CC BY
74. Riesz M. Sur l'equivalence de certaines methodes de sommation // Proc. London Math. Soc. 1924. 22, N 2. 412-419.
5. Peyerimhoff A. On convergence fields of Norlund means // Proc. Amer. Math. Soc. 1956. 7. 335-347.
6. Kuttner B. On discontinuous Riesz means of type n // J. London Math. Soc. 1962. 37, N 1. 354-364.
7. Cooke R. On mutual consistency and regular T-limits // Proc. London Math. Soc. 1936. 41, N 2. 113-125.
8. Agnew R. Equiconvergence of Cesaro and Riesz transforms of series // Duke Math. J. 1955. 22, N 3. 451-460.
9. Степанянц С.А. О взаимном включении методов суммирования Чезаро и Рисса // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1998. № 4. 24-31.
10. Toeplitz O. Uber allgemeine lineare Mittelbildungen // Pr. mat. i fiz. 1911. 22. 113-119.
11. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999.
12. Miesner W., Wirsing E. On zeros of £ (n + l)kzn //J. London Math. Soc. 1965. 40. 421-424.
Поступила в редакцию 13.12.2010
УДК 512.543.7 + 512.544.33 + 512.815.8 + 517.984.5 + 514.84
РОЛЛИНГ И СОИЗМЕРИМОСТЬ СИМПЛЕКСОВ (АКСИОМА И КРИТЕРИЙ НЕСЖИМАЕМОСТИ, ЛЕММА О МОМЕНТЕ)
Ю. П. Размыслов1
"Cogito ergo sum." 2 Рене Декарт
Строится единая геометрическая теория поля.
Ключевые слова: проективная плоскость, аффинная карта, роллинг, несжимаемость, дезарговость, поле.
The total geometrical theory of field is recreated.
Key words: projective plane, affine chart, rolling, incompressibility, desargues condition,
field.
Трудно теперь установить, кто первым заметил, что 1-й закон Ньютона можно трактовать как 2-й закон Кеплера для любого наблюдателя, находящегося вне прямой, по которой свободно движется тело, и попытался в базовой аксиоматике классической и небесной механики во избежание использования евклидовых метрик ограничиться постулированием пространственных свойств естественных геодезических. Однако не вызывает сомнения, что каждое новое поколение, не обращая никакого внимания на "золотое правило механики" и "правило рычага", с упорством, заслуживающим более достойного применения, продолжает строить новые варианты гравитационной теории, опираясь снова и снова на математический аппарат (евклидовых, гильбертовых и др.) метрических пространств. В работе приводятся очередные (и, на наш взгляд, веские) аргументы в пользу того, что во всем следует знать меру, в частности на определенном этапе обучения учащихся планиметрии не мешает в задачах на построение заменить циркуль угольником.
Пусть на множестве M задана структура абстрактной проективной плоскости, т.е. (см. [1]) в множестве всех подмножеств 2м множества M выделено подмножество L, элементы l которого принято называть прямыми и которое удовлетворяет условиям (аксиомам):
(P0) каждая прямая содержит не менее трех точек;
(P1) через любые две точки X,Y G M проходит ровно одна прямая l G L;
(P2) любые две прямые l\,l2 G L пересекаются ровно в одной точке.
Для произвольной прямой l G L положим Mi = M \ l, Li = L \ {l} и, как обычно, назовем Mi с системой прямых Li аффинной картой проективной плоскости M, а l — бесконечно удаленной прямой.
Прямые l\, l G Li аффинной плоскости Mi параллельны, если точка их пересечения лежит на бесконечно удаленной прямой l.
1 Размыслов Юрий Питиримович — доктор физ.-мат. наук, науч. сотр. лаб. вычислительных методов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 "Мыслю, следовательно, существую."
Предложение 1. Пусть точки А, В, С аффинной плоскости М1 не лежат на одной прямой. Тогда любые три точки А', В', С за конечное число шагов можно перекатить (с сохранением на каждом шаге в интуитивном понимании "площади АА'В'Сп>)'3 так, чтобы результат перекатывания точек А',В' совпал с А и В соответственно, а точка С' оказалась на одной прямой с точками В и С.
