CC BY
191) 1к,п-к(А) < d(k + l)do+d°(n - к + l)dl+d\
2) С { А) < d(n + l)ii2+ii+1.
Доказательство. Число пар (Л, /л) разбиений Л Ь к, ц, п — к, для которых h(А) ^ do, h(p) ^ d\, не превосходит (k+l)d° (n—k+l)dl. Поэтому из соотношения (2) и лемм 1, 2 следует первое утверждение теоремы. Второе утверждение — очевидное следствие первого и определения градуированной кодлины. □
Работа частично поддержана РФФИ, грант № 13-01Ч)0234а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Berele A., Regev A. Applications of hook Young diagrams to P.I. algebras //J. Algebra. 1983. 82, N 2. 559-567.
2. Giambruno A., Mishchenko S., Zaicev M. Algebras with intermediate growth of the codimensions // Adv. Appl. Math. 2006. 37, N 3. 360-377.
3. Repovs D., Zaicev M. Graded identities of some simple Lie superalgebras // Algebras and Representation Theory. 2014. 17, N 5. 1401-1412.
4. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Mathematical Surveys and Monographs. Vol. 122. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2005.
5. Джеймс Г. Теория представлений симметрических групп. М.: Наука, 1982.
Поступила в редакцию 01.09.2014
УДК 519.622
О ПРИМЕНЕНИИ РЯДОВ ЧЕБЫШЁВА К ИНТЕГРИРОВАНИЮ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРОРАСТУЩИМИ РЕШЕНИЯМИ
О. Б. Арушанян1, Н. И. Волченскова2, С. Ф. Залёткин3
Описан метод интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанный на аппроксимации правой части системы частичной суммой ряда Чебышёва и вычислении коэффициентов ряда с помощью квадратурной формулы Маркова. Показана более высокая эффективность предложенного метода по сравнению с методами типа Рунге-Кутты и Адамса при решении дифференциальных уравнений с быстрорастущими решениями.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.
A method of solving systems of ordinary differential equations is described. This method is based on the approximation of right-hand sides by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined using Markov quadrature formulas. It is shown that the proposed method is more efficient compared to the Runge-Kutta and Adams methods when solving differential equations with rapidly growing solutions.
Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev polynomials, Markov quadrature formulas.
Рассматривается задача Коши для нелинейной нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений
y' = f(x,y), у(х0)=уо, х0 ^х ^х0+Х, (1)
1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc. msu .ru.
2 Волченскова Надежда Ивановна, — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: nadl946Qmail.ru.
3 Залёт,кин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.
в предположении, что функция /(х,у) непрерывна в области определения системы вместе со своими частными производными до некоторого порядка.
В [1-7] предложен приближенный аналитический метод решения данной задачи. В основу метода положено разложение правой части системы у'(х) = /(ж,у(ж)), взятой на решении задачи, на частичном сегменте [хо,Хо + Н\, к ^ X, в ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода — смещенный ряд Чебышёва. Если коэффициенты этого разложения (коэффициенты Чебышёва) известны, то решение задачи (1) можно легко получить также в виде смещенного ряда Чебышёва. Замена рядов их частичными суммами, применение формулы численного интегрирования Маркова [8-11] для вычисления коэффициентов Чебышёва правой части системы (1) и использование связи между коэффициентами Чебышёва решения и коэффициентами Чебышёва его производной приводят к системе уравнений для приближенных значений коэффициентов правой части системы (1). Эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью последовательных приближений. Итерационная схема решения системы, доказательство ее сходимости, способы выбора начального приближения и соотношения, связывающие коэффициенты Чебышёва решения с коэффициентами Чебышёва его производной, приведены в [1-6, 12]. Там же даны оценки погрешности приближенных коэффициентов Чебышёва и оценки для погрешности приближенного решения задачи (1).
Частичная сумма ряда Чебышёва функции не только является ее многочленом наилучшего квадратичного приближения на [Хо, Хо + Н\, но и дает для этой функции довольно хорошее равномерное приближение. Иными словами, в предлагаемом подходе интегрирование дифференциального уравнения выполняется с помощью многочленов, близких к многочленам наилучшего равномерного приближения. В этом заключается существенное отличие нашего подхода от традиционных численных методов, например методов типа Рунге-Кутты и Адамса, которые строятся на основе степенных разложений по ¡1, получающихся из формулы Тейлора или формулы Ньютона-Лейбница и применяемых при малых к. Поэтому аппроксимация дифференциального уравнения, основанная на частичных суммах ряда Чебышёва, позволяет существенно повысить точность его интегрирования по сравнению с указанными численными одношаговыми и многошаговыми методами и при этом значительно увеличить длину к частичного сегмента. Приведенные в [2-7, 12] примеры подтверждают это заключение.
