CC BY
15Теорема 4 доказана. Докажем теперь теорему 5.
Безусловная оценка сверху непосредственно вытекает из теоремы 4. Докажем оценки снизу при условии выполнения гипотезы Римана. Положим Н = ехр (щ^р) , к = \ТН~1 /2]. Согласно теореме 1, на каждом промежутке (Т + (2^ — 1)Н, Т + V = 1, 2,...Д, найдутся точки и ти, такие, что
ог^ 1 1п Т о, л 1 1п Т
290 VlnlnTlnlnlnT' 290 VlnlnTlnlnlnT
Обозначим h = (lnT)-0'5(lnlnT)-1 и покажем, что все промежутки (tv, tv + h) содержатся во множестве Eo, а все промежутки (tv — h,tv) — во множестве Ei. Для этого заметим, что S(t) — кусочно-гладкая функция, которая терпит разрывы в точках, совпадающих с ординатами нулей Z(s). При переходе через точку разрыва S(t) совершает скачок, равный сумме кратностей нулей Z(s), для которых эта точка явилась ординатой. По формуле Римана—Мангольдта N(t) = ^г In ^ — ^ + § + S(t) + А (t), где N(t)—число нулей Z(s) в прямоугольнике 0 ^ Res ^ 1, 0 < Ims ^ t, a A(t) — гладкая функция, A(t) х t-1, A'(t) х t-2. Значит, на всяком промежутке вещественной прямой, не содержащем ординат нулей Z(s), функция N(t) постоянна, а S(t) является монотонно убывающей функцией с производной, равной —^г In ^г + О (i-2) • Поэтому для всех t, tv ^ t ^ tv + h, имеем неравенство
1 I /1 tv + h 2Л 1 I ЫТ
> ш\1 to to г to ы-г - " W-— + 0 <г >) > Ш V
290 VlnlnТlnlnlnТ \2п 2п v 7 У 300 V1n1nТlnlnlnТ'
а для всех т, tv — h ^ т ^ tv , — неравенство
1 / ^ 1 ( 1 л Ъ 2Л 1 / In Г
Sir) <--W —-——;--Ь/г —In— + 0 (Т~2) <--\
KJ 290 V In In Т ln ln ln T \2ir 2ir v ' 300 V
290 \Мп1пТ 1п1п1пТ 2п 4 V 300 V 1п1пТ 1п1п1пТ'
означающие, что все промежутки (¿^, ^ + Л,) содержатся в Ео, а все промежутки (т^ — Л,, т^) — в Е1. Для завершения доказательства осталось заметить, что построенные промежутки попарно не пересекаются, и поэтому
шев(Еу) ^кН^ 0, 4 • ТН~1И = 0,4 -Техр (1пТ)_0>5(1п 1пГ)~1, ¿ = 0,1.
Теоремы доказаны.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карацуба А.А., Королев М.А. Аргумент дзета-функции Римана // Успехи матем. наук. 2005. 60, № 3(363). 41-96.
2. Королев М.А. О больших значениях функции £(¿) на коротких промежутках // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, № 1. 115-124.
3. Трост Э. Простые числа. М.: Физматлит, 1959.
4. Карацуба А.А., Королев М.А. Поведение аргумента дзета-функции Римана на критической прямой // Успехи матем. наук. 2006. 61, № 3(363). 3-92.
Поступила в редакцию 31.05.2010
УДК 539.3:534
ФЛАТТЕР ВЯЗКОУПРУГОЙ ПОЛОСЫ И. А. Кийко1, А. В. Лунев2
Исследуется нестационарный панельный флаттер вязкоупругой полосы в условиях, когда давление аэродинамического взаимодействия определяется соотношениями, отличными от формул поршневой теории. Предполагается, что вектор скорости потока направ-
1 Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Лунев Андрей Вячеславович — асп. каф. высшей математики МГТУ (МАМИ), e-mail: [email protected].
лен параллельно плоскости пластины, под углом к ее кромкам. Получены приближенные оценки значений критической скорости флаттера.
Ключевые слова: флаттер, полоса, вязкоупругость.
The unsteady panel flutter of a viscoelastic strip is studied under the conditions when the pressure of aerodynamic interaction is specified by the relations distinct from the piston theory formulas. It is assumed that the flow velocity vector is directed in parallel to the plate plane at an angle to its edges. Some approximate estimates of the critical flutter speed are obtained.
Key words: flutter, strip, viscoelasticity.
В подавляющем большинстве работ по исследованию устойчивости полосы, обтекаемой потоком газа, для определения давления аэродинамического взаимодействия Ар используется так называемая поршневая теория. Среди публикаций, в которых обсуждается более строгий подход к определению, следует прежде всего отметить статьи [1—4], обзор [5], а также работы последних лет [6-8], где исследуются колебания и флаттер пластин в рамках непоршневой теории в условиях поперечного обтекания. Эти результаты относятся к упругой пластине. Флаттер вязкоупругой пластины впервые был рассмотрен в [9, 10], где показано, что критическая скорость флаттера не зависит от "вязких" свойств материала пластины и примерно вдвое меньше скорости, определяемой по мгновенному модулю. В [11] этот парадоксальный результат существенно уточнен: нижняя граница критической скорости соответствует длительному модулю. В [12, 13] обнаружены новые эффекты: на нескольких примерах показано, что критическая скорость флаттера определяется по мгновенному модулю, а скорость дивергенции — по длительному. В предлагаемой статье исследуется флаттер вязкоупругой полосы, края которой жестко закреплены, и учитываются небольшие отклонения вектора скорости потока от нормали к кромке. Используются обобщенные формулы поршневой теории для избыточного давления. Результаты расчетов с большой точностью повторяют полученные в [12, 13].
