CC BY
126. Арушапяп О.Б., Волчепскова Н.И., Залёт,кип С.Ф. Метод решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва // Вычисл. методы и програм. 2013. 14. 203-214.
7. Арушанян О.Б., Волчепскова Н.И., Залёткип С.Ф. Об одном подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 6. 57-60.
8. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
9. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
10. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.
11. Залёткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычисл. методы и програм. 2005. 6. 1-17.
12. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залёткин С.Ф. Применение рядов Чебышёва для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон, матем. изв. 2014. 11. 517-531.
13. Gear С. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.
14. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2007.
15. Хайрер Э., Нереетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
16. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.
Поступила в редакцию 24.09.2014
УДК 532.54.031
О ПЕРИОДЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ КУПОЛОВ КОНИЧЕСКИХ СТРУЙНЫХ АЭРАТОРОВ С РАЗНЫМИ УГЛАМИ КОНУСНОСТИ
В. П. Карликов1, С. Л. Толоконников2
Представлены результаты экспериментального изучения устойчивых регулярных автоколебательных режимов проникания в воду свободных полых тонкостенных турбулентных водяных струй, создаваемых в конических струйных аэраторах с разными углами конусности при вершине. В диапазонах расходов струй 150 < Q < 550 см3/с и высот расположения кольцевого сопла струйного аэратора над поверхностью воды 1 ^ H ^ 28 см установлен характер зависимости периода автоколебаний от угла конусности а в диапазоне 45 ^ а ^ 80°.
Ключевые слова: струйный аэратор, свободные струи, проникание, автоколебания.
The stable regular self-oscillation modes of penetration of free hollow thin-walled turbulent water jets into water are experimentally studied for conical-jet aerators with various apex angles. A dependence of the self-oscillation period on the apex angle a, where 45° < a < 80°, is found for 150 < Q < 550 cm3/c and 1 < H < 28 cm, where Q is the jet discharge value and H is the elevation of the jet aerator annular nozzle above the water surface.
Key words: jet aerator, free jets, penetration, self-oscillations.
В экспериментах, проведенных авторами статьи в НИИ механики МГУ, было установлено, что одной из основных особенностей, присущих коническим струйным аэраторам, является наличие широких диапазонов значений определяющих параметров, в которых наблюдаются устойчивые регулярные низкочастотные автоколебания струйных куполов.
В основе механизма генерации таких колебаний лежит эжектирование воздуха в воду свободной турбулентной водяной струей, вытекающей из кольцевого сопла аэратора, с последующим всплытием газовых пузырей.
1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.
2 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
tolsl®mech. math, msu.su.
В работах [1, 2] для аэратора с углом конусности а = 60° представлена информация о зависимости периода автоколебаний от расхода струи Q, удаления Н щелевого сопла аэратора от свободной поверхности, а также от ширины щели сопла S в выходном сечении. В этих опытах были обнаружены: эффект бифуркационной смены режимов автоколебаний, наличие гистерезиса при проведении опытов с разной последовательностью изменения высоты струйного купола и сильная зависимость в ряде диапазонов значений определяющих параметров периода автоколебаний от формы и размеров сосудов с жидкостью, в которую проникает струйный купол аэратора. Были установлены также различные интенсивность и характер внедрения воздуха в жидкость при разных значениях Q и Н.
Очевидно, что от указанных гидродинамических особенностей течений должны зависеть выбор оптимальных режимов работы конических струйных аэраторов и эффективность их использования. Удивительно, что в известных работах о конических струйных аэраторах [3-5] эти проблемы даже не упоминаются.
Настоящая работа содержит результаты очередного этапа экспериментального исследования процесса проникания свободных конических струй через свободную поверхность жидкости, заполняющей бак с размерами 118 х 88 х 100 см. при уровне воды h = 71-72 см. В ней представлена информация о влиянии угла конусности а на период автоколебаний струйных куполов аэраторов.
