О фредгольмовости операторов одной алгебры в пространствах бесконечно дифференцируемых вектор-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ОПЕРАТОРОВ ОДНОЙ АЛГЕБРЫ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ВЕКТОР-

ФУНКЦИЙ

© 2009 г. С.В. Горин

Индивидуальный предприниматель, Individual entrepreneur,

[email protected] [email protected]

Пусть С^ С — локально выпуклое пространство всех бесконечно дифференцируемых вектор -функций, определенных на единичной окружности Г и принимающих значения в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н. Строится алгебра Билинейных непрерывных операторов, действующих в С^ ( , содержащая оператор сингулярного интегрирования и

все операторы умножения на оператор-функции, определенные на Г, принимающие значения в множестве всех операторов в пространстве Н, представимых в виде суммы единичного и компактного операторов, и бесконечно дифференцируемых в равномерной операторной топологии. Для операторов из этой алгебры построено символическое исчисление, в терминах которого получен критерий фредгольмовости операторов из BH.

Ключевые слова: бесконечно-дифференцируемые вектор-функции, бесконечномерное гильбертово пространство, пространство Фреше, сингулярный интегральный оператор, фредгольмовость оператора, критерий фредгольмовости, алгебра операторов, локально-выпуклые пространства, счетно-нормированные пространства, символическое исчисление.

Let H be an infinite-dimensional Hilbert space and F- a unit circle of complex numbers. We consider the space C^ ( of the functions from Г into fl that have derivatives of any order. In this space we build an algebra of the operators that contains the set of singular integral operators, the symbol theory for this algebra and give the description of its Fredholm operators.

Keywords: infinite order differentiable vector-functions, infinite dimensional Hilbert space, Fr'echet space, Singular integral operator, Fredholmness of operator, criteria of Fredholmness, algebra of operators, locally convex spaces, symbol calculus

Введение

Данная работа посвящена исследованию фредгольмовости сингулярных интегральных операторов, действующих в пространстве, состоящем из всех вектор-функций, определенных на единичной окружности Г в комплексной плоскости С, принимающих значения в бесконечномерном гильбертовом пространстве Н и являющихся бесконечно дифференцируемыми относительно сильной сходимости в Н . Будем обозначать это пространство как

сс:

Определим в пространстве С",) С тему норм

. Для любой функции (р с ^н

счетную сис-

и любого п > О полагаем Здесь и далее

= П maxL .

t_n tel II "Ан

ЫО ^Г

|| - норма, определенная в пространстве Н . Относительно этой системы норм

линейное пространство ('¡¡ С^ является счетно

я

нормированным.

В работе строится алгебра операторов, дейст-

вующих в

chC

содержащая все сингулярные

интегральные операторы, а также регуляризаторы фредгольмовых сингулярных интегральных операторов. Для операторов из этой алгебры строится символическое исчисление и находится критерий фредгольмовости. Доказательства большинства утверждений опущены ввиду их объемности.

Ниже при использовании терминологии и некоторых результатов теории линейных операторов в локально-выпуклых пространствах мы следуем [1,

X и про-

2]. Напомним некоторые определения. Пусть У - произвольные счетно-нормированные странства.

Линейный оператор К , действующий из пространства X в пространство У , называется компактным, если в X существует окрестность, образ которой при отображении K относительно компактен в У.

Оператор А в пространстве X называется Ф+-оператором, если он обладает конечномерным ядром и замкнутым образом. Оператор А называется фредгольмовым, или Ф-оператором, если он имеет конечномерное ядро, замкнутый образ и конечномерное коядро. Эквивалентным является определение фредгольмовости с точки зрения регуля-ризуемости оператора: оператор А называется фредгольмовым оператором, если существуют ли-

нейные непрерывные операторы Я и Я2, называемые соответственно левым и правым регуляризато-рами оператора А, такие, что ЯгА = I + 1\.АЯ2 =1+ Т2, где / - единичный, а Тх и Т2 - компактные операторы в X .

Следующая теорема дает характеристику компактных операторов в счетно-нормированных пространствах.

Теорема 1 [3]. Пусть Х,У - счетно-нормированные пространства; ^ и ^ - системы норм, порождающие топологию в пространствах X и У соответственно. Если линейный оператор К, действующий из пространства X в пространство У, является компактным, то существует число т> 0, такое, что для любого п> О существует такая константа сп > 0, что для всех элементов х е X выполняется неравенство

INL *

Сп\г\\т,Х ■

Критерий полуфредгольмовости

Определение. Последовательность элементов хк,к = 1,2,3,... пространства X будем называть абсолютно некомпактной, если она не содержит сходящихся подпоследовательностей.