Рассмотрим вязкоупругую полосу, которая занимает в прямоугольной системе координат область S = {(ж; y) | 0 ^ x ^ I, —то < y < то} .В области x < 0 полоса обтекается потоком газа с вектором скорости и = и По, no = (cos 0;sin0), параллельным плоскости полосы, и с невозмущенными параметрами ро, ро, ao (соответственно давление, плотность и скорость звука).
Предполагается, что материал полосы линейный вязкоупругий, напряжение связано с деформацией равенством
t
-т)e(r) dr ) =£0(l-riW
а = Eo (e(t) — J r(t — r)e(r) dr) = E0(l — ri)e(t),
а ядро релаксации Г(£) содержит только экспоненциальные слагаемые вида ек ехр(—0к¿), Ео — мгновенный модуль.
В качестве уравнения, описывающего колебания полосы в непоршневом случае, выберем "упрощенное" уравнение колебаний, не содержащее интегральных слагаемых. Это уравнение в безразмерных координатах х/1, у/1 и безразмерном времени £ = ао¿/I можно представить в следующем виде (за безразмерными координатами и временем сохраняем прежние обозначения) [12, 13]:
т, ч Л 2 Мх / дш МХ - 2 _ дш\
1 - ГОД2«; + Аг х [Мх — + —|—- Му—) + у/М% - 1 \ дх М%- 1 ду )
д2и, МХ(М2 - 2) ди, + М~дР+М (М2 - 1)3/2 Ж = (!)
и з
Здесь М = —; Мх = Мсозв] Му = Мвт0; Аг = (,оаЦЕ0) • 12(1 - и2) (1/к) ■ А2 = (,оа20/Е0) • 12(1 -ао
2 3 ~ ~
V2) (1/Н) ; Г1 = ^ ек ехр(—0к^); ек = ек 1/а0; вк = вк1/а0, к = 1, 2, 3; V — коэффициент Пуассона; Н — к=1
толщина пластины.
Уравнение (1) исследуем при граничных условиях заделки кромок полосы
х = 0, ш = 0, ш'х = 0; х = 1, ш = 0, ш'х = 0
и начальных данных, определяемых типом возмущения.
Задача состоит в том, чтобы определить наименьшее значение "скорости" потока М*, такое, что при М < М* возмущенное движение будет устойчивым, а при М > М* — неустойчивым. Для прогиба полосы выберем приближение вида (а — параметр волнообразования)
w(x,y,t) = (Ci(í)^>i(x) + C2(í)^2(x)) ■ exp(wí - iay),
(2)
здесь (x) = K4 (Л1ж) — b (A1) K3 (Л1ж), (x) = K4 (A1 x) — b (Л2) K3 (Л2x), Km (x) — известные балочные функции:
K\ (x) = - (cosh (x) + cos (x)), K2 (x) = - (sinh (x) + sin (x)),
2
^з (ж) = ^ (cosh (x) — cos (x)), K4 (x) = i (sinh (x) — sin (x)),
Ai = 4,73004, Л2 = 7,85320, b (A) = K3(A)/K2(A).
Теперь подставим (2) в (1), применим преобразование Лапласа по времени и стандартную проекционную процедуру Бубнова-Галеркина. В результате получим систему однородных линейных уравнений относительно образов Ck(s) коэффициентов Ck(t) (s — параметр преобразования Лапласа). Устойчивость колебаний полосы связана с поведением корней определителя этой системы уравнений.
Колебания полосы асимптотически устойчивы, когда для всех корней характеристического определителя выполняются условия Re Sk < 0; если же для какого-то из корней Re sm > 0, решение асимптотически неустойчиво. Границе областей устойчивости и неустойчивости отвечает случай, когда Re Sk < 0, при условии, что остальные корни определителя расположены в левой полуплоскости.
Конкретные расчеты проводились для следующих значений параметров: po/Eo = 5 ■ 10-7; р = 8 х 103 кг/м3; y = 1,4; ao = 330 м/с. Предполагалось, что ядро релаксации содержит три слагаемых с параметрами £1 = 10-2, £2 = 10-1, £3 = 1, f3k = 10 £k.
Для сравнительных расчетов в поршневой теории использовалось традиционное уравнение колебаний вязкоупругой полосы [12]
dw
dw
(1 - Ti)A2w + Ai[Mx —--Ь My —— + Ai — + A
dx
dy
dw
dt
d2w
0,
которое следует из (1) в предельном случае при больших сверхзвуковых скоростях потока. Значения критической скорости флаттера при поперечном и "близком" к поперечному обтеканиям вязкоупругой полосы приведены в табл. 1, где М* — критическая скорость флаттера вязкоупругой полосы в непоршневой теории, Мо — критическая скорость флаттера, определяемая по мгновенному модулю в непоршневой теории (в ограничениях Мх > \/2, Му < 1); принято, что 1/Н = 250, I = 0,25 м.
