CC BY
10с течением времени либо затухают, либо стремятся к колебательному режиму с ограниченной амплитудой, определяемой начальными данными. Эти возмущения удовлетворяют общему условию vo = —wxo, где vo — обобщенная начальная скорость; xo — обобщенное начальное отклонение от положения равновесия (смещение, угол); ш — составленная из параметров системы величина с размерностью T-1, которую можно считать характерной частотой. Необходимо заметить, что в силу упомянутой изолированности такого класса возмущений в начальном фазовом пространстве само экспоненциально затухающее либо стремящееся к колебательному режиму возмущенное движение неустойчиво, а потому ненаблюдаемо по Четаеву [3] даже в сколь угодно точном эксперименте. Работы выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты JVs18-29-10085mk, 19-01-00016а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lamb H. Hydrodynamics. 6th ed. N.Y.: Dover Publ., 1945. {Лам,б Г. Гидродинамика. M.; Л.: ГППТ.1. 1947.)
2. Georgievskii D. V., Tlyustangelov G.S. Stability of low oscillations in a two4ayer inviscid fluid by vertical moving in gravity // Russ. J. Math. Phys. 2010. 17, N 4. 448-453.
3. Четаев H.Г. Устойчивость движения. M.: Наука, 1965.
Поступила в редакцию 05.10.2018
УДК 532.54.031
О ФОНТАНИРОВАНИИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ЗАТОПЛЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СТРУЙ В ОТНОСИТЕЛЬНО УЗКИХ КАНАЛАХ
В. П. Карликов1, А. Т. Нечаев2, С. Л. Толоконников3
Представлены результаты экспериментального и численного исследования процесса фонтанирования из-под свободной поверхности вертикальных затопленных осесимметрич-ных струй в относительно узких каналах. В широких диапазонах изменения определяющих параметров установлено существование автоколебательных режимов поперечного перемещения возвышения свободной поверхности. Для струй различного диаметра изучены зависимости периода автоколебаний от скорости струй и величины их начального затопления. Выполнен численный анализ некоторых режимов фонтанирования. При относительно небольших затоплениях для высокоскоростных струй малого диаметра впервые обнаружено существование нового вида автоколебательных режимов фонтанирования, названных квазирегулярными. Проведено сравнение с результатами исследования фонтанирования плоских затопленных струй.
Ключевые слова: струя, свободная поверхность, проникание, автоколебания.
The spouting of vertical submerged axisymmetric jets from under the free surface in relatively narrow channels is experimentally and numerically studied. The existence of self-oscillation regimes with transverse displacements of the free-surface elevation is found for wide ranges of constitutive parameters. Dependencies of the self-oscillation period on the velocities of jets and the initial value of the jet submergence are analyzed for various jet diameters. Numerical analysis of some spouting regimes is performed. A new class of self-oscillation spouting regimes — quasiregular regimes — is discovered for high-speed small-diameter jets in the case of relatively small values of jet submergence. A comparison is made with the results obtained for plane submerged jets.
Key words: jet, free surface, penetration, self-oscillation.
Процесс фонтанирования вертикальных затопленных струй тяжелой жидкости вызывает интерес в связи с тем, что такой эффект наблюдается в природе и имеет практические приложения в
1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.
2 Нечаев Артем Тимурович — аси. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artm26@mail.ru.
3 Толоконников Сергей Львович — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolsl®mech. math, msu.su.
технике [1, 2]. Задачи о фонтанах представлены в многочисленных работах, посвященных проблемам океанологии [3-6]. Изучение фонтанирующих струй является важным и при проектировании затопленных в океане коллекторов [7, 8]. Было установлено, что при эксплуатации таких устройств могут возникать внутренние и поверхностные волны [9-11].
В работах [12-16] исследован новый класс течений однородной тяжелой жидкости, возникающих при проникании плоской вертикальной струи в слой жидкости, ограниченный с одной стороны горизонтальным дном, а с другой — свободной поверхностью. В экспериментах [12] было обнаружено, что в широких диапазонах значений определяющих параметров такие течения не являются стационарными и симметричными, появляются регулярные автоколебательные режимы поперечного перемещения жидкости над каналом. В [12-16] описан механизм возникновения автоколебаний, проведена классификация и указаны границы существования всех возможных автоколебательных режимов фонтанирования, построены экспериментальные, численные и приближенные теоретические зависимости безразмерного периода автоколебаний от основных определяющих параметров.