Очевидно, что в привычной модели аффинной плоскости, изучаемой в школьном курсе планиметрии, для обсуждаемого процесса катания справедливы следующие утверждения.
(КС) (Аксиома несжимаемости). Если точки А, В, С аффинной плоскости М\ не лежат на одной прямой и точка В находится на одной прямой с В и С, но не совпадает с С, то точки А, В, В нельзя перекатить в точки А, В, С соответственно.
(И1) (Аксиома слабой аддитивности). Если в аффинной плоскости М1 тройки точек Б, А, А' и Б, В, В' лежат на разных прямых, а прямые, проходящие через А, В и А',В', параллельны, то точки 5, А', В можно перекатить в точки Б, А, В' соответственно.
(И2) (Аксиома аддитивности). Если в аффинной плоскости М1 каждая тройка точек А, В, С; А',В',С' не лежит на одной прямой, В £ ВС, В' £ В 'С' и тройки А, В, В; А, В,С можно перекатить в тройки А', В', В'; А', В', С' соответственно, то тройка А, В, С роллируется в тройку А', В', С.
Предложение 2.4 Пусть для какой-то прямой I аффинная карта М\ обладает свойствами (КО), (К1). Тогда для любых пяти точек А, В, С, В, Е абстрактной проективной плоскости М, никакая тройка из которых не лежит на одной прямой, следующие прямые:
def
¡1 = прямая, определяемая точками АС П ЕВ, АВ П ЕС, def
¡2 = прямая, определяемая точками АС П ЕВ, АВ П ЕС, def
¡3 = прямая, определяемая точками АВ П ЕВ,АВ П ЕВ, пересекаются в одной точке Б, а тройки Б, В, В'; Б, С, С'; Б, В, В', где В' = АВ П БЕ, С' == АС П БЕ,
В' = АВ П БЕ, роллируются друг в друга в аффинной карте Мае■
Мы умеем доказывать это утверждение непосредственным вычислением, основанным на следующем наблюдении.
Теорема 1. Пусть для какой-то прямой I аффинная карта М1 обладает свойством (КО). Тогда в ней выполняется аксиома слабой аддитивности (К1), а сама проективная плоскость М дезаргова и ее координатное тело коммутативно.
Доказательство этой теоремы можно разбить на три шага:
(1) для любых трех точек Б, А, В £ М[, лежащих на одной прямой, существует единственное проективное преобразование 7 : М ^ М, называемое гомотетией аффинной плоскости, М1, оставляющее на месте все точки прямой I и точку Б, а А переводящее в В;
(и) для любых двух точек А, В £ М1 существует единственное проективное преобразование V : М ^ М, называемое параллельным переносом аффинной плоскости М1 на вектор АВ, оставляющее на месте все точки прямой ¡, отображающее А в В и переводящее в себя любую прямую, проходящую через точку
Б = I П АВ, при этом V представимо в виде суперпозиции двух гомотетий из различных центров;
(ш) для любых трех точек Б, А, В, не лежащих на одной прямой, аффинной карты М\ и произвольных ее гомотетий 7, 5 с общим центром Б тройка точек Б,^А,5В перекатывается в тройку Б, А,7(5(В)), тройка Б, 5А, 7В перекатывается в Б, А, 5(7(В)), а тройки Б, 7А, 5В и Б, 5А, 7В образуют конфигурацию, указанную в (И1), более того, 5 о 7 = 7 о 5.
Обоснование этих шагов вполне по силам любому, кто имеет склонность к геометрическим теоретико-множественным рассуждениям. Читателя же, более искушенного в области алгебры и алгебраических вычислений, мы не хотим лишить удовольствия самостоятельно установить истинность следующего утверждения.
(К2). Аксиома аддитивности (И.2) (в частности, (И1)) является следствием аксиомы несжимаемости (КС).
(Рутинная проверка в двумерном пространстве над телом выполнимости условия (КС), которая приводит к коммутативности рассматриваемого тела, что автоматически влечет (И1), (И2).)
