Флаттер упругой полосы при продольном обтекании в точной постановке Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

Флаттер упругой полосы при продольном обтекании в точной постановке

Строгальщиков Д.С. МГУ им.М.В. Ломоносова 8 (495) 939 55 39, [email protected]

Аннотация. Данная статья является логическим продолжением статей [1] и [2]. В первой из статей [1] приведена постановка задачи о флаттере полосы при продольном обтекании в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения, во второй [2] - показано асимптотическое сходство точной и поршневой теории при больших сверхзвуковых скоростях. В данной статье решается задача о флаттере полосы при продольном обтекании в рамках точной теории для умеренных и малых сверхзвуковых скоростях - в режимах обтекания, где правомерность использования поршневой теории не является доказанной.

Ключевые слова: обтекание полосы, линеаризованная теория сверхзвукового потенциального течения, флаттер

Рассматривается полоса, занимающая в пространстве хуг область 2 = 0, 0 < у < I, .X < . Со стороны 2 > 00 полоса обдувается потоком газа с невозмущенным вектором

скорости У0 =(ух;Уу;0).

Уравнение колебаний полосы постоянной толщины записывается в виде:

^ Л Т 2 М ,

Б А2 w + = Ар 0. (1)

от1

Подставляем в уравнение следующие соотношения, соответствующие режиму критического обтекания для точной постановки (см. [1]):

= Ж(у)ехр(/(ю^ - ах))

".У 1

| К о (а (у - т))Ж (т) dт +1К 0 (а (т - у ))ж (т) dт

.0 У

Уравнение колебаний полосы, полученное в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения, принимает вид:

а4ж „ „а2ж + а4ж_^+ о_аМх^-

w

Ар(

Р о а о (П о -а Мх)

ду1

I

- 2а:

х

ду'

х

У 1

| К о (а (у -т))Ж (т) а х + | К о (а (х- у ))ж (т) d 1

(2)

= 0.

Здесь под х и у обозначены безразмерные параметры х/£ и у/£;

А = 12(1 -V2)^^>=12(1 2)Р' ^

Е И3 4 7 Е И2

Рассматривается случай шарнирного опирания полосы:

= <х2-{по-аМх) ,О0 = — •

а п

Ж (0 ) = Ж (1) = Ж"

у=0

= Ж"

= 0.

Решение ищется приближенно методом Бубнова-Галеркина. Система базисных функций для Ж (у), удовлетворяющая граничным условиям, - система функций

/\ (у ) = БШ ( киу ). Основной сложностью задачи в данной постановке является вычисление интегралов вида:

i

J sin ( £лу ):

dy.

J К о (а (у - т)) sin (£лт) d х + J К 0 (а (х - у)) sin (£лт) d х

.0 у

Данные интегралы рассчитываются численно, функция Бесселя аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Также стоит отметить, что значения интегралов зависят от параметра волнообразования а, поскольку параметр а, входящий в подынтегральные выражения, задается соотношением а2 = а2 — (Q0 — аМх) .

В первом приближении имеем W (у) = Сх sin (лгу) . После подстановки прогиба в дан-

ном виде в у

Сл

завнение колебаний получаем:

2 ' (а2 + л2) sin(лу)-anQ.о sin(лу) + схА(Q0-аМх)'

х

= О

(3)

J К о (а (у - т)) sin (лх) d х + J К 0 (а (х - у)) sin (лх) d х

у

Из условия нетривиальной неразрешимости уравнения получаем следующее соотношение, связывающее скорость набегающего потока М х, параметр волнообразования а и частоту колебаний Q 0:

.2 . , ч ^ . / \ , -.г \ 2

(а2 + л2) sin(пу)-аиQ^ sin(пу) + схA(Q0 -аМх)'

х

= О

(4)

J К о (а (у - т)) sin (лх) d х + J К 0 (а (х - у)) sin (лх) d х

У

К данному соотношению добавляется условие ОС (Мх — l) < Q 0 <а(Мх +1) (см. [2]).

Дальнейший анализ проводится по следующей итерационной схеме:

а о 1 £

1. Для расчетов используются безразмерные коэффициенты V = 0,3, — = —, — получа-

с 0 15 h

ется из условия равенства критической скорости флаттера для шарнирного закрепления в рамках классической теории некоторому наперед заданному числу М critical_ciassic.

