слое, покрытом графеном. Покрытие графеном считается бесконечно тонким и приводит к изменению одного условия сопряжения при постановке задачи. Такая модель определяется тем, что слой графена имеет толщину порядка одного атома. Несмотря на то, что графен проявляет нелинейность, в данной статье нелинейностью будем пренебрегать.

В статье получено дисперсионное уравнение для постоянных распространения комплексных волн в диэлектрическом слое, покрытом с одной стороны графеном. Также приведены простые приближения по малому параметру (толщине диэлектрического слоя) для этого уравнения и представлены некоторые результаты расчетов.

1. Постановка задачи

Будем искать ТЕ-волны, которые могут распространяться в волноведу-щей структуре.

Пусть электромагнитная волна, которая имеет вид

Е = (0,Еу (x), 0), Н = (( (x), 0,Ну (x)), (1)

распространяется вдоль оси Oz в плоском диэлектрическом волноводе

E = {(x,z,y)e Ж2 : 0 < x< h},

расположенном между двумя полупространствами x < 0 и x > h с диэлектрическими проницаемостями £i и £3 соответственно. Диэлектрическая проницаемость слоя есть постоянная £2. На границе x = h волновода находится бесконечно тонкий слой графена, в то время как граница x = 0 открыта. Структура однородна вдоль оси Oy , решение не зависит от координаты y .

Поле (1) удовлетворяет уравнениям Максвелла

rot Н = -iweE, rot Е = iw|H, (2)

где

£ =

£1, x < h, £2, 0<x<h, £3, x > h.

На границе x = 0 должно выполняться условие непрерывности касательной компоненты Еу электрического поля и ее первой производной

(условие получается из требования непрерывности касательной компоненты магнитного поля, поскольку на границе х = 0 отсутствуют поверхностные токи), т.е. имеем условия

Еу 10-0 -Еу 10+0 = 0 и Еу |0-0 -Еу |0+0 = 0.

На границе х = к должно снова выполняться условие непрерывности касательной компоненты Еу электрического поля, т.е.

Еу к-0 -Еу к+0 = 0

но, кроме того, еще должно выполняться условие сопряжения для вектора напряженности магнитного поля

n, Н + - Н-

- j - оЕy \x-h,

(3)

где ] - плотность поверхностного тока (далее не используется); а - проводимость - положительная постоянная. Подставляя (1) в (2), получаем

i уЯх (x)- Н 'z (x) - -iюeЕy (x), -/'уЕу (x) - iю^Нx (x), Е'у (x)- 7'юдЯz (x).

(4)

Из (4) следует, что компонента и := Еу электрического поля должна удовлетворять уравнению

Y u - u - au,

(5)

где

a -

aj, x < h, a2, 0 < x < h a3, x > h,

и аI =ю2цег-, / ={1, 2, 3}. Касательная компонента Нг магнитного поля определяется из (4):

Нz -—u .

(6)

2. Распространяющиеся волны в структуре

В полупространствах х < 0 и х > к решение уравнения (5) имеет вид

Л^Л2-^, х < 0,

Ве-(х-к^Т2-^, х > к.

<(x )-

(7)

2

Здесь использовано условие убывания поля на бесконечности и на у наложено условие

у2 > max {ai, 03}.

В слое решение уравнения (5) имеет вид

u(x) = Qsinx^2 - у2 + C2 cosx^2 - у2, где Ci, C2 есть постоянные, причем предполагается, что

Y2 < «2.

Используя условие непрерывности функции u и ее первой производной u на границе x = 0 , находим постоянные C2 = A и

^ _ ^ y 2 - a Cl _ I 2

v°2 -y

Тогда решение u можно записать в виде A

u (x) _ . A == [ ^y2 - ai sin X\Jü2 - y2 + -J«2 -У2 cos -y2 ]•

V°2-y2 ( У

Из условия непрерывности касательной компоненты электрического поля на границе x _ Л находим, что постоянная 5 в (7) определяется как

B _

I A 2 (VУ2 - ai sin hy¡ü2 - y2 +y¡a2

V«2 -y2 (

-y2 cos- y2 |.

