CC BY
7но-деформированного состояния композита. Проанализируем, как оправдались эти предположения в задаче на определение модуля Рассмотрим две задачи в случаях низкой (и/ = 0,0018) и высокой (vf = 0,355) объемной доли волокна. На рис. 2 показаны распределения деформаций £22 (сверху) и напряжений а22 (снизу), полученные в результате численного решения. Замет им, что обозначения а.
а22> е22 и е22 соответствуют средним значениям 022 и £22 по волокнам или матрице соответственно.
22'
При выводе формулы первого порядка (1) предполагалось, что а//2 = а^- Для малой объемной доли и/ а^/а^ « 1,6 для большой а/2/ ат ~ 1,1- Также предполагалось, что деформа-
Таблица 2
f2
ЦИИ ПОДЧИНЯЮТСЯ Правилу СМеСеЙ £^2Vf +£22Vm =
В обоих случаях второе предположение выполняется с приемлемой точностью, а первое — только для больших концентраций волокна.
При выводе формулы (3) предполагалось, что матрица находится в однородном напряженном состоянии О22 = const. Как видно, в случае малой объемной доли волокна это верно, а в случае большой
объемной доли волокон напряжение о22 существенно непостоянно. Также предполагалось, что волокна
f
абсолютно жесткие, т.е. £^2 = 0- Как видно из рис. 2, деформации волокон действительно пренебрежимо малы по сравнению с деформациями матрицы.
Результаты проверки вышеуказанных предположений (знак "+" — предположение верно, знак "-" — нет) приведены в табл. 2. Ясно, что формулы (1) и (3) для модуля E2 точны для больших и малых объемных долей волокон, что соответствует предположениям, сделанным при выводе этих формул.
Проведенный сравнительный анализ позволяет сделать следующие выводы. Во-первых,формула вто-
E2
20%, и в целом ее использование предполагается наиболее целесообразным. Во-вторых, формула первого порядка (1) дает возможность с достаточной точностью вычислять модуль C2222■ Bo-третьих, точность
E2
ся выполнением предположений о напряженно-деформированном состоянии, сделанных при выводе этих формул.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 13-01-00688.
Формула Предположение Vf = 0,0018 vf = 0,355
(1) (1) „f _ „т а22 — а22 £22Vf "Г e22vm = £22 _ +
(3) (3) (J22 = Const 42 = 0 + _
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Vasiliev V.V., Morozov E. V. Advanced Mechanics of Composite Materials. Amsterdam; Boston: Elsevier, 2007.
2. Jones R.M. Mechanics of Composite Materials. Philadelphia: Taylor & Francis, 1999.
3. Шешенин С.В., Демидович П.Н., Чистяков П.В., Муравлев А.В. Упругие свойства резинокорда: Пособие по механическому практикуму. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009.
4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
Поступила в редакцию 07.11.2012
УДК 532.54.031
О ЗАВИСИМОСТИ ПЕРИОДА АВТОКОЛЕБАНИИ КУПОЛА КОНИЧЕСКОГО СТРУЙНОГО АЭРАТОРА ОТ ШИРИНЫ СТРУИ В ВЫХОДНОМ СЕЧЕНИИ КОЛЬЦЕВОГО СОПЛА
В. П. Карликов1, С. Л. Толоконников2
Представлены некоторые результаты экспериментального изучения периода устойчивых регулярных автоколебательных режимов проникания в воду свободных полых тонкостенных турбулентных водяных струй, создаваемых в конических струйных аэраторах с
Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.
2 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolslQmech.math.msu.su.
углом 60° при вершине. В диапазонах расхода струй 160 < Q < 550 см3/с и высоты расположения кольцевого сопла струйного аэратора над поверхностью воды 1 ^ H ^ 28 см установлен характер зависимости периода автоколебаний от ширины щели сопла S в диапазоне 0,07 ^ S ^ 0,12 см.
Ключевые слова: струйный аэратор, свободные струи, проникание, автоколебания.
The penetration of free hollow thin-walled turbulent water jets into water is studied for 60°
regular self-oscillations are discussed. For the jet discharge values in the range 160 < Q < 550 3/
range 1 < H < 28 cm, the dependence of the self-oscillation period on the nozzle's gap width S is determined for 0,07 ^ S ^ 0,12 sm.
Key words: jet aerator, free jets, penetration, self-oscillations.