2. Из решения задачи о продольном обтекании полосы в рамках классической поршневой теории вычисляем критический параметр волнообразования а спйса/-classic = л

3. Выбираем значение параметра волнообразования Q'0 из интервала

^^ critical—classic (^^ critical—classic ? ^ critical—classic (^^ critical—classic ^ '

4. Для выбранных a0 =acnf!ca/_c/a,,!c, Mо = Mcritical-classic и ^o вычисляется параметр a . Особо подчеркнем, что параметры a 0, М 0 фиксируются только для вычисления интегралов. Q'0 фиксируется как для вычисления интегралов, так и вне интегральных выражений.

5. Вычисляем интеграл Int (ос critical-classic э п'о, Mcritical _с1ашс ) =

i

= J sin (лу)

У i

J К о (а (у - т)) sin (лх) d х + J К 0 (а (х - у)) sin (лх) d х

dy при значе-

нии параметра а из предыдущего пункта.

Серия 3. Естественные науки.

6. После подстановки параметров из предыдущего пункта в уравнение колебаний и вычисления интегралов - уравнение колебаний, спроецированное на sin(лу) , связывает только скорость потока М х и параметр волнообразования ос . Критическая скорость для данной частоты колебаний находится как М' = minа М(ос), значение критического параметра волнообразования для данной частоты колебаний равно ОС'.

7. Возвращаемся в пункт 3 и подставляем новое значение Q'0 из интервала

(а critical-classic (^critical-classic ~ l) эcritical-classic (^critical-classic + l)) • Последовательно ПрОбегаем все значения Q'0 из данного интервала, критическая скорость данной итерации

рассчитывается как Мl = min Qо (minа М (а)| Qo,=Qо ).

8. Подставляем значения скорости флаттера и параметра волнообразования М1 и 0СЬ найденные в пункте 7, в пункты 2-3, вычисляем интегралы при новых значениях оц и М1 и повторяем пункты 4-7 для новой итерации.

9. Данный итерационный процесс заканчивается, когда выполнено два условия \Mk — Mk+11 <8 и |ак — ак<8, где 8 - наперед заданное малое число.

Ниже приводится сравнительный анализ решений, полученных для розничных значений параметра h в рамках классической поршневой теории и в рамках линеаризованной теории сверхзвукового потенциального течения:_

е/ и critical—classic ^ critical - precise

28.23 1 . 03 1 . 01

25.93 1.1 1 . 075

25.93 1.5 1 .455

14.26 2 1 . 915

Как видно из полученных решений, применение поршневой и точной теорий дает очень схожие результаты не только для больших сверхзвуковых скоростей, но и для низких сверхзвуковых скоростей. Результаты отличаются лишь на 2-3% - отсюда следует правомерность использования классической теории для задачи о продольном обтекании в случае низких сверхзвуковых скоростей потока.

Литература

1. Кийко И.А., Показеев В.В. К постановке задачи о колебаниях и устойчивости полосы в сверхзвуковом потоке газа // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2009, №1, с. 159166.

2. Строгальщиков Д.С. О флаттере упругой полосы при продольном сверхзвуковом обтекании //ВестникМосковского Университета. 2014. №4

Серия 3. Естественные науки. Исследование адсорбционных закономерностей анионов на поверхности

красного шлама

Терехова М.В., к.х.н. Русакова С.М.

Университет машиностроения 8(495)223-05-23, [email protected] Аннотация. В работе исследована возможность красного шлама (отход алюминиевого производства) адсорбировать фосфат-, молибдат и дихромат-ионы из водных растворов. Изучена зависимость адсорбции исследуемых ионов от рН и начальной концентрации ионов в анализируемом растворе. Разработан способ активации поверхности красного шлама.

Ключевые слова: красный шлам, адсорбция, молибдат-ионы, фосфат-ионы, дихромат-ион ы

Любое промышленное производство, особенно металлургия, сопряжено с экологическими рисками, среди которых преобладают выбросы загрязняющих веществ в атмосферу, а также образование и складирование вредных отходов. Не является исключением и алюминиевое производство.

