CC BY
0DOI 10.24412/cl-37220-2023-1-56-60
О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ ГИПОЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ НА ШКАЛАХ МУЛЬТИАНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ
А.Г. Туманян
Российско-Армянский (Славянский) университет Программное обеспечение "Siemens Digital Industries" ani.tumanyan92@gmail.com
АННОТАЦИЯ
В данной работе изучена фредгольмовость для класса регулярных ги-поэллиптических операторов с переменными коэффициентами. Установлены необходимые и достаточные условия для априорных оценок для дифференциальных операторов, действующих в мультианизо-тропных соболевских пространствах. Получены инвариантность индекса и критерий фредгольмовости для широкого класса регулярных гипоэллиптических операторов на специальных шкалах мультиани-зотропных весовых пространств.
Ключевые слова: регулярный гипоэллиптический оператор, фред-гольмов оператор, мультианизотропные пространства, индекс оператора.
Класс регулярных гипоэллиптических операторов является специальным подклассом гипоэллиптических операторов по Хёрмандеру (см. [1]) и естественным образом обобщает класс эллиптических, параболических, 2Ь-пара-болических и квазиэллиптических/полуэллиптических операторов. Такие операторы были введены в конце 60-70-х гг. и исследованы многими авторами (см. [2-3]). Сложность исследования фредгольмовости таких операторов заключается в том, что характеристический многочлен регулярных гипоэллип-тических операторов не является однородным или обобщенно-однородным, как в случае эллиптических и квазиэллиптических операторов.
Свойства фредгольмовости/нетеровости изучены для некоторых классов гипоэллиптических операторов в различных функциональных пространствах, но большинство результатов относятся к эллиптическим и квазиэллиптическим операторам.
Условия фредгольмовости квазиэллиптических операторов получены в работах [4-5]. Вопросам инвариантности индекса квазиэллиптических операторов на шкале анизотропных пространств посвящены работы [6-7]. В работе [8] получена фредгольмовость регулярных гипоэллиптических операторов с
постоянными коэффициентами в ограниченной области, а в работе [9] получен критерий для фредгольмовости регулярного гипоэллиптического оператора в весовом мультианизотропном пространстве в Mn.
В данной работе для достаточно широкого класса регулярных гипоэллип-тических операторов устанавлен критерий фредгольмовости и получена инвариантность индекса на специальной шкале мультианизотропных пространств H^,p. Рассматриваемая шкала мультианизотропных пространств является более общей, чем в предыдущих работах.
Определение 1. Ограниченный линейный оператор A, определенный на всем банаховом пространстве X и действующий в Банаховом пространстве Y, называется «фредгольмовым», если выполняются следующие условия:
1) область значений оператора A замкнута (Im(A) = Im(A));
2) ядро оператора A является конечномерным (dim Ker(A) < да);
3) коядро оператора A конечномерно (dim coker(A) = dimY/Im(A) < да).
«Индексом фредгольмова оператора» A называется разность между размерностью ядра и коядра:
ind(A) = dimKer(A) — dim coker(A).
Пусть n£i, - множество n-мерных мультииндексов, Nn - множество n-мерных мультииндексов с натуральными компонентами.
Пусть JclJ - некоторый набор мультииндексов. Характеристическим многогранником множества мультииндексов Ж назовем наименьший выпуклый многогранник ^ = ^(Ж), который содержит все точки Ж. Многогранник ^ назовем вполне правильным, если 1) он имеет вершины в начале координат Mn и на каждой оси координат Mn, отличные от начала координат; 2) внешние нормали всех (n — 1) -мерных некоординатных граней ^ имеют положительные координаты.
Мультииндекс а 6 ^ назовем главным, если он принадлежит какой-либо (n — 1) -мерной некоординатной грани многогранника ^. Множество всех
главных точек из ^ обозначим через д
Пусть ^ произвольный вполне правильный многогранник и k 6 М+. Обозначим fc^ = {ka = (ka1; ka2,..., kan), a 6 . Обозначим через ^n—1(j = 1, ...,In—i) (n — 1) -мерные грани многогранника ^. Пусть j = 1, ..., In—i такая внешняя нормаль грани для которой при всех a 6 ^j1-1 (а: ц') =
% , ____, ^n
j + ••• + j 1.
Для вполне правильного многогранника ^ и k 6 Ж+ обозначим
Q
fc,R _
q: >0, Vz£ ßn,
q(x)
0 при |x| ^ те , 3Cg>0 такое, что
< Cß, Vx e ßn, v^ e fcR, ; = 1, ...Д
n-1
В класс весовых функций Qk,K входят полиномиальные функции, а также специальные экспоненциальные функции - такие, как:
(1 + |x|^)l,l > 0, exp{(1 + |xb)r},0 < г < 1/цтах , где |х|ж = 1аед'Ж|Ха| и Цтах= . mma,x max mS .