Для базового варианта струйного аэратора с шириной щели выходного сечения S = 1 мм и внутренним диаметром d = 2,2 см в диапазонах расходов струй 150 ^ Q ^ 550 см3/с и высот купола 1 ^ Н ^ 28 см изучалась зависимость периода автоколебаний Т от Q и Н для значений а = 45. 80°. Эксперименты с углом конусности а = 60° были описаны ранее в [1, 2].
Поскольку как было установлено, на характер зависимостей для периода автоколебаний сильно влияет структура поверхности конических струй, вытекающих из аэратора, следовало ожидать, что различие в углах конусности может существенно сказаться, например, на положении границ бифуркационной смены режимов автоколебаний купола. Ведь с увеличением угла а протяженность области сплошности конической струи уменьшается, а с уменьшением — увеличивается. При малых углах а влияние поверхностного натяжения тоже должно усиливаться. Опыты подтвердили это. Вместе с тем был обнаружен и ряд новых особенностей изучаемого явления.
Схема насадков для создания конической струи, описание установки и методики проведения опытов представлены в [1].
Из соображений теории размерностей безразмерный период автоколебаний можно представить
Т _ /voS Я 6_ v er 1Л .^dfg ~ * V V g1/2dz/2' ~pgd?' 1) '
где Vo — средняя скорость истечения жидкости из сопла; Ii — геометрические параметры, характеризующие форму и размеры деталей насадка и сосудов; р — плотность жидкости; д — ускорение силы тяжести; v и о — кинематический коэффициент вязкости и коэффициент поверхностного натяжения соответственно. Аналогичное соотношение справедливо и для частоты автоколебаний / = 1/Т. Как и в [1, 2]. для наглядности полученные в опытах зависимости для периода устойчивых регулярных автоколебаний для разных значений а представлены далее в размерном виде Т = T(Q,H).
Описание результатов опытов для а = 45 и 80° будет сопровождаться сравнительным анализом с результатами опытов для базового варианта а = 60°.
Случай а = 45°. По виду зависимости Т = T(Q,H). как и при а = 60°. могут быть выделены три характерные области значений расходов Q в изученном диапазоне их значений. В первой из них 200 ^ Q ^ 290 см3/с зависимости Т = T(Q,H) имеют вид. показанный на рис. 1. По сравнению с опытами при а = 60° регулярные колебания куполов наблюдаются в более широком диапазоне значений высот купола 3 ^ Н ^ 26 см. Расширяется и диапазон значений периода
колебаний' 0 43 ^ Т ^ 13с Как Рис. 1. Зависимости Т = Т(Н) для а = 45° в диапазоне значений д- дрл q, — в q^qjj области расходов 200 ^ Q ^ 290 см jс
значений расходов вид зависимостей не меняется при разных направлениях изменения Н в опытах, т.е. гистерезис отсутствует. Примечательной особенностью оказалось практическое совпадение полученных зависимостей в обширной области значений ^ 250 см3/с.
Характерный вид зависимостей в диапазоне значений расходов 300 ^ (} ^ 380 см3/с показан на рис. 2, а. Как и при а = 60°, в аналогичной области имеют место две бифуркационные смены режимов автоколебаний при Н ~ 7 см и при Н к, 31 см и четко выраженный гистерезисный эффект с выходом на одну из главных собственных частот колебаний жидкости в сосуде, в котором проводились опыты.
Рис. 2. Зависимости Т = Т(Н) для а = 45° в случае Q = 360 см3/с (а): 1 — результаты опытов с последовательным уменьшением высоты купола Н. 2— с увеличением //. и в случае
390 < Q < 500 см3/с (б)
Примеры найденных при 390 ^ Q ^ 550 см3/с зависимостей приведены на рис. 2, б. Характер таких зависимостей аналогичен полученным в случае а = 60°, за одним существенным исключением — здесь наблюдается только одна бифуркационная смена режимов автоколебаний (при Н ~ 10 см), соответствующая переходу к более низким частотам автоколебаний.