Эксперименты [12-16] проводились на установке, состоящей из двух параллельных прозрачных стенок с расстоянием Н между ними, установленных на плоском основании длиной Ь. В центральной части размещался вертикальный плоский канал, через который осуществлялась подача воды. На краях основания располагались водосливы высотой И, обеспечивающие заданное начальное затопление струи.
В настоящей работе содержатся результаты экспериментального и численного исследования процесса фонтанирования осесимметричных струй из-под свободной поверхности тяжелой жидкости. Использовалась экспериментальная установка, аналогичная описанной выше. В отличие от плоского случая в ее центральной части располагались насадки круглого сечения, с помощью которых создавались вертикальные струи заданного диаметра <1.
Длина основания Ь = 100 см, расстояние между боковыми стенками Н = 1 см. Эксперименты проводились с насадками, имеющими диаметр < = 0,1 0,3 и 0,5 см. Высота водосливов менялась в диапазоне 1 ^ И ^ 15 см, а начальная скорость Уо истечения струй — в диапазоне 0 <Уо < 10 000 см/с.
Будем считать, что период установившихся автоколебаний Т зависит от следующих определяющих параметров:
Т = / (ьо,<1,И,Н,Ь,д,р,р),
где у — динамический коэффициент вязкости; д — ускорение силы тяжести; р — плотность жидкости.
С использованием И-теоремы эту зависимость можно представить в виде
= Т&= (- — -
т ун ^[^Н'^ Н'к'р^) ■
Переменными аргументами здесь являются число Фруда Рг = ио/л/дН, относительный начальный диаметр струи </Н и ее относительное начальное затопление р = И/Н. Остальные два безразмерных параметра в опытах не менялись. Опишем далее результаты экспериментов для насадка с < = 0,1 см в диапазоне скоростей 0 < у0 ^ 10 000 см/с.
В диапазоне 1 ^ р ^ 2,5 для небольших значений Уо течения являются стационарными или квазистационарными. По обеим сторонам затопленного участка струи возникают симметричные циркуляционные зоны с различным направлением вращения. Над выходным сечением насадка образуется возвышение свободной поверхности, которое с ростом скорости струи увеличивается в размерах. На границах этого возвышения в местах сопряжения с соседними участками свободной поверхности возникают угловые точки. Дальнейший рост скорости приводит к резкой перестройке течения и переходу к нерегулярным автоколебательным режимам фонтанирования. Очевидно, что, как и для плоского случая, возникновение и существование автоколебаний связано с появлением в окрестности затопленного участка струи поперечных перепадов давления, периодически меняющих направление на противоположное. р = 3
зистационарные режимы течений, затем начинаются автоколебания, регулярность которых лишь временами нарушается из-за многократного кратковременного прорыва высокоскоростной струи через узкий слой жидкости в окрестности насадка. Эти автоколебательные режимы, называемые в дальнейшем квазирегулярными, продолжаются до определенного значения скорости струи, а затем исчезают. Существование такого типа автоколебательных режимов проникания затопленных струй
т 16
12
0
о □
чСЭ-
° a.¿
о □ □
д
• р = 3
+ 4
о 5
□ 7,5
д 10
о 12,5
X 15
0 20 40 60
Рис. 1. Экспериментальные зависимости т
при 3 ^ р ^ 15
12
ВО
100
т(Ег) для ¿/Н
Ег
0,1
о
о пз
□ °
А До'
о д
о р = 5
□ 7,5
д 10
о 12,5
X 15
через свободную поверхность жидкости обнаружено впервые. При р = 4 динамика развития течения аналогична случаю р = 3, но квазирегулярные колебания существуют до больших скоростей струи.
В диапазоне 5 ^ р ^ 15 после возникновения описанных выше стационарных и квазистационарных режимов течения начиная с некоторого значения скорости появляются уже регулярные поперечные автоколебания, которые существуют вплоть до допускаемых установкой значений высоты фонтана. В этом диа-р
ныс режимы автоколебаний уже не наблюдались.
Полученные при = 0,1 см для регулярных автоколебаний зависимости т = т (Ег) показаны на рис. 1.
В этих экспериментах для всех указанных выше значений диаметров струй и высот водосливов Н наблюдается следующая динамика развития картины течения с ростом скорости струи г>о. Найденные зависимости для всех рассмотренных значений р < 15 являются монотонно возрастающими, и только при р = 15 в начальном диапазоне чисел Фруда имеет место слабое тр при фиксированном ^/Н кривые становятся более пологими, при р = 15 период т практически не меняется с увеличением Ег.
Аналоги чные зависимости для = 0,3 см и = 0,5 см приведены на рис. 2 и 3.
