Конечные элементы высших порядков и барицентрическая конденсация Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

И.А. АСТИОНЕНКО1, Е.И. ЛИТВИНЕНКО1, АН. ХОМЧЕНКО2

'Херсонский национальный технический университет 2Черноморский государственный университет им. Петра Могилы

КОНЕЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И БАРИЦЕНТРИЧЕСКАЯ КОНДЕНСАЦИЯ

Рассмотрена процедура конденсации (редукции) как инструмент "мягкого" моделирования в конструктивной теории серендиповых аппроксимаций. Метод барицентрической конденсации позволяет на предварительном этапе (до составления матричных уравнений) преобразования лагранжевой модели в серендипову путем исключения внутренних степеней свободы устранить возможную неадекватность спектров узловых нагрузок. Ключевая идея метода состоит в концентрации информации о всех внутренних степенях свободы в единственной точке (барицентре КЭ). Унимодальную функцию проще распределить по граничным узлам. Весовые коэффициенты можно подобрать так, чтобы интегральные характеристики граничных базисных функций обладали наперед заданными свойствами. Это позволяет обновлять математическое обеспечение МКЭ за счет новых моделей серендипова семейства.

Ключевые слова: конечные элементы, серендипово семейство, базисные функции, барицентрическая конденсация.

1.А. ASTIONENKO1, YE.I. LITVINENKO1, A.N. KHOMCHENKO2

'Kherson National Technical University 2Petro Mohyla Black Sea State University

FINITE ELEMENTS OF HIGHER ORDERS AND BARYCENTRIC CONDENSATION

Annotation

Scope of the research is the designing of irregular serendipity elements.

Subject is the procedure of condensation (reduction) as the instrument of "soft" modelling in the constructive theory of serendipity approximations.

Purpose of the research is to describe the key ideas and algorithm of barycentric condensation for serendipity elements of higher orders.

Condensation (reduction) is transformation of Lagrange elements to serendipity elements by way of excluding the internal degrees of freedom.

It is generally taken that the main purpose of condensation is lowering the dimension of a problem. Under standard approaches, as a rule, internal nodes are excluded together with non-nodes parameters. This approach leads to physically inadequate models: on the square element of the second order - condensation according to Jordan (1970), on the triangle of the third order - condensation according to Ciarlet-Raviart (1972).

Method of barycentric condensation allows on the preliminary stage (before composing matrix equations) of transformation of the Lagrange model into serendipity one to remove the possible inadequacy of node loads spectra.

It is important to note, that barycentric condensation formula is the producer of many alternative basises of serendipity family.

The key idea of the method consists in concentration of information about all internal degrees of freedom in a single point (barycentre of finite elements). It is easier to arrange the unimodal function among boundary nodes. One can assort the weight coefficients so that integral characteristics of boundary basis functions possessed the properties assigned in advance. It allows to update the mathematical support of finite elements method by means of new models of serendipity family.

Key words: finite elements, serendipity family, basis functions, barycentric condensation.

Введение. Принципиальное различие между методом конечных элементов (МКЭ) и классической техникой Ритца-Галеркина лежит в построении базисных функций. В МКЭ базисные функции финитные, а их носители - это элементарные подобласти, на которые делится расчетная область. Самое широкое распространение получили треугольные и квадратные носители. На примере МКЭ мы видим, как глубоко в историю уходят корни современных методов компьютерной математики. Оказывается, треугольники и квадраты, несущие определенное количество узловых точек, использовались еще в VI веке до н.э. в знаменитой школе Пифагора. Пифагорейцы применяли их для геометрической интерпретации так называемых треугольных и четырехугольных чисел. Во второй половине ХХ столетия создатели лагранжева семейства КЭ сохранили форму и расположение расчетных узлов, оснастив отдельный элемент специальным набором полиномов (базисом Лагранжа), позволяющим решать сложные задачи математической физики. Со временем стало понятно, что в МКЭ внутренние узлы нежелательны, хотя в методе контрольных объемов все наоборот. Попытки устранить внутренние узлы (неузловые параметры по терминологии Зенкевича или "дутые" моды по терминологии Галлагера) привели к открытию стандартных базисов серендиповых КЭ (1968 г.). В 1982 г. методом прямого (геометрического) конструирования были получены первые нестандартные (альтернативные) модели

серендиповых КЭ. За последние 20 лет в теории серендиповых аппроксимаций разработаны достаточно простые и эффективные методы полного исключения (конденсации) внутренних узлов, хотя в литературе по МКЭ до сих пор сохраняется ошибочное утверждение, что избавиться от внутренних узлов удается не всегда. В качестве примера обычно приводят двумерный элемент , в котором не удалось избавиться от 17-го узла в барицентре. Именно этот пример стимулировал наши поиски универсальной процедуры барицентрической конденсации, которая описана ниже.

