CC BY
25При и ^ 0 отношение передаточной функции такого фильтра к передаточной функции идеального дифференциатора второго порядка стремится к единице: Нс(и)/(-и2) ^ 1, что соответствует уменьшению ошибки оценки второй производной при уменьшении частоты входного сигнала. Следует отметить, что передаточная функция останется такой же и при аппроксимации данных полиномом третьей степени.
Приведенные в работе выражения для передаточных функций фильтров, основанных на аппроксимации данных полиномами, дают возможность определять полосу пропускания и уровень подавления высокочастотных составляющих в различных постановках прикладных задач оценивания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-08-00004а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован А.А., Парусников Н.А. Математические основы инерциальной навигации. Ч. 1: Математические модели инерциальной навигации. М.: Изд-во МГУ, 2010.
2. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Советское радио, 1980.
3. Savitzky A., Golay M.J.E. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures // Anal. Chem. 1964. 36, N 8. 1627-1639.
4. Jianwen Luo, Kui Ying, Ping He, Jing Bai. Properties of Savitzky-Golay digital differentiations // Digital Signal Process. 2005. 15. 122-136.
5. Schafer R. W. On the frequence-domain properties of Savitzky-Golay filters // HP Laboratories, HPL-2010-109.
6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: ГИФМЛ, 1963.
Поступила в редакцию 17.06.2011
УДК 532.54.031
К ПРОБЛЕМЕ КАВИТАЦИОННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВСТРЕЧНЫХ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ
В. П. Карликов1, А. В. Розин2, С. Л. Толоконников3
Изучены некоторые особенности автоколебательных режимов кавитационного взаимодействия соосных монолитной водяной и кольцевой газовой струй со встречным потоком воды. Найдены зависимости частоты автоколебаний, максимального перемещения кавитационной полости навстречу натекающему потоку и амплитуды этого перемещения от диаметра трубы и числа Фруда. Обоснован вывод о механизме возникновения автоколебаний. Обнаружена возможность существенного увеличения дальнобойности встречной струи жидкости за счет подачи в ее окрестность струи газа.
Ключевые слова: струйный кавитатор, встречные потоки, автоколебания.
Some features of self-oscillation regimes for the cavitation interaction of coaxial water and annular gas jets with a water counterflow are studied. The dependence of the frequency of self-oscillations, the maximum longitudinal displacement of a cavity toward the incident flow, and the amplitude of this displacement on the pipe diameter and the Froude number is found. A conclusion on the self-oscillation onset mechanism is substantiated. The possibility of a significant increase in the counterflow range due to the gas jet injection in its vicinity is shown.
Key words: jet cavitator, counterflows, self-oscillations.
Исследование предложенного Л.И. Седовым [1] нового способа создания стационарных искусственных развитых кавитационных течений с помощью струйных кавитаторов обнаружило [2], что при отношениях
1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikov@mech. math.msu.su.
2 Розин Александр Владимирович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. экспериментальной гидродинамики НИИ механики МГУ, e-mail: rozin@imec.msu.su.
3 Толоконников Сергей Львович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolsl@mech.math.msu.su.
скоростей встречной струи Vc и натекающего потока V, превышающих 1,15, существуют регулярные автоколебательные режимы течений с периодическим перемещением возникающих кавитационных полостей навстречу натекающему потоку.
Такие режимы течений оказались востребованными в ряде технологий, связанных со смешением потоков. Их изучение необходимо для оптимизации технологических процессов в суперкавитационных гидрореакторах, в которых для создания искусственной кавитации используются струйные кавитаторы.
Методики и результаты экспериментального (в гидротрубе НИИ механики МГУ) и численного (с помощью пакета вычислительных программ STAR-CD) исследований основных особенностей таких нестационарных течений представлены в [3].
На рис. 1 показаны схема эксперимента и общий вид течений, наблюдаемых в гидротрубе, а на рис. 2, а, б — ряд последовательных стадий развития течений со временем, полученных расчетом.
Рис. 1. Схема эксперимента
Основной искомой характеристикой в опытах являлась частота колебаний /. Из анализа размерностей следует, что безразмерная частота автоколебаний (число Струхаля
fd
У = Lp
Vc _Gm_ V Ро D 6 V pVd2' s/gd.' pv2' (V d
где d — начальный диаметр встречной струи, От — весовой расход газа, д — ускорение силы тяжести, ро — давление в рабочем участке с диаметром Б гидротрубы, р — плотность жидкости. В опытах диаметры Б, d и ширина щели 5 газового сопла не менялись и были равны соответственно 0,4; 0,0059 и 0,0015 м.
Эксперименты проводились для следующих диапазонов значений определяющих параметров: 5 4 V 4 8 м/с; 5 4 V 4 10 м/с; 3 • 10"3 4 Ст 4 6 • 10"3 кг/с и 104 4 р0 4 3 • 104 кгс/м2, где Ст и ро — соответственно массовый секундный расход и давление в рабочем участке гидродинамической трубы.