Экспериментальные кривые на этих рисунках являются непрерывными, а в случае = 0, 1
вых рис. 1 при р ^ 5 скачкообразный рост периода в некоторой точке связан с качественной перестройкой течения, поскольку при некотором значении скорости происходит прорыв струи через свободную поверхность и начинаются автоколебания со свободной струей.
Следует заметить, что для плоских струй зависимости безразмерного периода от числа Фруда были существенно иными [16]. Эти зависимости не являлись монотонными и непрерывными, имели две или три точки разрыва, соответствовавшие бифуркационной смене режимов фонтанирования.
Опыты демонстрируют также, что на процесс автоколебаний оеееимметричных струй более существенное влияние, чем в плоском случае, оказывает волнообразование в экспериментальной установке. Для плоских струй в значительных диапазонах изменения определяющих параметров авто-
0
0 4 8 12
Рис. 2. Экспериментальные зависимости т =
при 5 ^ р ^ 15
16
16
т(Ег) доя ¿/Н
Бг
0,3
12
ж о
■ *Ж
ж лОО
сР
д
ж р = 2,5
О 5
□ 7,5
д 10
о 12,5
X 15
0
0 2 4 6 8
т
при 2,5 ^ р ^ 15
10
т( )
12
для ¿/Н
Бг
0,5
колебания фонтана приводили к образованию бегущих поверхностных волн небольшой амплитуды, которые двигались в направлении водосливов и, практически не взаимодействуя с ними, удалялись за пределы установки. При автоколебаниях оеееимметричных струй максимальный подъем свободной поверхности является существенно более высоким, что вызывает сильное волнообразование во всем объеме жидкости в сосуде. Наблюдения за свободной поверхностью для случая максимального
р = 15
волны. Значения периода колебаний фонтана при этом достаточно близки к периоду соответствующей стоячей волны, вычисляемому по линейной теории.
т 15
10
0
оЮС
_L
_L
о 1
_L
_L
2
х о о KD о оХо о О о °
_L
_L
0 4 8 12 Fr 0 2 4 6 Fr
Рис. 4. Экспериментальные 1 и численные 2 зависимости т = т(Fr) для d/h = 0,5 и p = 2,5 (а), p =15(6)
Для нескольких вариантов фонтанирования оеееимметричных струй были сделаны численные расчеты с использованием пакета программ STAR-CCM+. Геометрические размеры расчетной области соответствовали экспериментальной установке. Блочно-етруктурированная сеточная модель состояла из 750 тысяч шестигранных ячеек. На твердых поверхностях задавалось нулевое значение скорости. На верхней границе расчетной области, а также на участках боковых границ, расположенных выше водосливов, использовалось условие постоянства давления. В поперечном сечении подающего воду канала задавалось постоянное значение скорости. Решалась система уравнений, состоящая из уравнения неразрывности и уравнений Рейнольдеа. В качестве замыкающих) соотношения использовалась (к — е)-модель турбулентности для течений с большими числами Рейнольдеа. Для нахождения границы раздела воды и воздуха применялся метод Volume of Fluid.
На рис. 4 показано сравнение экспериментальных и численных зависимостей для безразмерного периода автоколебаний при d/h = 0,5 и p = 2,5 (а), p = 15 (б), свидетельствующее о приемлемой то чноети использованного метода.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 16 01 00519).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Turner J.S. Jets arid plumes with negative or reversing buoyancy // J. Finid Mech. 1966. 26. pt. 4. 779 792.
2. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 1977.
3. Srinarayana N., McBain G.D., Armfield S.W., Lin W.X. Height and stability of laminar plane fountains in a homogeneous fluid /'/' J- Heat and Mass Transfer. 2008. 51. 4717 4727.
4. Троицкая Ю.И., Сергеев Д.А., Ежова E.B., Соустова И.А., Казаков В.И. Автогенерация внутренних волн всплывающими струями в стратифицированном бассейне // Докл. РАН. 2008. 419. № 5. 691 695.
5. Дружинин O.A., Троицкая Ю.И. Генерация внутренних волн фонтаном в стратифицированной жидкости /'/' Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2010. № 3. 147 158.
6. Дружинин O.A., Троицкая Ю.И. Излучение внутренних волн турбулентным фонтаном в стратифицированной жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2013. № 6. 135 146.
7. К oh R.C.Y., Brooks N.H. Finid mechanics of waste-water disposal in the ocean // Arinn. Rev. Finid Mech. 1975. 7. 187 211.
8. Bou&yp В.Г., Журбас В.М., Гребешок Ю.В. Математическое моделирование турбулентных струй глубинных стоков в прибрежные акватории // Океанология. 2006. 46. № 6. 805 820.
