CC BY
12где deg(gl) ^ 4. Аналогично для алгебраического дополнения имеем
Нб1 = Л-12^25^33^44^56 + Л-12Л^ЛмЛ-43Л-56 + §2, deg(g2) ^ 4.
Обозначая А = Л33Н44 — Л34Л43, 5 = deg(Д), получаем
Н25 = —Ь,12Л.34Л.41 ^56^63 — ^12Д^56^61 + §1, deg(hl2^34^41 ^56Л^) = 3, deg(hl2Д^56^61) = 2 + 5; (2)
Нб1 = —Л12Л25ДЛ56 + §2, deg(hl2Л25ДЛ56) = 1 + 5. (3)
Непосредственно из определений следует, что если г>1,г>2 £ K таковы, что deg(г>l) = deg(г>2), то deg(г1 + г2) = min{deg(г1),deg(г2)}. Поэтому если 5 > 1, то в силу (2) deg(H25) = 3, т.е. Н25 = 0. Если же 5 < 1, то аналогично deg(H25) = 2 + 5 и опять же Н25 = 0. Наконец, если 5 = 1, то в силу (3) deg(H6l) = 2, и теперь Н61 = 0. Таким образом, по крайней мере одно из алгебраических дополнений Н25 и Н61 отлично от нуля, поэтому ранг матрицы Н не меньше 5. Согласно определению 4, гкк(А) ^ 5. Утверждение полностью доказано.
Теорема 3. Матрица А из примера содержит минимальное число строк и минимальное число столбцов среди всех тропических матриц М, для которых гкк(М) = гк^(М).
Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно из теоремы 2 и примера.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. Э. Гутерману за постоянное внимание к работе и интересные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Akian M, Gaubert S, Guterman A. Linear independence over tropical semirings and beyond // Contemp. Math. AMS. 2009. 495. 1-38.
2. Develin M., Santos F., Sturmfels B. On the rank of a tropical matrix // Discrete and Computational Geometry / Ed. by E. Goodman, J. Pach and E. Welzl; MSRI Publications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.
3. Kim K.H., Roush N.F. Kapranov rank vs. tropical rank // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. 134, N 9. 2487-2494.
4. Chan M., Jensen A.N., Rubei E. The 4 x 4 minors of a 5 x n matrix are a tropical basis // Linear Algebra and Appl. 2011 (в печати).
5. Oxley J.G. Matroid theory. N.Y.: Oxford University Press, 1992.
6. Bogart T, Jensen A.N., Speyer D., Sturmfels B, and Thomas R.R. Computing tropical varieties //J. Symbol. Comput. 2007. 42, N 1-2. 54-73.
7. Blackburn J.E., Crapo H.H., and Higgs D.A. A catalogue of combinatorial geometries // Math. Comput. 1973. 27, N 121. 155-195.
Поступила в редакцию 14.02.2011
УДК 539.3
ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНУТРЕННЕМ ОБТЕКАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
А. В. Васильев1
В большинстве работ по флаттеру оболочек используется формула поршневой теории для избыточного аэродинамического давления. В данной работе рассматривается решение задачи о флаттере цилиндрической оболочки при внутреннем обтекании сверхзвуковым потоком газа в новой постановке.
1 Васильев Алексей Валерьевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexxx_was@mail.ru.
Ключевые слова: флаттер, цилиндрическая оболочка, внутреннее обтекание.
The well-known piston theory formula for the excess aerodynamic pressure is used in the majority of works devoted to the panel flutter of shells. In this paper, we consider the solution of the problem on the flutter of a cylindrical shell with internal flow by supersonic gas flow in a new formulation.
Key words: flutter, cylindrical shell, internal flow.
1. Введение. Проблема колебаний и устойчивости тонкостенных цилиндрических оболочек достаточно давно интересует исследователей [1] в связи с развитием аэрокосмической техники. Однако в постановочной части большинства работ для давления аэродинамического взаимодействия принималась формула поршневой теории [2-4]. Результаты расчетов ощутимо отличались от результатов, полученных на практике [1]. В обзоре [5] упоминаются работы, в которых используются более точные формулы, однако эти исследования распространяются только на бесконечные оболочки. В статье [6] формула для давления аэродинамического равновесия аналогична применяемой нами, но в [6] рассматривался флаттер оболочки при внешнем обтекании. Вывод формул для давления аэродинамического взаимодействия в настоящей работе подобен рассмотренному в книге [7].