Для любого п > О обозначим через />„ $ _ класс всех абсолютно некомпактных последовательностей элементов пространства X, ограниченных относительно п -й нормы.

Понятие абсолютно некомпактных последовательностей позволяет дать следующий критерий.

Теорема 2 [3]. Пусть А - линейный непрерывный оператор в счетно-нормированном пространстве X . Тогда следующие условия эквивалентны:

1. А является Ф+ -оператором.

2. Для любого п> О найдется число т> О, такое, что для любой последовательности -4 у ,,

класса /•>„, ^ ^ последовательность ^хк принадлежит классу /)„ $ .

3. Существует число т>О, такое, что для любой последовательности -4 ¿1о класса /•>„, $ по-

Axk г о

принадлежит классу

L С ^ - алгебра всех линейных непрерывных операторов в С^ С J К -

множество всех

С GO ^' О ^^

1 1 ffVJ ^ V// С ^ - под-

множество алгебры В {'7/ С состоящее из операторов вида А ( , ^ е Г, где для любой точки ^ е Г ( - линейный непрерывный оператор в Н, и оператор-функция бесконечно дифференцируема в равномерной операторной топологии пространства Lif^.

К^Ън cj 4 о ^ cj^ € Г^ О ^ <С, В^н С> ^Ь^н С J« О ^

Определим линейное пространство, в котором будут действовать операторы из множества символов.

Рассмотрим множество формальных рядов Лорана от неизвестной z , каждый из которых содержит лишь конечное число отрицательных степеней

z , т.е. множество рядов вида ~TjCtkzk ,ак е С. Отно-

к=-г

сительно стандартных операций сложения и умножения степенных рядов это множество является полем. Будем обозначать его через F . Аналогично определим множество формальных рядов Лорана

Fн =< Xхк2 \хк е Н г. Это множество относи-

[к=-г }

тельно стандартных операций сложения степенных рядов и умножения степенного ряда из на ряд из F является линейным пространством над полем F. Кроме того, будем рассматривать множество FLн^ формальных рядов Лорана, в которых в качестве коэффициентов выступают линейные непрерывные операторы в пространстве Н . Очевидно, множество !'] (_/ - является алгеброй относительно естественных операций сложения и умножения.

Определим в (( следующие операторы:

Р-1+>\ б =

следовательность

А> С-

Таким образом, условие 3 теоремы 2 является необходимым условием фредгольмовости оператора.

Алгебра операторов типа сингулярных

Приступим к построению алгебры операторов, фредгольмовость которых будем исследовать, и символического исчисления для операторов этой алгебры.

Введем обозначения: ^ - алгебра всех линейных непрерывных операторов в Н ; -множество всех компактных операторов в Н ;

2

2

т Тт — t ' 'о

Пусть А'н - алгебра операторов, порожденная операторами множеств Г/ С ^ С// С > и Я{ /0 е Г, и В'7/ - алгебра операторов, порожденная операторами алгебры А'н и оператором сингулярного интегрирования 5. Справедливы следующие утверждения.

1. Любой оператор А е А'н может быть выражен через образующие этой алгебры в виде

где е Г, Л<> /7 С * е 5 (я С ].

2. Любой оператор ^ е В',, может быть выражен в виде IV = ( 1> + /)(). где операторы Си/) принадлежат А),.

3. Множество В С ^ является двусторонним идеалом в В',,.

Определим символ для образующих операторов алгебры А'н как отображение, действующее из А'н

в F,

lh:

Пусть А // {у, С

H

+00

Тогда (т^О!^

fco А:!

и K^B^S <0

Оо.

ö",

+ 00 z

k=0 <-

1

t = tn

t*tn

Символ оператора (1) определяется следующим образом: ^ «> <т,0 ^ >,0 (Г; },„ О С

Данное определение является корректным, т.е. символ оператора не зависит от представления оператора в виде (1), и если два оператора из А'н имеют одинаковые символы, то они отличаются на слагаемое из множества В С

Рассмотрим множество ¥Н упорядоченных пар элементов множества ¥н с покоординатными операциями сложения и умножения и множество /',2(/ -линейных операторов Л в /■'// , представимых в виде упорядоченной пары элементов Л = В множества и действующих по правилу

Ц,В%уУ «лг./лЛ

Определим символ оператора IV = СР + ПО е В',, как упорядоченную пару а, (г, (' Г/т, СО При таких определениях для любой точки ^ е Г

отображения <т, : Л',, FH и <т, : В',

я

•F,

я

явля-

ются гомоморфизмами.

