Изолированные устойчивые начальные возмущения неустойчивых равновесий некоторых механических систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Можно заметить, что благодаря найденным коэффициентам обратной связи отклонения по углу тангажа уменьшились.

7. Выводы. В работе показано, что коэффициенты обратной связи, полученные в результате применения алгоритма поиска оптимальных коэффициентов на основе необходимых условий [2] с использованием метода шатров В.Г. Болтянского [5], существенно улучшили стабилизацию программной траектории движения летательного аппарата.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шильпиков Л. П., Шильпиков А. Л., Тураев Д. В., Чу а Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2009.

2. Alexandrov V.V., Bugrov D.I., Corona Morales G., Tikhonova K. V. Tent-method application for minimax stabilization and maxmin testing // IMA J. Math. Control and Inform. 2017. 34. 15-25.

3. Александров B.B., Злочевский С.И., Лемак G.G., Парусников H.A. Введение в динамику управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 1993.

4. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак G.G., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением М.: Физматлит, 2005.

5. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач // Успехи матем. наук. 1975. 30, вып. 3 (183). 3-55.

Поступила в редакцию 20.09.2018

УДК 539.3+531.53+532.23

ИЗОЛИРОВАННЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ НАЧАЛЬНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ РАВНОВЕСИЙ НЕКОТОРЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Д. В. Георгиевский1

Рассматриваются неустойчивые равновесные положения четырех механических систем: с одной степенью свободы (перевернутый математический маятник), с двумя степенями свободы (перевернутый сферический маятник), со счетным числом степеней свободы (упругий стержень под действием сжимающей силы, превосходящей эйлерову критическую) и континуальной (гравитационно-неустойчивая двухслойная система идеальных несжимаемых жидкостей). В каждом из них в начальном фазовом пространстве устанавливается изолированный класс возмущений, приводящих либо к экспоненциальному стремлению к неустойчивому равновесию, либо к экспоненциальному выходу на колебательный режим. Отмечается схожесть в четырех рассмотренных системах условий, характеризующих такой класс возмущений.

Ключевые слова: неустойчивое равновесие, начальное возмущение, колебания, частота, линеаризация.

The unstable equilibrium states of four mechanical systems are considered. The following systems are chosen: the systems with one and two degrees of freedom (inverted mathematical and spherical pendulums), the system with countable number of degrees of freedom (an elastic beam under compressive loading greater than the Eulerian critical value), and the continual system (a gravitationally unstable two-layer system of incompressible inviscid liquids). In each of them, the isolated class of disturbances leading to either the exponential tending to the unstable equilibrium or the exponential tending to an oscillatory regime is determined in the

1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgievQmech.math.msu.su.

initial phase space. The analogy in the four considered systems of conditions characterizing such a class of disturbances is discussed.

Key words: unstable equilibrium, initial disturbance, oscillations, frequency, linearization.

1. Перевернутый математический маятник. Рассмотрим неустойчивое равновесное состояние простейшей механической системы с одной степенью свободы — перевернутого математического маятника. Положение материальной точки, находящейся в поле силы тяжести с ускорением g (|g| = $) на невесомом стержне длины l, описывается углом р^) отклонения от неустойчивого верхнего равновесного положения р = 0 В начальный момент времени t = 0 заданы р(0) = ро и р(0) = ро. Ограничимся здесь возмущенным движением при t > 0 для мучая малых углов р, а точнее, теми временами Т, для которых решение p(t) линеаризованной задачи Коши

р - ш2р = 0, 0 <t<T; р(0) = ро < 1, р(0) = ро, (1)

где ш = \/з/1, удовлетворяет условию p(í) <С 1.

Точное решение задачи (1) следующее:

p(i) = ро ch out + — sh wt = i (po + e^ + Upo ~ (2)

W 2 V WZ z\ WZ

Если начальные возмущения связаны между собой равенством

ро = -шро, (3)

то движение перевернутого математического маятника, как следует из (2), устойчиво: р^) = ро е-wí, т.е. он за бесконечное время экспоненциально стремится к неустойчивому верхнему положению равновесия.