Таким образом, в [1-7] предложен новый численно-аналитический метод решения задачи Ко-ши для линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, принципиально отличающийся от традиционных методов типа Рунге-Кутты и Адамса. Большое значение имеет изучение свойств указанного метода для различных классов дифференциальных уравнений. В настоящей статье исследуется применение метода для интегрирования нелинейных уравнений с быстроизменяющимися, в частности с быстрорастущими, решениями.
Метод рядов Чебышёва сравнивается с четырьмя численными методами — методом Гира [13] с переменным шагом и переменным порядком (вариант для нежестких систем, максимально допустимый порядок равен 7), методом Адамса типа предиктор-корректор пятого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования, методами Мерсона и Рунге-Кутты (классическим) четвертого порядка с автоматическим выбором шага [8, 9, 14, 15]. Все вычисления проводились с 15-16 значащими цифрами.
Пример 1. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение
у'{х) = (Т*п{х))'+(у{х)-Т*{х)) Ну^-Т*{х)) у(0)=0) 0<я<1> (2)
где Т*(х) — смещенный многочлен Чебышёва первого рода п-то порядка, п = 5. Решением задачи Коши (2) является многочлен 1 + Т5*(ж) = 512ж5 — 1280ж4 + 1120ж3 — 400х2 + 50ж, а его производная
равна у'(х) = (Т5*(ж)) = 10То* (ж) + 20Т2*(ж) + 20Т4*(ж). На заданном интервале решение представлялось в виде суммы первых девяти членов ряда Чебышёва. При данном количестве значащих цифр приближенное и точное значения решения в конце промежутка интегрирования совпадают и абсолютная погрешность приближения равна нулю. При этом было выполнено 172 обращения к вычислению правой части уравнения (2). Заметим, что решение у(х) задачи (2) имеет на отрезке [О, 1] колебательный характер и большую производную.
В табл. 1 приведены результаты интегрирования уравнения (2), полученные для методов Гира, Адамса, Мерсона и Рунге-Кутты. Во втором столбце этой таблицы показана абсолютная погрешность ё приближенного значения решения у(ж/), отвечающая наилучшей фактически достигнутой точности решения в точке Xf = 1. В третьем и четвертом столбцах дано число ша-
Таблица!
Метод ё лг.
Гира 0,444 х Ю-15 99 214
Адамса -0,175 х Ю-12 3717 7805
Мерсона -0,888 х Ю-15 13934 69755
Рунге-Кутты 0,599 х Ю-14 7817 31328
гов Л^ интегрирования и количество обращений Nf к правой части уравнения (2), использованных при достижении такой точности. Как следует из табл. 1, приближенное значение решения уравнения (2) в точке Xf = 1 методом рядов Чебышёва получено с большей точностью за значительно меньшее число шагов (всего за один шаг!) и с существенно меньшим количеством обращений к правой части (2), чем указанными численными методами.
Пример 2. Интегрируется нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений
= г/2 = 3/1 + 1, 2/1(0) = 1, У2(0) = 0, 5,
У2-Х
0 ^ х ^ х^ Xf = 6.
Решение задачи Коши (3) имеет большую производную, так как содержит быстрорастущую составляющую е2х: у\{х) = е2х, г/2<+) = х + е2ж/2. Для системы (3) задавалось разбиение промежутка интегрирования [О, Ж/] на несколько частичных сегментов длиной Л, ^ ж/ и на каждом таком сегменте решение представлялось в виде (к + 1)-й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва. Число частичных сегментов длиной ¡г, на которые разбивался отрезок интегрирования (число шагов Л^), значения к и к, количество верных цифр для приближенных значений у1(ж/) и 2/2(ж/), вычисленных в конце промежутка интегрирования ж/, а также количество обращений N^ к правой части системы (3) приведены в табл. 2.
В табл. 3 представлены приближенное решение У задачи (3) в точке ж/ = 6, полученное при к = 2 и к = 25, а также ее точное решение УТ в этой точке и абсолютная погрешность е.
В табл. 4 приведены результаты интегрирования задачи (3), полученные для методов Ги-ра, Адамса, Мерсона и Рунге-Кутты. Во втором и третьем столбцах этой таблицы показано число верных цифр для приближенных значений компонент решения у 1 (ж/), у2(ж/), отвечающее наилучшей фактически достигнутой точности в точке Ж/. В четвертом и пятом столбцах дано количество выполненных шагов Л^ и число обращений Nf к правой части системы (3), использованных при достижении такой точности.