Замечание. Написав вышеизложенный текст, автор попросил свою ученицу О. В. Герасимову попробовать самостоятельно преодолеть этапы (1)—(ш) в доказательстве теоремы 1. Вот поправленная и дополненная (автором) версия ее записей.
Отдавая долг исторической справедливости, мы называем проективную плоскость декартовой, если она дезаргова и ее координатное тело коммутативно. Везде ниже:
3 За шаг роллинга мы "передвигаем" любую точку из упорядоченной тройки параллельно прямой, проходящей через две оставшиеся.
Построение угольником и линейкой касательного расслоения кривой второго порядка по пяти ее точкам.
а) предполагается, что в аффинной карте Mi выполняется свойство (RO);
б) любая упорядоченная тройка точек (A,B,C) е Ml х Ml х Ml обозначается AABC и называется триадой, если A,B и C не лежат на одной прямой.
Ключевой в доказательстве теоремы 1 является
Лемма о моменте. Пусть точки S, Qi, Q2, Q3 из Ml таковы, что никакие три из них не лежат на одной прямой, а точка P не лежит на прямой SQi. Тогда в цепочке триад ASPQi, ASPiQi, ASPiQ2, ASP2Q2, ASP2Q3, ASP3Q3, ASP3Qi, в которой каждая следующая получается за один шаг роллинга, точки P, Pi, P3 лежат на одной прямой, параллельной SQi.
Доказательство. Из определения шага роллинга следует, что точки Pi, P2, P3 находятся последовательно и однозначно: Pi является пересечением прямой, проходящей через точку Pi-i параллельно SQi, с прямой, проходящей через S
def def
параллельно QiQi+i, где Q4 = Qi, а P0 = P. Но тогда триады ASPQi, ASP3Qi, ASPiQi перекатываются друг в друга и имеют две общие вершины S, Qi. Поэтому если бы точка P3 не лежала на прямой PPi, которая по построению параллельна SQi, то роллирование вершины P триады ASPQi до пересечения с прямой SP3 привело бы к запрещенной условием (RO) конфигурации. Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть две триады AQiQ2Q3, ARiR2R3 в Ml таковы, что три различные прямые QiRi, Q2R2 и Q3R3 пересекаются в точке S е Ml, причем прямая RiR2 параллельна QiQ2, а прямая R2R3 параллельна Q2Q3. Тогда прямая QiQ3 параллельна RiR3.
Доказательство. Возьмем произвольную точку P (P = S) на прямой, проходящей через S параллельно прямой QiQ2, и проведем роллинг триады ASPQi, описанный в лемме. Точка P будет совпадать с Pi и пройдет путь Pi, P2, P3, а прямая SP3 будет параллельна QiQ3. Но тогда в цепочке триад ASPiRi, ASPiR2, ASP2R2, ASP2R3, ASP3R3, ASP3R4 (где R4 е SRi), ASPiR4, в которой каждая следующая получается из предыдущей за один шаг роллинга, точка R4 должна совпадать с Ri, так как в противном случае перекатываемые друг в друга триады ASPi Ri, ASPi R4 образовывали бы запрещенную условием (RO) конфигурацию. Остается заметить, что прямая R3R4, равная R3Ri, по определению шага роллинга параллельна прямой SP3, которая, как было отмечено выше, параллельна прямой QiQ3. Утверждение полностью доказано.
Доказательство утверждения (i). Следствие 1 — это частный случай теоремы Дезарга, который гарантирует (см. [1]) существование всех гомотетий, указанных в (i).
Доказательство утверждения (ii). Возьмем параллельную к AB прямую s е Li (s = AB) и точку A' е Ml, лежащую вне прямых s, AB. Положим Si = s П A'A, S2 = s П A'B. Пусть js1 — гомотетия с центром в точке Si, переводящая A в A', а ys2 — гомотетия с центром в точке S2, отображающая A' в B. Докажем, что v = ys2 ◦ Ys1. Очевидно, что проективное преобразование v:
а) отображает точку A в точку B;
б) оставляет на месте все точки прямой l;
в) переводит прямую s в себя.
