О ДВОЙСТВЕННЫХ ПРОЕКТИВНЫХ СВЯЗНОСТЯХ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Bourguignon J.-P., Gauduchon P. Spineurs, Operateurs de Dirac et Variations de Metriques // Comm. Math. Phys. 1992. 144. P. 581 - 599.

5. Билялов Р. Ф. Законы сохранения для спинорных полей на римановых пространственно - временных многообразиях // Теор. и мат. физика. 1992. Т. 90. № 3. С. 369 -379.

6. Билялов Р.Ф. Симметрический тензор энергии-импульса спинорных полей // Теор. и мат. физика. 1996. Т. 108. № 2. С. 306 - 314.

R.F. Biyalov SPINORS ON RIEMANNIEN MANIFOLDS

The spinor representation of the orthogonal group O(n) is expanded to the action of the general linear group GL(n) on the tensor product of the metric tensor space and of the spinor space. This extension permits to consider the spinors in arbitrary tetrads and in coordinates. The spinors turn to the elements of the bundle, associated to principle bundle of linear tetrads. The constructions of the covariant derivatives and of the Lie derivatives turn to the purely calculating problem.

УДК 514.75

С.Ю. Волкова

(Балтийский военно-морской институт)

О ДВОЙСТВЕННЫХ ПРОЕКТИВНЫХ СВЯЗНОСТЯХ 8-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1 2 3

Построены проективные линейные связности и, и, и оснащенного х-расслоения, ассоциированного с данным Б-распределением проективного пространства Рп. Получены охваты тензоров кривизны-кручения этих

связностей. Найдены аналитические условия совпадения связностей и

1 2

двойственности пространств проективной связности Рп,п-т-1, Рп,п-т-1.

Приведена их геометрическая интерпретация. Показано, что оснащение

голономного х-расслоения в смысле Картана индуцирует пространство

2 1 Рп,п-т-1 с нулевым кручением, двойственное Рп,п-т-1 .

Используется следующая схема индексов:

I, 1,К=1,и; а, в, у, е = т + 1,п -1; а, Ь=(1,ш;п); 1, ]=г + 1,т;

А = (1,г;т + 1,п); а, в = (0;т + 1,п-1);

§ 1. Первая проективная связность на оснащенном х-расслоении

Рассмотрим специальный класс трехсоставных распределений проективного пространства Рп [1], оснащающее М-распределение которого несет двухкомпонентную сопряженную систему (Л,Ь)-распределений плоскостей Л и Ь таких, что в каждом центре А0 при смещении одной из плоскостей Л(А0) и Ь(А0) вдоль линий, принадлежащих другой плоскости, она остается в плоскости М(А0). Такой класс трехсоставных распределений назван Б-распределениями. В репере 1-го порядка О1 Б-распределение задается уравнениями (без соответствующих замыканий этих уравнений):

п лп /А п т п и

© Р = Л1рА © ^ = Ь1и

„а = та ©К О»! - ,

©р=Л1рк©K, ©Р=трк©о1, ©а=нав©0, ©а=нак©о1, ©а=нак©К. (1)

Пусть х-расслоение (распределение характеристик М-распределения) оснащено в смысле Картана полем геометрического объекта

(уа,нп,20,2°п}[2], где

ууа +„а = уак © к, vнan+© п=нпк © к,

уг0 + © 0 = 20к® 0к, vzn +уа © а+ нп © аа + © 0п = гпк © к. (2)

Тогда х-расслоение индуцирует на Б-распределении линейную проективную связность, которая определена системой форм {©к, и | }. Слоевые

1 Р

формы иа соответствующего пространства проективной связности

1

Рп,п-т-1 [3], следуя работе [4], зададим следующим образом:

1 1 в

иа=©0- vа ©n, иа=©а-11

,0 _ т0 - 70„ а - Л0©п ,.0 = ©0 - „0© а - Л0^п

,.0_©0 ^„а Л 0©п ,Л0 — ©0 ^„а Л 0©п

и0 = ©0 - 2а©0 -ип©0 , иа = „а - 2а©а - ип©0, (3)

где

-0 70 г^тта . а 0 70 а . 0 -0 к ;л\

ип = Zn - ZаHn, + У п©а - Za©п + ©п = ипк©0 . (4)