Анализ предшествующих публикаций. Обычно [1-3] под термином конденсация (редукция) понимают снижение размерности разрешающей системы уравнений МКЭ при помощи исключения некоторых степеней свободы. Вот что по этому поводу пишут авторы [3]: "из каждого матричного уравнения для элемента можно исключить узловой параметр, относящийся к центру масс. Эта процедура называется конденсацией и может быть использована в общем случае для исключения параметров любых узлов, лежащих внутри КЭ". Может быть, это просто предрассудок авторов, но кажется разумным конденсировать заранее, т.е. до составления матричных уравнений. Так можно избежать нежелательных последствий конденсации, когда за снижение размерности задачи приходится платить утратой физической адекватности спектра узловых нагрузок КЭ. Примеры неудачных "рецептов" конденсации хорошо известны [4]: на квадратном КЭ это "рецепт" Джордана (1970 г.), а на треугольнике - "рецепт" Сьярле-Равьяра (1972 г.). Как можно исправить ошибки Джордана и Сьярле-Равьяра мы показали в [5-7]. Опыт показывает, что проще всего осуществить однопараметрическую конденсацию, когда модель содержит единственный узел (в барицентре). Намного сложнее избавиться от нескольких внутренних узлов, как это бывает в КЭ высших порядков. Оказалось, что процедуру конденсации на элементах высших порядков можно унифицировать, заменив элемент с несколькими внутренними узлами эквивалентным элементом с единственным узлом в барицентре. Такую конденсацию естественно называть барицентрической. Настоящая работа обобщает идею барицентрической конденсации на случай нескольких внутренних узлов.

Цель работы - описать простой и удобный математически обоснованный и физически адекватный метод барицентрической конденсации, преобразующий элементы лагранжева семейства в элементы серендипова семейства. Рассматриваются элементы 2-го, 3-го и 4-го порядков.

Основная часть. На рис. 1 приведены геометрические образы треугольных и квадратных чисел.

Л

А А А

10 15

1

3

6

9 16 25

Рис. 1. Геометрия треугольных и квадрат ных чисел

1

4

Читатель, знакомый с МКЭ, легко узнает здесь элементы лагранжева семейства. В центре нашего внимания находятся элементы нижнего ряда, освобожденные от внутренних узлов. В англоязычных публикациях эти элементы обозначают Q4, Qg, Q12 и , где Q4 - первая буква слова quadrilateral, далее указано количество граничных узлов. Заметим, что относительно последней модели Qjg уже стало привычным [8, 9] утверждение о необходимости 17-го узла в барицентре КЭ, а в книге [10] даже приведен базис такого КЭ, содержащий 17 полиномов (псевдосерендипов базис).

Наиболее просто и естественно выглядит барицентрическая конденсация на элементе второго порядка Qg. На рис. 2 показаны нумерация узлов и узловые нагрузки от единичной массовой силы.

х -1

Ы -1.

1 5 2

Рис. 2. Номера узлов и узловые нагрузки элемента 2-го порядка Из 9-ти функций лагранжева базиса нам потребуются только следующие три:

Ь1 (X, у) =1 (1 - хХ1 - у) ху,

и

^(х, У) = 11 - х2 )(у - 1)у, (1)

Ьо(х, у) = (1 - х2 )(1 - у 2). Остальные функции легко получить из и (х, у) и Ь5 (х, у). Напомним, что узловые нагрузки вычисляются по формуле типа Ньютона-Котеса:

р= 1 ДО и (х у) йхйу,

(2)

и

где S - площадь области Б, Ь^ (х, у) - базисная функция.

Функции серендипова базиса получаются из соответствующих функций лагранжева базиса в виде линейной комбинации:

Щ(х у) = и (x, у) + аг • Ь0 (x, у), (3)

где а I - весовые коэффициенты; Ьо (х, у) - корректирующая функция, которая ассоциируется с барицентром. В случае Qg эта функция не отличается от базисной функции лагранжевой модели. На моделях Ql2 и Qlg максимальная аппликата унимодальной поверхности в барицентре превосходит единицу.

Формула (3) в методе барицентрической конденсации является ключевой. Она способна генерировать множество базисов серендипова семейства. При этом все функции удовлетворяют интерполяционной гипотезе Лагранжа. Однако физическая адекватность серендиповой модели существенно зависит от весов а у. Нетрудно убедится, что стандартный базис Эргатудиса, Айронса, Зенкевича получается из (3) по "рецепту" Джордана [4]:

- -1, г = 1, 2, 3, 4; 4'

-1, г = 5,6,7,8; 2

узловые нагрузки р^ =

- —, г = 1, 2, 3, 4; 12

-1, г = 5,6,7,8. 3

В этой статье нас больше интересует спектр узловых нагрузок, нежели явные выражения базисных функций. Как видим, стандартный базис реализует противоестественное распределение. Теперь приведем простой пример физически адекватной модели элемента 2-го порядка:

8

, для всех г ; узловые нагрузки Ру =

—, г = 1, 2, 3, 4; 12

-1, г = 5,6,7,8. 6

Мы получим такой же спектр, если представим модель в виде 4-х сочленённых стержней, на каждом из которых "работает" правило Симпсона.