Касательная компонента Hz магнитного поля имеет вид

Н z _

7

юц

Vy2 - a3Be"(x-h^

x > 1

~~A( VУ2 -°1 cos W02 - y2 --J«2 - y2 sinxJ«2 - y2 |, 0 < x < h. юц ( У

Используя условие сопряжения (3), получаем дисперсионное уравнение

2

относительно спектрального параметра y :

Vy2 - a3 • (VУ2 - a1 sin hyja2 - y2 + a2 - y2 cos h^a2 -y2 | +

+Va2 -У2 • (VУ2 -a1 coshyja2 - y2 --у/a2 -y2 sinhija2 -y2 )_

(V Y2 - a sin hja2 -Y2 + >/ a2 -Y2 cos h^ -Y2 j, (8)

_ro|ia

здесь

ai < Y2 < a2 , аз < Y2 < a2

и a - вещественный (положительный) параметр. Нетрудно проверить, что при таких ограничениях решений уравнения (8) нет. Это означает, что при наличии слоя графена в структуре нет распространяющихся поверхностных волн, аналогичных ТЕ-волнам в диэлектрическом слое.

3. Комплексные волны в структуре

Будем искать комплексные волны в рассматриваемой структуре, т.е. волны, постоянные распространения которых являются комплексными числами с ненулевыми вещественной и мнимой частями.

2 2 2 Введем обозначения X := a2 - Y и будем считать, что X е С . Тогда

"I 2 \

решение уравнения и = —(2 -Y )и можно записать в виде

и = Q sin Xx + C2 cos Xx.

Вводя обозначения

2 2 q = a2 - ai, 63 = a2 - a3

и используя условие излучения на бесконечности, получаем, что в полупространствах решение имеет вид

и = <

Aex6_^ , x < 0,

Be y ^ 3 , x > h. Здесь выбраны ветви квадратных корней ^q2 -X2 и -X2 такие,

что

Rc^q2 -X2 > 0, RcJ6q -X2 > 0.

Используя условия сопряжения и |0_0 -и |о+о = 0, и' |0-0 -и' |о+о = 0,

и |h_0 _и lh+0 = 0 и условие на графеновом слое и h+0 _и h_0 = и lh+0,

получаем дисперсионное уравнение

-у/б2 -X2 |\j61 -X2 sin Xh + X cos Xh j + X-J¿i2 -X2 cos Xh - X2 sin Xh =

= -/юца^-у/¿i2 - X2 sin Xh + Xcos Xhjj, (9)

которое можно переписать в виде

X(7ез -X2 +\}Ч -X2 tg Xh =-, -. (10)

12 + /юца

X2 б2 - X2 ^е2 - X2 - /юцае2 - X2

Рассмотрим случай, когда диэлектрические постоянные полупро-

/2 2 2 2 2 странств равны. Пусть £1 =£2. Обозначим ^ -X = г, тогда X =£1 -г .

При \ХН\ ■ 1 имеем приближенное уравнение (tgXh ~ Xh):

= 2г + /юца

£2 - 2г2 -/юцаг

или

2кг2 +(2 + /мцск)г-(к£2 -7МЦс) = 0 .

Находим

■2 - /юцак ± л/(2 + /юцак) + 8к (( - /юца

^ =-'-4к-!-1 <И)

При с = 0 (в случае отсутствия графенового слоя) имеем

г,02 = -2 = -2-±ДД . (12)

1,2 4к 2к \4к2 2

В формулах (11) и (12) выбираем знак «+», чтобы получить результат,

72 2 б - ^ =Re г>0.

Заметим, что из (10) при с = 0 получаем известное дисперсионное соотношение для диэлектрического слоя [7].

4. Численные результаты

Ниже представлены результаты расчетов, нормированных на волновое число вакуума постоянных распространения комплексных волн в широком диапазоне частот.

На рис. 1, 2: красная кривая - это график у при с = 0, вычисленный по формуле (11), а синяя кривая - это график Re (у), вычисленный по формуле

(12) при ненулевой проводимости.

-7 -3 -1

Параметры задачи: к = 10 м, с = 10 Ом , £1 = £0, £2 = 4£д .

