Замечание о разрешимости некоторых парных операторов дискретной свертки с разрывными символами в /^-пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.983

ЗАМЕЧАНИЕ О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ ПАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ ДИСКРЕТНОЙ СВЕРТКИ С РАЗРЫВНЫМИ СИМВОЛАМИ В ¿р-ПРОСТРАНСТВЕ

© 2009 г. Г.Г. Смолкин

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, [email protected]

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, [email protected]. ru

Исследовании разрешимость операторов дискретной свертки с несуммируемыми ядрами. Для произвольного р (>1) получены условия фредгольмовости и вычислен индекс для действующих в пространстве Ьр парных операторов дискретной свертки, символы которых принадлежат некоторым Ьр-мультипликаторным аналогам алгебры Дугласа С + Нх-

Ключевые слова: Lp-пространство, оператор свертки, мультипликатор, символ, фредгольмовость, индекс.

In this paper for any p>1 some pair discrete convolution type operators acting in Lp-space with symbols from Lp-multiplicatory analog of Douglas algebra с + H are considered. For these operators Fredholm property criterion and index formula are obtained. 4 references.

Keywords: Lp-space, convolution operator, multiplicator, symbol, Fredholm property, index.

В [1] для произвольного p(> 1) получены критерий фредгольмовости и формула индекса для операторов Теплица с символами из некоторого lp -

мультипликаторного аналога алгебры Дугласа HCJS +С [2]. В данной работе исследуется разрешимость парных операторов дискретной свертки с символами такого типа.

Парные операторы

Пусть 1 < р < +оо; Т - единичная окружность в

комплексной плоскости с центром в нуле с обычной мерой; Z - множество целых чисел с дискретной мерой; Lp (T) и Lp (Z) - банаховы пространства суммируемых функций на t и Z соответственно; L0 (Z) -линейное пространство всех финитных функций; End(Lp (Z)) - банахова алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в Lp (Z); Comp(Lp (Z)) - идеал компактных операторов в End(Lp (Z)). Пусть i - единичный оператор в

End(Lp(Z)); Р+- оператор умножения на характеристическую функцию множества неотрицательных целых чисел, Р =1 -1' .

Для <peLp(Z) и I// е /,()(Z) свертка <р*у/ определяется по правилу

0<p*t//)(m)= - k)tf/(k),

k<EZ

m<=Z.

Пусть F: L2(T) —> L2(Z) - преобразование Фурье.

Следуя [1, с. 48], через Мр обозначим множество всех яё![ (Т), удовлетворяющих двум условиям:

1) V(//eZ0<7) F{a)i// е Lp(Z);

II F(a)y/ ||p

2) sup { ——} < +CC .

y/eL0(Z),i//*0 WWWp

Легко видеть, что для любой функции а е М р существует непрерывное отображение /,0 (Z)(cz I.p (Z)) в

Lp (Z), определяемое по правилу у/ \—> /•'(«)'// . По теореме Банаха [3, с. 999], существует единственное непрерывное продолжение этого отображения на пространство Lp (Z). Это продолжение называется оператором

одномерной дискретной свертки с ядром F(a) и обозначается через CF(a). Известно [1, с. 50], что множество М р является банаховой алгеброй с определенной на ней нормой \\a\\MP=\\CF{a)\\End{Lp{Z)), при этом

Мр сМ2 =¿„(7-).

Для (р е \ J р будем рассматривать операторы

=Р+СЕ

^F(ç) P CF{<P)P~

называе-

1 F(<p) " ^F{<py мые далее соответственно операторами Ганкеля и Теплица. Очевидно, что

г±

CF(ç)P+ - TF((p)+HF(<p)-

(1)

Пусть Hm (T)(cz (Т)) - пространство Харди функций, имеющих аналитическое продолжение на

Поэтому оператор ь можно записать в виде мат-

внутренность Т; нр(Т)=нх(Т)пМр; СР(Т) -

замыкание в Мр множества тригонометрических полиномов. Рассмотрим Ьр -мультипликаторный аналог алгебры Дугласа О = Н00(Т) + С(Т) - множество Бр = Нр (Т) + Ср (Т). Известно [1, с. 76], что 1)р

совпадает с замкнутой подалгеброй Мр, порожденной функциями из Н£ (Т) и /. Этот результат обобщает известный результат Сарасона для случая р = 2

[2, с. 373]. Введем обозначения: = 1)р , 1)р = 1)р .

Утверждение следующей леммы является естественным обобщением теоремы П. Хартмана [3, с. 63].

Лемма 1. Если <р± е Бр, то ) е Сотр(Ьр (г)).