При производстве алюминия по методу Байера (процесс получения чистого оксида алюминия) образуется красный бокситовый шлам. На каждую тонну полученного оксида алюминия приходится в среднем от 360 до 800 кг шлама. Из-за отсутствия эффективных технологий переработки основная масса красных шламов не используется и складируется в специальных шламохранилищах, которые оказывают отрицательное воздействие на окружающую среду. Площадь одного такого шламохранилища составляет обычно 100-200 га, что практически равно территории алюминиевого завода. Несмотря на то, что шламохранилища обустраивают таким образом, чтобы содержащиеся в отходах щелочи не могли проникнуть в грунтовые воды, они в любом случае представляют угрозу как для окружающей среды, так и непосредственно для организма человека.

Вопреки устоявшемуся стереотипу, многие специалисты сегодня не считают красный шлам отходом, так как он содержит значительное количество железа и алюминия, и может служить сырьем для получения различных продуктов. В России красных шламов накопилось более 100 млн. т. Поэтому вопросы его использования в качестве сырья, а также полной его утилизации с каждым днем становятся все более актуальными. Благодаря наличию в составе красного шлама оксидов алюминия, железа, титана, кремния и др. одним из перспективных путей утилизации данного отхода является создание на его основе сорбентов для очистки различных объектов от загрязняющих веществ.

Исследуемые в данной работе молибдат-, фосфат-, дихромат-ионы являются одними из распространенных и представляющих экологическую опасность веществ.

Молибден является одним из загрязняющих объектов водных сред. В поверхностных водах он находится в основном в форме молибдат-иона. Загрязнение окружающей среды обусловлено как потерей молибдена на разных этапах переработки сырья, так и выносом тяжелых металлов из отвалов рудника. При этом возможно отравление не только работающего персонала, но и жителей близлежащих территорий.

Проблема выбросов хрома в окружающую среду становится все более актуальной. Однако главный источник поступления антропогенного хрома - обработка металлов. Неконтролируемые выбросы представляют большую опасность загрязнения поверхностных вод относительно токсичной формой Сгв+.

Фосфаты широко используются в сельском хозяйстве для удобрения почв. Вынос растворимых форм фосфора в грунтовые воды происходит регулярно, поэтому проблема очистки вод от растворимого фосфора всегда остается актуальной.

В зарубежной и отечественной литературе накоплен экспериментальный материал по данной проблеме, который требует проведения систематических исследований в этом

Серия 3. Естественные науки.

направлении, что позволит детально изучить адсорбционные свойства красного шлама и выявить оптимальные условия для адсорбции на нем анионов[1-8].

Качественный и количественный состав красных шламов значительно отличается и зависит от состава исходного сырья и технологии его переработки, поэтому созданию эффективных адсорбентов на основе отходов алюмосиликатного производства должны предшествовать экспериментальные исследования адсорбционных закономерностей конкретных образцов красного шлама.

Цели работы

• Получение активированной формы красного шлама путем промывки его соляной кислотой.

• Исследование возможности использования красного шлама для адсорбции фосфат-, мо-либдат- и дихромат-ионов из водных растворов;

• Определение влияния рН и концентрации в растворе ионов на эффективность их адсорбции.

Объект исследования

В данном исследовании использовался красный шлам, являющийся отходом переработки алюминийсодержащего сырья на Уральском алюминиевом заводе (УАЗ). Компонентный и минеральный состав красного шлама (после предварительной обработки известью, промывки и фильтрации) приведен в таблице 1. Анализ был выполнен в лаборатории ОП ООО «РУСАЛ-ИТЦ» в г.С. Петербург.

Таблица 1.

Состав красного шлама

Компонентный состав Минеральный состав

Компонент Содержание, % Минерал Содержание, %

А17Оя 11.9 Диаспор 0.43

Ре203 40.9 Алюмогетит 1.85

$ю2 9.5 Гематит 31.19

СаО 21 Анатаз 0.59

тю2 4.1 Кальцит 5.27

Ыа20 0.71 Гидрогранат 36.39

М^О 0.4 Шамозит 12.93

к2о 0.15 Перовскит 5.97

МпО 0.25 ГАСН 2.03

Р. о. 0.68

шш 11.3

Методика проведения эксперимента

Активацию красного шлама проводили в следующей последовательности: шлам дважды промывали бидистиллированной водой и обрабатывали декантацией раствором соляной кислоты с концентрацией 0,1 моль/л, при этом уровень рН промывных вод снизился с 12 до 8. Далее образцы отфильтровывали и сушили в муфельной печи при температуре 110° С. Полученные образцы измельчали в ступке до порошкообразного состояния и без дальнейших изменений использовали в последующих экспериментах.

