CC BY
7ную точку. В результате получается, что в некоторой окрестности оптимального решения задачи C все промежуточные импульсы равны нулю.
Если считать импульсы в моменты времени TMf и Тмь ненулевыми, то на каждом обороте Фобоса вокруг Марса будет локальный минимум задачи, соответствующий примерно одному и тому же угловому положению. Огибающая этих минимумов имеет выраженный U-образный вид. В табл. 2 представлено сравнение результатов решения задач A, B и C. Параметры лучшей экспедиции задачи C следующие: ti = 2494, 61; t2 = 2800, 74; U = 3170, 93; Qo = -0, 04; ^о = 5, 83; = 2, 32; = -0, 24, = 0, 28; фг =
0. 43; ф2 = -0, 35; фз = -0, 35; значения углов приведены в радианах в сферических СК, соответствующих декартовым невращающимся планетоцентрическим СК с осями, параллельными J2000.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Энеев Т.М. Актуальные задачи исследования дальнего космоса // Космич. исследования. 2005. 43, № 6. 403-407.
2. Суханов А.А. Астродинамика. Серия "Механика, управление, информатика". М.: Ротапринт ИКИ РАН, 2000.
3. Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. М.: Наука, 1976.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.
5. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.
6. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.
Поступила в редакцию 15.04.2013
УДК 533.6.011.5+539.3
О ФЛАТТЕРЕ УПРУГОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ СВЕРХЗВУКОВОМ ОБТЕКАНИИ
Д. С. Строгальщиков1
Рассматривается задача о продольном обтекании упругой полосы сверхзвуковым потоком газа. Приводится формула избыточного давления, полученная на основе линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения; показывается, что при больших сверхзвуковых скоростях критическая скорость флаттера равна фазовой скорости волн возмущения, распространяемых по полосе. В рамках классической поршневой теории решается задача о флаттере жестко защемленной полосы при продольном обтекании.
Ключевые слова: обтекание полосы, линеаризованная теория сверхзвукового потенциального течения, флаттер.
The problem devoted to an elastic strip in a supersonic potential longitudinal flow is considered. An excess pressure formula is obtained on the basis of the linearized theory of supersonic potential flow. It is shown that, in the case of high-speed supersonic flow, the critical flutter velocity is equal to the phase velocity of perturbation waves propagated along the strip. In the framework of the classical piston theory, the flutter problem is solved for the case of a rigidly fixed strip in a longitudinal flow.
Key words: strip in a flow, linearized theory of potential supersonic flow, flutter.
Рассмотрим полосу, которая в пространстве xyz занимает область z = 0, 0 < y < l, \х\ < с. Со стороны z > 0 полоса обдувается потоком газа с невозмущенным вектором скорости V0 = (Vx; Vy;0). Потенциал возмущенного потока записывается в виде фо + ф, где фо — потенциал невозмущенного потока, а возмущение ф вызвано малыми колебаниями полосы и определяется из следующего уравнения:
л, l2 д2ф w l д2ф д 2ф о д2ф о д 2ф д2 ф
a2 a0 д1дх a0 д1ду дх2 y ду2 дудх
Строгальщиков Дмитрий Сергеевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d_strog@mail.ru.
1
у0
Здесь А — трехмерный оператор Лапласа, ао — скорость звука в невозмущенном потоке, М = —,
а0
Мх = —, Му = —, под х, у, г подразумеваются безразмерные координаты х/1, у/1, г/1. Потенциал ф ао ао
ограничен на бесконечности и удовлетворяет условию непроницания на поверхности полосы
д<ф Тдг
х=0
дw
Ж
дw 1дх
дw
+ Ух — + Уу—.
1ду
Здесь w(x,y,t) — прогиб полосы, давление на полосу со стороны потока определяется выражением
z=0
где ро — плотность потока. Решение, соответствующее критическому режиму обтекания, ищется в классе функций
Ф = /(у, — ах)), w = Ш(y)exp(г(wt — ах)), Аро = Арexp(г(wt — ах)),
где и — частота колебаний, а — число волнообразования.
Граничные условия: Ш(0) = Ш(1) = 0, третье и четвертое условия произвольны.
Подробное рассмотрение данных соотношений и вывод формулы для давления приведены в [1]. Так, в случае чисто продольного обтекания (М = (Мх, 0, 0)) в [1] получено выражение
Ар = —
роаЦПо - аМх)2 I
1
Ко(а(у — т))Ш(т) йт + I Ко(а(т — у))Ш(т) йт
где а2 = а2 — (По — аМх)2, По = 1ио/ао, Ко — модифицированная функция Бесселя третьего рода нулевого порядка.