Формы ©к, и1 а удовлетворяют структурным уравнениям Картана-Лаптева:

1 Р 17 1 Р 1 Р

тл I Ь I . 0 I 1 . К Ь

Бю0 = ю0 лаЬ +ю0 лю0, а иа = иал и + иакь ю0 лю0. (5)

1Р 1

Компоненты тензора кривизны-кручения иакь пространства Рп,п-т-1 в

уравнениях (5) имеют следующее строение:

1 в

00КЬ =иП5Пк5Ь] пVпНП[К5Ь] -М^5Ь] ПмП[к5Ь] -VП^08[К5Ь] + 205[к5РЬ] -VПСк5Ь],

1 в 0 О п п 0 а 0 а

иакъ=ипн ^[к5 Ь] -ипv Пн а[к5 Ь] + *°на[к5 Ь]- 20 v пнП[к5 Ь]+

+ на[кмв[Ь] -VП VпНПа[кН|у|Ь] -VПНа[кМ|а|Ь] -VП[кНПа|Ь]'

10 о а о о о 0 0 а Ь

иакЬ = ^[к^Ь] + Нп20[кМ|а|Ь] - ^[К^а]Ь] - 2п[КН|П|Ь] - ^Ь^К5Ь] -

- z°v п нпа[кнаУ| ь]-¿п^кМащ+ипн а[к5 Ь]+а[к5 Ь]+20на[к5 ь -vnн П[кнп ьр 10

и0кЬ =ипvпну[к5Ь] + ипМа[К5Ь] + 2аv¿Ну[к5Ь] + 2аНп[к5Ь] + Нп2а[к5Ь] -0 оп 0

2п[к 5 Ь] 2а[к 5 Ь].

Показано, аналогично [4], что линейная проективная связность Ц), определяемая системой форм (3), получена путем проектирования при помощи внутренне определенной оснащающей в смысле Картана плоскости Ст (V П) = [Ка,Кп], определенной объектом ^П ,нп ^^}. Аналогично работе [5] доказана

Теорема 1. На оснащенном в смысле Картана %-расслоении данного S-

распределения индуцируется первая линейная проективная связность Ц),

1 Р

определенная путем проектирования. Слоевые формы иа соответству-

1

ющего пространства проективной связности Рп,п-т-1 имеют вид (3), а компоненты тензора кривизны-кручения этого пространства определены формулами (6). При п^-1>2 при любом смещении центра A0 S-распределения оснащающая плоскость Ст(vn) Картана %-расслоения не выходит из нормали 1-го рода vп тогда и только тогда, когда она неподвижна. При этом плоскость Ст(vп) является плоскостью Кенигcа нор-

1

мали vп, а пространство Рп,п-т-1 является плоским.

§2. Двойственные проективные связности х-расслоения

1. Другую линейную связность проективного типа на оснащенном в смысле Картана х-расслоении можно задать согласно [3] системой форм {©0, э|}, где слоевые формы 0| получаются преобразованием вида:

еа

1 в

иа + Т

Р к ак ©0 .

(7)

ПолагаяТ0к = 0, Т0к = 0 и требуя, чтобы система слоевых форм ер удовлетворяла структурным уравнениям Картана-Лаптева [6], приходим к следующей системе уравнений:

уТак+т^ © 0=т

акш0

0 _ тР

акЬ © 0 Ь

Ь

0

^Таа + Т аа © 0 = ТааЬ© 0

ут ^ + Т ап ©0 - Т а„©1 - Т а©а = Т

-Р а _ ТР

Ь

ау^ п

апЬ ©0

УТ° + 2Т0©0 + Т?п©0 = Т° ©Ь

аР

аР 0 ^ аР у

арЬ 0

(8)

УТаа + 2Таа© 0 + Таа© 0 = ТааЬ© 0 ■

1аа^ у

утап+2тап © 0 - таУ©п - таь © ь+т у

ап © у

Т0 © Ь

Для х-расслоения с полем симметрического тензора н ар уравнениям (8), в силу (2) и уравнений

УаСРу + 2аару©0 = а^ь©Ь, УИ? -^©а +©0 = V©к,

удовлетворяют следующие охваты:

(9)

В формулах (9) в качестве тензора Т аа возьмем один из следующих охватов:

