CC BY
11/ : Ml х Ml х Mi ^ K в коодинатное поле K, полагая /(A,B,C) =f
где (хл,ул), (XB ,УВ), (xc,yc)
В дезарговой же аффинной карте М1 группа всех гомотетий с центром в точке О образует мультипликативную группу координатного ассоциативного тела (см. [1]). В силу утверждения (ш) все гомотетии в Мг е общим центром коммутируют между собой, следовательно, такое тело К коммутативно и является полем. Это вместе с леммой о слабой аддитивности завершает доказательство теоремы 1.
Лемма о моменте позволяет предъявить чисто геометрическое утверждение, обеспечивающее декартовость проективной плоскости, минуя понятие роллинга.
Теорема 2 (О. В. Герасимова). Пусть среди четырех точек Я, Ql, е Мг никакие три не лежат на одной
прямой, а 11,12,13 — прямые, проходящие через точку Я параллельно прямым соответственно. Тогда
если для точек Р1 е Ь П Мг (г = 1,2,3) прямые Р1Р2, Р2Рз параллельны Я(2 ,Я(3 соответственно, то прямая Р1Р3 параллельна .
Критерий несжимаемости. Проективная плоскость М декартова тогда и только тогда, когда хотя бы в одной ее аффинной карте Мг справедливо любое из двух равносильных условий:
а) в Мг выполняется аксиома несжимаемости;
б) в Мг справедлива теорема 2.
Роллинг-инвариантная промера / : А АБС ^ К. Пользуясь системой координат ОЕхЕу, зададим отображение
Хв - ХА ув — у А
ХС — ХА УС — У А
координаты точек А, Б, С е Мг соответственно. (В случае, когда К — это поле действительных чисел, \/(А, Б, С)| выражает в евклидовой системе кооординат удвоенную площадь треугольника ААБС.) Непосредственное вычисление показывает, что:
(а) /(А, Б, С) = /(Б, С, А) = /(С, А, Б) = —/(А, С, Б) = —/(Б, А, С) = —/(С, Б, А);
(б) /(А, Б, С) = /(А',Б,С), если прямая АА' параллельна БС, т.е. (в силу определения шага роллинга) /(А, Б, С) = /(А',Б',С'), если упорядоченную тройку точек ААБС можно перекатить в АА'Б'С';
(в) /(А, Б,С) = 0 тогда и только тогда, когда точки А, Б, С лежат на одной прямой;
(г) /(А, Б, В) + /(А, В, С) = /(А, Б, С), если В е БС;
(д) /(А, Б, С) = /(А, В, С), если /(А, Б, С) =0, В = Б и В е БС (см. для сравнения (ИС)). Отсюда в силу предложения 1 имеем:
(е) если /(А, Б, С) = /(А', Б', С'), то ААБС роллируется в АА'Б'С'.
Характеристические свойства плоской промеры. На языке универсальной алгебры аксиоматика введенных выше кососимметричных (в силу п. (а)) тернарных отображений / : Мг х Мг х Мг х Мг ^ К задается всего двумя дополнительными тождествами:
/(А, Б, С) + /(А, С, В) = /(В, А, Б) + /(В, Б, С) (тождество аддитивности), /(Я, А, Б) /(Я, А, В) /(Я, С, Б) /(Я, С, В) где Я, А, Б, С, В — произвольные точки аффинной карты Мг.
Доказательство (К2). Так как ААБВ можно перекатить в АА'Б'В', то в силу п. (б) имеем /(А, Б, В) = /(А', Б', В'). Аналогично/(А, В, С) = /(А', В', С'). Значит (см. п. (г)), /(А, Б, С) = /(А, Б, В)+/(А, В, С) = /(А',Б', В')+/(А', В', С') = /(А , Б ,С ), и, следовательно, согласно п. (е), ААБС можно перекатить в АА Б С .
В заключение отметим, что в алгебраических и геометрических построениях роллинг принимает иногда весьма причудливые формы и обличья (см. работу [2]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.