Основной целью данной работы является исследование разрешимости парных операторов вида

L ~ CF{tp+) где (р± е D±

p ■

P+ + C

F(<P-)

P~

(2)

Фредгольмовость и индекс

Пусть 0 < г < 1; Тг - окружность радиуса г ; <р -продолжение (р на внутренность Т\ <рг - ограничение

(р на Тг. Через 0(Ор) обозначим группу обратимых

элементов алгебры Если с/; с (г(/)^}) . то в силу теоремы Дугласа [1, с. 80] существует такое число г0, что <рГо ( * 0 при / е /,. и индекс ф корректно определяется следующим образом:

Ы((р) = ^~ Ааг^ ). 2 п 0

Теорема 1. Парный оператор Ь вида (2) фред-гольмов тогда и только тогда, когда </)_ е (1(1)р) . Если Ь фредгольмов, то его индекс можно вычислить по формуле

1пй(Е) = -тс1((р+ ■ <р_) . (3)

Доказательство. Из соотношения (1) и леммы 1 вытекает, что парный оператор Ь вида (2) представим в виде

F(,p+) F(<p_)

(4)

где К = Нр^ ^ +Нр^(р ) & Сотр{Ьр{2У). Поскольку

операторы Ь и Ь - К фредгольмовы одновременно и 1пй(Е) = 1т1(1. - К), то, не нарушая общности рассуждений, далее будем предполагать, что К = 0 .

Банахово пространство Ьр (2) представимо в виде

прямой суммы своих подпространств: Ьр{2) = Р+{Ьр{1))®Р-{Ьр{1)).

рицы l =

F(q>+)

0

lF(,p_)

где ^ - ограничение

; на р~ (ьр (2)). Нетрудно видеть, что оператор Ь фредгольмов тогда и только тогда, когда фред-

гольмовы одновременно T

F(<P+)

И T

F((p_)

. Известно

[1, с. 78], что оператор T

F((P±) +

фредгольмов тогда и

только тогда, когда <р+ е 0(Бр). Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для Тр,. Таким образом, Ь фредгольмов тогда и только тогда, когда (р± с (И/)-).

Докажем (3). Заметим, что оператор Ь представим в

виде произведения двух операторов /,, = т,

F(<P+)

-P~ И

l_ - Tf{(p_) + Р

которые мы можем записать в виде

F(<p+)

il

Ь '7 0 '

ч о I) ~ [о

Тогда 1пй(Е) = ///б/(/, I. ) = ) + 1пё(Ь_).

Заметим также, что Ь+(Ь_) фредгольмов тогда и

только тогда, когда фредгольмов У^Т,^ . ( Гр(ф ;). При

этом Ind{l±)=Ind(T~^ . Известно [1, с. 78], что

если оператор ; фредгольмов, то . ) =

= -тс1((р+). Нетрудно видеть, что ЫсКТр^ = 1пс1(1—). Таким образом, 1пс1(Ь) = -тс1((р+) -

-ind(<p_) = —ind{(p+ ■ <р )

Рассмотрим оператор I.\ =P+CF^ у -t-г < ¡,-(1// (

где у/± е .

к =р+ср-)+р ср-у

*

Теперь нетрудно видеть, что оператор Ь*, сопряжен-н^1й к Ь-1, является оператором вида (2). Поскольку Ь^ и Ь1* фредгольмовы одновременно, то в силу теоремы 1 оператор Ь*1 фредгольмов тогда и только тогда, когда ///_ с (1(1)у,). В случае фредгольмовости с учетом (3) получаем = = тй{ср+(р_) = М(1//+ц/_).

Обозначим

+ P~CF <р+=у± . Тогда

Рассмотрим оператор Ь2 = Ср^_уР+ + Ср^^Р

где <p±eD~. В силу (1) Ь2 =Т^{(р+TF{(p+y

+ НН<Р-) +Нр(<Р+)-

Вообще говоря, операторы Ганкеля Нр^ ) и

НР{ч>+) не принадлежат идеалу Сотр{Ьр(7.)) [1, с. 77]. Поэтому для операторов и сопряженного к

0

нему оператора L2=P С^ — +Р~

CF{V+) рассуж-

^

дения, приведенные в доказательстве теоремы 1, не позволяют получить условия фредгольмовости.

В заключение отметим, что в [4] в случае р = 2 получены критерий фредгольмовости и формула индекса для операторов из банаховой алгебры, порожденной

парными операторами вида (2), где (р±

\ Do n Do

Литература

Botcher A., Silbermann B. Analisys of Toeplitz operators. N. Y., 1990. 527 p.

Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М., 1984. 469 с.

Пеллер В.В., Хрущев С.В. Операторы Ганкеля, наилучшие приближения и стационарные гауссовские процессы // Успехи математических наук. 1982. Т. 37, № 1 (223). С. 53-124.

Деундяк В.М., Смолкин Г.Г. Операторы дискретной свертки с разрывными символами // Изв. вузов. Математика. 2007. Т. 8, № 543. С. 74-76.

Поступила в редакцию

14 марта 2008 г.