Таким образом, на начальной фазовой плоскости (ро, рро) множество устойчивых начальных возмущений представляет собой некоторую кривую, которая в окрестности начала координат аппроксимируется прямой (3). Это множество изолировано, поскольку любой сход с прямой (3) влечет появление в (2) экспоненты с положительным показателем.

2. Перевернутый сферический маятник. Перейдем теперь к неустойчивому положению равновесия системы с двумя степенями свободы — перевернутого сферического маятника. Возмущенное движение материальной точки по сфере радиуса l описывается полярным р^) и меридиональным /(t) углами. Начальные возмущения характеризуются четырьмя независимыми величинами: р(0) = ро, р(0) = ро, /(0) = /о, /(0) = /о, из которых тачальный угол /о на картину движения и, в частности, на устойчивость влияния не оказывает.

Проектируя векторное уравнение движения на меридиан и параллель в каждой точке сферы, получим систему относительно р^) и /(t):

ф — %¡)2 sin р cos р — w2 sin р = 0, (■0sinp)'=O, ш = л/gjl. При малых р^), 0 < t < Т, она может быть сведена к следующей по-прежнему нелинейной системе:

2

Ф Фо = 0, Ф = (4)

р р

в записи которой уже учтена часть начальных условий. Из первого уравнения (4) видно, что в случае ро = 0 отсутствует решение р^) = ро, соответствующее перевернутому коническому маятнику. Кроме того, при /о = 0 перевернутый сферический маятник вырождается в математический (1).

Будем искать решение первого уравнения (4) в форме р^) = ро£(т), т = wt, и придем к задаче Коши относительно функции £ (т):

í = o, «!„„ = !, л

Ф =Й. И

т=о шро W2

Аналитическое интегрирование уравнения (5) затруднительно, поэтому ограничимся случаем, когда е — малый параметр (е С 1). Проводя регулярные по е разложения решения £(т)

е (т ) = е(0) (т)+е^(1)(т) +(6)

получим рекуррентную последовательность линейных задач Коши

- е(0) = о, е(0)

dr2

£It2 Ç e(0) ' Ç

= 1,

de(0)

т=0

1

dr

de(1)

= e0,

т=0

т=0

dr

т=0

о

о

решения которых следующие:

«<»'(Г) = i(1 + й) С + 1(1 - й) с-'. Î(1)(t) = ... . (7)

0

Нулевое приближение по е (функция £(0) (т) в (7)) в точности соответствует перевернутому математическому маятнику (ф = 0) и совпадает с решением (2). Условие (3) в обозначениях п. 2 запишется как £0 = —1. При малых е будем искать параметр £oj ПРИ котором начальные возмущения перевернутого сферического маятника устойчивы, в виде регулярного разложения £0 = — 1+ке+.... Тогда, вычисляя функцию £(1)(т) в (7), линеаризуя по е и подставляя в (6), получим

т

. ке т / ке \ _т f sh(T — f) df 2.

£(r) = — er + 1--e r + e / --Ц-i——--h Oie2) =

2 V 2 / J chf-(1 -ke)shf v '

0

= e"r + | [(2fc + 1) er - (2(fc + r) + 1) e"r] + 0(e2). Видно, что при к = —1/2, т.е. при

^ = -1-^ + 0(4 = + (8)

функции £(т) и <^(t) экспоненциально убывают. Заметим, что монотонное убывание ^ к нулю означает согласно (5), что ф ^ то, т.е. сферический маятник совершает бесконечное число оборотов вокруг полюса.

В трехмерном фазовом пространстве начальных данных о, Фо) устойчивому начальному

возмущению (8) соответствует некоторая линейчатая гиперповерхность. Ее сечения плоскостями ip = const — прямые с зависящими от ф угловыми коэффициентами.