2. Размыслов Ю.П., Качковский А.О. ^-соизмеримость // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 69-70.
Поступила в редакцию 15.12.2010
= /(S,A,C) • /(S,B,D) (тождество мультипликативности),
УДК 512.643
ПРИМЕР МАТРИЦЫ РАЗМЕРА 6x6 С РАЗЛИЧНЫМИ ТРОПИЧЕСКИМ РАНГОМ И РАНГОМ КАПРАНОВА
Я. Н. Шитов1
Мы приводим пример 6х6-матрицы с тропическим рангом 4 и рангом Капранова 5, опровергая гипотезу, предложенную М. Чан, А. Йенсеном и Е. Рубеи.
Ключевые слова: тропическое полукольцо, тропический ранг, ранг Капранова, тропический базис.
Шитов Ярослав Николаевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yaroslav-shitov@yandex.ru.
We provide an example of a 6-by-6 matrix A such that rkt(A) = 4, rkK(A) = 5. This disproves the conjecture formulated by M. Chan, A. Jensen, and E. Rubei.
Key words: tropical semiring, tropical rank, Kapranov rank, tropical basis.
Тропическое полукольцо есть множество R с операциями a ® b = min{a, b}, a ® b = a + b. Мы изучаем тропические матрицы, т.е. матрицы над тропическим полукольцом. Существуют разные способы определения понятия ранга таких матриц, многие из них описаны в работах [1, 2]. Мы рассматриваем понятия тропического ранга и ранга Капранова (см. также [2, 3]). Дадим необходимые определения.
Определение 1. Перманент тропической матрицы S Е Rnxn есть
perm(S) = min {Si>CT(i) + ... + Sn,a(n)}. (1)
Определение 2. Матрица S называется тропически вырожденной, если минимум в выражении (1) достигается на различных перестановках из Sn. В противном случае матрица S называется тропически невырожденной.
Определение 3. Тропический ранг rkt(M) матрицы M Е Rpxq есть максимальный размер ее тропически невырожденной квадратной подматрицы.
Через K будем обозначать поле, элементами которого являются степенные ряды a = a(t) вида
те
Eaitai, где an Е C, an Е R, а1 < а2 < ..., lim an =
n
i=1
Отображение deg переводит ряд a в наименьший из показателей ai, т.е. deg(a) = minn:ttn=o{an}. Считаем, что deg(0) = то. Матрица B Е Kmxn называется поднятием матрицы T Е Rmxn, если deg(bj) = tij при всех i,j. Понятие ранга Капранова можно ввести следующим образом (см. [2, следствие 3.4]).
Определение 4. Пусть M Е Rmxn. Ранг Капранова матрицы M есть
гкк (М) = шш{гапк(Км)},
км
где минимум берется по всем поднятиям Км матрицы М, а запись гапк(Км) обозначает обычный ранг матрицы Км над полем ^
Широкое исследование свойств ранга Капранова было проведено в работах [2-4]. В [2] показано, что гкк(М) ^ гк^(М) для любой матрицы М. Также в [2] доказана теорема, устанавливающая связь с теорией матроидов. Необходимые определения теории матроидов можно найти в книге [5].
Теорема 1 [2, следствие 7.4]. Пусть матроид М непредставим над полем С. Тогда тропический ранг и ранг Капранова матрицы С(М) его коциклов различны.
Теорема 1 позволяет доказать различие тропического ранга и ранга Капранова для некоторых матриц. Примеры таких матриц приводятся в работе [2], в том числе пример матрицы размера 7 х 7 с тропическим рангом 3 и рангом Капранова 4.
Работа [3] посвящена в основном исследованию вычислительной сложности ранга Капранова. В [3] показывается, что не только задача вычисления ранга Капранова, но и задача распознавания свойства гкк(М) ^ 3 NP-трудна для матриц М Е {0, 1}тхп. Кроме того, в [3] доказано, что существуют матрицы тропического ранга 3, ранг Капранова которых сколь угодно велик.