В [3] определены зависимости числа Струхаля от наиболее существенных параметров Ус/У и Ст =
{pVd2), а также зависимости Хтах/с? и А/d от Ст, где Хтах — максимальное значение координаты носика каверны (дальнобойность), А — амплитуда его перемещения.
Кроме указанных зависимостей было найдено распределение давлений (р — ро)/ро вдоль оси X в различные моменты времени.
Опыты и расчеты проводились при числах кавитации, близких к предельному значению для стационарного режима, т.е. при а = а\ ~ 0,077. Численный анализ выполнялся с использованием модели турбулентности для больших значений числа Рейнольдса. Была установлена полная адекватность картин течения, получаемых численно и в эксперименте.
Относительное количественное отличие результатов численного анализа и экспериментов для наиболее существенной зависимости = ^(Ус/V), полученной при V = 5 м/с и ро = 104 кгс/м2, не превышало 10%. Наилучшее совпадение экспериментальных и численных расчетов для различных Vc/V достигалось при Ст > 0,02.
Рис. 2. Фотоснимки течения в гидротрубе в два фиксированных момента времени (а); рассчитанная картина течения в последовательные моменты времени в течение одного периода колебаний (б)
Настоящая работа содержит дополнительную, не представленную в [3] информацию об изучаемых течениях. С использованием пакета вычислительных программ STAR-CD получены зависимости безразмерных частоты автоколебаний St, дальнобойности струи Xmax/d и амплитуды перемещения носика A/d от параметров D/d и F = V/ \J~gd. в достаточно широких диапазонах их значений.
Выполнены также расчеты, дающие более полное представление о механизме возникновения автоколебательных режимов. Как указывалось в [3], этот механизм обусловлен периодическим разрушением встречной струи восходящим потоком жидкости, формирующимся под всплывающей каверной.
На рис. 3 для трубы с D = 0,4 м при Vc/V = 1,49 и Gm = 0,022 показана в фиксированный момент времени форма границы каверны в трех последовательно расположенных поперечных сечениях. Если в первых двух от носика каверны сечениях I и II наблюдается лишь возрастание вогнутости границы каверны в нижней ее части, что связано с обтеканием всплывающей каверны [4], то в сечении III, близком к срезам сопел для истечения воды и газа, вогнутость уже примыкает к встречной струе и, следовательно, поток жидкости, находящийся во впадине под каверной, начинает разрушать струю именно в этом сечении.
Рис. 3. Форма границы каверны в трех поперечных сечениях в фиксированный момент времени
Еще более заметен этот эффект для трубы с меньшим диаметром. Здесь, как показывают расчеты, разрушение встречной струи происходит уже в сечениях, более близких к носику каверны.
Рис. 4. Зависимости от относительного диаметра трубы Б/^. а — безразмерной частоты 81; б — дальнобойности Хтах/с1 (кривая 1) и амплитуды перемещения носика каверны A/d (кривая 2)
Существенной для практических приложений является информация о зависимости характеристик течения от относительного диаметра трубы. Зависимость частоты автоколебаний St от D/d приведена
на рис. 4, а (здесь и далее маркерами отмечены значения, полученные в результате численного расчета, сплошная линия — аппроксимация этих значений). С уменьшением D/d наблюдается рост частоты St, что, как показывает анализ картин течения, связано с изменением места разрушения встречной струи. Меньшим значениям частоты соответствует разрушение струи в области, примыкающей к срезам газового и водяного сопел, и, наоборот, большим значениям — разрушение струи в сечениях, более близких к носовой части каверны. Относительная разность частот в диапазоне 25 < D/d < 70 составляет и 20%.
Зависимости Xmax/d и A/d от параметра D/d показаны на рис. 4, б. В области значений D/d > 45 дальнобойность Xmax/d практически не меняется, а при D/d < 45 — слабо убывает с уменьшением диаметра трубы.
Представленные на рис. 5, а, б для Vc/V = 1,49, Gm = 0,022 зависимости St, Xmax/d и A/d от числа Фруда указывают на убывание частоты автоколебаний с ростом числа Фруда в исследованном диапазоне его значений. Параметры Xmax/d и A/d монотонно возрастают в области F > 10.
Выполненные исследования показали, что подача газа через щелевое сопло в окрестность затопленной встречной струи воды способствует существенному увеличению дальности ее проникания в натекающий поток. Действительно, в случае стационарного истечения струи без подачи газа навстречу натекающему потоку при Vc/V = 1,49 значение относительной глубины проникания равно Xmax/ d = 3,83, а с подачей газа в нестационарном течении, как видно из рис. 5, б, например, при F = 25 оно равно Xmax/d = 95, т.е. имеет большую на порядок величину.
