О физической адекватности процедуры конденсации на элементе q 16 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.3

ПИ. ГУЧЕК1, ВВ. КРЮЧКОВСКИЙ1, АН. ХОМЧЕНКО2

'Херсонский национальный технический университет 2Черноморский государственный университет им. Петра Могилы

О ФИЗИЧЕСКОЙ АДЕКВАТНОСТИ ПРОЦЕДУРЫ КОНДЕНСАЦИИ

НА ЭЛЕМЕНТЕ Q16

Показано, как устранить "дутую" моду (термин Галлагера) на серендиповом элементе Q16 и приведены конкретные примеры физически адекватных моделей, свободных от отрицательных значений в поузловом распределении равномерной массовой силы.

Ключевые слова: конечные элементы, серендипово семейство, "дутая"мода, базисные функции.

P.I. GUCHEK1, V.V. KRIUCHKOVSKY1, A.N. KHOMCHENKO2

'Kherson National Technical University 2Petro Mohyla Black Sea State University

ON PHYSICAL ADEQUACY OF THE PROCEDURE OF CONDENSATION ON AN ELEMENT Q16

Annotation

It is shown how to remove the "blown" mode (Gallagher term) on the serendipity element Q16 and the actual examples ofphysically adequate models, free from negative value in node-by-node distribution of equal bulk force are given.

Key words: finite elements, serendipity family, "blown" mode, basis functions.

Введение. В серендиповом семействе конечных элементов наименее изученным и наиболее загадочным является элемент 4-го порядка (quartic). В англоязычных источниках серендиповы элементы обозначают Q4, Qg, Q12, Q16, т.е. четырехугольники, имеющие на границе соответственно 4, 8 12, 16 равномерно расположенных расчетных узлов (включая вершины). В отличие от лагранжевых серендиповы модели не имеют внутренних узлов. В этом их особенность и важное преимущество. Геометрическая изотропия и правила матричной алгебры сделали неизбежным добавление 17-го узла в центре Q16. Так появился странный элемент, который перестал быть лагранжевым, утратив 8 внутренних узлов, а серендиповым так и не стал. Такая специфическая идеализация модели усугубляет физическую неадекватность интегральных характеристик. Если на Qg и Q12 неестественное "гравитационное отталкивание" испытывают только угловые узлы, то на Q16 к ним присоединилась группа узлов на серединах сторон квадрата. По меткому выражению академика Л.И. Мандельштама, модель мстит за идеализацию.

Анализ предшествующих публикаций. Мы уже обсуждали проблему 17-го узла в работах [1, 2] и считаем, что 17-й узел не нужен для оснащения Q16 подходящим базисом (из 16-ти функций формы). Однако, если заинтересованный читатель пользуется источником [3], где приведены 17 базисных функций, мы покажем здесь, как превратить 17-узловой Q16 в своеобразный генератор множества серендиповых элементов Q16 с 16-ю узлами на границе.

Наша цель - показать, как устранить "дутую" моду (термин Галлагера) [4] и привести конкретные примеры физически адекватных моделей, свободных от "негативизма" в спектре узловых нагрузок.

Основная часть. На рис. 1 показан центрированный конечный элемент 4-го порядка.

4 10 15 9 3

11

16

12

14

1 5 13 6 2

Рис. 1. Элемент Qj6 с 17-ю узлами

8

7

Базисные функции этого элемента приведены в [3], правда, с опечатками, которые здесь устранены.

Чтобы составить полное представление о базисе из 17 функций, достаточно выписать только четыре из них, например, х, у) , х, у), Ы^(х, у) и Ы^(х, у) . Типичные функции имеют вид:

N (х, у) = 1 (1 - х)(1 - у) (4х(1 - х2 )+ 4у(1 - у 2 )+ Эху), аналогия в узлах 2, 3, 4;

М5(х,у) = |(1 - х2)(2х2 - х)(1 - у), (1)

аналогия в узлах 6, 7, ..., 12;

^хэ(х,у) = 1 (1 - х2)(4х2 + у)у -1),

аналогия в узлах 14, 15, 16;

Ып(х, у) = (1 - х2 )(1 - у2).

Напомним, что базисные функции удовлетворяют требованиям интерполяционной гипотезы Лагранжа:

[1, г = к, 17 / ч

N (хк, ук ) = <!_.. Е N (х, у) = 1, (2)

1°,1 * к; .=1

где г - номер функции; к - номер узла.

Спектр узловых нагрузок рг вычисляется по формуле интегрального среднего (типа Ньютона-

Котеса):

Рг = 1Я Ы у , (3)

Л В

где В - область интегрирования (х| < 1, |у| < 1); ^ - площадь области В.

Вычисления по формуле (3) дают следующий спектр узловых нагрузок элемента 016 (17 узлов):

р =—— , г = 1,2,3,4; р = -32; г = 5,6,...,12; р =—28 ; г = 13,...,16; р17 = -80.