Известным способом газонасыщения воды является использование струйных аэраторов. В основе механизма их работы лежит эжектирование воздуха свободной турбулентной водяной струей, проникающей через поверхность воды. К одной из разновидностей таких аэраторов относятся конические струйные аэраторы, в которых свободная струя воды, вытекающая из кольцевого сопла, является полой и имеет коническую форму. Как показывают исследования, в которых изучался процесс насыщения воды кислородом [1], такие аэраторы более эффективны, чем аэраторы с монолитной свободной струей.
В проведенном в Институте механики МГУ анализе гидродинамических аспектов процесса проникания в воду полых конических тонкостенных турбулентных свободных водяных струй обнаружился ряд его важных особенностей [2]. Главной из них является существование устойчивых регулярных автоколебательных режимов поперечного перемещения стенок струйного купола в широких диапазонах значений определяющих параметров — расхода Q, внутреннего диаметра d и ширины щели S кольцевого сопла, высоты H и угла конусности а купола. Была обнаружена возможность бифуркационной смены режимов автоколебаний и возникновения гистерезисных эффектов, а также зависимость при определенных расходах струи периода автоколебаний от формы и размеров сосудов с водой, в которую проникала струя.
Для базового варианта опытов с S = 0,1 m и а = 60° в [2] описаны три возможных вида зависимостей периода автоколебаний T от расхода Q в диапазоне 160 ^ Q ^ 550 см3/с и высоты купола H в диапазоне 1 ^ H ^ 28 см.
В настоящей работе сделан анализ полученных в этих опытах зависимостей периода T от ширины щели кольцевого сопла S в диапазоне 0,07 ^ S ^ 0,12 см.
Из насадка, схема которого показана в [2], через кольцевое сопло с внутренним диаметром d = 2,2 см подавалась свободная турбулентная полая струя воды конической формы, проникавшая в воду, которая находилась в сосуде прямоугольной формы с размерами 118 х 88 х 100 см и глубина которой составляла 70-72 см.
S
показали, что характер вида зависимостей периода T автоколебаний от расхода Q и высоты H является аналогичным описанному в [2] для S = 0,1 см.
Как и в случае S = 0,1 см, по виду зависи мости T = T (Q, H ) в рассмотренных диапазонах расходов Q S
H
H
шающих 16 см. В этой группе не наблюдаются бифуркационная смена режимов автоколебаний и гисте-резисные эффекты.
Для второй группы, наоборот, характерно наличие двух бифуркационных смен режимов автоколебаний и явление гистерезиса при проведении опытов с последовательным уменьшением или увеличением
H
Наконец, в третьей группе расходов также наблюдаются лишь две бифуркационные смены режимов автоколебаний, но гистерезис отсутствует. При S = 0,1 см к этому диапазону относятся расходы Q > 400 см3/с.
Механизмы возникновения указанных режимов автоколебаний, их бифуркационной смены и возникновения гистерезисов описаны в работе [2].
S
Q
T
быть представлены в виде
T
\Д/д
v0 5 H 5 v
а
v ' d ' d'gV2d3/2' pgd2' d
где — геометрические параметры, характеризующие форму и размеры деталей насадка и сосудов; V и и — кинематический коэффициент вязкости и коэффициент поверхностного натяжения соответственно. Изменяющимися аргументами в этой зависимости в описываемых опытах являются первые три аргумента.
Как ив [2], для наглядности полученные зависимости Т = Т (Н, -ио, Ь) представляются ниже в размерной форме. Переменными аргументами в этих зависимостях в базовом варианте экспериментов с Ь = 0,1 см являлись только первые два.
Рис. 1. Зависимости T = T(H) для 5 = 0,07 см в диапазоне скоростей 660 < v0 < 880 см/с
Рис. 2. Зависимости T = T(H) для vo = 660 см/с
5
0,07 < 5 < 0,12 см
1.1
0,9
0,7
0,5
0,3
Т, с
/
На рис. 1 для Ь = 0,07 см показа вид зависимостей Т = Т(Н) при разных значениях начальной скорости свободной струи ^о = (5 — площадь щели кольцевого сопла). Первая бифуркационная смена режимов автоколебаний, как и в опытах с Ь = 0,1 см, происходит при Н ~ 6 см. Вторая бифуркационная смена режимов наблюдается при разных значениях Н = Н1 в зависимости от значений скорости ^о-
В области 1 ^ Н < 6 см с ростом скор ости -ио при фиксированных значениях Н период автоколебаний возрастает, в области 6 < Н ^ Н1 см, наоборот, уменьшается. При Н > Н1, где период слабо линейно
Н
Ь
периода от -ио аналогичен описанному.