Условие затухания на бесконечности обеспечивается неравенством
По По
Мх + 1
<а<
Мх 1
из которого при больших сверхзвуковых скоростях следует, что параметр а как угодно мало отличается от По/Мх. При этом Ар стремится к нулю. Данный результат хорошо известен в рамках поршневой теории для шарнирно опертой полосы: критическая скорость флаттера равна фазовой скорости волн возмущений, распространяющихся по полосе. Как мы видим, в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения этот результат получен для более широкого класса граничных условий, существенными являлись лишь условия Ш(0) = Ш(1) = 0.
Покажем далее, что и в рамках поршневой теории равенство критической скорости флаттера фазовой скорости волн возмущений выполняется в более широком классе граничных условий, чем граничные условия шарнирного опирания. Для этого рассмотрим задачу о продольном обтекании (М = (Мх, 0, 0)) в рамках поршневой теории при произвольных граничных условиях. Уравнение колебаний полосы в случае чисто продольного обтекания в рамках поршневой теории записывается следующим образом [2, с. 14]:
^ 0, Мх = —. (1)
х ао
. 2 „ ^ дw дw
А IV + а3Мх + й2 -7^7 + а\
Здесь введены обозначения:
аг = 12(1 — у2)
14р Ь2Е0'
а2 = 12(1 — V2)
¿47РО
1г3аоЕо'
аз = 12(1 — V2)
¿37Ро
где V — коэффициент Пуассона, Ео — цилиндрическая жесткость пластины, Н — толщина пластины, 7 — показатель адиабаты. Как и выше, ищем прогиб в виде w = Ш(y)exp(г(иt — ах)), после подстановки данного выражения в уравнение колебаний (1) получаем
д4Ш
ду4
2а2
д2Ш
ду2
+ а4Ш
— а1и2Ш + г[иа2 — а3аМх]Ш = 0.
(2)
Из условия равенства мнимой части уравнения (2) нулю имеем Оо = шао/1 = аМх. Стоит отметить, что данное соотношение, связывающее скорость невозмущенного потока, частоту колебаний и волновое число, выполняется в рамках поршневой теории автоматически вне зависимости от граничных условий.
Итак, результат о равенстве критической скорости флаттера фазовой скорости распространения вдоль полосы получен в рамках как поршневой теории, так и линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения, что является главным результатом статьи.
Далее решим задачу о продольном обтекании полосы в случае граничных условий жесткого защемления. Заметим, что решение данной задачи не приводилось ранее. Перепишем вещественную часть уравнения (2):
~д4W „ 2 д2Ш '
- 2а2 —г + a4W
dy4 dy
- anQ2W = 0, (3)
где ап = 12(1 — г/2) т|Сг-h2 Eo
Граничные условия жесткого защемления: w\y=o = w\y=i = w'\y=o = w'\y=i.
Решение ищется приближенно методом Бубнова-Галеркина. Система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям, имеет вид фk = (1 — cos2nky). Проекционный базис — полная система функций sin nky. В первом приближении W = Ci(1 — cos2ny). Подставляя данное выражение в уравнение (3), после известной процедуры из условия нетривиальной неразрешимости получаем
(апП2 _ (47Г2 + а2)2) _ (апП2 _ а4) = 0_ (4)
3
Далее подставляем в уравнение (4) условие Qo = aMx и ищем критическую скорость флаттера Mx кр как min« Mx(a):
т2 - =
аг1 аг1 а11а2
Приравнивая производную правой части (5) по а к нулю, находим критический параметр волнообразования и критическую скорость флаттера:
М2 = М2(а) = — + — + ^. (5)
а
_ Убтт _ тт C0h _ 2,22 C0h
кр-V^v., iviXKp - -j= - -j===— » -j==—.
= V2vr, Mx =
В случае двучленного приближения уравнения усложняются и поддаются лишь численному исследованию, при этом критическая скорость флаттера все так же находится как Мхкр = тша Мх(а). Критический параметр волнообразования и критическая скорость флаттера при этом оказываются приблизительно равны следующим величинам:
4 ЛЖ 2,31 С0к
аКр ~ 4,65,
Результаты одно- и двучленного приближения отличаются менее чем на 5%. Отметим, что в случае граничных условий шарнирного опирания критическая скорость равна [2, с. 27]
п ОоЬ 1,81 ОоЬ
Mx кр =
л/з(1 - и2) aoi Vi - v2 аоi'
Как мы видим, критическая скорость флаттера при условиях жесткого защемления примерно на 30% выше, чем критическая скорость в случае граничных условий шарнирного опирания.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.
2. Кийко И.А., Показеев В.В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2009. № 1. 159-166.
Поступила в редакцию 21.03.2012