Для каждой точки C е Mi положим Cv =f (Cv(C)) П l. Так как точки Cv, C, v(C) лежат на одной прямой и v(CvC) = Cvv(C) = Cv(C), то v переводит прямую Cv(C) в себя для любой точки C е Ml. В частности, v(AB) = AB. Поэтому преобразование v в случае, если Cv = S, оставляло бы на месте две точки Di = s П Cv(C), D2 = AB П Cv(C) и должно было бы быть тождественным преобразованием, а это противоречит тому, что v(A) = B = A. Таким образом, Cv = S и любая прямая, проходящая через бесконечно удаленную точку S, переводится преобразованием v в себя, что доказывает существование произвольных параллельных переносов в карте Ml.
Следствие 2. Пусть две триады AQiQ2Q3, ARiR2R3 в Ml таковы, что три различные прямые QiRi, Q2R2 и Q3R3 параллельны между собой, причем прямая RiR2 параллельна QiQ2 и прямая R2R3 параллельна Q2Q3. Тогда прямая QiQ3 параллельна RiR3.
Лемма о слабой аддитивности. В аффинной карте Ml, удовлетворяющей условию (RO), выполняется аксиома (R1).
Доказательство. Пусть S, A, B,A', B' обозначают то же, что и в формулировке (R1). Проведем через точку S прямую s, параллельную AB, A'B', и выберем точки A'' на s, B'' на A'B' так, чтобы прямая A''A была параллельна SB, а B''B параллельна AA'. Тогда триады AA''AA', ASBB'' будут удовлетворять всем условиям следствия 2. Поэтому A''A', SB'' параллельны между собой и в цепочке триад ASAB', ASA''B', ASA''B'', ASA' B'', ASA'B каждая следующая получается из предыдущей за один шаг роллинга, что и доказывает лемму.
Доказательство утверждения (iii). Пусть S,A,B,y,S обозначают то же, что и в утверждении (iii).
Так как при гомотетиях y,S любая прямая и ее образ параллельны между собой, то пары триад а) ASAy(S(B)), ASj(A)S(B), б) ASAS(j(B)), ASS(A)j(B), в) ASj(A)S(B), ASS(A)j(B) образуют конфигурации, описанные в (R1), и по предыдущей лемме роллируются друг в друга. Поэтому неравенство y(S(B)) = S(y(B)) приводило бы к запрещенной условием (RO) конфигурации перекатываемых друг в друга триад ASAy(S(B)), ASAS(y(B)).
Доказательство теоремы 1. Введем в аффинной карте Mi координаты. Для этого зафиксируем две прямые lx,ly е Li , пересекающиеся в точке O е Mi , называемой началом координат, и две несовпадающие с ней точки Ex, Ey е Mi на прямых lx и ly соответственно. По произвольной точке P е Mi построим точку Px пересечения прямой lx с прямой, проходящей через P параллельно ly, и точку Py пересечения ly с прямой, проходящей через P параллельно lx. Обозначим xp, yp гомотетии с центром в точке O, для которых xp(Ex) = Px, yp(Ey) = Py. Пару (xp,yp) принято называть координатами точки P в системе координат OExEy. Хорошо известно (см. [1]), что выполнение в аффинной плоскости Mi свойств (i), (ii) (следствий 1, 2, что равносильно) гарантирует выполнение в проективной плоскости M теоремы Дезарга в самой общей ее формулировке.
/ : Ml х Ml х Mi ^ K в коодинатное поле K, полагая /(A,B,C) =f
где (хл,ул), (XB ,УВ), (xc,yc)
В дезарговой же аффинной карте М1 группа всех гомотетий с центром в точке О образует мультипликативную группу координатного ассоциативного тела (см. [1]). В силу утверждения (ш) все гомотетии в Мг с общим центром коммутируют между собой, следовательно, такое тело К коммутативно и является полем. Это вместе с леммой о слабой аддитивности завершает доказательство теоремы 1.
Лемма о моменте позволяет предъявить чисто геометрическое утверждение, обеспечивающее декартовость проективной плоскости, минуя понятие роллинга.