Таким образом, в рассмотренном диапазоне значений расходов отсутствует область регулярных автоколебаний с частотами порядка 3 Гц (Т ~ 0,3 с). Опыты показали, что при Q ^ 530 см3/с наблюдаются лишь отдельные случаи перехода к режимам с таким частотами, но их нельзя считать регулярными. Возможной причиной этого является очень сильное при таких режимах возмущение струей аэратора свободной поверхности жидкости в баке (имеет место сильное волнообразование).
Случай а = 80°. Диапазон значений расходов Q в опытах с а = 80° но виду зависимостей Т = T(Q, Н) также может быть разбит на несколько областей. Наиболее характерные из этих зависимостей показаны на рис. 3, а-г.
В области 170 ^ Q ^ 250 см3/с, соответствующей наименьшим значениям из рассмотренных расходов (рис. 3, а), в отличие от случаев а = 45 и 60°, все зависимости почти не отличаются друг от друга и близки к линейным. Диапазон высот Н. где наблюдаются такие колебания, заметно уменьшился: 1 ^ Н ^ 13 см. Сократился также диапазон значений периода: 0,57 ^ Т ^ 0,87 с.
В области 270 ^ Q ^ 330 см3/с наблюдаются режимы с четко выраженным гистерезисным эффектом. Характерный вид таких зависимостей Т = T(Q,H) показан на рис. 3, б для Q = 300 см3/с. Существенным отличием от случаев а = 45 и 60° является отсутствие при этом значении Q и других в этой области значениях Q режимов с относительно низкочастотными колебаниями. Кроме бифуркационной смены режимов автоколебаний от относительно высокочастотных колебаний с / ~ 3 Гц к колебаниям со значительно меньшей частотой при Н ~ 1!) см наблюдаются также скачкообразные переходы от одних частот к другим, близким но значению (например, при Н ~ !) см и Н ~ 14 см), каждая нз которых совпадает с одной нз главных собственных частот колебаний объема воды в сосуде.
В области 360 ^ Q ^ 440 см3/с (рис. 3, в) также имеют место бифуркационные переходы последнего тина, но гистерезис проявляется лишь в смещении значений Н. при которых возникают эти бифуркации.
В области 470 ^ Q ^ 500 см3/с (рис. 3, г) такие бифуркации исчезают и наблюдаются только бифуркации, связанные с переходом к частотам / ~ 3 Гц при Н ~ 17 см.
При дальнейшем увеличении расхода Q, например при Q = 580 см3/с, существуют только колебания с частотой / ~ 3 Гц, причем зависимости Т = T(Q, Н) являются линейными, как и на рис. 3, б-г, а гистерезис отсутствует. Из сравнения рис. 3, б-г видно, что диапазоны Н существования
регулярных автоколебаний, как и соответствующие им диапазоны значений периода Т, с ростом расхода Q заметно сужаются.
Завершая анализ, отметим, что изменение vivía конусности приводит к очень существенному изменению вида зависимости периода автоколебаний от расхода и высоты купола, отсутствию при углах конусности, меньших некоторого значения, высокочастотных колебаний с / ~ 3 Гц и, наоборот, исчезновению колебаний с низкой частотой / ~ 1 Гц при увеличении vivía конусности. Опыты выявили также, что и характер внедрения газа в жидкость при разных а может существенно изменяться.
Рис. 3. Зависимости Т = Т(Н) для а = 80° в случае 170 < <3 < 250 см3/с (о) и в случаях <3 = 300 см3/с (б), <3 = 360 см3/с (в), <3 = 470 см3/с (г): 1 результаты опытов с последовательным уменьшением высоты купола Н, 2 с увеличением Н
Проведенные серии опытов с внедрением конических тонкостенных турбулентных струй в конечный объем жидкости показали, сколь сложной и интересной не только с практической, но и с гидродинами ческой точки зрения является эта проблема. К сожалению, ее численный анализ затруднен необходимостью одновременного учета многофазноети течения, различных механизмов взаимодействия газа и жидкости, структуры турбулентной струи, нестационарности течений и т.п.
Авторы приносят благодарность главному инженеру НИИ механики МГУ В.П. Грицкову за помощь в изготовлении серии насадков, использованных в опытах.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 13 01 00218, 15 01 00361.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карликов В.П., Толоконников С.Л. Об автоколебательных режимах проникания свободных конических тонкостенных турбулентных струй через поверхность жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2014. 3. 65 73.