Обычно при исследовании фредгольмовости операторов типа сингулярных рассматриваются алгебры, образующие которых коммутируют с точностью до компактного слагаемого. Построенная алгебра В',, удобна для определения символа и доказательства корректности этого определения, но не обладает указанным выше свойством. Действительно, в случае бесконечномерного пространства Н коммутатор операторов С-'о ^ и ^ не является компактным. Это обстоятельство является причиной перехода к рассмотрению вместо А'н и В',, более узких алгебр.

Пусть ие//,||и||д =1. Рассмотрим в Я следующие операторы ортогонального проектирования: Рих — х-*2иХ=^>и11-

Они естественным образом порождают в пространстве Сд С„ операторы хО~ С

С . которые для простоты будем в дальнейшем обозначать так же, как и исходные. Определим в пространстве (( операторы:

К1пи<Р = Ри(Р + <2иЕ-и(Р, °((],и<Р = Ри<Р + (2и С-Ч 1> ■

- иг ■ Г ? —

Имеют место равенства Я ( иО{ =/,

° 10,иК10,и =I+Qust0■ Рассмотрим подалгебру Ан с= А) ную операторами вида Я^ и, /п еГ,ие Н, \\и I = 1,

и II ия

порожден-где

алгебру Агг и

компактными операторами и

операторами умножения из множества М ' С^-Кроме того, будем рассматривать Вя с В^, порожденную операторами ] сингулярным интегральным оператором.

Символ для операторов алгебры Вя определяется аналогично символу операторов из В',,. Операторы, образующие алгебру Вя, обладают рядом свойств, которые позволяют доказать для них критерий фредгольмовости. Приведем эти свойства.

Первое свойство характеризует коммутаторы образующих алгебры Вя, которые, вообще говоря, не коммутируют с точностью до компактного слагаемого, но для них справедливо следующее, более слабое, утверждение.

Лемма 1. Пусть t0 е Г,

М1я =1>

Тогда существуют оператор обратимый оператор Т — 1 + 0, где , и компактный в С^ С оператор К ,

такие, что Я,иПА<Х - «<5,, ,, + К .

Кроме того, множества и 5(я С^

обладают следующим свойством. Лемма 2. Имеет место равенство

¿ЧясЗ^ясЭ с

Леммы 1 и 2 позволяют получить общий вид оператора алгебры Ан.

Лемма 3. Любой оператор А е Ан можно представить в виде

А = А <£^икТ;1\_ъик_Тк-\..Я^Т,-1 +Ь, (2)

где ЬеК^С^

Ыг еН4иг\\я =1'

Лемма 4. Имеет место равенство

ЛЯ I

Доказательство. Для любой точки /0 е Г и единичного элемента и^Н оператор и не принадлежит С- Действительно, предполагая противное, возьмем произвольный ненулевой компакт-

1

z

k

t

z

u

2

ный оператор К в гильбертовом пространстве Н . Тогда D^KeK^ О но

Допустим, что . I е А,,П /.:> ('// С Представим A в виде (2). Очевидно, оператор

-И

А - L = А СП Я(. и. Т принадлежит множеству

г=1

В^н О

Последовательно умножая последний оператор справа на операторы Д , получим, что

/1 Л' С // С:- По лемме 2 заключаем, что ЛС^- 0. Лемма доказана.

Из леммы 4 в частности следует, что компактные операторы и только они имеют в алгебре Ан нулевой символ. Приведем еще три утверждения, которые необходимы для доказательства критерия фредгольмовости.

Лемма 5. Пусть Если символ

оператора А ( необратим в точке /0 е Г. то существует функция х ( ^ (С такая, что х^ у= 0 и функция А имеет в точке t0 нуль бесконеч-

ного порядка.

Лемма 6. Пусть /0еГ,

н

Тогда для любого т> О последовательность

t + t о

V 2?0 у

принадлежит классу

следовательность

t + t о 2/п

сходится к нулю в

тимые операторы в пространстве Н , каждый из которых представляет собой сумму единичного и компактного операторов. Символ о^ С очевидно, также необратим.

По лемме 5 существует функция х ^ (С такая, что х^ у 0. и функция имеет в

точке /0 нуль бесконечного порядка. Выберем произвольное т>0 и рассмотрим последовательность

к "г-

1 / + /0

2/п

. В силу леммы 7 после-

довательность /I К]}/" К _ сходится к нулю в пространстве Сд С.