В работе [4] доказана следующая теорема.
Теорема 2 [4, следствие 1.5]. Пусть М Е Rmxn7 тт{ш,и} ^ 5. Тогда гкк(М) = гк4(М).
В [4] установлена связь с понятием тропического базиса. Определения тропического базиса и сопутствующих понятий можно найти в работе [6]. В [4] сформулирован следующий вопрос.
Вопрос 1 [4, вопрос 1.1]. При каких й, п, г миноры порядка г + 1 матрицы размера й х п образуют тропический базис? Или, что равносильно, при каких й, п, г каждая матрица размера й х п с тропическим рангом, не большим г, имеет ранг Капранова, не больший г?
Предполагаемый ответ на этот вопрос давала следующая гипотеза.
Гипотеза 1 [4, гипотеза 1.6]. Миноры порядка г + 1 матрицы размера й х п образуют тропический базис в том и только в том случае, если г ^ 2, или г ^ шш{й, п} — 2, или г = 3 и й = п = 6.
Кроме того, в [4] сформулирована гипотеза о совпадении тропического ранга любой 6 х 6-матрицы с ее рангом Капранова. Мы опровергаем эту гипотезу, приводя пример матрицы А размера 6 х 6, для которой гкк(А) = 5, гк^(А) = 4.
Обратим внимание на эквивалентность, которая указана в вопросе 1. Приводимый нами пример матрицы показывает, что миноры порядка 5 матрицы размера 6 х 6 не образуют тропического базиса. Таким образом, мы опровергаем гипотезу 1.
Кроме того, отметим, что различие тропического ранга и ранга Капранова матрицы А не обусловлено непредставимостью некоторого матроида. Действительно, все матроиды, содержащие не более 6 элементов, представимы над полем С (см. [7]).
Пример. Пусть
А=
0 0
4 2
4 2
4 2 0 0 4 1
4 4 4 4
0 0
Тогда гк*(А) =4, гкК(А) = 5.
Доказательство. 1. Заметим, что любая 5 х 5-подматрица матрицы А с точностью до перестановок строк и столбцов имеет один из следующих видов:
5' =
( 0 812 813 814 0 21
80
'12 °13 °14 °15
0 0 в24 в25
831 0 0 834 835 841 в42 843 0 0
\У51 852 в53 0 0/
0 0
, 5" =
4
X
41 0
'31 & ■
в'Ь 0
8"
52
4 4 4\ 4 У 4 0 4 4 0 г 4 0 0/
8"
853
где х,у,г Е {1, 2}, 8^, 8- Е {1, 2, 4}. Согласно определению 1, регш(5') =0 и минимум выражению (1) для перманента доставляют перестановки 1ё, (23) Е £5. Аналогично перманент матрицы 5" равен у, и минимум доставляют перестановки (24), (243) Е £5. Поэтому, согласно определению 2, все 5 х 5-подматрицы матрицы А тропически вырождены. Значит, согласно определению 3, гк^(А) ^ 4.
Теперь рассмотрим подматрицу матрицы А, образованную строками с номерами 1, 2, 4, 6 и столбцами с номерами 1, 4, 5, 6:
0 4 4 4
0 4 1 4
2 0 2 4
2 4 0 0
Минимум в выражении для ее перманента достигается на единственной перестановке (23) Е £4. Согласно определению 3, гк^(А) = 4. 2. Рассмотрим матрицу
Мо =
/ 1 1 г4 г4 г4 г4 \
—1 —1 г2 г4 г г4
г4 г4 1 — г2 1 — г4 — г4
г2 г4 —1—г —1 г2 — г4
— г4 — г4 — г4 — г4 — 1 — г2 1
V — г2 — г4 г — г4 1 — г —1 )
е K
6x6
которая является поднятием матрицы А. Сумма строк матрицы Мо есть нулевая строка, поэтому ранг Мо не больше 5. Отсюда, согласно определению 4, гкк(А) ^ 5.