2. Постановка задачи. Представим себе круговую цилиндрическую оболочку, которая в цилиндрической системе координат r, ф, x занимает часть 0 ^ x ^ l цилиндрической поверхности {0 ^ x ^ ж; r = R; 0 ^ ф ^ 2п}. Внутри цилиндра в положительном направлении оси x протекает газ; невозмущенное течение считаем стационарным; параметры газа: uo — скорость, ро — плотность, po — давление, ao — местная скорость звука. Оболочку считаем упругой, механические характеристики ее материала: E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, pi — плотность, D = Eh3/ (12(1 — v2)) — цилиндрическая жесткость, h — толщина оболочки. Напряженно-деформированное состояние оболочки будем определять уравнениями технической теории в смешанной форме [8]:
( D ( A2w + | 2wyy + -Lw
R2
R2
1
1
RFxx+ REh±yyK± 2
Fyy{ TO — T0) — T20 wyy +
1
Д2
w —
1
- T®wxx -2s° (wxy+ / wxdy ) ) - FyyW°xx - FxxWyy + 2Fxywxy = q,
A2F + Eh { ^wxx + wxxuPyy + wyyuPxx - 2wxywxy ) = 0,
где и> — прогибы; Е — функция усилий; граничные условия — шарнирное опирание, т.е. и> =
F =
д 2F
d2w dx2
9 = 0 на краях [9]; д — избыточное давление; у = — окружное и продольное усилия
дх2 2
в невозмущенной системе соответственно; А — оператор Лапласа. Будем считать, что в невозмущенном
состоянии =0, иР =0 [10], поэтому, отбросив нулевые члены, получим систему
1
2wyy +
R2 Vwyv ' R2
D ( A2w +
2 Eh A 2F + —wxx = 0.
1
w
RFxx+ REh±vvK±2
Fyy (T2° - T°) - T?wxx - T2° [wyy +
q,
(1)
К первому уравнению системы (1) дважды применим оператор Лапласа, а второе поочередно дважды продифференцируем по x и по у.
' 2
^ г XX --t^XXXXl
2 Eh
A2 Fyy = -—w
R
xxyyi
A2 D A2w +
R2\2wVy+ R2
w
- Tfwxx - T2° ( Wyy + w
~ Ъ A2Fxx + ikh ^^ ~ Tf) = Д2<?-
X ■
Введем безразмерные параметры х ——, го —^ —, оставив за ними прежние обозначения. Также
К Л
У 1
напомним, что <р = —. Поскольку = роЯ, Т2 = —роК, в итоге получим К 2
Л /д8ш , д8-ш д8ш , д8■ д8ш д6■ , д6■ д6ш
_£) (__|_ 4__|_ б__4__|___Ь 2__Ь 4__Ь 2__Ь
К8 \ дх8 дх6дф2 дх4дф4 дх2дф6 дф8 дх4дф2 дх2дф4 дф6
d4w d4w <94«Л hpo (d6w d6w d6w \ Eh2poR d4w Ъх4+ дх2др2 + Ъф4 V + дх4дф2 + дх2дф4 ) + 2 R6Eh дх2дф2
д6w „ д6w д6w d4w „ d4w d4w\ Eh2 d4w 1
_ hp° (
2R5 \дх4дф2 + 2 дх2дф4 + дф6 + dx4+2 дх2дip2 + дф4 ) + Д6 &r4 R4 A q' ^
Решение уравнения (2) будем искать в классе функций w = W(х,ф)ешг, где и — частота колебаний. Избыточное давление q состоит из суммы сил инерции и аэродинамического взаимодействия: q = qi + q2. д 2 w
Здесь q\ = —p\h 0 , а для q2 используем выражение (которое следует из формулы для конической dt2
оболочки в пределе, когда угол конусности стремится к нулю [7])
h (uR 1 \
<й = ~1Ро -гЛ -w + MW' + - W )ешг cos пю.
R V ao 2 у
Из (2) и (3) получим
1 (d8W d8W д 8W д8 W d8W d6W d6W d6W
_(__|_ 4__|_ б__4__|___2__h 4__h 2__h
12(1 — v2)\ дх8 дх6дф2 дх4дф4 дх2дф6 дф8 дх4дф2 дх2дф4 дф6
(3)
д4\¥ д4\¥ 94ИЛ poR3/д6W \ R2 д4\¥
дх4 дх2дф2 дер4 ) ЕЙ,3 \ дх6 дх4дф2 дх2дф4) ¡г2 дх4
PoR3 ( д4Ш д4Ш 94ИЛ poR3 д4Ш
~ 2ЕК3 \дх4д<р2 + дх2д<р4 + дф6 + дх4 + дх2д<р2 + дф4 ) + 2ЕК3 дх2д<р2 +
П2а^Д2 (д4\У д4\У д4ИЛ Р07Д3 (0 м д_ д4]У д4ИЛ
+ дх2др>2 + ) + V + + + дх2дф2 + ' и
г,
где с 1 = \--скорость звука в материале цилиндра, \1 =-.