18° 18° 18° 18°

Противоестественность такого распределения очевидна. Узлы в вершинах квадрата и на серединах сторон испытывают "гравитационное отталкивание".

Исключение внутреннего узла называют конденсацией (редукцией). Можно предложить множество "рецептов" конденсации. В основе конденсации лежит метод вариации внутреннего параметра [5]. В нашей модели (рис. 1) один внутренний узел, поэтому формула конденсации имеет вид:

N (х, у) = (х, у) + агЫ17(х, у); г = 1,16. (4)

Понятно, что весовые коэффициенты аг следует подбирать так, чтобы устранить отрицательные нагрузки в спектре {рг-}. Заметим, что (4) позволяет теоретически построить распределение, совпадающее с эмпирическим, полученным путем компьютерного экспериментирования с блуждающими частицами и поглощающими узлами на границе. Такие задачи называют обратными, когда по заданному спектру отыскивают базис, реализующий этот спектр. Здесь не ставится задача получить эмпирический спектр, хотя, соблюдая условие р < Р5 < рэ, мы делаем спектр более реалистичным. Важно понять, что формула (4) систематически генерирует альтернативные базисы. Рассмотрим некоторые варианты конденсации.

Для варианта I выберем весовые коэффициенты следующим образом:

Э 5 12

а= —, г = 1,2,3,4; а=--; г = 5, 6, ...,12; а,-= —; г = 13, ...,16.

г 2° г 2° 2°

При этом типичные функции имеют вид:

Ы"(х, у) = ^ (1 - х)(1 - у) (29х - 2°хЭ + 29у - 2°уЭ + 24ху + 9),

N5 (х, у) = 1 (1 - х2 )(1 - у)(16х2 - 8х - Эу - э), (5)

N13 (х, у) = ^ (1 - х2 )(у - 1)(20х2 - у - б) .

На рис. 2 показан спектр узловых нагрузок.

I 12

180

12 180

1

20

1

180 180 180

Рис. 2. Спектр узловых нагрузок (вариант I)

Для варианта II возьмем: 4

' 20 Типичные функции:

г = 1, 2, 3, 4; а,- = -

6_ 20

г = 5, б, ...,12; а =

13

20 ;

г = 13,..., 1б.

N

1 (х, у) = -1 (1 - х)(1 - у) (з2х - 20х3 + 32у - 20у3 + 27ху +12)

N5 (х, у) = ^ (1 - х2 )(1 - у )(40х2 - 20х - 9у - 9) N13(х, у) = ^ (1 - х2 )(у - 1)(40х2 - 3у -13) .

(6)

Спектр показан на рис. 3.

5

10 180

24

10 180

5

180 180 180

Рис. 3. Спектр узловых нагрузок (вариант II)

Для варианта III:

7 11 25

а= — , г = 1,2,3,4; а,-=--; г = 5, б, ...,12; а= — ; г = 13, ...,16.

40 г 40 40

Типичные функции:

N

1(х,у) = ^(1 - х)(1 - у) (б1х - 40х3 + б^у - 4^у3 + 51ху + 21)

N5 (х, у) = ^ (1 - х2 )(1 - у)(1б0х2 - 80х - 33у - 33) , N13(х,у) =1 (1 - х2 )(у - 1)(80х2 - 5у - 25).

40'

Спектр узловых нагрузок - на рис. 4.

I 10

180

10 180

3

22

3

180 180 180

Рис. 4. Спектр узловых нагрузок (вариант III)

(7)

Важный вывод: на элементе 016 существует множество базисов, удовлетворяющих условиям (2) и обеспечивающих межэлементную непрерывность поля. Как обычно, интерполяционный полином

1. Хомченко А.Н. Чи потрiбний 17 вузол серендиповому елементу 4-го порядку? / А.Н. Хомченко, С.О. Камаева // Вестник Херсонского национального техн. университета. Вып. 2(35). — Херсон: ХНТУ, 2009. — С. 455—461.

2. Астионенко И.А. Серендиповы аппроксимации: поучительные ошибки и контрпримеры. / И.А. Астионенко, Е.И. Литвиненко, А.Н. Хомченко // Научные ведомости Белгородского госуд. ун-та. Математика. Физика. — №11 (130) . Выпуск 27. — Белгород: БелГУ, 2012. — С. 110-115

3. Akin J.E. Finite Elements Analysis with Error Estimators /J.E. Akin. — Elsevier, ButterworthHeinemann, 2005. — 477 p.

4. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. — М.: Мир, 1984. — 428 с.

5. Хомченко А.Н. Неузловые параметры и адекватные модели серендиповых элементов / А.Н.Хомченко, К.В. Рим // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серiя: Техшчш науки. Зб. наук. праць. — Кам.-Под.нац. ун-т: Кам.-Подшьський, 2012. - С. 222-227.

имеет вид:

16

(8)

г=1

где - узловые значения интерполируемой функции.

Понятно, что в рамках матричной алгебры альтернативных базисов не существует.

Литература