Вычисления проводились в предположении постоянной проводимости графенового слоя, хотя известно, что проводимость зависит от частоты и ряда других параметров (см. формулу Кубо - Хансена [8]). Таким образом, расчеты можно рассматривать как весьма приближенные. Отметим, что формулы (10) и (11) сохраняют силу и в случае зависимости проводимости от параметров. Однако расчеты в этом случае будут несколько более сложными.

0}

Рис. 1. Re(y) (красный) и у (синий) в зависимости от частоты (Гц)

со

14 14 14 14 14

1. X 10 3. X 10 5. X 10 7. X 10 9. X 10

Рис. 2. Im(y) в зависимости от частоты (Гц)

Список литературы

1. Thang Phan Nguyen, Dang Le Tri Nguyen, Van-Huy Nguyen, Thu-Ha Le, Dai-Viet N. Vo, Quang Viet Ly, Soo Young Kim and Quyet Van Le. Recent Progress in Carbon-Based Buffer Layers for Polymer Solar Cells // Polymers. 2019. Vol. 11 (11). P. 1858. doi:10.3390/polym11111858

2. Avouris P. Graphene: Electronic and photonic properties and devices // Nano Letters. 2010. Vol. 10 (11). P. 4285-4294.

3. Geim A. K. Graphene: Status and Prospects // Science. 2009. Vol. 324. P. 1530-1534.

4. Lee C., Wei X. D., Kysar J. W., Hone J. Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer graphene // Science. 2008. Vol. 321 (5887). P. 385-388.

5. Yang L., Phua S. L., Toh C. L., Zhang L., Ling H., Chang M., Zhou D., Dong Y., Lu X. Polydopamine-coated graphene as multifunctional nanofillers in polyurethane // RSC Adv. 2013. Vol. 3 (18). P. 6377-6385.

6. Naushad Mu. A New Generation Material Graphene: Applications in Water Technology. Springer, 2019. Chap. 7. Р. 187-208. doi:10.1007/978-3-319-75484-0_7

7. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах. Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. 263 c.

8. Hanson G. W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene // Journal of Applied Physics. 2008. Vol. 103, № 6. P. 064302.

References

1. Thang Phan Nguyen, Dang Le Tri Nguyen, Van-Huy Nguyen, Thu-Ha Le, Dai-Viet N. Vo, Quang Viet Ly, Soo Young Kim and Quyet Van Le. Recent Progress in Carbon-Based Buffer Layers for Polymer Solar Cells. Polymers. 2019;11(11):1858. doi:10.3390/polym11111858

2. Avouris P. Graphene: Electronic and photonic properties and devices. Nano Letters. 2010;10(11):4285-4294.

3. Geim A.K. Graphene: Status and Prospects. Science. 2009;324:1530-1534.

4. Lee C., Wei X.D., Kysar J.W., Hone J. Measurement of the elastic properties and intrinsic strength of monolayer grapheme. Science. 2008;321(5887):385-388.

5. Yang L., Phua S.L., Toh C.L., Zhang L., Ling H., Chang M., Zhou D., Dong Y., Lu X. Polydopamine-coated graphene as multifunctional nanofillers in polyurethane. RSC Adv. 2013;3(18):6377-6385.

6. Naushad Mu. A New Generation Material Graphene: Applications in Water Technology. Springer, 2019;7:187-208. doi:10.1007/978-3-319-75484-0_7

7. Valovik D.V., Smirnov Yu.. Rasprostranenie elektromagnitnykh voln v nelineynykh sloistykh sredakh = Propagation of electromagnetic waves in nonlinear layered media. Penza: Izd-vo PGU, 2010:263. (In Russ.)

8. Hanson G.W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of grapheme. Journal of Applied Physics. 2008;103(6):064302.

Информация об авторах / Information about the authors

Юрий Геннадьевич Смирнов

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Yuriy G. Smirnov

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Станислав Вячеславович Тихов аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Елена Васильевна Гусарова ассистент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Stanislav V. Tikhov Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Elena V. Gusarova Assistant of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 05.09.2022

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 01.10.2022 Принята к публикации / Accepted 15.10.2022