3. Стержень под действием силы, превышающей эйлерову критическую. Рассмотрим равновесие шарнирно опертого упругого стержня длиной I под действием сжимающей консервативной силы P, превышающей эйлерову критическую нагрузку. Возмущенное движение вблизи неустойчивого равновесного состояния характеризуется поперечным прогибом u(x,t), 0 ^ x ^ l, t ^ 0, который определяется из начально-краевой задачи

EIUxxxx + Puxx + putt = 0, 0 < x < l;

(9)

u(0,t) = u(l, t) = 0, Uxx(0,t)= Uxx(l,t) = 0, u(x, 0) = uo(x), ut(x, 0) = vo(x),

где EI — изгибная жесткость, p — линейная плотность, uo(x) и vo(x) — начальный прогиб и его скорость соответственно.

Решение задачи (9) можно представить рядами Фурье следующим образом. Пусть натуральное число N таково, что N2Pe < P < (N + 1)2Pe, где Pe = n2EI/l2 — эйлерова критическая нагрузка. Тогда точное решение имеет вид

N ж

, , ^ >, , nnx ^ > , , nnx , ,

ЩХ, t) = Lünt + bn sh UJnt) Sin —---h \P"n cos uint bn sin U)nt) sin —-—, (10)

n=1 n=N +1

где

ш„

птг\/Р — п2Ре/(1л/р), если п ^ N; пп — Р/(1у/р), если n^N + l,

i

2 Г nnx , , 2 Г nnx ,

dn = у / «o(®)sin—— ах, bn = —- / t»o(a;)sin——ах, n^l.

l J l j i

0 0

Случаи P = N2Pe, N = 1, 2,... , требуют отдельного рассмотрения. Функцию (10) можно записать и так:

1 ^

фу Í) = 2 I] + e"ní + " e_Wní] sin ^ + (П)

n=1

где uper(x, t) — периодическая по t составляющая решения.

Если на начальные функции наложить N условий an + bn = 0 n = 1,..., N, т.е.

i

v0(x) \ nnx

( , . v0(xh nnx ,

( «o(ж) H--j sin —— аж = 0, n = 1,..., N,

V wn / l

то прогиб (11) станет ограниченной функцией времени, что говорит об устойчивости относительно выбранного класса начальных возмущений.

Таким образом, множество устойчивых начальных возмущений неустойчивого равновесия типичной системы со счетным числом степеней свободы определяется конечным набором равенств. Их число зависит от параметров системы, в рассматриваемой задаче — от отношения Р/Ре- Так, при Ре < Р < 4Ре такое равенство всего одно:

г _

Уо(х)\.7ТХ 1 I I р

( . . Vo(x)\ ттх 1 I

[uo(x) Н--sin—— ах = 0, — = —\г

V w1 / l w1 п у

Р - Ре

Оно реализуется, например, если -и0(ж) = - ^1«о(ж). Это условие по механическому смыслу весьма схоже с равенством (3), выведенным ранее для системы с одной степенью свободы.

4. Гравитационно-неустойчивое равновесие двух несжимаемых идеальных жидкостей. Исследуем равновесное положение континуальной системы, состоящей из бесконечного в горизонтальном направлении тяжелого слоя толщины Н идеальной несжимаемой жидкости плотности р1, покрывающего полупространство другой идеальной несжимаемой жидкости плотности р2. Система находится в поле силы тяжести с ускорением § = д). Будем вести изложение в безразмерных переменных, для чего включим в размерный базис тройку {р1,д, Н}. Единственной безразмерной характеристикой системы будет разуплотнение с = (р2 — Р1)/р1 - Случаи гравитационно-устойчивого, гравитационно-неустойчивого и нейтрального состояний соответствуют значениям с € (0; оо), с € (-1;0)и с = 0.