Пусть теперь Н Е ^х6 — произвольное поднятие матрицы А. Непосредственно из определений следует, что deg(aЬ) = deg(a) + deg(Ь), deg(a + Ь) ^ min{deg(a),deg(Ь)} для любых а,Ь Е ^ Пользуясь тем, что deg(Лм) = аря при всех р и д, выделим в выражении для алгебраического дополнения Н25 слагаемые степеней, не больших 3:
Н25 = Л-12 ^34^41 ^56^63 — ^12^33 ^44^56 Л-61 + ^12^34 ^43^56 Л-61 + §1,
где deg(gl) ^ 4. Аналогично для алгебраического дополнения имеем
Нб1 = -^12^25^33^44^56 + Л-12^25^34Л-43Л.56 + §2, deg(g2) ^ 4.
Обозначая А = Н33Н44 — Н34Н43, 5 = deg(Д), получаем
Н25 = —Ь,12Л.34Л.41 ^56^63 — ^12Д^56^61 + д1, deg(hl2^34^41 Л-56^3) = 3, deg(hl2ДЛ^Л^) = 2 + 5; (2)
Нб1 = —^12 ^25Д^56 + §2, deg(hl2 ^25Д^56) = 1 + 5. (3)
Непосредственно из определений следует, что если г>1,г>2 £ K таковы, что deg(г>l) = deg(г>2), то deg(г1 + г2) = min{deg(г1),deg(г2)}. Поэтому если 5 > 1, то в силу (2) deg(H25) = 3, т.е. Н25 = 0. Если же 5 < 1, то аналогично deg(H25) = 2 + 5 и опять же Н25 = 0. Наконец, если 5 = 1, то в силу (3) deg(H6l) = 2, и теперь Н61 = 0. Таким образом, по крайней мере одно из алгебраических дополнений Н25 и Н61 отлично от нуля, поэтому ранг матрицы Н не меньше 5. Согласно определению 4, гкк(А) ^ 5. Утверждение полностью доказано.
Теорема 3. Матрица А из примера содержит минимальное число строк и минимальное число столбцов среди всех тропических матриц М, для которых гкк(М) = гк^(М).
Доказательство. Утверждение теоремы следует непосредственно из теоремы 2 и примера.
Автор приносит благодарность научному руководителю профессору А. Э. Гутерману за постоянное внимание к работе и интересные обсуждения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Akian M, Gaubert S, Guterman A. Linear independence over tropical semirings and beyond // Contemp. Math. AMS. 2009. 495. 1-38.
2. Develin M., Santos F., Sturmfels B. On the rank of a tropical matrix // Discrete and Computational Geometry / Ed. by E. Goodman, J. Pach and E. Welzl; MSRI Publications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2005.
3. Kim K.H., Roush N.F. Kapranov rank vs. tropical rank // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. 134, N 9. 2487-2494.
4. Chan M., Jensen A.N., Rubei E. The 4 x 4 minors of a 5 x n matrix are a tropical basis // Linear Algebra and Appl. 2011 (в печати).
5. Oxley J.G. Matroid theory. N.Y.: Oxford University Press, 1992.
6. Bogart T, Jensen A.N., Speyer D., Sturmfels B, and Thomas R.R. Computing tropical varieties //J. Symbol. Comput. 2007. 42, N 1-2. 54-73.
7. Blackburn J.E., Crapo H.H., and Higgs D.A. A catalogue of combinatorial geometries // Math. Comput. 1973. 27, N 121. 155-195.
Поступила в редакцию 14.02.2011
УДК 539.3
ФЛАТТЕР ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ ВНУТРЕННЕМ ОБТЕКАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ ГАЗА
А. В. Васильев1
В большинстве работ по флаттеру оболочек используется формула поршневой теории для избыточного аэродинамического давления. В данной работе рассматривается решение задачи о флаттере цилиндрической оболочки при внутреннем обтекании сверхзвуковым потоком газа в новой постановке.
1 Васильев Алексей Валерьевич — асп. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexxx_was@mail.ru.