у Р1 ао
Будем решать уравнение (4) методом Бубнова-Галеркина, используя двучленное приближение функ-
пКх ^ . 2пКх\
ции прогибов в виде W(x, <р) = W{x) cos п<р = ^Ci sin —---\-С2 sin —-—J cos n<p. После известной процедуры придем к системе уравнений относительно C\ и C2:
Ci
1 ((п2R2 Л2 п 2 Л PoR5n2 PoR\ 2 R6n4
Ч +п2) -2п2 + 1 + +-—---2 +
2h2l4 (^ + п2)2
24(1 - ту2) V V I2 J ) 2Eh3l2 4Eh3" J
2
Q í71-2 Д2 I „2 ' гм4Р07ДЗ +
p0R57T2n2 Р07Д3 Qpo^R3 Ü2alR2
+ 4ЖЗ/2 +n2)2 + W + + "2^"
24(1 - v2)
р0Д5тг2 R6 7Г4 p0R57T2n2 Р07Д3 Qpo^R3
+ + 2/,2¿4 + n2)2 + 4ЖЗ/2 + n2)2 + + ^^ + ^^
Введем обозначения:
Л = -П
2ЕН3
2с2Н2
= -ПА- П2Б;
24(1 - V2)
'к2 п2Е2 2 + п2
I2
5^2
— 2п2 + 1 , к = 1, 2; Ь =
РоК^тт
да'
РоД3 4Ж3
(п2 - 1);
к4 Е6п4
(к =
р°Е5п2 п2
2/г2/4
к = 1, 2; =
4р°7Е3
4Е1г3Р (ЩР- + п2)
г, к = 1, 2; / =
Ро7Д3 4Ж3
тг2Д2
+ п2
3ЕН3
Подставив эти выражения в систему (5), получим
С1(а1 + Ь + с + (1 + е1 + / - Л) - С2двМ = 0, С1 ^ М + С2(а2 + 46 + с + (12 + е2 + / - Л) = 0. Равенство определителя нулю приводит к уравнению Л2 — ¡11Л + ¡2 + д2М2 = 0, его корни:
Л1,2 =
/XI ± У/х2 - 4/Х2 - 4д2М2
2
(6)
где
¡11 = а1 + а2 + 5Ь + 2с + (1 + (2 + е1 + е2 + 2/,
¡2 = (а1 + Ь + с + (1 + е1 + / )(й2 + 4Ь + с + (2 + е2 + /).
Неустойчивые колебания оболочки возникают, когда один из корней П переходит в правую полуплоскость: П = гП°, поэтому критическое значение числа Маха можно найти из условия, что параметр Л выходит на параболу устойчивости [5]. Подставляя Л^2 = Л° ± гЛз в уравнение
Л + АП + БП2 = 0,
получим Л° ±гЛз+гАП°-Б П = 0, откуда Л° = БП2, Лз = ±АП°, или Л° подкоренного выражения (6) приводит к неравенству
V/А ~
А|В
А2
(7)
■. Условие положительности
М > М° =
Сравнивая (6) и (7) при П = гП°, получим
2д
л -ХзВ 0 ~ "Ж'
^+/х2-4№ = 452М2р.
Отсюда определим М
кр-
Мкр =
у/^+Д- 4/ха
2д
3. Расчеты. Приведем результаты параметрического анализа решения. Флаттер оболочки рассматривался при давлениях от 0,1 до 10 атм. Для каждого значения давления находилась минимальная толщина Н°, начиная с которой выполнялись условия М° > 1, Мкр > М°. Далее для каждого значения Н° осуществлялся поиск Мкр при различных значениях параметра волнообразования п и в качестве истинного критического числа Маха принималось М* = шшМкр(п). Таким же методом выбирались М* для
р п р
Н = аН°, где а = 1; 1,3; 1,6; 1,9. Вычисления проводились для материала с параметрами Е = 7 • 101° Па, С1 = 5100 м/с, V = 0,3, остальные параметры были изменяемыми. Результаты вычислений приведены в табл. 1 (1/Е = 3) и табл. 2 (1/Е = 4), где указаны значения критического числа Маха, а также относительная толщина оболочки для разных значений давления газа.