Умножим исходный оператор V справа на оператор

Т,Д УТ2Б, У ...ТпБ, У . (3)

I I п ,пУп у '

Так как последний оператор является фредголь-мовым, в результате этого умножения мы перейдем к рассмотрению Ф+ -оператора II]. Заметим, что все операторы, входящие в произведение (3), коммутируют с оператором Р с точностью до компактного слагаемого. Следовательно, оператор Т¥1 имеет вид А + + Ц, где Г\ е Ан,

Рассмотрим образ последовательности ^

К ^ > —

Лемма 7. Пусть функция х ( ^ (( имеет в точке /0 е Г нуль бесконечного порядка. Тогда по-

при

отображении

Обозначим

t + t о 2/п

. Тогда

WK = А + + = (4)

= 1>А<вч: + ш1>-гА<у;: + дел»

m

Но Qh™ =Qiikx^x + Q<ikx^

топологии пространства С

Теорема 3. Если оператор IV е Вя является Ф+ -оператором в пространстве (С . то о", СК , обратим для любой точки / е Г.

Доказательство. Допустим противное: предположим, что оператор ¡V является Ф+ -оператором в

пространстве (У, С и пусть существует точка /0 еГ, в которой символ ^^ оператора IV необратим. Тогда необратим один из символов сг^ (' или сг( () Пусть для определенности, это сг( Представим оператор С в виде С = Ал. Тк ^Я* \...Я, Тп ^ + Ь .

к 1п_1,уп_1 к-1 1

Здесь Ь - компактный в пространстве (С оператор; у ,у2,..уп - элементы пространства Н с единичными нормами; Т Т ... Т - линейные обра-

-ß ^к = ß ^к- 3"ß ^к =

1 СS-J"ак^

^ ^ т — (

Из данного равенства следует, что для любого числа и > 0 существует число ап, такое, что

<aJaJ Так как \ак\ —>0, заключаем,

что последовательность Qhm стремится к нулю в пространстве (С

Из компактности оператора /., + А - РА ( и теоремы 1 следует, что существует число т0> 0, такое, что для любого п > 0 найдется число сп> 0, при котором для всех х е (С выполняется неравенство

IC^^-iMÖl^

CJX

iiotq

(5)

Будем считать, что т>т0. Тогда, очевидно,

нта

О, и в силу неравенства (5) последова-

к

1

а

к

т

к

к

т

к

n

т

h

к

тельность Са + А - РА ^^™ сходится к нулю. Таким образом, в (4) все слагаемые слева стремятся

к нулю. Следовательно, й^/г™ £ С^- Но

тогда не выполнено условие 3 теоремы 2. Действительно, для всех т>т0 указана последовательность из класса От ( которую оператор И] переводит в сходящуюся к нулю (и, следовательно, не принадлежащую классу Для т<т0

в качестве такой последовательности выступает

ь+1 3

последовательность .

В силу теоремы 2 оператор }¥х не является Ф+ -

оператором. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 4. Если символ оператора умножения А М' обратим в любой точке /е Г. то

этот оператор является фредгольмовым в пространстве С^С^с регуляризатором из алгебры Ан .

Теорема 5. Оператор IV. принадлежащий алгебре Вя, является фредгольмовым в пространстве

С» С. тогда и только тогда, когда его символ обратим в любой точке окружности Г . При этом регу-ляризатор оператора IV также принадлежит алгебре Вя.

Доказательство. Необходимость условия доказана в теореме 3.

Докажем достаточность. Представим оператор еВя в виде Ж = СР+В() С,Ое Ан . Обрати-

мость символа оператора W в каждой точке влечет за собой обратимость символов операторов C и D в каждой точке.

Рассмотрим, например, оператор С. Представим

его в виде С = Ai^tnUTklRtn_iUn_Tk\..RtiUTl+L.

Из обратимости символа оператора С во всех точках кривой Г следует обратимость символа оператора (' ( во всех точках кривой Г. Но это в силу теоремы 4 означает, что оператор С( фред-гольмов и его регуляризатор Rc£ принадлежит алгебре Ан . Тогда и оператор С является фредгольмовым с регуляризатором RC = TlDtb4T2Dt2,U2 ■ ■ TnDt„,u„Rc С К0Т°РЫЙ' очевидно, также принадлежит алгебре Ан .

Аналогично доказывается, что регуляризатор Rd оператора D принадлежит алгебре Ан. Непосредственной проверкой устанавливается, что оператор Rw = RCP + RdQ с Вя является регуляризатором оператора W. Теорема доказана.

Литература

1. Пресдорф З. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., 1979. 486 с.

2. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М., 1967. 258 с.

3. Горин С.В. Фредгольмовость операторов типа сингулярных в пространствах гладких функций. М., 2005. Деп. в ВИНИТИ 14.02.2005. № 206-132005.

Поступила в редакцию

15 мая 2008 г.