9. Вон&ур В.Г., Гребешок Ю.В., Ежова Е.В., Казаков В.И., Сергеев Д.А., Соустова И.А., Троицкая Ю.И. Поверхностные проявления внутренних воли, излучаемых заглубленной плавучей струей. Ч. 1. Механизм генерации внутренних волн // Изв. РАН. Физ. атмосферы и океана. 2009. 45. № 6. 833 845.
10. Вон&ур В.Г., Гребешок Ю.В., Ежова Е.В., Казаков В.И., Сергеев Д.А., Соустова И.А., Троицкая Ю.И. Поверхностные проявления внутренних воли, излучаемых заглубленной плавучей струей. Ч. 2. Поле внутренних волн // Изв. РАН. Физ. атмосферы и океана. 2010. 46. № 3. 376 389.
11. Бондур В.Г., Гребенюк Ю.В., Ежова Е.В., Казаков В.И., Сергеев Д.А., Соустова И.А., Троицкая Ю.И. Поверхностные проявления внутренних волн, излучаемых заглубленной плавучей струей. Ч. 3. Поверхностные проявления внутренних волн // Изв. РАН. Физ. атмосферы и океана. 2010. 46, № 4. 519-529.
12. Карликов В.П. Об истечении плоских струй весомой жидкости из-под свободной поверхности // Аннот. докл. 7-го Всесоюз. съезда по теор. и прикл. механике. Москва, 1991. М.: Изд-во МГУ, 1991. 184.
13. Карликов В.П., Трушина О.В. Об автоколебаниях плоских затопленных фонтанов // Докл. РАН. 1998. 361,№ 3. 340-344.
14. Карликов В.П., Трушина О.В. Об автоколебательных режимах истечения плоских струй жидкости из-под свободной поверхности // Тр. Матем. ин-та РАН. 1998. 223. 52-62.
15. Карликов В.П., Трушина О.В. Об одном парадоксе симметрии в гидродинамике струйных течений // Тр. семинара "Время, хаос и математические проблемы" под рук. акад. В.А. Садовничего. Ин-т математических исследований сложных систем. Вып. 1. М.: Изд-во МГУ, 1999. 149-163.
16. Карликов В.П., Толоконников С.Л., Трушина О.В. О возможной классификации автоколебательных режимов фонтанирования плоских вертикальных затопленных струй тяжелой жидкости // Изв. РАН. Мехам. жидкости и газа. 2009. № 3. 23-35.
Поступила в редакцию 08.06.2018
УДК 532.594
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЛНОВЫЕ РЕЖИМЫ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ И ВРЕМЕННОМ РАЗВИТИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКЕ ЖИДКОСТИ
А. Н. Белоглазкин1, В. Я. Шкадов2, А. Е. Кулаго3
Обсуждается соотношение теоретических и экспериментальных данных для классической задачи о регулярных двумерных волнах в пленках тяжелой вязкой жидкости на вертикальной поверхности. На основе использования преобразования подобия проводится сравнительный анализ методов расчета нелинейных волн, формирующихся в пленке при пространственном и временном развитии возмущений основного стационарного течения.
Ключевые слова: пленка, капиллярность, неустойчивость, нелинейные волны, глобальный аттрактор.
A relation between the theoretical and experimental data for the classical problem of regular two-dimensional waves in heavy viscous liquid films on a vertical surface is discussed. Based on the similarity transformation, a comparative analysis of the methods for calculating the nonlinear waves formed in a film during the spatial and time development of disturbances in the main stationary flow is performed.
Key words: film, capillarity, instability, nonlinear waves, global attractor.
Течение вязкой жидкости в тонких слоях (пленках) имеет волновой характер. Началом теоретического и экспериментального изучения данного явления послужили работы [1, 2]. Эти исследования стимулировали разработку методов корректного упрощения задачи с использованием уравнений Навье-Стокса и сведения ее к решению на основе интегральных эволюционных уравнений [3]. В монографиях [4-6] изложен метод Капицы-Шкадова и проведены исследования свойств решений полученной системы уравнений. Представленные сравнения с имеющимися экспериментальными наблюдениями подтвердили правильность теоретического подхода к решению данной задачи. Система эволюционных уравнений работы [3] была принята за основу настоящего исследования.
1 Белоглазкин Александр Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: belQmech.math.msu.su.
2 Шкадов Виктор Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shkadovQmech.math.msu.su.
3 Кулаго Александр Евгеньевич — доктор физ.-мат. наук, проф. инж.-эконом, ф-та РЭУ им. Г.В. Плеханова, e-mail: andrej-artemQmail.ru.