2
1
2
д
Таблица 1
Ро, атм ко 1,3 ко 1,6 ко 1,9 ко
Поршневая теория Новая постановка Поршневая теория Новая постановка Поршневая теория Новая постановка Поршневая теория Новая постановка
0,5 К/к = 390, М0 = 1,217 МКр 1,614 | 1,617 К/к = 300, М0 = 1,658 МКр 1,991 | 1,992 К/к = 243,8, М0 = 2,263 МКр 2,560 | 2,561 К/к = 205,3, М0 = 3,068 МКр 3,341 | 3,342
1,0 К/к = 290, М0 = 1,203 МКр 1,611 | 1,614 К/к = 223,1, М0 = 1,642 МКр 1,984 | 1,986 К/к = 181,3, М0 = 2,246 МКр 2,551 | 2,552 К/к = 152,6, М0 = 3,053 МКр 3,332 | 3,333
1,5 К/к = 240, М0 = 1,142 МКр 1,625 | 1,628 К/к = 184,6, М0 = 1,600 МКр 2,012 | 2,014 К/к = 150, М0 = 2,252 МКр 2,621 | 2,622 К/к = 126,3, М0 = 3,189 МКр 3,426 | 3,427
2,0 К/к = 210, М0 = 1,237 МКр 1,636 | 1,640 К/к = 161,5, М0 = 1,701 МКр 2,037 | 2,039 К/к = 131,3, М0 = 2,343 МКр 2,642 | 2,643 К/к = 110,5, М0 = 3,202 МКр 3,476 | 3,477
Таблица 2
Ро, атм к0 1,3 ко 1,6 ко 1,9 ко
Поршневая теория Новая постановка Поршневая теория Новая постановка Поршневая теория Новая постановка Поршневая теория Новая постановка
0,5 К/к = 250, М0 = 1,058 МКр 1,455 | 1,457 К/к = 192,3, М0 = 1,763 МКр 2,010 | 2,011 К/к = 156,3, М0 = 2,574 МКр 2,803 | 2,804 К/к = 131,6, М0 = 3,670 МКр 3,885 | 3,885
1,0 К/к = 180, М0 = 1,113 МКр 1,500 | 1,502 К/к = 138,5, М0 = 1,884 МКр 2,113 | 2,114 К/к = 112,5, М0 = 2,752 МКр 2,965 | 2,965 К/к = 94,7, М0 = 3,924 МКр 4,123 | 4,124
1,5 К/к = 150, М0 = 1,185 МКр 1,502 | 1,504 К/к = 115,4, М0 = 1,830 МКр 2,115 | 2,117 К/к = 93,8, М0 = 2,759 МКр 3,023 | 3,023 К/к = 78,9, М0 = 4,072 МКр 4,223 | 4,223
2,0 К/к = 130, М0 = 1,175 МКр 1,538 | 1,541 К/к = 100, М0 = 1,873 МКр 2,201 | 2,202 К/к = 81,3, М0 = 2,948 МКр 3,135 | 3,136 К/к = 68,4, М0 = 4,174 МКр 4,349 | 4,350
Таким образом, из представленных вычислений видно, что критическая скорость флаттера в новой постановке больше, чем в постановке, основанной на поршневой теории, причем для достаточно тонких оболочек с уменьшением относительной толщины оболочки эта разница растет. Для получения более достоверных результатов данные настоящей работы нуждаются в уточнениях путем привлечения численных методов; так, например, метод Бубнова-Галеркина, используемый в статье, дает заниженные результаты [7].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. 67-122.
2. Барр Г.В, С'тиэрмен Р.О. Характеристики аэроупругой устойчивости цилиндрических оболочек с учетом несовершенств закрепления краев // Ракетная техника и космонавтика. 1969. № 5. 142-152.
3. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической оболочки в потоке сжимаемой жидкости // Инж. сб. 1956. 24. 3-16.
4. Скурлатов Э.Д. Об устойчивости круговой цилиндрической оболочки в сверхзвуковом потоке газа // Прочность и устойчивость элементов тонкостенных конструкций. Сб. 2. М.: Гостехиздат, 1967. 201-209.
5. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука, 1961.
6. Барр Г.В, С'тиэрмен Р.О. Влияние сверхзвукового обтекания на упругую устойчивость цилиндрических оболочек // Ракетная техника и космонавтика. 1970. № 7. 4-13.
7. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.
8. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.
9. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука; Физматлит, 1995.
10. Александров В.М., Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке газа // Прикл. матем. и механ. 1994. 58, № 4. 123-132.
Поступила в редакцию 29.10.2010