2. Карликов В.П., Толокоппиков С.Л. О зависимости периода автоколебаний купола конического струйного аэратора от ширины струи в выходном сечении кольцевого сопла // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 3. 65-68.
3. Deswal S., Verma D. V.S. Performance evaluation and modeling of a conical plunging jet aerator // Int. J. Math. Phys. and Eng. Sci. 2008. 2, N 1. 335-339.
4. Bin A.K. Gas entrainment by plunging liquid jets // Chem. Eng. Sci. 1993. 48. 3585-3630.
5. Kusabiraki D., Niki H., Yamagiwa K., Ohkawa A. Gas entrainment rate and flow pattern of vertical plunging liquid jets // Can. J. Chem. Eng. 1990. 68. 893-903.
Поступила в редакцию 11.09.2014
УДК 533.5
О РАЗДЕЛЕНИИ ГАЗОВЫХ СМЕСЕЙ ПРИ СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНОМ ТЕЧЕНИИ ЧЕРЕЗ КОЛЕБЛЮЩУЮСЯ МЕМБРАНУ
В. Л. Ковалёв1, В. В. Косьянчук2, А. Н. Якунчиков3
Проведено исследование свободномолекулярного течения газа через колеблющуюся в своей плоскости мембрану. Определены оптимальные параметры колебаний для наиболее эффективного разделения газов, различающихся молекулярной массой.
Ключевые слова: мембрана, сепарация газов, высокочастотные колебания, микроэлектромеханические системы, наноэлектромеханические системы, свободномолекулярное течение.
A free molecular gas flow through a membrane vibrating in its plane is studied. Optimal vibration parameters are determined for the most efficient separation of gases with different molecular masses.
Key words: membrane, separation of gases, high-frequency vibrations, microelectromecha-nical systems (MEMS), nanoelectromechanical systems (NEMS), free molecular flow.
Мембранные технологии востребованы во многих областях, но главным образом они применяются для фильтрации и очистки жидкостей и газов, разделения смесей и как функциональные компоненты современных микро- и наноэлектромеханических систем. В работе авторов [1] изучалась возможность использования колеблющихся с высокой частотой трековых мембран в качестве диффузионных мембран для разделения газов; было показано, что, варьируя частоту и амплитуду колебаний мембраны, можно управлять ее проводимостью для того или иного газа и в итоге добиться эффекта сепарации газов. Цель настоящей работы — найти оптимальные значения параметров колебаний для наиболее эффективного разделения газов.
Постановка задачи и метод решения. Изучается движение многокомпонентного газа в колеблющейся в своей плоскости мембране толщиной L, состоящей из прямолинейных цилиндрических каналов радиуса R и соединяющей два объема. Начальные давления в объемах — р\, р2-Температуры в объемах равны, совпадают с температурой мембраны и поддерживаются постоянными: Т\ = Т2 = Tw (Tw — температура мембраны). Мембрана движется как абсолютно твердое тело, закон движения оси канала мембраны имеет вид (хс,ус) = (0,Asin(wt + ф)), где хс, ус — координаты оси (направлена по z ), А и со — амплитуда и частота колебаний. Считается, что протекающий газ не оказывает влияния на движение канала, а температура стенки постоянна вдоль канала и не меняется со временем. Молекулы моделируются как материальные точки, их внутренние степени свободы не учитываются. Предполагается, что течение в канале свободномолекулярное с максвелловским распределением скоростей молекул на входе, соответствующим температуре объемов. Взаимодействие молекулы газа с поверхностью канала описывается в терминах ядра рассеяния. Для конкретной комбинации газа и материала мембраны параметры ядра рассеяния (и сама модель
1 Ковалёв Валерий Леонидович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: valerykovalevQyandex.ru.
2 Косьянчук Василий Викторович — студ. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vasïlïy _ ksnk® mail .ru.
3 Якунчиков Артем Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: art-yaömail.ru.