Необходимо заметить в заключение, что опыт использования комплекса вычислительных программ типа STAR-CD для решения описанной в [3] и в настоящей работе столь сложной гидродинамической задачи указывает на возможность получения правильных результатов только в тех случаях, когда численный анализ выполняется одновременно с проведением эксперимента. Постоянная коррекция методики расчета с учетом результатов испытаний делает использование таких комплексов программ эффективным и позволяет обеспечить существенную экономию средств и времени при проведении экспериментальных исследований.
12 16 20 24 ¥ Рис. 5. Зависимости от числа Фруда Е: а — безразмерной частоты 81; б — дальнобойности Хтах/г! (кривая 1) и амплитуды перемещения
носика каверны A/d (кривая 2) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 10-01-00392, 11-01-00188.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седов Л.И. Об обтекании идеальной жидкостью тела со встречной струей // Докл. АН СССР. 1972. 206, № 1. 41-42.
2. Карликов В.П., Хомяков А.Н., Шоломович Г.И. О новом способе организации развитых кавитационных течений // Некоторые вопросы механики сплошной среды / Под ред. С.С. Григоряна. М.: Изд-во МГУ, 1978. 34-47.
3. Карликов В.П., Розин А.В., Толоконников С.Л. Об автоколебательных режимах кавитационного взаимодействия встречных потоков жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2011. № 4. 100-108.
4. Логвинович Г.В., Буйвол В.Н., Дудко А.С., Путилин С.И., Шевчук Ю.Р. Течения со свободными поверхностями. Киев: Наукова думка, 1985.
Поступила в редакцию 07.09.2011
УДК 531
СОЧИНЕНИЕ ЭЙЛЕРА ПО ДИНАМИКЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Н. М. Панькина1
В работе дается краткое содержание трактата Леонарда Эйлера "Механика, или наука о движении, изложенная аналитически", изданного в 1736 г. в Санкт-Петербурге. Фундаментальные достижения И. Ньютона в динамике материальной точки получили в трактате Эйлера аналитическое развитие.
Ключевые слова: динамика материальной точки, дифференциальные уравнения, криволинейные координаты.
The work presents the maintenance is short stated of Leonard Euler treatise "Mechanics or a science about movement stated analytically" published in 1736 in St.-Petersburg. Newton's fundamental achievements in dynamics of material point received analytical development in the Euler's treatise.
Key words: dynamics of material point, differential equations, curvilinear coordinates.
Трактат Л. Эйлера (1707-1783) "Механика, или наука о движении, изложенная аналитически", посвященный динамике корпускулы (материальной точки), был издан в Санкт-Петербурге в 1736 г. в двух томах. До Эйлера под "механикой" обычно понимали статику простых машин. В отличие от этой традиции Эйлер трактовал "механику" как науку о движении, а не о равновесии. Отправным пунктом для многих исследований Эйлера явились труды по механике И. Ньютона, П. Вариньона и Я. Германа. В предисловии к своему трактату "Механика" Эйлер пишет, что решил переработать результаты этих и других сочинений по механике аналитически, т.е. ввести в задачи механики дифференциальные уравнения движения объекта. Таким образом было создано сочинение о движении материальной точки. Эйлер пишет: "Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые (конечной массы. — Н.П.), т.е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину, — тем, которые являются твердыми, не позволяя менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнять свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел. По отношению к этим телам мы будем рассматривать не только то, как они, предоставленные сами себе, продолжают движение, но, кроме того, мы будем исследовать, как на эти тела воздействуют внешние причины, т.е. силы" [1, с. 89-90]. По мнению Эйлера, изложение вопроса о движении точки (корпускулы) есть главная часть всей механики, на которой зиждутся все остальные части.
Абстракции абсолютного и относительного пространства Эйлер заимствует у Ньютона, поясняя, что, "не заботясь о том, есть ли такое пространство или нет, мы требуем только одного, чтобы тот, кто хочет исследовать вопрос об абсолютном движении и абсолютном покое, представили себе бесконечное и пустое пространство и допустили, что в нем помещены тела" [1, с. 42-43]. У Ньютона абсолютное пространство является идеализацией: "Возможно, что какое-нибудь тело в области неподвижных звезд, а может быть и много далее, находится в абсолютном покое, но узнать по взаимному положению тел в наших областях, не сохраняет ли какое-нибудь из них постоянное положение относительно этого весьма отдаленного, нельзя" [2, с. 32-33]. Относительное пространство есть мера или какая-нибудь ограниченная подвижная часть пространства, которая определяется нашими чувствами по положению относительно некоторых тел.
1 Панькина Наталья Михеевна — ст. преп. каф. дифференциальных уравнений ф-та прикладной математики МАИ, e-mail: pankina72@yandex.ru.