тэ (1)о (2)о „

В равновесии, помечаемом индексом о, скорости всех точек системы нулевые: = = 0 (верхний индекс (1) означает, что величина определена в верхнем слое; верхний индекс (2) — в нижнем полупространстве; г = 1, 2), границы слоя прямолинейны: Ж2 = 0 и Ж2 = 1, а давление имеет гидростатический вид:

р(1)о = Ж2, Р(2)0 = 1 + (1+ С)(Ж2 - 1).

Малые возмущения равновесного состояния описываются плоскопараллельным полем скоростей с компонентами ^(а)(ж1,ж2,£), а = 1, 2, делением р(а)(ж1, Ж2, ¿) и возмущенной границей раздела жидкостей Ж2 = 1 + п(ж1,£) (п(ж1,£) ^ 1), при переходе через которую нормальные компоненты

ж2 = 0

остается в возмущенном движении прямолинейной и на ней задано условие непротекания.

Линеаризованная постановка задачи в возмущениях состоит в следующем. В областях 0 < ж2 < 1 и ж2 > 1 имеют место замкнутые системы уравнений:

0 <ж2 < 1: -р(1) = ^, ^ = 0; ж2 > 1: -р(2) = (1 + фг(?, = 0. (12)

На прямолинейных границах Ж2 = 0 и Ж2 = 1 выполняются граничные условия

ж2 = 0 : V« =0; ж2 = 1 : г^ = -22) = п,*, Р(1) = Р(2) + СП- (13)

Выберем начальные условия для поля скоростей (Ж1,Ж2, 0) и границы раздела Ж2 = п(ж1, 0) в форме [1] отдельных гармоник вдоль оси Ж1 с волновым числом в > 0:

„,(2) _ . „,(2)

= сИ вж2 ег8Х1, -21) = —г-0^ вЬ вж2 ег8Х1, 4=0 и 2 *=0 0 (14)

—г V

*=0

2

= -02) ег8Х1 5X2, п14=0 = гпо ег-

Начальные функции в (14) удовлетворяют уравнениям несжимаемости и взаимосогласованы с граничными условиями (13). Кроме того, учтено требование стремления к нулю при Ж2 — то компонент

-(2) (Ж1,Ж2, 0).

Будем искать решение начально-краевой задачи (12)—(14) в виде

-(1) = А(1)(в)сИ вж2 , -21) = —гА(1) (в)вИ вж2

(15)

-(2) = — г-(2) = А(2)(в^^5Х1-5Ж2+«(«)4, п = гв(в) е"ж1+а(5)4,

где а(в) — комплексная частота колебаний гармоники с волновым числом в. Тогда согласно уравнениям движения (12) давление в обеих жидкостях запишется следующим образом:

р(1) =

А^фсЬвжа ¿8Х1+аМ*, р{2) = ^ (1 + (16)

вв

В (15) и (16) коэффициенты А(1), А(2) и В не зависят от координат и времени. Система трех граничных условий (13) при Ж2 = 1 после подстановки выражений (15) и (16) приводится к однородной системе линеиных уравнении относительно А(1), А(2) и В. Приравнивая к нулю определитель этой системы, придем к характеристическому уравнению [2]:

2 св Ш в

« = -Тл-Г"^- (17)

1 + (1 + с)Ш в

В настоящей работе интерес представляет гравитационно-неустойчивое равновесие слоистой системы, т.е. случай с € (—1;0). Тогда оба корня уравнения (17) действительны:

/ —св Л в

а1 = р + (1 +С)Ъ8> а2 = ~а1-Функции (15) можно записать как суммы экспонент с показателями а¿и —

= сИ вж2 е"Х1 (А^ еа1* + А^е-а1*), -21) = —г вЬ вж2 е"Х1 (А^ еа1* + а2^ е-а1*),

у^ = -¿42) = ^"^(А^ е"1* + а[,2) е-"1*), г? = ^^ е"1* + А^ е""1*).