Представляет интерес показанный на рис. 2 характер изменения зависимости Т = Т(Н) для различных Ь при фиксированном значении скорости ^о = 660 см/с.
В этом случае при каждом значении Н в области 1 ^ Н < 6 см с ростом Ь наблюдается увеличение периода, в области 6 < Н ^ Н1 слабое или значительное его уменьшение, а при Н > Н1 период почти не меняется. Указанный характер изменения периода Т = Т(Н) остается таким же и при других фиксированных значениях скорости ^о-
На рис. 3 для двух значений скорости -ио = 660 см/с и -ио = 730 см/с приведены зависимости значений пери ода от ширины Ь для трех конкретных значений высоты Н: Н = 3, 14 и 26 см. Как видно,
Н =3 Ь
Н = 14 см убывает, а при Н = 26 см практически не меняется. Увеличение скорости -ио вызывает в области 1 ^ Н < 6 см рост периода, в области 6 < Н < Н1 — уменьшение, а в области Н > Н1 значение периода почти не меняется.
v0, см/с х 660 о 730
Q 9
11
Я Я О ш
0,06 0,08 0,10 0,12 8, см Рис. 3. Зависимости T = T(5) для vo = 660, 780
ных значениях H: /— H = 3 см, II 14 см, III 26 см
l
Очевидно, что при построении аналогичного графика для режимов автоколебаний из второй группы расходов значению H = 14 см могут соответствовать два разных значения периода, получаемые при двух противоположных направлениях последовательного изменения H в опытах, т.е. имеет место гистерезис.
Заключение. Представленные в [2] и в настоящей работе результаты свидетельствуют о необходимости учета обнаруженных эффектов, обусловленных существованием регулярных устойчивых автоколебаний границ струйных куполов, при проектировании конических струйных аэраторов и выборе оптимального режима их работы. С этими эффектами тесно связана интенсивность внедрения газа в воду. Речь идет не о едва заметных эффектах. Достаточно сказать, что, как показали, например, опыты с ö = 0,07 см при H = 14 см и некоторых значениях расхода, амплитуда колебаний нижней границы купола, имбзюгцби радиус r ^ 9 см, равна 2—3 см. Амплитуда колебаний с увеличением ö и Q при таком H
вместе с эжектируемым ею воздухом.
Как отмечено в [2], удивительно, что в работе биологов и химиков, посвященных насыщению воды кислородом (см., например, [1]), не учитываются и даже не упоминаются указанные выше эффекты.
Полученная в проведенных авторами опытах информация о зависимости периода автоколебаний от угла конусности струйных куполов, от формы и размеров сосудов с жидкостью, а также о характере внедрения воздуха в воду при различных режимах работы струйного аэратора будет представлена в других публикациях.
Авторы приносят благодарность главному инженеру Института механики МГУ В.П. Грицкову за помощь в изготовлении серии насадков, использованных в опытах.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 13-01-00218, 11-01-00188).
СПИСОК ЛИТЕГАТУГЫ
1. Deswal S., Verma D.V.S. Performance evaluation and modeling of a conical plunging jet aerator // Int. J. Math., Phys. and Eng. Sei. 2008. 2, N 1. 335-339.
2. Карликов В.П., Толокоппиков С.Л. Об автоколебательных режимах проникания свободных конических тонкостенных турбулентных струй через поверхность жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2014. 3. 65-73.
Поступила в редакцию 13.09.2013
УДК 531.8
МОДЕЛИРОВАНИЕ КАЧЕНИЯ КОЛЕСНОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОДХОДА ДИРАКА
А. В. В л ахова1
Рассмотрена задача о качении колесного аппарата с малыми углами поворота передних колес относительно корпуса (вокруг вертикальной оси). В модели контакта колес с опорной плоскостью учитываются малые относительные проскальзывания. Показано, что предельный переход к бесконечной жесткости колес может переводить систему уравнений движения аппарата в неклассическую модель, которая определяется условиями непроскальзывания колес в продольном по ходу движения направлении и первичными связями Дирака, возникающими из-за вырождения лагранжиана исходной системы.
Ключевые слова: системы с качением, системы с малыми обобщенными скоростями, малые проскальзывания, псевдоскольжение, неголономные связи, первичные связи Дирака.
The problem of wheeled vehicle rolling is considered for the case when the rotation angles of the front wheels about the vertical axis are small. The small relative slip is taken into account in the model of contact between the wheels and the supporting plane. It is shown that, if the
1 Влахова Анастасия Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.