Адсорбционные исследования проводили при разной начальной концентрации исследуемых анионов в растворе (таблица 2.) при постоянной концентрации фонового электролита №С1 с концентрацией 0,1 моль/л. Масса адсорбента во всех случаях была равной 1 грамм, время контакта его с раствором составляло 1 час при непрерывном перемешивании с исполь-

зованием магнитной мешалки (частота вращения 350 об/мин).

Таблица 2.

Начальные концентрации исследуемых анионов

Исследуемый ион Начальная концентрация аниона, моль/л

МоО|" 0,0015 0,002 0.004

0,0015 0,002 0,0025 0,003

РОГ 0,0015 0,025 0.005

Эксперименты проводили при различных значениях рН (в диапазоне от 3 до 10). Необходимого уровня рН раствора достигали добавлением концентрированной соляной кислоты, значения рН измеряли с помощью прибора рН-метр Эксперт-001.

Для получения кривых адсорбции использовали метод отдельных навесок. Концентрацию анионов в растворах определяли по методикам, изложенным в [9]. Измерения оптической плотности испытуемых растворов по отношению к нулевому раствору проводили на спектрофотометре СФ-56.

Величину адсорбции определяли по разности начальной и конечной концентраций ионов, отнесенной к единице массы адсорбента и вычисляли по формуле:

р _ Сисх.~С-нач.

т

где: Г - адсорбция, моль/г-л, СИСх- - концентрация хромат-ионов в исходном растворе, моль/л, Скон. - концентрация хромат-ионов в растворе после адсорбции, моль/л, ш - масса адсорбента, г.

Результаты и их обсуждение

Экспериментально изучена адсорбция фосфат-, молибдат- и дихромат-ионов на активированном красном шламе при различных значениях начальных концентраций раствора. Установлено, что адсорбционная способность красного шлама значительно зависит от значений рН раствора (рисунки 1-3). Очевидно, что адсорбция этих анионов наиболее эффективна в кислой среде, а с увеличением рН она уменьшается. Так, при значении рН больше 5 удаление анионов из раствора незначительно.

Из рисунков 1 и 2 видно, что максимальная адсорбция достигается при рН=4. Предельная адсорбция не зависит от рН и при значении меньше 4 практически не изменяется. На рисунке 3 видно, что при значении рН больше 10 удаление фосфатов из раствора происходит незначительно и наибольшее значение адсорбции наблюдается при рН в диапазоне 3-4.

Рисунок 1. Адсорбция дихромат-ионов на красном шламе от рН при разных начальных

концентрациях раствора: _1 - 0,003; 2 - 0,0025; 3 - 0,002; 4 - 0,0015 моль/л_

Г моль/г*л

0.0015 -

0.0010

0.0005

Рисунок 2. Зависимость адсорбции молибдат-ионов на активированном красном шламе от рН при разных начальных концентрациях раствора: 1 - 0,004; 2 - 0,002; 3 - 0,0015 моль/л Г моль/г-л-

Рисунок 3. Зависимость адсорбции фосфат-ионов на активированном красном шламе от рН при разных начальных концентрациях раствора: 1 - 0,005; 2 - 0,0025; 3 - 0,0015 моль/л

Выводы

• С увеличением рН адсорбция анионов из растворов уменьшается.

• Оптимальное значение рН для максимальной адсорбции анионов на красном шламе находится в диапазоне от 3 до5.

• С увеличением равновесной концентрации анионов в исходном растворе их адсорбция возрастает.

• Для описания адсорбционных закономерностей применима кислотно-основная модель.

• Результаты экспериментального исследования адсорбционной способности активированного красного шлама по отношению к фосфат-, молибдат- и дихромат-ионам показывают