ТР ё5\>Р

г/ я — » г

МР + 2 8Р

аа — ' аа ±тхаа 1 ^а^с

ТР = АР = ИРу Ап

аа аа _ п уаа^

(10) (11)

где Апаа = Ипаа + ИуаМЬань Иуа2а, УАуаа + 2Ауаа©0 - 0

^уаа

1уаа

1уа

уа^ а;

ьуаа

1уааш0 2 Р

Формы еа (7) с охватами (9), (10) обозначим иа , а с охватами (9), (11) че-

з Р

рез иа. Соответствующие пространства с линейной связностью проектив-

2 3

ного типа обозначим через Рп,п-т-1 , Рп,п-т-1 . Слоевые формы этих пространств соответственно имеют следующее строение:

(12)

(13)

1 а

где и о = ю 0 - ИЩ ю П- Преобразование форм связности по законам (12), (13) обозначим соответственно через & 2 и . Аналогично [3], [5] доказано, что з-1 и 2-1 ^ X/ава = 0.

Теорема 2. Оснащенное в смысле Картана регулярное %-расслоение

данного S- распределения в Pn кроме первой линейной проективной связно-1

сти и (3) в случае симметрии ее основного тензора Н Ор индуцирует еще

2 3

две линейные проективные связности и, и , определяемые соответственно системами форм (12), (13), при этом: a) пространства проективной

1 3

связности Рп,п-т-1 и Рп,п-т-1 вся всегда двойственными; в) пространства 1 2

Рп,п-т-1 и Рп,п-т-1 двойственны тогда и только тогда, когда

//оса = М аа + 2а§а = 0. (14)

1 2 3

В этом случае все три пространства Рп,п-т-1 , Рп,п-т-1 , Рп,п-т-1 попарно двойственны между собой.

2. Пусть оснащенное в смысле Картана х-расслоение является голо-номным. В этом случае при смещении центра А0 Б- распределения вдоль интегральных кривых х-расслоения, имеем = ю0 = 0 и, следовательно,

1 а 2 3

и0 =ю0 - Ипюп = 0. Тогда из соотношении (12), (13) следует и = и, т.е.

2 3

связности пространств Рп-т-1,п-т-1 и Рп-т-1,п-т-1 совпадают. Отсюда, на

1 2

основании теоремы 2, следует, что пространства Рп-т-1,п-т-1 и Рп-т-1,п-т-1 всегда двойственны. В силу геометрической интерпретации голономности Х-расслоения [1] приходим к предложению.

Теорема 3. На оснащенных в смысле Картана, ассоциированных с S-распределением: a)регулярных ( п^-1)- мерных гиперполосах Hn-m-1(Л), Hn.

m-1(L) специального класса; в)( п^-1)- мерных гиперполосах Vn-m-1(h-r-1), Vn.m. 1(n-l-1)(L), оснащенных полем касательных гиперплоскостей; ^ на вырожденных центрированных гиперполосах И^ -И^ -т--1 связности про-

2 3

странств Рп-ш-1,п-ш-1 и Рп-т-1,п-т-1 совпадают и, следовательно, про-1 2

странства Рп-ш-1,п-ш-1 и Рп-ш-1,п-ш-1 всегда двойственны относительно инволютивного преобразования (12).

При смещении центра А0 Б-распределения вдоль интегральных кривых Х-расслоения имеем

= 0°Ао + (мар+ 8р)|/еАа + ©ЬМь(шоаХ) . (15)

В силу соотношении (15), (14) выясняется геометрическая интерпретация

1 2

двойственности пространств Рп,п-ш-1 и Рп,п-ш-1 .

Теорема 4. Для регулярного оснащенного в смысле Картана

12

расслоения пространства Рп,п-ш-1 и Рп,п-ш-1 двойственны тогда и только тогда, когда при смещении центра A0 S- распределения вдоль любой интегральной кривой %-расслоения, смещение оси [Ка ] = [Аа - и°А0 ] плоскости Картана Cm[A0] принадлежит характеристике Mm(A0) оснащающего ^ распределения гиперплоскостных элементов. При этом ось [Ка] совпадает с осью Кенигса.