4

7

3

8

6

аг =<

1

а г =

Далее перейдем к элементу 3-го порядка Ql2 (рис. 3).

4 10 9 3

11

12

И -1 М -1.

15 6 2

Рис. 3. Элемент Ql2, крестиком обозначены исключенные узлы

Для конструирования базиса Ql2 по формуле (3) мы используем две функции лагранжева базиса и одну корректирующую функцию:

Ь

1(и, У) = ±- (1 - и)(1 - у)Ц -9и2 Л -9у 2),

256

(И' У) = 2^ (1 - Х 2 )(1 - ЗХ)(9У 2 -1)

Ьо(и, У) = Ц (1 - и2 )(1 - у 2 ).

(4)

Теперь в барицентре сконцентрирован суммарный ресурс 4-х внутренних узлов. Поэтому максимум корректирующей функции превосходит единицу. Корректирующая функция реализует в

36

барицентре нагрузку Ро = —. Задача конденсации заключается в правильном распределении

64

барицентрической нагрузки между граничными узлами. В качестве примера приведём самый простой "рецепт" конденсации (равномерное распределение):

1

а ^ = — , для всех г ; узловые нагрузки Рг =

—, г = 1,2,3,4; 16

—, г = 5, ...,12. 32

Элемент 4-го порядка изображен на рис. 4.

4

10

15

11 16

12

8 14

7

И -1'

|у| -1.

1 5 13 6 2

Рис. 4. Элемент Ql6, крестиком обозначены исключенные узлы

8

7

Ь

5

3

Для конструирования базиса нам требуются три функции лагранжева базиса того же порядка и одна корректирующая функция:

Ь1( х, у) = ^ (1 - х)(1 - у)(1 - 4 х2 )(1 - 4 у2 ) ху,

Ls L

(x, у) = 2(l - X2 )(2x -1) x (1 - y)(l - 4y2 ) y, 13(X, у) = 1 (l - X2 )(l - 4x2 )(l - у)(l - 4у2)у, Lo( x, у) = ^ (l - x 2 )(l - у 2 ).

225

Высота барицентрической моды отрегулирована так, чтобы не нарушать весовой баланс. Это означает, что барицентр аккумулирует все нагрузки внутренних узлов.

Для Ql6 мы покажем два варианта конденсации, обеспечивающие физическую адекватность спектра узловых нагрузок. Первый "рецепт":

3

—, i = l, 2, ...,l2; 76

—, i = l3,l4,l5,l6; 76

узловые нагрузки Pi =

277

8l00 452

8l00 844

Второй "рецепт":

—, i = l, 2, 3, 4; 76

—, i = 5,..., l2; 76

—, i = l3,..., l6. 76

узловые нагрузки Pi =

8l00 20l

8l00 452

8l00 920

;l00

i = l, 2, 3, 4;

i = 5, ...,l2;

i = l3,...,l6.

i = l, 2, 3, 4;

i = 5, ...,l2;

i = l3,...,l6.

Выводы. Утверждение специалистов о том, что одинаковые узловые точки должны приводить к одинаковым многочленам, справедливо только для лагранжевых моделей. Для серендиповых моделей это не так, хотя неединственность приближения была замечена не сразу. Есть основания полагать, что метод барицентрической конденсации пригоден для треугольников высших порядков.

1. 2.

3.

4.

5.

6.

7.

9.

Литература

Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. — М: Мир, 1977. — 349 с. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы / Р. Галлагер. — М.: Мир, 1984. — 428 с. Норри Д. Введение в метод конечных элементов /Д. Норри, Ж. де Фриз. — М.: Мир, 1981. — 304 с. Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчелл, Р. Уэйт. — М.: Мир, 1981.— 216 с.

Хомченко А.Н. Неузловые параметры и адекватные модели серендиповых элементов /А.Н. Хомченко, Е.В. Рым // Математичне та комп'ютерне моделювання. Серiя: Техшчш науки. Зб. наук. праць. — Кам.-Под. нац. ун-т: Кам.-Подшьський, 2012. - Вип. 7 - С. 222-227. Ковалюк Д.В. Примеры адекватной статической конденсации на треугольном элементе четвертого порядка / Д.В. Ковалюк, А.Н. Хомченко // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. — Херсон: ХНТУ, 2013. - Вып. 2 (47). - С. 155-158.

Литвиненко Е.И. Внутренние моды конечных элементов: преобразование лагранжевых моделей в серендиповы / Е.И. Литвиненко, А.Н. Хомченко // Вестник Херс. нац. техн. ун-та. — Херсон: ХНТУ, 2012. - Вып. 2 (45). - С. 205-210.

Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / О. Зенкевич. — М.: Мир, 1975. — 541 с. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method /O.C. Zienkiewicz, R.L.Taylor. — V.1. — ButterworthHeinemann, 2000. — 689 p.

Akin J.E. Finite Elements Analysis with Error Estimators /J.E. Akin. — Elsevier, Butterworth-Heinemann, 2005. — 477 p.

a i =<

a i =<