Теорема 2 (О. В. Герасимова). Пусть среди четырех точек Я, Ql, е Мг никакие три не лежат на одной
прямой, а 11,12,13 — прямые, проходящие через точку Я параллельно прямым соответственно. Тогда
если для точек Р1 е Ь П Мг (г = 1,2,3) прямые Р1Р2, Р2Рз параллельны Я(2 ,Я(3 соответственно, то прямая Р1Р3 параллельна .
Критерий несжимаемости. Проективная плоскость М декартова тогда и только тогда, когда хотя бы в одной ее аффинной карте Мг справедливо любое из двух равносильных условий:
а) в Мг выполняется аксиома несжимаемости;
б) в Мг справедлива теорема 2.
Роллинг-инвариантная промера / : А АБС ^ К. Пользуясь системой координат ОЕхЕу, зададим отображение
Хв - ХА ув — у А
ХС — ХА УС — У А
координаты точек А, Б, С е Мг соответственно. (В случае, когда К — это поле действительных чисел, \/(А, Б, С)| выражает в евклидовой системе кооординат удвоенную площадь треугольника ААБС.) Непосредственное вычисление показывает, что:
(а) /(А, Б, С) = /(Б, С, А) = /(С, А, Б) = —/(А, С, Б) = —/(Б, А, С) = —/(С, Б, А);
(б) /(А, Б, С) = /(А',Б,С), если прямая АА' параллельна БС, т.е. (в силу определения шага роллинга) /(А, Б, С) = /(А',Б',С'), если упорядоченную тройку точек ААБС можно перекатить в АА'Б'С';
(в) /(А, Б,С) = 0 тогда и только тогда, когда точки А, Б, С лежат на одной прямой;
(г) /(А, Б, В) + /(А, В, С) = /(А, Б, С), если В е БС;
(д) /(А, Б, С) = /(А, В, С), если /(А, Б, С) =0, В = Б и В е БС (см. для сравнения (ИС)). Отсюда в силу предложения 1 имеем:
(е) если /(А, Б, С) = /(А', Б', С'), то ААБС роллируется в АА'Б'С'.
Характеристические свойства плоской промеры. На языке универсальной алгебры аксиоматика введенных выше кососимметричных (в силу п. (а)) тернарных отображений / : Мг х Мг х Мг х Мг ^ К задается всего двумя дополнительными тождествами:
/(А, Б, С) + /(А, С, В) = /(В, А, Б) + /(В, Б, С) (тождество аддитивности), /(Я, А, Б) /(Я, А, В) /(Я, С, Б) /(Я, С, В) где Я, А, Б, С, В — произвольные точки аффинной карты Мг.
Доказательство (К2). Так как ААБВ можно перекатить в АА'Б'В', то в силу п. (б) имеем /(А, Б, В) = /(А', Б', В'). Аналогично/(А, В, С) = /(А', В', С'). Значит (см. п. (г)), /(А, Б, С) = /(А, Б, В)+/(А, В, С) = /(А',Б', В')+/(А', В', С') = /(А , Б ,С ), и, следовательно, согласно п. (е), ААБС можно перекатить в АА Б С .
В заключение отметим, что в алгебраических и геометрических построениях роллинг принимает иногда весьма причудливые формы и обличья (см. работу [2]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.
2. Размыслов Ю.П., Качковский А.О. ^-соизмеримость // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 69-70.
Поступила в редакцию 15.12.2010
= /(S,A,C) • /(S,B,D) (тождество мультипликативности),
УДК 512.643
ПРИМЕР МАТРИЦЫ РАЗМЕРА 6x6 С РАЗЛИЧНЫМИ ТРОПИЧЕСКИМ РАНГОМ И РАНГОМ КАПРАНОВА
Я. Н. Шитов1
Мы приводим пример 6х6-матрицы с тропическим рангом 4 и рангом Капранова 5, опровергая гипотезу, предложенную М. Чан, А. Йенсеном и Е. Рубеи.
Ключевые слова: тропическое полукольцо, тропический ранг, ранг Капранова, тропический базис.
Шитов Ярослав Николаевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