1 2 3

3. Найдем условия совпадения связностей и,и,и. Из (12) непосредственно получаем инвариантные аналитические условия совпадения связ-12 1 2 ностей и и и и пространств Рп,п-ш-1 и Рп,п-ш-1 :

и = и о (Ураа = о (а), а ару = о (Ь)). (16)

1

В силу теоремы 2 условие (16а) означает, что пространства Рп,п-ш-1 и

2

Рп,п-ш-1 двойственны. Для голономного Р(х)- распределения или взаимного Р(х)- распределения с полем симметрического тензора в силу (13), (14) получим ааРу = Дару .Условие (16в) означает, что соприкасающиеся гиперквадрики

Ь а р X а X в + ипх^ + И^х4 + 2Ь а X а хп + 2И1х1хп + 2ирхрхп + +8пхпхп = 2х0хп (17)

имеют касание 3-го порядка с )- расслоением. В силу сказанного, с учетом соотношении (13), справедливы

Теорема 5. Если )-расслоение с полем симметрического тензора Н ^р

1 2 1 оснащено в смысле Картана, то связности и и и пространств Рп,п-т-1 и 2

Рп,п-т-1 совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия (16). Для голономного )-расслоения или взаимного (Р(х)-распределения с полем симметрического тензора Н , ассоциированных с данным S-

распределением, связности и и и совпадают тогда и только тогда, когда 12

пространства Рп,п-т-1 и Рп,п-т-1 двойственны и соприкасающиеся гиперквадрики (17) имеют соприкосновение 3-го порядка с )-расслоением.

12 1 2 Теорема 6. Связности и и и пространств Рп,п-т-1 и Рп,п-т-1 совпа-

дают тогда и только тогда, когда А = 0,

а

аРу

= 0, что равносильно

1аРу

= 0.

условиям А ара = 0,

4. Пусть для голономного )- расслоения оснащающая плоскость Картана неподвижна. В этом случае плоскость Ст (уа) является плоскостью Ке-

1

нигса нормали {у а}, а пространство Рп,п-т-1 является плоским,

1в ^ - в т.е. иокь = 0. Из (10) и (8) получим Ааа = V ¿а = 0. Учитывая (13), убежда-

2 У 1 У

емся что компоненты тензоров кручения и окь и и окь пространств

21

Рпп-т-1 и Рпп-т-1 связаны такими соотношениями:

2 У

и 0ар

1 у

и °аР - Т[;р]!

2 У

и 0аа

1 у

и 0аа - Т[

аа] -

2 У 1 У 2 У 2 У

ТУ 8 __Т'У 8 Т"1

- - -е[а Vп], и0ап = и0ап _ Т8[аУп] - ![

У

[ап] •

Из соотношении (18) в силу (9), (10),

(18)

получим

, т.е. пространство Рп,п-т-1 имеет нулевое кручение и является

двойственным пространству

Теорема 7. Пространство проективной связности Рп,п-т-1 , индуцируемое оснащением в смысле Картана с неподвижной плоскостью Cm(уа)

(п^-^2) голономного %- расслоения , имеет нулевое кручение и является

1

двойственным пространству Рп,п-ш-1 .

Список литературы

л

1. Волкова С. Ю. И (Л,Ь)- распределения проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1991. № 22. С.23-25.

л

2. Волкова С. Ю. Инвариантные подпространства, ассоциированные с И (Л,Ь)-распределением // Там же, 1992. № 23.С.15-23.

3. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1992. 290 с.

4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения ш- мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геом. семинара/ ВИНИТИ.М., 1971.Т.3.С.49-94.

5. Волкова С. Ю Двойственные проективные связности Б-распределения // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2000. № 31.С.17-24.

6. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Тр. геом. семинара/ ВИНИТИ.М., 1973. Т.4. С.7-70.

S.Yu. Volkova

ON DUAL PROJECTIVE CONNECTION OF S-DISTRIBYTION

1 2 3

The projective linear connections v, v, v of equipped x-bundle, associated with S-distribution in projective space, are constructed. Scopes for these connections curvature - torsion tensors are obtained. Coinsidence conditions of these

1 2

connections and duality for the projective connection spaces Pn,n-m-i, Pn,n-m-i

are found. Their geometrical interpretation is given. It is shown, that equipment

2

of holonomic x-bundle in Cartan's sense induces the space Pn,n-m-i with vanish-

1

ing curvature, which is dual to Pn,n-m-i.

УДК 514.75

О.С. Голышева

(Алтайский государственный университет)