«1

Из начальных условий (14) следуют значения А^ и А12):

^ ~~ 2 V ^ ~~ 2 V + ¡^4

Видно, что если -01) = П0®1/вИ в, то возмущения скоростей и давления в верхнем слое, как и амплитуда границы раздела жидкостей, — экспоненциально убывающие функции времени.

Выводы. В рассмотренных выше приложениях вне зависимости от их сложности и несмотря на очевидный неустойчивый характер равновесия существует изолированный класс начальных возмущений, при которых линеаризованная система ведет себя устойчиво по Ляпунову. Возмущения

с течением времени либо затухают, либо стремятся к колебательному режиму с ограниченной амплитудой, определяемой начальными данными. Эти возмущения удовлетворяют общему условию V0 = — где V0 — обобщенная начальная скорость; Х0 — обобщенное начальное отклонение от положения равновесия (смещение, угол); ш — составленная из параметров системы величина с размерностью T-1, которую можно считать характерной частотой. Необходимо заметить, что в силу упомянутой изолированности такого класса возмущений в начальном фазовом пространстве само экспоненциально затухающее либо стремящееся к колебательному режиму возмущенное движение неустойчиво, а потому ненаблюдаемо по Четаеву [3] даже в сколь угодно точном эксперименте. Работы выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты JVs18-29-10085mk, 19-01-00016а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lamb H. Hydrodynamics. 6th ed. N.Y.: Dover Publ., 1945. {Лам,б Г. Гидродинамика. M.; Л.: ГИИТЛ, 1947.)

2. Georgievskii D. V., Tlyustangelov G.S. Stability of low oscillations in a two-layer inviscid fluid by vertical moving in gravity // Russ. J. Math. Phys. 2010. 17, N 4. 448-453.

3. Четаев H.Г. Устойчивость движения. M.: Наука, 1965.

Поступила в редакцию 05.10.2018

УДК 532.54.031

О ФОНТАНИРОВАНИИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ЗАТОПЛЕННЫХ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СТРУЙ В ОТНОСИТЕЛЬНО УЗКИХ КАНАЛАХ

В. П. Карликов1, А. Т. Нечаев2, С. Л. Толоконников3

Представлены результаты экспериментального и численного исследования процесса фонтанирования из-под свободной поверхности вертикальных затопленных осесимметрич-ных струй в относительно узких каналах. В широких диапазонах изменения определяющих параметров установлено существование автоколебательных режимов поперечного перемещения возвышения свободной поверхности. Для струй различного диаметра изучены зависимости периода автоколебаний от скорости струй и величины их начального затопления. Выполнен численный анализ некоторых режимов фонтанирования. При относительно небольших затоплениях для высокоскоростных струй малого диаметра впервые обнаружено существование нового вида автоколебательных режимов фонтанирования, названных квазирегулярными. Проведено сравнение с результатами исследования фонтанирования плоских затопленных струй.

Ключевые слова: струя, свободная поверхность, проникание, автоколебания.

The spouting of vertical submerged axisymmetric jets from under the free surface in relatively narrow channels is experimentally and numerically studied. The existence of self-oscillation regimes with transverse displacements of the free-surface elevation is found for wide ranges of constitutive parameters. Dependencies of the self-oscillation period on the velocities of jets and the initial value of the jet submergence are analyzed for various jet diameters. Numerical analysis of some spouting regimes is performed. A new class of self-oscillation spouting regimes — quasiregular regimes — is discovered for high-speed small-diameter jets in the case of relatively-small values of jet submergence. A comparison is made with the results obtained for plane submerged jets.

Key words: jet, free surface, penetration, self-oscillation.

Процесс фонтанирования вертикальных затопленных струй тяжелой жидкости вызывает интерес в связи с тем, что такой эффект наблюдается в природе и имеет практические приложения в

1 Карликов Владимир Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: karlikovQmech.math.msu.su.

2 Нечаев Артем Тимурович — аси. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artm26@mail.ru.

3 Толоконников Сергей Львович — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tolsl®mech. math, msu.su.