Как видно из табл. 2-4, приближенное решение у(ж/) задачи (3) в точке Xf методом рядов Чебышёва получено с большей точностью за значительно меньшее число шагов и с существенно меньшим количеством обращений к правой части (3), чем указанными численными методами.
Приведенные результаты наряду с подобными результатами в [2-7] позволяют сделать следующий вывод. Представление решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде частичной суммы смещенного ряда Чебышёва дает возможность вычислять приближение к решению, имеющему большую производную, с высокой точностью, причем такая высокая точность на практике может оказаться недостижимой для численных методов Гира, Адамса, Мерсона и Рунге-Кутты при той же разрядной сетке, поскольку для этой точности требуются столь малые шаги интегрирования, что они выходят за границу реальной области асимптотики этих методов [16].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Залёткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Матем. моделирование. 2010. 22, № 1. 69-85.
2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залёткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.
3. Арушанян О.В., Волченскова Н.И., Залёткин С.Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышёва для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон, матем. изв. 2011. 8. 273-283.
4. Арушанян О.В., Волченскова Н.И., Залёткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.
5. Арушанян О.В., Волченскова Н.И., Залёткин С.Ф. Об одном приближенном методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 43-46.
Таблица2
к к У 1(ж/) У2 (ж/) ЛГ,
6 1 20 15 15 4106
3 2 25 16 16 2178
2 3 25 14 13 2524
1 6 25 12 И 1457
ТаблицаЗ
Погрешность У1 У2
Г 0,1627547914190039 х 106 0,8138339570950196 х 105
УТ 0,1627547914190039 х 106 0,8138339570950196 х 105
£ 0,2910383045673370 х Ю"10 0,0000000000000000 х 10°
Таблица4
Метод у У2{х}) Ль К}
Гира 13 12 44116 93980
Адамса 12 И 39062 67056
Мерсона 12 И 7877 40205
Рунге—Кутты 12 12 40382 161560
6. Арушапяп О.Б., Волчепскова Н.И., Залёт,кип С.Ф. Метод решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва // Вычисл. методы и програм. 2013. 14. 203-214.
7. Арушанян О.Б., Волчепскова Н.И., Залёткип С.Ф. Об одном подходе к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. № 6. 57-60.
8. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
9. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.
10. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.
11. Залёткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычисл. методы и програм. 2005. 6. 1-17.
12. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залёткин С.Ф. Применение рядов Чебышёва для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон, матем. изв. 2014. 11. 517-531.
13. Gear С. W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.
14. Бахвалов H.C., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином, 2007.
15. Хайрер Э., Нереетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
16. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.
Поступила в редакцию 24.09.2014
УДК 532.54.031
О ПЕРИОДЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ КУПОЛОВ КОНИЧЕСКИХ СТРУЙНЫХ АЭРАТОРОВ С РАЗНЫМИ УГЛАМИ КОНУСНОСТИ
В. П. Карликов1, С. Л. Толоконников2
Представлены результаты экспериментального изучения устойчивых регулярных автоколебательных режимов проникания в воду свободных полых тонкостенных турбулентных водяных струй, создаваемых в конических струйных аэраторах с разными углами конусности при вершине. В диапазонах расходов струй 150 < Q < 550 см3/с и высот расположения кольцевого сопла струйного аэратора над поверхностью воды 1 ^ H ^ 28 см установлен характер зависимости периода автоколебаний от угла конусности а в диапазоне 45 ^ а ^ 80°.
Ключевые слова: струйный аэратор, свободные струи, проникание, автоколебания.
The stable regular self-oscillation modes of penetration of free hollow thin-walled turbulent water jets into water are experimentally studied for conical-jet aerators with various apex angles. A dependence of the self-oscillation period on the apex angle a, where 45° < a < 80°, is found for 150 < Q < 550 cm3/c and 1 < H < 28 cm, where Q is the jet discharge value and H is the elevation of the jet aerator annular nozzle above the water surface.
Key words: jet aerator, free jets, penetration, self-oscillations.
В экспериментах, проведенных авторами статьи в НИИ механики МГУ, было установлено, что одной из основных особенностей, присущих коническим струйным аэраторам, является наличие широких диапазонов значений определяющих параметров, в которых наблюдаются устойчивые регулярные низкочастотные автоколебания струйных куполов.
В основе механизма генерации таких колебаний лежит эжектирование воздуха в воду свободной турбулентной водяной струей, вытекающей из кольцевого сопла аэратора, с последующим всплытием газовых пузырей.
1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.
2 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
tolsl®mech. math, msu.su.