Для k£2+, q e Qk,K и 1 < p < от через ^ ,p обозначим множество измеримых функций {u} с конечной нормой:
||u||k,^,q,p = Zaek^ llDÖU ■ Я Рассмотрим дифференциальную форму
P(x, D) = ^ aa(x)Da
-max(a:|ij)
k-max(a:|J)
1 Lp( Mn)-
ae^
ae^
(1)
, a0a(x) e
C(Rn) , Dß(aa(x)) = oiq(x)1-miax(a-M)),j = 1,..., In-1,ß e kS,aeS при
где
D
a _ nai
D^-D?, Dk = i-1 x=(xi.....xn) eln
dXk
x
(Ю
Определение 2. Скажем, что дифференциальная форма P(x, D) равномерно регулярна в Mn, если существует такая постоянная 5 > 0, что имеет место оценка
Haed'*aa(x)^a| > б^жП, V^eln,V x e En. Для M > 0 обозначим KM: = {x e Rn: |x| < M}. В работе получена следующая основная теорема.
Теорема 1. Пусть k e Ж+, q e Qk,K и P(x, D) дифференциальной форма
вида (1) коэффициенты которой удовлетворяют условию lim max |a0(x) —
|x|^<»|x-y|<1
a0 (y)| = 0.
Тогда оператор P(x, D): Hq+1,^,p ^ Нч,Ж,р является фредгольмовым тогда и только тогда, когда P(x, D) равномерно регулярна в Mn, и существуют постоянные 5 >0 и M >0 - такие, что
^ aa№
ae^
1-max(a:^j) a
> 5
+ x ), V e Rn, v x el+, |x| > M.
Ved ж
1
к
у
В работе получен критерий фредгольмовости для рассматриваемого класса операторов на шкале мультианизотропных соболевских пространств Н^Ч Установлена инвариантность индекса на данной шкале.
Теорема 2. Пусть k е Ж+, q е Qk'^ и P(x, D) дифференциальной форма
вида (1) коэффициенты которой удовлетворяют условию lim max |а^ (x)—
|x|^<»|x-y|<1
aS (y)| = 0. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Оператор P(x, D): н^1'^ ^ H^^ фредгольмов.
2) P(x, D) равномерно регулярна в Mn, и существуют постоянные 5 >0 и M > 0 такие, что
^ aa(x)X1-miaX(a:^Y > 5 ( ^ П + xYv$ eln'V X е Е+' |x| > M.
^aed'^
ae^
3) С некоторыми постоянными C > 0 и N >0 выполняется априорная оценка:
<c(||Pu|| k'^,q,p + HuHbp^N))'Vu e
При этом, если условия теоремы выполняются, то размерности ядра, коядра и индекс оператора P(x, D):Hq ^ Hq не зависят от выбора k.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hyormander L. Linear Partial Differential Operators. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1969.
2. Friberg J. Multi-quasielliptic polynomials", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, vol. 21, no. 2 (1967). РР. 239-260.
3. Михайлов В.П. О поведении на бесконечности одного класса многочленов. Тр. МИАН. 91 (1967). СС. 9-81.
4. Darbinyan A., Tumanyan A. On a priori estimates and the Fredholm property of differential operators in anisotropic spaces. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. vol. 53, n. 2 (2018). PP. 61-70.
5. Tumanyan A. Fredholm property of semielliptic operators in anisotropic weighted spaces in
^"journal of Contemporary Mathematical Analysis, vol. 56, n. 3 (2021). PP. 168-181.
6. Darbinyan A., Tumanyan A. On index stability of Noetherian differential operators in anisotropic Sobolev spaces. Eurasian Mathematical Journal, vol. 10, no. 1 (2019). PP. 9-15.
7. Tumanyan A. On the invariance of index of semielliptical operator on the scale of anisotropic spaces. vol. 51, no. 4 (2016). PP. 187-198.
8. Карапетян Г.А., Дарбинян А.А. Нетеровость регулярного оператора с постоянными коэффициентами в области, Труды инст. мат. им. Размадзе, Тбилиси, Т. 146 (2008). СС. 57-66.
9. Tumanyan A. Fredholm criteria for a class of regular hypoelliptic operators in multianiso-tropic spaces in Rn. Italian Journal of Pure and Applied Mathematics. vol. 47 (2022). PP. 1009-1028.
ON THE FREDHOLMPROPERTY OF REGULAR HYPOELLIPTIC OPERATORS ON THE SCALES OFMULTIANISOTROPIC SPACES A. Tumanyan
Russian-Armenian (Slavonic) University Siemens Digital Industries Software
ABSTRACT
In this work, the Fredholm properties are studied for a class of regular hy-poelliptic operators with variable coefficients. Necessary and sufficient conditions are established for a priori estimates for differential operators, acting in multianisotropic Sobolev spaces. Index invariance and Fredholm criteria are obtained for a wide class of regular hypoelliptic operators on the special scales of multianisotropic weighted spaces. Keywords: regular hypoelliptic operator, Fredholm property, multianiso-tropic spaces, index of operator.