Таблица 1
Как и в поршневом случае, с отклонением вектора скорости потока от поперечного направления наблюдается возрастание критической скорости флаттера до некоторого наибольшего значения. С дальнейшим ростом угла поворота значения критической скорости начинают убывать, причем разница между критической скоростью флаттера вязко-упругой полосы и критической скоростью флаттера, определяемой по мгновенному модулю, практически незаметна.
В табл. 2 приведены результаты расчетов критической скорости М* флаттера вяз-коупругой полосы в непоршневой теории и критической скорости флаттера Мо в поршневой теории (в ограничениях Мх > \/2, Му < 1), приняты те же геометрические параметры.
Результаты расчетов показывают, что критическая скорость флаттера вязкоупругой полосы в рамках непоршневой теории практически не отличается от критической скорости, рассчитанной по мгновенному модулю упругости.
Угол обтекания в, град. М* для вязкоупругой полосы Мо для упругой полосы
0 4,0138 4,0139
1 4,0144 4,0145
3 3,2391 3,1976
4 2,3573 2,3223
5 1,8664 1,8319
Таблица 2
Угол обтекания в, град. М* для вязкоупругой полосы Мо для упругой полосы
0 4,0138 4,0151
1 4,0144 4,1457
3 3,2392 3,2115
4 2,3573 2,3294
5 1,8664 1,8340
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Garric I.E., Rubinow S.E. Flutter and oscillating air-force calculations for an airfoil in a two-dimensional supersonic flow // NACA. 1946. Report N 846.
2. Nelson H.C., Cunningham H.J. Theoretical investigation of flutter of two-dimensional flat panels with one surface exposed to supersonic potential flow // NACA. 1956. Report N 1280.
3. Yang T.Y. Flutter of finite element panels in supersonic potential flow // AIAA Journal. 1975. 13, N 11. 15021507. (Пер. с англ.: Исследование флаттера панелей в сверхзвуковом потенциальном потоке методом конечных элементов // Ракетная техника и космонавтика. 1975. 13, № 11. 110-117.)
4. Дун Мин-Дэ. Об устойчивости упругой пластинки при сверхзвуковом обтекании // Докл. АН СССР. 1958. 120, № 4. 726-729.
5. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела. Итоги науки и техники. Т. 11. М.: ВИНИТИ, 1978. 67-122.
6. Веденеев В.В. Флаттер пластины, имеющей форму широкой полосы, в сверхзвуковом потоке газа // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2005. № 5. 155-169.
7. Веденеев В.В. О высокочастотном флаттере пластины // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2006. № 2. 163-172.
8. Кийко И.А., Показеев В.В., Кадыров А. К постановке задач об аэроупругих колебаниях пластины // Изв. ТулГУ. Сер. Матем. Механ. Информ. 2007. 13, вып. 2. 91-97.
9. Ларионов Г.С. Нелинейный флаттер упруговязкой пластины // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1974. № 4. 95-100.
10. Матяш В.И. Флаттер вязкоупругой пластинки // Механ. полимеров. 1971. № 6. 1077-1083.
11. Кийко И.А. Флаттер вязкоупругой пластины // Прикл. матем. и механ. 1996. 60, вып. 1. 172-175.
12. Кийко И.А., Показеев В.В. Колебания и устойчивость вязкоупругой полосы в потоке газа // Докл. РАН. 2005. 401, № 3. 342-344.
13. Показеев В.В. Флаттер упругой или вязкоупругой пластины в непоршневой теории колебаний // Пробл. маши-ностр. и автоматиз. 2008. № 1. 77-80.
Поступила в редакцию 13.05.2009
УДК 51-72
ОПТИМАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ В ЗАДАЧЕ ОДНООСНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ СПУТНИКА ПРИ НАЛИЧИИ ФАЗОВЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ
В.В. Александров1, В.В. Черемисин2
Рассматривается задача оптимальной стабилизации тангажных колебаний спутника. Для редуцированной системы формулируется задача оптимального управления с фазовыми ограничениями и устанавливается область управляемости. С целью определения оптимальных траекторий, в том числе характера взаимодействия траектории с границей фазового ограничения и числа граничных участков, используется необходимое условие оптимальности (принцип максимума в задаче с фазовыми ограничениями). В полученной области строится оптимальный синтез.
Ключевые слова: стабилизация углового движения спутника, фазовые ограничения, необходимое условие оптимальности, оптимальный синтез.
The optimal stabilization problem for the pitching oscillations of a satellite is considered. For the reduced system, an optimal control problem with phase constraints is formulated and a controllability domain is constructed. A necessary optimality condition (the maximum principle for the optimal control problem with phase constraints) is used to determine optimal trajectories, the nature of interaction between a trajectory and the phase constraint boundary,
1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Черемисин Владимир Владимирович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: cheremisin [email protected].
